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 # Hinweise zum Versuch Aeromechanik

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 ## Aufgabe 1: Bernoulli-Gleichung

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 ### Aufgabe 1.1: Statischer und dynamischer Druck

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 Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:

 * Bringen Sie den Motor mit Düse (D) zur Erzeugung des Luftstroms (LS) auf die vorgegebene **Drehzahl von $f=2600\,\mathrm{U/min}$**.
 * Verbinden Sie die Sonde (S) mit dem Feinmanometer (FM).
 * Bringen Sie S im Abstand von $d=10\,\mathrm{cm}$ vom Ausgang von D axial (d.h. im Radius $r=0$) parallel in den LS ein, um den Gesamtdruck $p_{0}$ zu messen.
 * Drehen Sie die Sonde daraufhin um $\Delta\varphi=90^{\circ}$, um den statischen Druck $p_{s}$ zu messen. Achten Sie darauf, dass sich der Druckpunkt von S immernoch im Punkt $(d=10\,\mathrm{cm}, r=0)$ befindet.
 * Um $p_{0}$ und $p_{s}$ zuverlässig messen zu können muss S so exakt wie möglich **parallel oder senkrecht** zum LS ausgerichtet sein. Überprüfen Sie die Auswirkung $\Delta p_{i}(\varphi)$ einer ungenauen Bestimmung des Winkels $\varphi$ auf die Druckmessung.
 * Nehmen Sie diese Messungen sowohl für die **Rohrsonde** als auch für die **Scheibensonde** vor.
 * **Protokollieren Sie**:
   * Ihr Vorgehen bei der Messung.
   * Die Werte $p_{0}\pm\Delta p _{0}$ und $p_{s}\pm\Delta p _{s}$.
   * Die Unsicherheiten sollten den Ablesefehler am FM und die Unsicherheit $\Delta p_{i}(\varphi)$ repäsentieren.
   * Bestimmen Sie aus den gemessenen Werten den dynamischen Druck $p_{d}$ mit entsprechenden Unsicherheiten.
 * Diskutieren und Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse.

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 Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Druck](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-Druck.md).

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 ### Aufgabe 1.2: Venturirohr

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 Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:

 * Montieren Sie das Venturirohr (VR) vor D. Am VR befinden sich an acht Stellen Flüssigkeitsmanometer.
 * Schätzen Sie die **Durchmesser $d_{j}$ an den Enden und in der Mitte** des VR ab.
 * Schätzen Sie die **Abstände der Messpunkte** ab.
 * Bestimmen Sie daraus die **Querschnittsflächen $A_{i}$** des VR in den Messpunkten.
 * Kontrollieren Sie die Höhen $\Delta h_{i}$ der Flüssigkeitssäulen ohne LS.
 * Erhöhen Sie dann die Drehzahl des Motors auf $f=1300\,\mathrm{U/min}$.
 * **Protokollieren Sie**:
   * Die Messanordnung (mit Bild oder Skizze).
   * Ihre **Beobachtung der Manometer**, während Sie die Drehzahl des Motors erhöhen.
   * Die $\Delta h_{i}$ nach erreichen der endgültigen Umdrehungszahl.
   * Stellen Sie die $\Delta h_{i}$ als Funktion der $A_{i}$ geeignet dar.
   * Passen Sie an die Darstellung ein geeignetes Modell an und **überprüfen Sie Ihre Erwartung**. Diese kommt durch das angepasste Modell zum Ausdruck. Sie können Sie quantitativ auf Basis des **$\chi^{2}$-Werts der Anpassung** überprüfen. Hierfür benötigen Sie Abschätzungen sowohl für die $\Delta h_{i}$, als auch für die $A_{i}$. Es macht nichts, wenn diese Abschätzungen grob sind, solange sie realistisch sind.
 * Diskutieren und Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse.

 **Studierende mit Nebenfach Physik und Lehramtstudierende:**

 * Für Sie genügt eine qualitative Beschreibung Ihrer Beoachtungen mit Erklärung.

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 Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Venturi](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-Venturi.md).

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 ### Aufgabe 1.3: Aerodynamisches Paradoxon

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 * Protokollieren Sie Ihre Beobachtung und erklären Sie was Sie sehen.
 * Fügen Sie Ihrem Protokoll eine **Skizze der Versuchsanordnung** bei anhand derer Sie Ihre Beobachtungen erklären.

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 Weitere Ausführungen zu dieser Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Paradoxon](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-Paradoxon.md).

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 %% Cell type:markdown id:4479c563-4f3a-401b-99b6-bc5052690210 tags:

 ## Aufgabe 2: Charakterisierung des Luftstroms

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 ### Aufgabe 2.1: Geschwindigkeitfeld

 %% Cell type:markdown id:a1b0dda9-c8e6-4bd8-8c58-4ae7dabdc0de tags:

 Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:

 * Verwenden Sie eine **Sonde Ihrer Wahl** und gehen Sie zur Ausmessung von $v(r,d)$ wie in **Aufgabe 1.1** vor.
 * Sie dürfen voraussetzen, dass das Geschwindigkeitsfeld $\vec{v}(\vec{r})$ **rotationssymmetrisch und $\hat{v}$ entlang der Symmetrieachse des Luftstroms ausgerichtet** ist. Es genügt also $v(r,d)$ entlang der horizontalen Symmetrieachse $\hat{y}$ des Luftstroms zu bestimmen.
 * Um ein **aussagekräftiges Geschwindigkeitsprofil** zu erhalten sollten Sie $v(r)$ für eine ausreichende Anzahl an Punkten ausmessen. Wir schlagen z.B. die folgenden Werte vor:
   * Für die Abstände zu D: $d_{i}=5,\,10,\,15,\,20,\,30\,\mathrm{cm}$.
   * Für die Radien: $r=0.0,\,1.0,\,2.0,\,3.0,\,3.5,\,4.0,\,5.0\,\mathrm{cm}$.
-   * Messen Sie $v(r,d)$ in beiden Richtungen entlang der $y$-Achse aus ($y=\pm r$).
- * Es stimmt, dass es sich hierbei um viele Messpunkte handelt. Ohne eine geeignete Anzahl sorgfältig aufgenommener Messpunkte macht die Charakterisierung von $v(r,d)$ allerdings nur wenig Sinn. **Nehmen Sie sich die Zeit** sorfältig vorzugehen.
 * **Protokollieren Sie**:
   * Alle Wertepaare $(p_{0,i}, p_{s,i})$.
   * Bestimmen Sie daraus $v(r,d)$.
   * Schätzen Sie geeignete allgemeine Unsicherheiten auf die von Ihnen aufgezeichneten Werte ab und halten Sie diese in ihrem Protokoll fest.
   * Stellen $v(r,d)$ geeignet dar. Wir empfehlen zwei Darstellungen:
     * i) Eine Schar von fünf Kurven $v(r|d_{i})$ und
     * ii) eine dreidimensionale Darstellung mit $d$ auf der $x$-, $r$ auf der $y$- und $v(r,d)$ auf der $z$-Achse.
 * **Legen Sie einen geeigneten Punkt $(r^{*},d^{*})$ in dem Bereich fest, wo $v(r,d)$ in etwa als konstsant genommen werden kann**, um dort die Messungen der folgenden Aufgaben durchzufüren.

 **Studierende mit Nebenfach Physik und Lehramtstudierende:**

 * Für Sie reicht es weniger Messpunkte aufzunehmen. Wir schlagen z.B. die folgenden Werte vor:
   * Für die Abstände zu D: $d_{i}=10,\,20,\,30\,\mathrm{cm}$.
   * Für die Radien: $r=0.0,\,1.0,\,2.0,\,3.0\,\mathrm{cm}$.
-   * Messen Sie $v(r,d)$ in beiden Richtungen entlang der $y$-Achse aus ($y=\pm r$).
 * Dabei geht es für Sie in erster Linie darum den Punkt $(r^{*},d^{*})$ zu bestimmen.

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 Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Druck](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-Druck.md).

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 %% Cell type:markdown id:0b48226b-46aa-45e1-a91c-47f193179915 tags:

 ### Aufgabe 2.2: Kalibration des Motors zur Erzeugung des Luftstroms

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 Für einige der folgenden Aufgaben ist es notwendig, **$v(r,d)$ in Abhängigkeit der Drehzahl $f$** des Motors zur Erzeugung des LS zu kennen. Unter Annahme, dass sich $v(r,d)$ als Funktion von $|v|$ nicht ändert, genügt es diese Kalibration für den Punkt $v^{*}\equiv v(r^{*},d^{*})$ vorzunehmen.

 Gehen Sie hierzu wie folgt vor:

 * Gehen Sie zur Messung von $v^{*}(f)$ wie in **Aufgabe 2.1** vor.
 * **Positionieren Sie** S hierzu am Punkt $(r^{*},d^{*})$.
 * Bestimmen Sie $v^{*}$ für Werte der Drehzahl von $f_{i}=600$ bis $2600\,\mathrm{U/min}$ in Schritten von $\Delta f\approx200\,\mathrm{U/min}$ (11 Messpunkte).
 * **Protokollieren Sie**:
   * Ihr Vorgehen für die Messung.
   * Alle Wertepaare $(v^{*}_{i},f_{i})$. Schätzen Sie entsprechende Unsicherheiten auf die verwendeten Werte ab.
   * **Stellen Sie die Datenpunkte geeignet dar** und passen Sie ein geeignetes Modell an die Daten an.
   * Diskutieren Sie die **Güte der Anpassung** mit Hilfe des $\chi^{2}$-Werts der Anpassung. Diese erlaubt Ihnen Rückschlüsse auf die Anwendbarkeit des zugrundegelegten Modells.
   * Die resultierenden **Parameter Ihres Modells** einschließlich Unsicherheiten aus der Anpassung.
   * **Diese Kalibrationskonstanten sind das Ziel Ihrer Messungen aus Aufgabe 2**!

 **Studierende mit Nebenfach Physik und Lehramtstudierende können in Schritten von $\Delta f\approx400\,\mathrm{U/min}$ vorgehen.**

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 Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Druck](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-Druck.md).

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 %% Cell type:markdown id:e6b83d94-cd8a-441a-aec9-2dd9e5f08333 tags:

 ## Aufgabe 3: Strömungswiderstand

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 ### Aufgabe 3.1: Abhängigkeit von der Stirnfläche

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 Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:

 * Gehen Sie zur Messung von $v^{*}$ wie in **Aufgabe 2.1** vor.
 * **Montieren Sie die Kreisscheiben**, mit Hilfe der bereitliegenden Halterung, am Punkt $(r^{*},d^{*})$.
 * Verbinden Sie die Scheiben mit Hilfe einer Schnur mit dem bereitstehenden **Sektorkraftmesser (SKM)**.
 * Achten Sie dabei auf die folgenden Punkte:
   * Die Schnur sollte **straff gespannt** sein, jedoch keinen sichtbaren Ausschlag am SKM erzeugen.
   * Sie können die Wirkung der Spannung der Schnur auf den SKM ansonsten bei der späteren Auswertung der Daten zusätzlich im Modell berücksichtigen.
   * Da mit dem SKM die Kraft $F_{W}$ aus einem Drehmoment abgeleitet wird muss die Schnur **in einem Winkel von $90^{\circ}$** am SKM angreifen. Sie erreichen dies am einfachsten, indem Sie die Schnur einmal um die Halterung am Kraftmesser herumgewickeln, bevor Sie sie am Messwagen befestigen.
 * Überprüfen Sie mit Hilfe einer Leermessung den **zusätzlichen Strömungswiderstand der Halterung** und korrigieren Sie diesen gegebenenfalls in Ihrer Auswertung.
 * **Protokollieren Sie**:
   * Eine Beschreibung der Anordnung (mit Skizze einschließlich SKM und Schnur!).
   * Alle Wertepaare $(F_{W,i}, A_{i})$.
   * Den eingestellten Wert für $f$ und die daraus ermittelte Geschwindigkeit $v_{s}$.
   * Letzere können Sie aus Ihren Ergebnissen von **Aufgabe 2.2** bestimmen.
   * Geben Sie für alle numerischen Werte entsprechende Unsicherheiten an.
   * Stellen $F_{W}$ als Funktion von $A$ geeignet dar und passen Sie ein geeignetes Modell an die Daten an.
   * Diskutieren Sie die Anwendbarkeit des Modells auf Grundlage des $\chi^{2}$-Werts der Anpassung.
   * Geben Sie einen Wert für den **Luftwiderstandsbeiwert $c_{W}$ einer Kreisscheibe** mit entsprechenden Unsicherheiten an.

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 Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-cW](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-cW.md).

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 ### Aufgabe 3.2: Abhängigkeit von der Geschwindigkeit des Luftstroms

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 Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:

 * Gehen Sie zur Messung von $v^{*}$ und $F_{W}$ wie für **Aufgabe 3.1** vor.
 * Erhöhen Sie $f$ in Schritten von $\Delta f\approx200\,\mathrm{U/min}$ und bestimmen Sie $F_{W}$ (**Studierende mit Nebenfach Physik und Lehramtstudierende sind an dieser Stelle gebeten ebenfalls 11 Messpunkte aufzunehmen**).
 * **Protokollieren Sie**:
   * Eine Beschreibung der Anordnung.
   * Alle Wertepaare $(F_{W,i}, f_{i})$ mit entsprechenden Unsicherheiten.
   * Kalibieren Sie Ihre Werte für $f_{i}$ auf die entsprechenden Geschwindigkeiten $v_{s,i}$ (gehen Sie hierzu wie für **Aufgabe 3.1** vor).
   * Stellen Sie $F_{W}$ als Funktion von $v_{s}$ geeignet dar und passen Sie ein geeignetes Modell an die Daten an.
   * Diskutieren Sie die Anwendbarkeit des Modells auf Grundlage des $\chi^{2}$-Werts der Anpassung.
   * Geben Sie einen Wert für den **Luftwiderstandsbeiwert $c_{W}$ einer Kreisscheibe** mit entsprechenden Unsicherheiten an.
 * Mit den Ergebnissen der Aufgaben 2 und 3 haben Sie das Modell des Strömungswiderstands ausgedehnter Körper überprüft!

 **Studierende mit Hauptfachphysik haben hier die Möglichkeit ihr gesamtes den Aufgaben 2 und 3 zugrunde gelegtes Modell einem strengen Test zu unterziehen und daraus einen Wert für $c_{W}$ mit maximal möglicher Präzision zu bestimmen.** Sie erreichen dies, indem sie alle aufgezeichneten Datenpunkte in die Anpassung mit einbeziehen:

 * Die Messungen zur Kalibration von $v_{s}$ aus **Aufgabe 2.2** mit entsprechendem Modell;
 * Die Messungen mit variierender Scheibenfläche aus **Aufgabe 3.1** mit entsprechendem Modell;
 * Die Messungen für die verwendete(n) Scheibenfläche(n) mit variierenden Werten von $v_{s}$ aus **dieser Aufgabe** mit entsprechendem Modell.

 Verwenden Sie hierzu die Möglichkeit zu einem Multifit wie [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/tools/kafe2_example_MultiFit.ipynb) erklärt.

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 Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-cW](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-cW.md).

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 ### Aufgabe 3.3: Rücktrieb und Körperform

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 * Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie für **Aufgabe 3.1** vor.
 * Je nachdem, welchen Körper Sie auswählen kann es sein, dass der Messwagen kippt. Für diesen Fall liegt ein **Gegengewicht** an Ihrem Versuchsplatz bereit.
 * **Protokollieren Sie** die von Ihnen bestimmten Werte für $c_{W}$.
 * Sie können sich die Richtung, in der Sie die ausgewählten Köper umströmen lassen aussuchen. **Protokollieren Sie aber Ihre Wahl!**

 **Wenn Sie möchten können Sie zusätzlich den $c_{W}$-Wert eines (mitgebrachten) Spielzeugautos oder anderweitigen Objekts bestimmen und ggf. mit den $c_{W}$-Werten realer Objekte vergleichen. Vergessen Sie in diesem Fall jedoch nicht, dass Sie die auch Querschnittsfläche des Objekts abschätzen müssen.**

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 Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-cW](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-cW.md).

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 %% Cell type:markdown id:ec810338-56f4-4ee5-ba30-7fb4dc50ae95 tags:

 ## Aufgabe 4: Auftrieb

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 ### Aufgabe 4.1: Polardiagramm

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 Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:

 * Installieren Sie **Auftriebswaage und Tragfläche** im LS.
 * Gehen Sie zur Messung von $F_{W}$ wie für **Aufgabe 3.1** vor, $F_{A}$ bestimmen Sie mit Hilfe der Auftriebswaage.
- * Variieren Sie den **Anstellwinkel $\alpha$** im Bereich $-8^{\circ}\leq\alpha\leq12^{\circ}$ in Schritten von $\Delta\alpha = 4^{\circ}$ (sechs Datenpunkte).
+ * Variieren Sie den **Anstellwinkel $\alpha$** im Bereich $-8^{\circ}\leq\alpha\leq20^{\circ}$ in Schritten von $\Delta\alpha = 4^{\circ}$ (acht Datenpunkte).
 * **Protokollieren Sie**:
   * Den Messaufbau (mit Skizze!).
   * Den Versuchsablauf.
   * Den verwendeten Wert für $v_{s}$ mit entsprechenden Unsicherheiten.
   * Die Werte $(\alpha_{i}, F_{W,i}, F_{A,i})$ mit entsprechenden Unsicherheiten.
   * Stellen Sie die Wertepaare $(\alpha_{i},F_{W,i})$ und $(\alpha_{i},F_{A,i})$ jeweils in einem Diagramm dar.
   * Stellen Sie die Wertepaare $(F_{W,i},F_{A,i})$ bei jeweils vorgegebenem $\alpha_{i}$ in einem **Polardiagramm** dar. Dieses sollte den Ursprung $(0,0)$ enthalten.
   * Bestimmen Sie das **Gleitverhältnis $E$** als Funktion von $\alpha$, mit entsprechenden Unsicherheiten.
   * Fügen Sie Ihrem Polardiagramm den **Polstrahl für das höchste Gleitverhältnis $E_{\mathrm{max}}$** zu.
   * Das Wertepaar $(\alpha_{\mathrm{max}},E_{\mathrm{max}})$ mit entsprechenden Unsicherheiten.

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 Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Tragflaeche](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-Tragflaeche.md).

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 ### Aufgabe 4.2: Druckprofil

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 Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:

 * Das Tragflächenmodells besitzt **neun Bohrungen** an denen Sie das FM von innen anschließen können.
 * Bestimmen Sie $p_{s}$ an jeder Bohrung.
 * **Protokollieren Sie**:
   * Die Werte $p_{s}$ mit entsprechenden Unsicherheiten.
   * Tragen Sie zur Veranschaulichung lotrechte Pfeile der Länge $\propto p_{s,i}$ an den entsprechenden Bohrungen im [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/figures/wing_profile.png) hinterlegten Tragflächenprofil ein. Ein Beipiel, wie Sie dies mit Hilfe der python Bibliothek *matplotlib* erreichen können finden Sie [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/tools/wing_profile.ipynb).

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 Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Druck](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-Druck.md).

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 # Hinweise zum Versuch Aeromechanik

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 ## Aufgabe 1: Bernoulli-Gleichung

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 ### Aufgabe 1.1: Statischer und dynamischer Druck

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 Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:

 * Bringen Sie den Motor mit Düse (D) zur Erzeugung des Luftstroms (LS) auf die vorgegebene **Drehzahl von $f=2600\,\mathrm{U/min}$**.
 * Verbinden Sie die Sonde (S) mit dem Feinmanometer (FM).
 * Bringen Sie S im Abstand von $d=10\,\mathrm{cm}$ vom Ausgang von D axial (d.h. im Radius $r=0$) parallel in den LS ein, um den Gesamtdruck $p_{0}$ zu messen.
 * Drehen Sie die Sonde daraufhin um $\Delta\varphi=90^{\circ}$, um den statischen Druck $p_{s}$ zu messen. Achten Sie darauf, dass sich der Druckpunkt von S immernoch im Punkt $(d=10\,\mathrm{cm}, r=0)$ befindet.
 * Um $p_{0}$ und $p_{s}$ zuverlässig messen zu können muss S so exakt wie möglich **parallel oder senkrecht** zum LS ausgerichtet sein. Überprüfen Sie die Auswirkung $\Delta p_{i}(\varphi)$ einer ungenauen Bestimmung des Winkels $\varphi$ auf die Druckmessung.
 * Nehmen Sie diese Messungen sowohl für die **Rohrsonde** als auch für die **Scheibensonde** vor.
 * **Protokollieren Sie**:
   * Ihr Vorgehen bei der Messung.
   * Die Werte $p_{0}\pm\Delta p _{0}$ und $p_{s}\pm\Delta p _{s}$.
   * Die Unsicherheiten sollten den Ablesefehler am FM und die Unsicherheit $\Delta p_{i}(\varphi)$ repäsentieren.
   * Bestimmen Sie aus den gemessenen Werten den dynamischen Druck $p_{d}$ mit entsprechenden Unsicherheiten.
 * Diskutieren und Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse.

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 ### Aufgabe 1.2: Venturirohr

 %% Cell type:markdown id:11585d55-0f47-40ba-8c73-5137c7e8e9a0 tags:

 Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:

 * Montieren Sie das Venturirohr (VR) vor D. Am VR befinden sich an acht Stellen Flüssigkeitsmanometer.
 * Schätzen Sie die **Durchmesser $d_{j}$ an den Enden und in der Mitte** des VR ab.
 * Schätzen Sie die **Abstände der Messpunkte** ab.
 * Bestimmen Sie daraus die **Querschnittsflächen $A_{i}$** des VR in den Messpunkten.
 * Kontrollieren Sie die Höhen $\Delta h_{i}$ der Flüssigkeitssäulen ohne LS.
 * Erhöhen Sie dann die Drehzahl des Motors auf $f=1300\,\mathrm{U/min}$.
 * **Protokollieren Sie**:
   * Die Messanordnung (mit Bild oder Skizze).
   * Ihre **Beobachtung der Manometer**, während Sie die Drehzahl des Motors erhöhen.
   * Die $\Delta h_{i}$ nach erreichen der endgültigen Umdrehungszahl.
   * Stellen Sie die $\Delta h_{i}$ als Funktion der $A_{i}$ geeignet dar.
   * Passen Sie an die Darstellung ein geeignetes Modell an und **überprüfen Sie Ihre Erwartung**. Diese kommt durch das angepasste Modell zum Ausdruck. Sie können Sie quantitativ auf Basis des **$\chi^{2}$-Werts der Anpassung** überprüfen. Hierfür benötigen Sie Abschätzungen sowohl für die $\Delta h_{i}$, als auch für die $A_{i}$. Es macht nichts, wenn diese Abschätzungen grob sind, solange sie realistisch sind.
 * Diskutieren und Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse.

 **Studierende mit Nebenfach Physik und Lehramtstudierende:**

 * Für Sie genügt eine qualitative Beschreibung Ihrer Beoachtungen mit Erklärung.

 ---

 Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Venturi](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-Venturi.md).

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 %% Cell type:markdown id:b2458c0b-f451-4aee-ac51-226720aec26a tags:

 ### Aufgabe 1.3: Aerodynamisches Paradoxon

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 * Protokollieren Sie Ihre Beobachtung und erklären Sie was Sie sehen.
 * Fügen Sie Ihrem Protokoll eine **Skizze der Versuchsanordnung** bei anhand derer Sie Ihre Beobachtungen erklären.

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 Weitere Ausführungen zu dieser Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Paradoxon](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-Paradoxon.md).

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 ## Aufgabe 2: Charakterisierung des Luftstroms

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 ### Aufgabe 2.1: Geschwindigkeitfeld

 %% Cell type:markdown id:a1b0dda9-c8e6-4bd8-8c58-4ae7dabdc0de tags:

 Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:

 * Verwenden Sie eine **Sonde Ihrer Wahl** und gehen Sie zur Ausmessung von $v(r,d)$ wie in **Aufgabe 1.1** vor.
 * Sie dürfen voraussetzen, dass das Geschwindigkeitsfeld $\vec{v}(\vec{r})$ **rotationssymmetrisch und $\hat{v}$ entlang der Symmetrieachse des Luftstroms ausgerichtet** ist. Es genügt also $v(r,d)$ entlang der horizontalen Symmetrieachse $\hat{y}$ des Luftstroms zu bestimmen.
 * Um ein **aussagekräftiges Geschwindigkeitsprofil** zu erhalten sollten Sie $v(r)$ für eine ausreichende Anzahl an Punkten ausmessen. Wir schlagen z.B. die folgenden Werte vor:
   * Für die Abstände zu D: $d_{i}=5,\,10,\,15,\,20,\,30\,\mathrm{cm}$.
   * Für die Radien: $r=0.0,\,1.0,\,2.0,\,3.0,\,3.5,\,4.0,\,5.0\,\mathrm{cm}$.
-   * Messen Sie $v(r,d)$ in beiden Richtungen entlang der $y$-Achse aus ($y=\pm r$).
- * Es stimmt, dass es sich hierbei um viele Messpunkte handelt. Ohne eine geeignete Anzahl sorgfältig aufgenommener Messpunkte macht die Charakterisierung von $v(r,d)$ allerdings nur wenig Sinn. **Nehmen Sie sich die Zeit** sorfältig vorzugehen.
 * **Protokollieren Sie**:
   * Alle Wertepaare $(p_{0,i}, p_{s,i})$.
   * Bestimmen Sie daraus $v(r,d)$.
   * Schätzen Sie geeignete allgemeine Unsicherheiten auf die von Ihnen aufgezeichneten Werte ab und halten Sie diese in ihrem Protokoll fest.
   * Stellen $v(r,d)$ geeignet dar. Wir empfehlen zwei Darstellungen:
     * i) Eine Schar von fünf Kurven $v(r|d_{i})$ und
     * ii) eine dreidimensionale Darstellung mit $d$ auf der $x$-, $r$ auf der $y$- und $v(r,d)$ auf der $z$-Achse.
 * **Legen Sie einen geeigneten Punkt $(r^{*},d^{*})$ in dem Bereich fest, wo $v(r,d)$ in etwa als konstsant genommen werden kann**, um dort die Messungen der folgenden Aufgaben durchzufüren.

 **Studierende mit Nebenfach Physik und Lehramtstudierende:**

 * Für Sie reicht es weniger Messpunkte aufzunehmen. Wir schlagen z.B. die folgenden Werte vor:
   * Für die Abstände zu D: $d_{i}=10,\,20,\,30\,\mathrm{cm}$.
   * Für die Radien: $r=0.0,\,1.0,\,2.0,\,3.0\,\mathrm{cm}$.
-   * Messen Sie $v(r,d)$ in beiden Richtungen entlang der $y$-Achse aus ($y=\pm r$).
 * Dabei geht es für Sie in erster Linie darum den Punkt $(r^{*},d^{*})$ zu bestimmen.

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 Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Druck](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-Druck.md).

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 ### Aufgabe 2.2: Kalibration des Motors zur Erzeugung des Luftstroms

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 Für einige der folgenden Aufgaben ist es notwendig, **$v(r,d)$ in Abhängigkeit der Drehzahl $f$** des Motors zur Erzeugung des LS zu kennen. Unter Annahme, dass sich $v(r,d)$ als Funktion von $|v|$ nicht ändert, genügt es diese Kalibration für den Punkt $v^{*}\equiv v(r^{*},d^{*})$ vorzunehmen.

 Gehen Sie hierzu wie folgt vor:

 * Gehen Sie zur Messung von $v^{*}(f)$ wie in **Aufgabe 2.1** vor.
 * **Positionieren Sie** S hierzu am Punkt $(r^{*},d^{*})$.
 * Bestimmen Sie $v^{*}$ für Werte der Drehzahl von $f_{i}=600$ bis $2600\,\mathrm{U/min}$ in Schritten von $\Delta f\approx200\,\mathrm{U/min}$ (11 Messpunkte).
 * **Protokollieren Sie**:
   * Ihr Vorgehen für die Messung.
   * Alle Wertepaare $(v^{*}_{i},f_{i})$. Schätzen Sie entsprechende Unsicherheiten auf die verwendeten Werte ab.
   * **Stellen Sie die Datenpunkte geeignet dar** und passen Sie ein geeignetes Modell an die Daten an.
   * Diskutieren Sie die **Güte der Anpassung** mit Hilfe des $\chi^{2}$-Werts der Anpassung. Diese erlaubt Ihnen Rückschlüsse auf die Anwendbarkeit des zugrundegelegten Modells.
   * Die resultierenden **Parameter Ihres Modells** einschließlich Unsicherheiten aus der Anpassung.
   * **Diese Kalibrationskonstanten sind das Ziel Ihrer Messungen aus Aufgabe 2**!

 **Studierende mit Nebenfach Physik und Lehramtstudierende können in Schritten von $\Delta f\approx400\,\mathrm{U/min}$ vorgehen.**

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 Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Druck](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-Druck.md).

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 ## Aufgabe 3: Strömungswiderstand

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 ### Aufgabe 3.1: Abhängigkeit von der Stirnfläche

 %% Cell type:markdown id:9c679ce8-461f-4585-a7fe-f5c9466a0f6c tags:

 Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:

 * Gehen Sie zur Messung von $v^{*}$ wie in **Aufgabe 2.1** vor.
 * **Montieren Sie die Kreisscheiben**, mit Hilfe der bereitliegenden Halterung, am Punkt $(r^{*},d^{*})$.
 * Verbinden Sie die Scheiben mit Hilfe einer Schnur mit dem bereitstehenden **Sektorkraftmesser (SKM)**.
 * Achten Sie dabei auf die folgenden Punkte:
   * Die Schnur sollte **straff gespannt** sein, jedoch keinen sichtbaren Ausschlag am SKM erzeugen.
   * Sie können die Wirkung der Spannung der Schnur auf den SKM ansonsten bei der späteren Auswertung der Daten zusätzlich im Modell berücksichtigen.
   * Da mit dem SKM die Kraft $F_{W}$ aus einem Drehmoment abgeleitet wird muss die Schnur **in einem Winkel von $90^{\circ}$** am SKM angreifen. Sie erreichen dies am einfachsten, indem Sie die Schnur einmal um die Halterung am Kraftmesser herumgewickeln, bevor Sie sie am Messwagen befestigen.
 * Überprüfen Sie mit Hilfe einer Leermessung den **zusätzlichen Strömungswiderstand der Halterung** und korrigieren Sie diesen gegebenenfalls in Ihrer Auswertung.
 * **Protokollieren Sie**:
   * Eine Beschreibung der Anordnung (mit Skizze einschließlich SKM und Schnur!).
   * Alle Wertepaare $(F_{W,i}, A_{i})$.
   * Den eingestellten Wert für $f$ und die daraus ermittelte Geschwindigkeit $v_{s}$.
   * Letzere können Sie aus Ihren Ergebnissen von **Aufgabe 2.2** bestimmen.
   * Geben Sie für alle numerischen Werte entsprechende Unsicherheiten an.
   * Stellen $F_{W}$ als Funktion von $A$ geeignet dar und passen Sie ein geeignetes Modell an die Daten an.
   * Diskutieren Sie die Anwendbarkeit des Modells auf Grundlage des $\chi^{2}$-Werts der Anpassung.
   * Geben Sie einen Wert für den **Luftwiderstandsbeiwert $c_{W}$ einer Kreisscheibe** mit entsprechenden Unsicherheiten an.

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 Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-cW](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-cW.md).

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 %% Cell type:markdown id:f5992b3e-bc3c-409f-9a03-495aea7389d0 tags:

 ### Aufgabe 3.2: Abhängigkeit von der Geschwindigkeit des Luftstroms

 %% Cell type:markdown id:34249934-9c36-43bb-a9ac-eff46803cced tags:

 Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:

 * Gehen Sie zur Messung von $v^{*}$ und $F_{W}$ wie für **Aufgabe 3.1** vor.
 * Erhöhen Sie $f$ in Schritten von $\Delta f\approx200\,\mathrm{U/min}$ und bestimmen Sie $F_{W}$ (**Studierende mit Nebenfach Physik und Lehramtstudierende sind an dieser Stelle gebeten ebenfalls 11 Messpunkte aufzunehmen**).
 * **Protokollieren Sie**:
   * Eine Beschreibung der Anordnung.
   * Alle Wertepaare $(F_{W,i}, f_{i})$ mit entsprechenden Unsicherheiten.
   * Kalibieren Sie Ihre Werte für $f_{i}$ auf die entsprechenden Geschwindigkeiten $v_{s,i}$ (gehen Sie hierzu wie für **Aufgabe 3.1** vor).
   * Stellen Sie $F_{W}$ als Funktion von $v_{s}$ geeignet dar und passen Sie ein geeignetes Modell an die Daten an.
   * Diskutieren Sie die Anwendbarkeit des Modells auf Grundlage des $\chi^{2}$-Werts der Anpassung.
   * Geben Sie einen Wert für den **Luftwiderstandsbeiwert $c_{W}$ einer Kreisscheibe** mit entsprechenden Unsicherheiten an.
 * Mit den Ergebnissen der Aufgaben 2 und 3 haben Sie das Modell des Strömungswiderstands ausgedehnter Körper überprüft!

 **Studierende mit Hauptfachphysik haben hier die Möglichkeit ihr gesamtes den Aufgaben 2 und 3 zugrunde gelegtes Modell einem strengen Test zu unterziehen und daraus einen Wert für $c_{W}$ mit maximal möglicher Präzision zu bestimmen.** Sie erreichen dies, indem sie alle aufgezeichneten Datenpunkte in die Anpassung mit einbeziehen:

 * Die Messungen zur Kalibration von $v_{s}$ aus **Aufgabe 2.2** mit entsprechendem Modell;
 * Die Messungen mit variierender Scheibenfläche aus **Aufgabe 3.1** mit entsprechendem Modell;
 * Die Messungen für die verwendete(n) Scheibenfläche(n) mit variierenden Werten von $v_{s}$ aus **dieser Aufgabe** mit entsprechendem Modell.

 Verwenden Sie hierzu die Möglichkeit zu einem Multifit wie [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/tools/kafe2_example_MultiFit.ipynb) erklärt.

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 Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-cW](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-cW.md).

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 %% Cell type:markdown id:7b4b2c71-110b-4426-a88a-d4b1851897c8 tags:

 ### Aufgabe 3.3: Rücktrieb und Körperform

 %% Cell type:markdown id:4af8475d-1900-413e-98f6-713dbd8520d3 tags:

 * Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie für **Aufgabe 3.1** vor.
 * Je nachdem, welchen Körper Sie auswählen kann es sein, dass der Messwagen kippt. Für diesen Fall liegt ein **Gegengewicht** an Ihrem Versuchsplatz bereit.
 * **Protokollieren Sie** die von Ihnen bestimmten Werte für $c_{W}$.
 * Sie können sich die Richtung, in der Sie die ausgewählten Köper umströmen lassen aussuchen. **Protokollieren Sie aber Ihre Wahl!**

 **Wenn Sie möchten können Sie zusätzlich den $c_{W}$-Wert eines (mitgebrachten) Spielzeugautos oder anderweitigen Objekts bestimmen und ggf. mit den $c_{W}$-Werten realer Objekte vergleichen. Vergessen Sie in diesem Fall jedoch nicht, dass Sie die auch Querschnittsfläche des Objekts abschätzen müssen.**

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 Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-cW](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-cW.md).

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 ## Aufgabe 4: Auftrieb

 %% Cell type:markdown id:9809eaf7-4d80-4ae9-9cc1-04e00c3a53c0 tags:

 ### Aufgabe 4.1: Polardiagramm

 %% Cell type:markdown id:88ffd2de-7061-4086-a46f-1e78c8b92b89 tags:

 Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:

 * Installieren Sie **Auftriebswaage und Tragfläche** im LS.
 * Gehen Sie zur Messung von $F_{W}$ wie für **Aufgabe 3.1** vor, $F_{A}$ bestimmen Sie mit Hilfe der Auftriebswaage.
- * Variieren Sie den **Anstellwinkel $\alpha$** im Bereich $-8^{\circ}\leq\alpha\leq12^{\circ}$ in Schritten von $\Delta\alpha = 4^{\circ}$ (sechs Datenpunkte).
+ * Variieren Sie den **Anstellwinkel $\alpha$** im Bereich $-8^{\circ}\leq\alpha\leq20^{\circ}$ in Schritten von $\Delta\alpha = 4^{\circ}$ (acht Datenpunkte).
 * **Protokollieren Sie**:
   * Den Messaufbau (mit Skizze!).
   * Den Versuchsablauf.
   * Den verwendeten Wert für $v_{s}$ mit entsprechenden Unsicherheiten.
   * Die Werte $(\alpha_{i}, F_{W,i}, F_{A,i})$ mit entsprechenden Unsicherheiten.
   * Stellen Sie die Wertepaare $(\alpha_{i},F_{W,i})$ und $(\alpha_{i},F_{A,i})$ jeweils in einem Diagramm dar.
   * Stellen Sie die Wertepaare $(F_{W,i},F_{A,i})$ bei jeweils vorgegebenem $\alpha_{i}$ in einem **Polardiagramm** dar. Dieses sollte den Ursprung $(0,0)$ enthalten.
   * Bestimmen Sie das **Gleitverhältnis $E$** als Funktion von $\alpha$, mit entsprechenden Unsicherheiten.
   * Fügen Sie Ihrem Polardiagramm den **Polstrahl für das höchste Gleitverhältnis $E_{\mathrm{max}}$** zu.
   * Das Wertepaar $(\alpha_{\mathrm{max}},E_{\mathrm{max}})$ mit entsprechenden Unsicherheiten.

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 Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Tragflaeche](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-Tragflaeche.md).

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 %% Cell type:markdown id:8ed4f68a-3bf5-4f4b-83d4-0e4c9fe0aa90 tags:

 ### Aufgabe 4.2: Druckprofil

 %% Cell type:markdown id:4ac238f4-c2f4-41fd-b0f0-815da38cc19f tags:

 Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:

 * Das Tragflächenmodells besitzt **neun Bohrungen** an denen Sie das FM von innen anschließen können.
 * Bestimmen Sie $p_{s}$ an jeder Bohrung.
 * **Protokollieren Sie**:
   * Die Werte $p_{s}$ mit entsprechenden Unsicherheiten.
   * Tragen Sie zur Veranschaulichung lotrechte Pfeile der Länge $\propto p_{s,i}$ an den entsprechenden Bohrungen im [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/figures/wing_profile.png) hinterlegten Tragflächenprofil ein. Ein Beipiel, wie Sie dies mit Hilfe der python Bibliothek *matplotlib* erreichen können finden Sie [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/tools/wing_profile.ipynb).

 ---

 Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Druck](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-Druck.md).

 ---

--- a/Ferromagnetische_Hysterese/doc/Hinweise-Hysterese.md
+++ b/Ferromagnetische_Hysterese/doc/Hinweise-Hysterese.md
@@ -107,7 +107,7 @@ $$
 Zur Messung des Hystereseverlusts verfolgen wir die folgende Strategie: 

 - Oszilloskopische Darstellung der Magnetisierungsschleife $B(H)$. 
- Elektronische Auslese, Kalibration der Achsen, Glätten der Kurve und numerische Integration der eingeschlossenen Fläche. 
+- Elektronische Auslese, **Kalibration der Achsen**, Glätten der Kurve und numerische Integration der eingeschlossenen Fläche. 
 - Bestimmung von $P_{\mathrm{hsyt}}$ nach Gleichung **(1)**.

 Ein entsprechendes Schaltbild zur Darstellung der Hysteresschleife auf dem Oszilloskop ist in **Abbildung 2** gezeigt: 
@@ -132,13 +132,15 @@ $$
 H = N_{1}\,\frac{I}{\ell} = N_{1}\,\frac{U_{H}}{R_{1}\,\ell}.
 \end{equation*}
 $$
+Beachten Sie, dass $\ell$ nicht der Länge der Spule sondern der Länge der Magnetfeldlinien im Eisenkern entspricht. Eine Erklärung hierzu finden Sie z.B. im Abschnitt **Magnetfeld einer langen Spule** in der Dokumentation für den Versuch [Spezifische Ladung des Elektrons](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Spezifische_Ladung_des_Elektrons/doc/Hinweise-Fadenstrahlrohr.md). Entsprechende Werte für die mittlere Länge der Feldlinien für die am Versuch vorliegenden Eisen- und Ferritkerne finden Sie im [Datenblatt zum Versuch](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Ferromagnetische_Hysterese/Datenblatt.md).
+
 $B$ wird durch Integration der in der Sekundärspule induzierten Spannung 
 $$
 \begin{equation*}
 U_{i} = N_{2}\,A\,\dot{B}
 \end{equation*}
 $$
-gewonnen, wobei $A$ der Fläche der Sekundärspule entspricht. Als physikalischer Integrator dient ein $RC$-Integrierglied bestehend aus einem in Reihe geschalteten Widerstand $R_{2}$ und einem Kondensator $C$. Über den Kondensator wird $U_{B}$ auf CH2 des Oszilloskops abgegriffen wird. (Zur Funktionsweise eines $RC$-Integrierglieds siehe **Aufgabe 1** des Versuchs [Netzwerke und Leitungen](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Netzwerke_und_Leitungen).) Sind $R_{2}$ und $C$ so gewählt, dass die Bedingung 
+gewonnen, wobei $A$ der Fläche der Sekundärspule entspricht. Als physikalischer Integrator dient ein $RC$-Integrierglied bestehend aus einem in Reihe geschalteten Widerstand $R_{2}$ und einem Kondensator $C$. Über den Kondensator wird $U_{B}$ auf CH2 des Oszilloskops abgegriffen. (Zur Funktionsweise eines $RC$-Integrierglieds siehe **Aufgabe 1** des Versuchs [Netzwerke und Leitungen](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Netzwerke_und_Leitungen).) Sind $R_{2}$ und $C$ so gewählt, dass die Bedingung 
 $$
 \begin{equation*}
 R_{2}\gg\frac{1}{\omega\,C};\qquad \text{mit: }\omega=2\pi\,\nu

--- a/Geometrische_Optik/Geometrische_Optik_Hinweise.ipynb
+++ b/Geometrische_Optik/Geometrische_Optik_Hinweise.ipynb
@@ -236,7 +236,9 @@
  {
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    "## Aufgabe 3: Aufbau optischer Instrumente"
   ]

--- a/Kreisel/Datenblatt.md
+++ b/Kreisel/Datenblatt.md
@@ -6,17 +6,17 @@ Für den Versuch stehen Ihnen die folgenden Apparaturen und Materialien zur Verf
 - Mehrere **quaderförmige Kisten mit Ösen**, um die Kisten in den jeweiligen Symmetrieachsen der Seitenflächen aufzuhängen. Die Kisten können mit einem Antriebsmotor in Rotation versetzt werden. 
 - Ein Kreisel mit kardanischer Aufhängung, zur Veranschaulichung der Funktionsweise eines **Kreiselkompasses**, mit dem folgenden weiteren Zubehör: 
  - Der innere Kardanrahmen des Kreisels ist mit vier Schraubenfedern am äußeren Kardanrahmen fixiert. Dadurch richtet sich der Kreisel in der jeweiligen Tangentialebene in Nord-Süd-Richtung aus.
-  - Eine drehbare, tellerförmige Standfläche; der Kreisel kann gegen diese Standfläche verkippt werden, um verschiedene Breitengrade nachzustellen. 
+  - Eine drehbare, tellerförmige Standfläche; der Kreisel kann gegen diese Standfläche verkippt werden, um verschiedene Breitengrade zu simulieren. 
  - Ein Antriebsmotor, um die Standfläche in gleichmäßige, **langsame** Rotation zu versetzen. 
 - Ein **Kreisel mit kardanischer Aufhängung** für quantitative Untersuchungen, mit verschiedenen Zusatzteilen:
-  -  Ein Antriebsmotor mit biegsamer Welle und Motorsteuerung mit dem Sie den Kreisel auf bis zu $3500\hspace{0.05cm}\text{Umdrehungen pro min}$ antreiben können. 
+  -  Ein Antriebsmotor mit biegsamer Welle und Motorsteuerung mit dem Sie den Kreisel auf bis zu $3500\hspace{0.05cm}\text{Umdrehungen/min}$ antreiben können. 
  - Zwei Schwanenhalshalterungen mit Fotosensoren mit integrierter Lichtquelle, zur Frequenzbestimmung.
  - Zwei Frequenzzähler (Hameg HM8021-4).
  - Eine Stoppuhr.
-  - Zylinderförmige Zusatzgewichte mit der jeweiligen Masse $m_{\mathrm{Z}}=(1000\pm1)\hspace{0.05cm}\mathrm{g}$. Die Zusatzgewichte können an den äußeren Kardanrahmen geschraubt werden. 
-  - Ein Stahlstab mit der Mass $m_{\mathrm{Stab}}=(330\pm1)\hspace{0.05cm}\mathrm{g}$, mit verschiebbarem Gewicht der Masse $m_{\mathrm{G}}=(375\pm1)\hspace{0.05cm}\mathrm{g}$. Der Stab kann an den inneren Kardanrahmen geschraubt werden. 
+  - Zylinderförmige Zusatzgewichte mit der jeweiligen Masse $m_{\mathrm{Z}}=(1000\pm1)\ \mathrm{g}$. Die Zusatzgewichte können an den äußeren Kardanrahmen angeschraubt werden. 
+  - Ein Stahlstab mit der Mass $m_{\mathrm{Stab}}=(330\pm1)\ \mathrm{g}$, mit verschiebbarem Gewicht der Masse $m_{\mathrm{G}}=(375\pm1)\ \mathrm{g}$. Der Stab kann an den inneren Kardanrahmen angeschraubt werden. 
  -  Für Ihre Messungen benötigen Sie die folgenden weiteren äußeren Parameter: 
-     -  Der Abstand zwischen der Symmetrieachse des Kreisels und dem jeweiligen Schwerpunkt eines aufgeschraubten zylindrischen Zusatzgewichts beträgt $\ell=(14,9\pm0,1)\hspace{0.05cm}\mathrm{cm}$.
-     -  Der Durchmesser jeweils eines zylindrischen Zusatzgewichts beträgt $d_{\mathrm{Z}}=(4,00\pm0,01)\hspace{0.05cm}\mathrm{cm}$.
-     -  Der Abstand zwischen dem Kreiselschwerpunkt und dem äußeren Rand des inneren Kardanrahmens beträgt $s=(10,91\pm0,03)\hspace{0.05cm}\mathrm{cm}$.
-     -  Der Durchmesser des Rotors beträgt $d_{\mathrm{Rotor}}=(13,50\pm0,01)\hspace{0.05cm}\mathrm{cm}$.
+     -  Der Abstand zwischen der Symmetrieachse des Kreisels und dem jeweiligen Schwerpunkt eines aufgeschraubten zylindrischen Zusatzgewichts beträgt $\ell=(14.9\pm 0.1)\ \mathrm{cm}$.
+     -  Der Durchmesser jeweils eines zylindrischen Zusatzgewichts beträgt $d_{\mathrm{Z}}=(4.00\pm 0.01)\ \mathrm{cm}$.
+     -  Der Abstand zwischen dem Kreiselschwerpunkt und dem äußeren Rand des inneren Kardanrahmens beträgt $s=(10.91\pm 0.03)\ \mathrm{cm}$.
+     -  Der Durchmesser des Rotors beträgt $d_{\mathrm{Rotor}}=(13.50\pm 0.01)\ \mathrm{cm}$.
--- a/Kreisel/Kreisel.ipynb
+++ b/Kreisel/Kreisel.ipynb
 %% Cell type:markdown id:885c7767-e912-4e31-b5d6-3a3443ffa58e tags:

 # Fakultät für Physik

 ## Physikalisches Praktikum P1 für Studierende der Physik

-Versuch P1-26, 27, 28 (Stand: Oktober 2023)
+Versuch P1-91, 92, 93 (Stand: **Oktober 2024**)

-[Raum F1-15](https://labs.physik.kit.edu/img/Praktikum/Lageplan_P1.png)
+[Raum F1-15](https://labs.physik.kit.edu/img/Klassische-Praktika/Lageplan_P1P2.png)



 # Kreisel

-%% Cell type:markdown id:02723acd-b4da-43cb-8534-d52f27e5e556 tags:
+%% Cell type:markdown id:48e35b85-50fd-4979-8da9-992623fb4f0e tags:

 Name: __________________ Vorname: __________________ E-Mail: __________________

 \begin{equation*}
 \begin{split}
 &\\
 &\\
 \end{split}
 \end{equation*}

 Name: __________________ Vorname: __________________ E-Mail: __________________

 \begin{equation*}
 \begin{split}
 &\\
 &\\
 &\\
 \end{split}
 \end{equation*}

 Gruppennummer: _____

 \begin{equation*}
 \begin{split}
 &\\
 &\\
 &\\
 \end{split}
 \end{equation*}


 Betreuer: __________________

 \begin{equation*}
 \begin{split}
 &\\
 &\\
 &\\
 \end{split}
 \end{equation*}

 Versuch durchgeführt am: __________________

-%% Cell type:markdown id:bd1ced8c-5364-400f-b2ab-cd86a81d5eda tags:
+%% Cell type:markdown id:de3b39ff-c8b8-4ea1-abd0-3714bffb1977 tags:

 ---

-**Beanstandungen:**
+**Beanstandungen zu Protokoll Version _____:**

 \begin{equation*}
 \begin{split}
 &\\
 &\\
 &\\
 &\\
 &\\
 &\\
 &\\
 &\\
 &\\
 &\\
 \end{split}
 %\text{\vspace{10cm}}
 \end{equation*}

 <br>
 Testiert am: __________________ Testat: __________________

-%% Cell type:markdown id:305b8433-7bc6-4a3c-b0e6-fa5c8955849a tags:
+%% Cell type:markdown id:a2a00a6e-25e4-4a58-83da-1b7ccdc90399 tags:

 # Durchführung

+%% Cell type:markdown id:4da44fd3-21aa-4d0d-90d2-3656a2b7c90c tags:
+
+**Detaillierte Hinweise zur Durchführung der Versuche finden Sie in der Datei [Kreisel_Hinweise.ipynb](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/Kreisel_Hinweise.ipynb)**
+
+%% Cell type:markdown id:2fbe3849-275f-482b-92c2-572187219866 tags:
+
 ## Aufgabe 1: Physik starrer Körper

-**Hinweise zu allen hier durchzuführenden Messungen finden Sie in der Datei [Hinweise-Aufgabe-1.md](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-1.md).**
+Bei dieser Aufgabe handelt es sich um **Demonstrationsversuche, die Sie sich gemeinsam mit Ihrem:r Tutor:in während der Praktikumsvorbesprechung** überlegen und im Anschluß durchführen können, um sich durch eigene Erfahrung mit der Physik starrer Körper vertraut zu machen. Wir empfehlen Ihnen, die nötige Zeit für die entsprechenden Versuche einzuräumen und jedem:r Teilnehmer:in die Versuche (bei denen Sie selbst das Studienobjekt sind!) selbst durchzuführen.

-Bei dieser Aufgabe handelt es sich um **Demonstrationsversuche**, die Sie sich gemeinsam mit Ihrem:r Tutor:in während der Praktikumsvorbesprechung überlegen und im Anschluß durchführen können, um sich durch eigene Erfahrung mit der Physik starrer Körper vertraut zu machen. Wir empfehlen Ihnen, die nötige Zeit für die entsprechenden Versuche einzuräumen und jedem:r Teilnehmer:in die Versuche, bei denen Sie selbst das Studienobjekt sind, selbst durchzuführen.
+%% Cell type:markdown id:e1f89c24-a36a-4adb-b508-ef6ebb2915f7 tags:

 ### Aufgabe 1.1: Drehimpulserhaltung

-Um persönliche Erfahrungen mit der Drehimpulserhaltung zu sammeln, stehen Ihnen ein Drehschemel und ein Rad mit zwei Griffen und Zugband zur Verfügung. Notieren Sie Ihre Erfahrungen und diskutieren Sie die zugrundeliegenden physikalischen Effekte.
+Um persönliche Erfahrungen mit der Drehimpulserhaltung sammeln zu können, stehen Ihnen ein **Drehschemel und ein Rad mit zwei Griffen und Zugband** zur Verfügung. Notieren Sie Ihre Erfahrungen und diskutieren Sie die zugrundeliegenden physikalischen Effekte.

 ---

-%% Cell type:markdown id:375bc285-33cc-43cc-bf8f-9247c1431ae4 tags:
+%% Cell type:markdown id:9d637acc-16f3-4933-9f88-7cfa77f6a176 tags:

-**Lösung:**
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**

-*Sie können Ihr Protokoll direkt in dieses Dokument einfügen. Wenn Sie dieses Dokument als Grundlage für ein [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) verwenden wollen können Sie die Auswertung, Skripte und ggf. bildliche Darstellungen mit Hilfe von [python](https://www.python.org/) ebenfalls hier einfügen. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*

 ---

-%% Cell type:markdown id:20887c3e-9c2e-4cf2-918e-c6091ec8f900 tags:
+%% Cell type:markdown id:86fe58d6-9cc9-47c4-83b8-ef30c8e16664 tags:

 ### Aufgabe 1.2: Trägheitstensor

-Um Erfahrungen mit dem Trägheitstensor zu sammeln steht Ihnen ein Aufbau zur Verfügung, mit dem Sie entsprechend präparierte Holzkisten in ihren Schwerpunkten aufhängen und in Rotation versetzen können. Notieren Sie Ihre Erfahrungen und diskutieren Sie die zugrundeliegenden physikalischen Effekte.
+Um Erfahrungen mit dem Trägheitstensor sammeln zu können steht Ihnen ein Aufbau zur Verfügung, mit dem Sie entsprechend präparierte **Holzkisten in ihren Schwerpunkten aufhängen und in Rotation versetzen** können. Notieren Sie Ihre Erfahrungen und diskutieren Sie die zugrundeliegenden physikalischen Effekte.

 ---

-%% Cell type:markdown id:4ff10d07-87d1-4a2a-a7ef-a7014dc727b6 tags:
+%% Cell type:markdown id:516fa8b9-2a57-41d7-b5b4-3aa651659304 tags:

-**Lösung:**
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**

-*Sie können Ihr Protokoll direkt in dieses Dokument einfügen. Wenn Sie dieses Dokument als Grundlage für ein [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) verwenden wollen können Sie die Auswertung, Skripte und ggf. bildliche Darstellungen mit Hilfe von [python](https://www.python.org/) ebenfalls hier einfügen. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*

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 %% Cell type:markdown id:335cd2f4-efc6-4072-9ab7-d4a240eb220d tags:

 ### Aufgabe 1.3: Kreiselkompass

-Für diesen Versuch steht Ihnen ein [kardanisch](https://de.wikipedia.org/wiki/Kardanische_Aufh%C3%A4ngung) gelagerter Kreisel auf einer drehbaren Grundfläche zur Verfügung, der sich gegen die Grundfläche kippen lässt. Der innere Kardanrahmen ist durch Arretierfedern fixiert. Beschreiben und diskutieren Sie das Verhalten des Kreisel nachdem Sie zunächst den Kreisel und dann seine Standfläche in Rotation versetzt haben.
+Für diesen Versuch steht Ihnen ein **[kardanisch](https://de.wikipedia.org/wiki/Kardanische_Aufh%C3%A4ngung) gelagerter Kreisel auf einer drehbaren Grundfläche** zur Verfügung, der sich gegen die Grundfläche kippen lässt. Der innere Kardanrahmen ist durch Arretierfedern fixiert. Beschreiben und diskutieren Sie das Verhalten des Kreisel nachdem Sie zunächst den Kreisel und dann seine Standfläche in Rotation versetzt haben.

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-%% Cell type:markdown id:aaf9c2e9-f6cf-4a3b-bfc9-796841dca7ed tags:
+%% Cell type:markdown id:8fc93666-17f2-4c2b-95fb-b9f788b1060b tags:

-**Lösung:**
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**

-*Sie können Ihr Protokoll direkt in dieses Dokument einfügen. Wenn Sie dieses Dokument als Grundlage für ein [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) verwenden wollen können Sie die Auswertung, Skripte und ggf. bildliche Darstellungen mit Hilfe von [python](https://www.python.org/) ebenfalls hier einfügen. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*

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-%% Cell type:markdown id:97b7053b-f7c8-471f-bd76-01bb183198e0 tags:
+%% Cell type:markdown id:8e0a9282-836f-4553-a1f4-c8768966ba93 tags:

 ## Aufgabe 2: Kardanisch gelagerter Kreisel

-**Hinweise zu allen hier durchzuführenden Messungen finden Sie in der Datei [Hinweise-Aufgabe-2.md](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2.md).**
+Im Verlauf dieses Versuchs **untersuchen Sie einen [kardanisch](https://de.wikipedia.org/wiki/Kardanische_Aufh%C3%A4ngung) gelagerten Kreisel quantitativ**. Sie lernen dabei mehrere charakteristische Eigenschaften symmetrischer Kreisel kennen, bestimmen die Trägheitsmomente $\theta_{x}',\,\theta_{y}',\,\theta_{z}'$ entlang der [Hauptträgheitsachsen](https://de.wikipedia.org/wiki/Haupttr%C3%A4gheitsachse) des Kreisels und schätzen die Masse $M_{\mathrm{Rotor}}$ des Kreiselrotors ab.

-Im Verlauf dieses Versuchs untersuchen Sie den [kardanisch](https://de.wikipedia.org/wiki/Kardanische_Aufh%C3%A4ngung) gelagerten Kreisel quantitativ. Sie lernen dabei mehrere charakteristische Eigenschaften symmetrischer Kreisel kennen. Sie bestimmen die Trägheitsmomente entlang der [Hauptträgheitsachsen](https://de.wikipedia.org/wiki/Haupttr%C3%A4gheitsachse) des Kreisels und schätzen die Masse des Kreiselrotors ab.
+%% Cell type:markdown id:66f60b58-6aac-4a8b-bb6a-adad17f3c95a tags:

-### Aufgabe 2.1: Dämpfung
+### Aufgabe 2.1: Nutation

-Bestimmen Sie die Dämpfung des Kreisels aus einer Messreihe von mindestens 30 Punkten. Stellen Sie die Kreisfrequenz $\omega$ des Kreisels geeignet als Funktion der Zeit $t$ dar.
+ * Bestimmen Sie die **Nutationsfrequenz $\omega_{N}$ des Kreisels** als Funktion von $\omega$.
+ * Wiederholen Sie die Messreihe für eine Konfiguration in der Sie **zwei Zylindergewichte $\mathcal{Z}$ zusätzlich** an den äußeren Kardanrahmen der Kreiselaufhängung geschraubt haben.

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+ ---

-%% Cell type:markdown id:c81ae931-21c9-4eff-bb7b-259cf64b3c5e tags:
+%% Cell type:markdown id:7af82097-8ac0-4535-a4e8-e223b971c1a3 tags:

-**Lösung:**
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**

-*Sie können Ihr Protokoll direkt in dieses Dokument einfügen. Wenn Sie dieses Dokument als Grundlage für ein [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) verwenden wollen können Sie die Auswertung, Skripte und ggf. bildliche Darstellungen mit Hilfe von [python](https://www.python.org/) ebenfalls hier einfügen. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*

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-%% Cell type:markdown id:66f60b58-6aac-4a8b-bb6a-adad17f3c95a tags:
+%% Cell type:markdown id:464f44be-d93f-42c6-af29-15862fbb2f47 tags:

-### Aufgabe 2.2: Nutation
+**L Ö S U N G**

- * Bestimmen Sie die Nutationsfrequenz $\omega_{N}$ des Kreisels als Funktion von $\omega$. Nehmen Sie eine Messreihe mit mindestens 30 Messpunkten auf und stellen Sie sie geeignet dar.
- * Wiederholen Sie die Messreihe für eine Konfiguration in der Sie zwei Zylindergewichte zusätzlich an den äußeren Kardanrahmen der Kreiselaufhängung geschraubt haben.
+*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*

- ---
+---

-%% Cell type:markdown id:150973f7-01c7-40e7-b99a-8ccd437ea3c5 tags:
+%% Cell type:markdown id:c665a1cc-d868-4e03-8fda-48d75e2ea428 tags:

-**Lösung:**
+**D I S K U S S I O N**

-*Sie können Ihr Protokoll direkt in dieses Dokument einfügen. Wenn Sie dieses Dokument als Grundlage für ein [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) verwenden wollen können Sie die Auswertung, Skripte und ggf. bildliche Darstellungen mit Hilfe von [python](https://www.python.org/) ebenfalls hier einfügen. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+*Fügen Sie eine abschließende Diskussion und Bewertung Ihrer Lösung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*

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 %% Cell type:markdown id:60568a02-3549-4afd-a4d0-6975255e804c tags:

-### Aufgabe 2.3: Präzession
+### Aufgabe 2.2: Präzession

-Bestimmen Sie Präzessionsfrequenz $\Omega$ des nutationsfreien, symmetrischen Kreisels als Funktion von $\omega$. Tun Sie dies, indem Sie einen Metallstab als zusätzliches Gewicht in den inneren Kardanrahmen der Kreiselaufhängung schrauben. Nehmen Sie eine Messreihe mit midestens 30 Messpunkten auf und stellen Sie sie geeignet dar.
+ * Bestimmen Sie **Präzessionsperiode $T_{\Omega}$** des nutationsfreien, symmetrischen Kreisels als Funktion von $\omega$.
+ * Sie tun dies, indem Sie einen **Stahlstab als zusätzliches Gewicht** in den inneren Kardanrahmen der Kreiselaufhängung schrauben.

 ---

-%% Cell type:markdown id:0a035bc1-cf81-4a36-a1fa-c5568171aaad tags:
+%% Cell type:markdown id:15efecb4-5c0d-48af-96b5-382c3b1bcbf1 tags:

-**Lösung:**
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**

-*Sie können Ihr Protokoll direkt in dieses Dokument einfügen. Wenn Sie dieses Dokument als Grundlage für ein [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) verwenden wollen können Sie die Auswertung, Skripte und ggf. bildliche Darstellungen mit Hilfe von [python](https://www.python.org/) ebenfalls hier einfügen. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:a01cfa06-0204-41db-a7fa-4d0ae86fde07 tags:
+
+**L Ö S U N G**
+
+*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:a3ec5750-db5c-4324-bd1d-c59f5ab5aa91 tags:
+
+**D I S K U S S I O N**
+
+*Fügen Sie eine abschließende Diskussion und Bewertung Ihrer Lösung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*

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 %% Cell type:markdown id:0444a5d9-9aa9-45ac-8694-d4684c21715d tags:

-### Aufgabe 2.4: Trägheitsmomente entlang der Hauptträgheitsachsen
+### Aufgabe 2.3: Trägheitsmomente $\theta_{x}',\,\theta_{y}',\,\theta_{z}'$ entlang der Hauptträgheitsachsen des Kreisels

- * Berechnen Sie aus den Messungen die Sie im Rahmen der **Aufgaben 2.2** und **2.3** durchgeführt haben, die Trägheitsmomente $\theta_{x}$, $\theta_{y}$ und $\theta_{z}$ entlang der Hauptträgheitsachsen.
- * Schätzen Sie aus Ihren Berechnungen die Masse $M$ des Kreiselrotors ab.
+ * Berechnen Sie aus den Messungen die Sie im Rahmen der **Aufgaben 2.1 und 2.2** durchgeführt haben, die Trägheitsmomente $\theta_{x}',\,\theta_{y}',\,\theta_{z}'$ entlang der Hauptträgheitsachsen des Kreisels.
+ * Schätzen Sie aus Ihren Berechnungen die Masse $M_{\mathrm{Rotor}}$ des Kreiselrotors ab.

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-%% Cell type:markdown id:a071ed7a-edd1-4070-a249-7f4fb5414146 tags:
+%% Cell type:markdown id:94664bb8-a292-48cb-9741-9bb389e7625e tags:
+
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**
+
+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:76dbb502-d104-4543-a4fc-10a7f95dcad8 tags:
+
+**L Ö S U N G**

-**Lösung:**
+*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*

-*Sie können Ihr Protokoll direkt in dieses Dokument einfügen. Wenn Sie dieses Dokument als Grundlage für ein [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) verwenden wollen können Sie die Auswertung, Skripte und ggf. bildliche Darstellungen mit Hilfe von [python](https://www.python.org/) ebenfalls hier einfügen. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+---
+
+%% Cell type:markdown id:03ffa091-35ef-4092-92a5-8c3592d2fb74 tags:
+
+**D I S K U S S I O N**
+
+*Fügen Sie eine abschließende Diskussion und Bewertung Ihrer Lösung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*

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+
+%% Cell type:markdown id:8299296d-28e8-4e1f-a550-647662df6e05 tags:
+
+# Beurteilung
+
+%% Cell type:markdown id:544e55bd-b1bd-4226-b1fd-4f9905f7de6c tags:
+
+ * Nach Abschluss des Versuchs haben Sie die Möglichkeit diesen Versuch individuell zu beurteilen.
+ * **Folgen Sie zur Beurteilung dieses Versuchs diesem [Link](https://www.empirio.de/s/3bX=NbX33=)**.
+ * Beachten Sie, dass jede:r Studierende nur einmal pro Versuch eine Beurteilung abgeben kann.
+ * Wir empfehlen die Beurteilung nach der Besprechung Ihrer Versuchsauswertung mit Ihrem:r Tutor:in auszufüllen.

 %% Cell type:markdown id:885c7767-e912-4e31-b5d6-3a3443ffa58e tags:

 # Fakultät für Physik

 ## Physikalisches Praktikum P1 für Studierende der Physik

-Versuch P1-26, 27, 28 (Stand: Oktober 2023)
+Versuch P1-91, 92, 93 (Stand: **Oktober 2024**)

-[Raum F1-15](https://labs.physik.kit.edu/img/Praktikum/Lageplan_P1.png)
+[Raum F1-15](https://labs.physik.kit.edu/img/Klassische-Praktika/Lageplan_P1P2.png)



 # Kreisel

-%% Cell type:markdown id:02723acd-b4da-43cb-8534-d52f27e5e556 tags:
+%% Cell type:markdown id:48e35b85-50fd-4979-8da9-992623fb4f0e tags:

 Name: __________________ Vorname: __________________ E-Mail: __________________

 \begin{equation*}
 \begin{split}
 &\\
 &\\
 \end{split}
 \end{equation*}

 Name: __________________ Vorname: __________________ E-Mail: __________________

 \begin{equation*}
 \begin{split}
 &\\
 &\\
 &\\
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 \end{equation*}

 Gruppennummer: _____

 \begin{equation*}
 \begin{split}
 &\\
 &\\
 &\\
 \end{split}
 \end{equation*}


 Betreuer: __________________

 \begin{equation*}
 \begin{split}
 &\\
 &\\
 &\\
 \end{split}
 \end{equation*}

 Versuch durchgeführt am: __________________

-%% Cell type:markdown id:bd1ced8c-5364-400f-b2ab-cd86a81d5eda tags:
+%% Cell type:markdown id:de3b39ff-c8b8-4ea1-abd0-3714bffb1977 tags:

 ---

-**Beanstandungen:**
+**Beanstandungen zu Protokoll Version _____:**

 \begin{equation*}
 \begin{split}
 &\\
 &\\
 &\\
 &\\
 &\\
 &\\
 &\\
 &\\
 &\\
 &\\
 \end{split}
 %\text{\vspace{10cm}}
 \end{equation*}

 <br>
 Testiert am: __________________ Testat: __________________

-%% Cell type:markdown id:305b8433-7bc6-4a3c-b0e6-fa5c8955849a tags:
+%% Cell type:markdown id:a2a00a6e-25e4-4a58-83da-1b7ccdc90399 tags:

 # Durchführung

+%% Cell type:markdown id:4da44fd3-21aa-4d0d-90d2-3656a2b7c90c tags:
+
+**Detaillierte Hinweise zur Durchführung der Versuche finden Sie in der Datei [Kreisel_Hinweise.ipynb](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/Kreisel_Hinweise.ipynb)**
+
+%% Cell type:markdown id:2fbe3849-275f-482b-92c2-572187219866 tags:
+
 ## Aufgabe 1: Physik starrer Körper

-**Hinweise zu allen hier durchzuführenden Messungen finden Sie in der Datei [Hinweise-Aufgabe-1.md](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-1.md).**
+Bei dieser Aufgabe handelt es sich um **Demonstrationsversuche, die Sie sich gemeinsam mit Ihrem:r Tutor:in während der Praktikumsvorbesprechung** überlegen und im Anschluß durchführen können, um sich durch eigene Erfahrung mit der Physik starrer Körper vertraut zu machen. Wir empfehlen Ihnen, die nötige Zeit für die entsprechenden Versuche einzuräumen und jedem:r Teilnehmer:in die Versuche (bei denen Sie selbst das Studienobjekt sind!) selbst durchzuführen.

-Bei dieser Aufgabe handelt es sich um **Demonstrationsversuche**, die Sie sich gemeinsam mit Ihrem:r Tutor:in während der Praktikumsvorbesprechung überlegen und im Anschluß durchführen können, um sich durch eigene Erfahrung mit der Physik starrer Körper vertraut zu machen. Wir empfehlen Ihnen, die nötige Zeit für die entsprechenden Versuche einzuräumen und jedem:r Teilnehmer:in die Versuche, bei denen Sie selbst das Studienobjekt sind, selbst durchzuführen.
+%% Cell type:markdown id:e1f89c24-a36a-4adb-b508-ef6ebb2915f7 tags:

 ### Aufgabe 1.1: Drehimpulserhaltung

-Um persönliche Erfahrungen mit der Drehimpulserhaltung zu sammeln, stehen Ihnen ein Drehschemel und ein Rad mit zwei Griffen und Zugband zur Verfügung. Notieren Sie Ihre Erfahrungen und diskutieren Sie die zugrundeliegenden physikalischen Effekte.
+Um persönliche Erfahrungen mit der Drehimpulserhaltung sammeln zu können, stehen Ihnen ein **Drehschemel und ein Rad mit zwei Griffen und Zugband** zur Verfügung. Notieren Sie Ihre Erfahrungen und diskutieren Sie die zugrundeliegenden physikalischen Effekte.

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-%% Cell type:markdown id:375bc285-33cc-43cc-bf8f-9247c1431ae4 tags:
+%% Cell type:markdown id:9d637acc-16f3-4933-9f88-7cfa77f6a176 tags:

-**Lösung:**
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**

-*Sie können Ihr Protokoll direkt in dieses Dokument einfügen. Wenn Sie dieses Dokument als Grundlage für ein [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) verwenden wollen können Sie die Auswertung, Skripte und ggf. bildliche Darstellungen mit Hilfe von [python](https://www.python.org/) ebenfalls hier einfügen. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*

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-%% Cell type:markdown id:20887c3e-9c2e-4cf2-918e-c6091ec8f900 tags:
+%% Cell type:markdown id:86fe58d6-9cc9-47c4-83b8-ef30c8e16664 tags:

 ### Aufgabe 1.2: Trägheitstensor

-Um Erfahrungen mit dem Trägheitstensor zu sammeln steht Ihnen ein Aufbau zur Verfügung, mit dem Sie entsprechend präparierte Holzkisten in ihren Schwerpunkten aufhängen und in Rotation versetzen können. Notieren Sie Ihre Erfahrungen und diskutieren Sie die zugrundeliegenden physikalischen Effekte.
+Um Erfahrungen mit dem Trägheitstensor sammeln zu können steht Ihnen ein Aufbau zur Verfügung, mit dem Sie entsprechend präparierte **Holzkisten in ihren Schwerpunkten aufhängen und in Rotation versetzen** können. Notieren Sie Ihre Erfahrungen und diskutieren Sie die zugrundeliegenden physikalischen Effekte.

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-%% Cell type:markdown id:4ff10d07-87d1-4a2a-a7ef-a7014dc727b6 tags:
+%% Cell type:markdown id:516fa8b9-2a57-41d7-b5b4-3aa651659304 tags:

-**Lösung:**
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**

-*Sie können Ihr Protokoll direkt in dieses Dokument einfügen. Wenn Sie dieses Dokument als Grundlage für ein [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) verwenden wollen können Sie die Auswertung, Skripte und ggf. bildliche Darstellungen mit Hilfe von [python](https://www.python.org/) ebenfalls hier einfügen. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*

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 %% Cell type:markdown id:335cd2f4-efc6-4072-9ab7-d4a240eb220d tags:

 ### Aufgabe 1.3: Kreiselkompass

-Für diesen Versuch steht Ihnen ein [kardanisch](https://de.wikipedia.org/wiki/Kardanische_Aufh%C3%A4ngung) gelagerter Kreisel auf einer drehbaren Grundfläche zur Verfügung, der sich gegen die Grundfläche kippen lässt. Der innere Kardanrahmen ist durch Arretierfedern fixiert. Beschreiben und diskutieren Sie das Verhalten des Kreisel nachdem Sie zunächst den Kreisel und dann seine Standfläche in Rotation versetzt haben.
+Für diesen Versuch steht Ihnen ein **[kardanisch](https://de.wikipedia.org/wiki/Kardanische_Aufh%C3%A4ngung) gelagerter Kreisel auf einer drehbaren Grundfläche** zur Verfügung, der sich gegen die Grundfläche kippen lässt. Der innere Kardanrahmen ist durch Arretierfedern fixiert. Beschreiben und diskutieren Sie das Verhalten des Kreisel nachdem Sie zunächst den Kreisel und dann seine Standfläche in Rotation versetzt haben.

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-%% Cell type:markdown id:aaf9c2e9-f6cf-4a3b-bfc9-796841dca7ed tags:
+%% Cell type:markdown id:8fc93666-17f2-4c2b-95fb-b9f788b1060b tags:

-**Lösung:**
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**

-*Sie können Ihr Protokoll direkt in dieses Dokument einfügen. Wenn Sie dieses Dokument als Grundlage für ein [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) verwenden wollen können Sie die Auswertung, Skripte und ggf. bildliche Darstellungen mit Hilfe von [python](https://www.python.org/) ebenfalls hier einfügen. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*

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-%% Cell type:markdown id:97b7053b-f7c8-471f-bd76-01bb183198e0 tags:
+%% Cell type:markdown id:8e0a9282-836f-4553-a1f4-c8768966ba93 tags:

 ## Aufgabe 2: Kardanisch gelagerter Kreisel

-**Hinweise zu allen hier durchzuführenden Messungen finden Sie in der Datei [Hinweise-Aufgabe-2.md](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2.md).**
+Im Verlauf dieses Versuchs **untersuchen Sie einen [kardanisch](https://de.wikipedia.org/wiki/Kardanische_Aufh%C3%A4ngung) gelagerten Kreisel quantitativ**. Sie lernen dabei mehrere charakteristische Eigenschaften symmetrischer Kreisel kennen, bestimmen die Trägheitsmomente $\theta_{x}',\,\theta_{y}',\,\theta_{z}'$ entlang der [Hauptträgheitsachsen](https://de.wikipedia.org/wiki/Haupttr%C3%A4gheitsachse) des Kreisels und schätzen die Masse $M_{\mathrm{Rotor}}$ des Kreiselrotors ab.

-Im Verlauf dieses Versuchs untersuchen Sie den [kardanisch](https://de.wikipedia.org/wiki/Kardanische_Aufh%C3%A4ngung) gelagerten Kreisel quantitativ. Sie lernen dabei mehrere charakteristische Eigenschaften symmetrischer Kreisel kennen. Sie bestimmen die Trägheitsmomente entlang der [Hauptträgheitsachsen](https://de.wikipedia.org/wiki/Haupttr%C3%A4gheitsachse) des Kreisels und schätzen die Masse des Kreiselrotors ab.
+%% Cell type:markdown id:66f60b58-6aac-4a8b-bb6a-adad17f3c95a tags:

-### Aufgabe 2.1: Dämpfung
+### Aufgabe 2.1: Nutation

-Bestimmen Sie die Dämpfung des Kreisels aus einer Messreihe von mindestens 30 Punkten. Stellen Sie die Kreisfrequenz $\omega$ des Kreisels geeignet als Funktion der Zeit $t$ dar.
+ * Bestimmen Sie die **Nutationsfrequenz $\omega_{N}$ des Kreisels** als Funktion von $\omega$.
+ * Wiederholen Sie die Messreihe für eine Konfiguration in der Sie **zwei Zylindergewichte $\mathcal{Z}$ zusätzlich** an den äußeren Kardanrahmen der Kreiselaufhängung geschraubt haben.

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-%% Cell type:markdown id:c81ae931-21c9-4eff-bb7b-259cf64b3c5e tags:
+%% Cell type:markdown id:7af82097-8ac0-4535-a4e8-e223b971c1a3 tags:

-**Lösung:**
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**

-*Sie können Ihr Protokoll direkt in dieses Dokument einfügen. Wenn Sie dieses Dokument als Grundlage für ein [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) verwenden wollen können Sie die Auswertung, Skripte und ggf. bildliche Darstellungen mit Hilfe von [python](https://www.python.org/) ebenfalls hier einfügen. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*

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-%% Cell type:markdown id:66f60b58-6aac-4a8b-bb6a-adad17f3c95a tags:
+%% Cell type:markdown id:464f44be-d93f-42c6-af29-15862fbb2f47 tags:

-### Aufgabe 2.2: Nutation
+**L Ö S U N G**

- * Bestimmen Sie die Nutationsfrequenz $\omega_{N}$ des Kreisels als Funktion von $\omega$. Nehmen Sie eine Messreihe mit mindestens 30 Messpunkten auf und stellen Sie sie geeignet dar.
- * Wiederholen Sie die Messreihe für eine Konfiguration in der Sie zwei Zylindergewichte zusätzlich an den äußeren Kardanrahmen der Kreiselaufhängung geschraubt haben.
+*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*

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-%% Cell type:markdown id:150973f7-01c7-40e7-b99a-8ccd437ea3c5 tags:
+%% Cell type:markdown id:c665a1cc-d868-4e03-8fda-48d75e2ea428 tags:

-**Lösung:**
+**D I S K U S S I O N**

-*Sie können Ihr Protokoll direkt in dieses Dokument einfügen. Wenn Sie dieses Dokument als Grundlage für ein [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) verwenden wollen können Sie die Auswertung, Skripte und ggf. bildliche Darstellungen mit Hilfe von [python](https://www.python.org/) ebenfalls hier einfügen. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+*Fügen Sie eine abschließende Diskussion und Bewertung Ihrer Lösung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*

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 %% Cell type:markdown id:60568a02-3549-4afd-a4d0-6975255e804c tags:

-### Aufgabe 2.3: Präzession
+### Aufgabe 2.2: Präzession

-Bestimmen Sie Präzessionsfrequenz $\Omega$ des nutationsfreien, symmetrischen Kreisels als Funktion von $\omega$. Tun Sie dies, indem Sie einen Metallstab als zusätzliches Gewicht in den inneren Kardanrahmen der Kreiselaufhängung schrauben. Nehmen Sie eine Messreihe mit midestens 30 Messpunkten auf und stellen Sie sie geeignet dar.
+ * Bestimmen Sie **Präzessionsperiode $T_{\Omega}$** des nutationsfreien, symmetrischen Kreisels als Funktion von $\omega$.
+ * Sie tun dies, indem Sie einen **Stahlstab als zusätzliches Gewicht** in den inneren Kardanrahmen der Kreiselaufhängung schrauben.

 ---

-%% Cell type:markdown id:0a035bc1-cf81-4a36-a1fa-c5568171aaad tags:
+%% Cell type:markdown id:15efecb4-5c0d-48af-96b5-382c3b1bcbf1 tags:

-**Lösung:**
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**

-*Sie können Ihr Protokoll direkt in dieses Dokument einfügen. Wenn Sie dieses Dokument als Grundlage für ein [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) verwenden wollen können Sie die Auswertung, Skripte und ggf. bildliche Darstellungen mit Hilfe von [python](https://www.python.org/) ebenfalls hier einfügen. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:a01cfa06-0204-41db-a7fa-4d0ae86fde07 tags:
+
+**L Ö S U N G**
+
+*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:a3ec5750-db5c-4324-bd1d-c59f5ab5aa91 tags:
+
+**D I S K U S S I O N**
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+*Fügen Sie eine abschließende Diskussion und Bewertung Ihrer Lösung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*

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 %% Cell type:markdown id:0444a5d9-9aa9-45ac-8694-d4684c21715d tags:

-### Aufgabe 2.4: Trägheitsmomente entlang der Hauptträgheitsachsen
+### Aufgabe 2.3: Trägheitsmomente $\theta_{x}',\,\theta_{y}',\,\theta_{z}'$ entlang der Hauptträgheitsachsen des Kreisels

- * Berechnen Sie aus den Messungen die Sie im Rahmen der **Aufgaben 2.2** und **2.3** durchgeführt haben, die Trägheitsmomente $\theta_{x}$, $\theta_{y}$ und $\theta_{z}$ entlang der Hauptträgheitsachsen.
- * Schätzen Sie aus Ihren Berechnungen die Masse $M$ des Kreiselrotors ab.
+ * Berechnen Sie aus den Messungen die Sie im Rahmen der **Aufgaben 2.1 und 2.2** durchgeführt haben, die Trägheitsmomente $\theta_{x}',\,\theta_{y}',\,\theta_{z}'$ entlang der Hauptträgheitsachsen des Kreisels.
+ * Schätzen Sie aus Ihren Berechnungen die Masse $M_{\mathrm{Rotor}}$ des Kreiselrotors ab.

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-%% Cell type:markdown id:a071ed7a-edd1-4070-a249-7f4fb5414146 tags:
+%% Cell type:markdown id:94664bb8-a292-48cb-9741-9bb389e7625e tags:
+
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**
+
+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+
+---
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+%% Cell type:markdown id:76dbb502-d104-4543-a4fc-10a7f95dcad8 tags:
+
+**L Ö S U N G**

-**Lösung:**
+*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*

-*Sie können Ihr Protokoll direkt in dieses Dokument einfügen. Wenn Sie dieses Dokument als Grundlage für ein [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) verwenden wollen können Sie die Auswertung, Skripte und ggf. bildliche Darstellungen mit Hilfe von [python](https://www.python.org/) ebenfalls hier einfügen. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+---
+
+%% Cell type:markdown id:03ffa091-35ef-4092-92a5-8c3592d2fb74 tags:
+
+**D I S K U S S I O N**
+
+*Fügen Sie eine abschließende Diskussion und Bewertung Ihrer Lösung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*

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+
+%% Cell type:markdown id:8299296d-28e8-4e1f-a550-647662df6e05 tags:
+
+# Beurteilung
+
+%% Cell type:markdown id:544e55bd-b1bd-4226-b1fd-4f9905f7de6c tags:
+
+ * Nach Abschluss des Versuchs haben Sie die Möglichkeit diesen Versuch individuell zu beurteilen.
+ * **Folgen Sie zur Beurteilung dieses Versuchs diesem [Link](https://www.empirio.de/s/3bX=NbX33=)**.
+ * Beachten Sie, dass jede:r Studierende nur einmal pro Versuch eine Beurteilung abgeben kann.
+ * Wir empfehlen die Beurteilung nach der Besprechung Ihrer Versuchsauswertung mit Ihrem:r Tutor:in auszufüllen.

--- a/Kreisel/Kreisel_Hinweise.ipynb
+++ b/Kreisel/Kreisel_Hinweise.ipynb
+%% Cell type:markdown id:e27f092f-5efa-43d3-8f79-82bc32d4b518 tags:
+
+# Hinweise zum Versuch Kreisel
+
+%% Cell type:markdown id:9a0db2fe-61f6-4435-8816-d46d649d9738 tags:
+
+## Aufgabe 1: Physik starrer Körper
+
+---
+
+Weitere Details zur Vorbereitung auf die folgenden Aufgaben finden Sie in den Dateien [Hinweise-StarrerKoerper](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-StarrerKoerper.md) und [Hinweise-Traegheitsellipsoid](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Traegheitsellisoid.md).
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:825368c8-ccea-489c-9871-8b3aac0f3f7c tags:
+
+### Aufgabe 1.1: Drehimpulserhaltung
+
+%% Cell type:markdown id:062cc8cb-1206-4df8-be3f-4132abce3eb5 tags:
+
+Es gibt mehrere Versuche, die Sie mit Hilfe des **Drehschemels und des Fahrradkreisels mit Zugband** durchführen können, um sich mit den Eigenschaften rotierender starrer Körper und der **Erhaltung des Drehimpulses** vertraut zu machen. Wir geben im folgenden einige Anregungen:
+
+* Nehmen Sie auf dem Drehschemel Platz; halten Sie die **Radachse vertikal**; werfen Sie den Fahrradkreisel von Hand an, oder lassen Sie sich dabei helfen; Drehen Sie dann den Fahrradkreisel **in die Horizontale** und halten Sie ihn schließlich an.
+* Gehen Sie wie oben vor, aber beginnen Sie mit dem Fahrradkreisel in der **Horizontalen und drehen Sie ihn dann in die Vertikale**.
+* Gehen Sie wie oben vor, aber lassen Sie den Fahrradkreisel von einer anderen Person anwerfen, und schließlich **an Sie übergeben**.
+* Gehen Sie wie oben vor, aber drehen Sie den Fahrradkreisel langsam **von der Vertikalen um $180^{\circ}$ erneut in die Vertikale**. Dabei zeigt ein Griff des Kreisels mal nach oben und mal nach unten.
+* Versetzen Sie den Drehschemel (mit oder ohne Fahrradkreisel in Drehung); **halten Sie dabei die Arme ausgestreckt**; führen Sie dann die Arme an den Körper. Der Effekt verstärkt sich, wenn Sie Gewichte in den Händen halten.
+
+Führen Sie einige dieser Versuche durch, dokumentieren Sie Ihre Erfahrungen und erklären Sie diese.
+
+%% Cell type:markdown id:2ca63eec-654b-489d-a0fe-b642cc1d4733 tags:
+
+### Aufgabe 1.2: Trägheitstensor
+
+%% Cell type:markdown id:a95ded25-a7a4-40f3-8f76-d83504fe8db9 tags:
+
+ * Die zu Ihrer Verfügung stehenden Aufbauten bieten Ihnen die Möglichkeit sich mit den **Hauptträgheitsachsen eines homogenen Quaders** vertraut zu machen.
+ * Führen Sie frei einige Versuche durch, dokumentieren Sie Ihre Beobachtungen und erklären Sie diese.
+ * Fügen Sie Ihrem Protokoll ggf. eine  oder mehrere Skizzen und Photographien zu.
+ * Führen Sie Ihre Experimente mit **moderaten Rotationsgeschwindigkeiten** durch, so dass die Ihnen zur Verfügung stehenden Materialien und Gerätschaften in gleicher Qualität noch für andere Gruppen erhalten bleiben.
+
+%% Cell type:markdown id:e5d68f41-8b6c-41eb-a570-3f01d5a76a2b tags:
+
+### Aufgabe 1.3: Kreiselkompass
+
+%% Cell type:markdown id:50ae33b0-20f9-4c1a-997e-b61e1b7a209a tags:
+
+ * Die Funktionsweise des Kreiselkompasses basiert auf dem Phänomen der **[Präzession](https://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4zession)** unter einer, durch die Revolution der Erde erzwungenen, kontinuierlichen Drehung des Kreisels.
+ * Das Phänomen der Präzession sowie die genaue Ausrichtung des Kreisels werden in der Datei [Hinweise-Praezession.md](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Praezession.md) diskutiert.
+ * Die Erde dreht sich mit einer sehr geringen Winkelgeschwindigkeit von
+
+$$
+\begin{equation*}
+|\vec{\omega}_{E}| = 7,27\times10^{-5}\,\mathrm{s^{-1}}.
+\end{equation*}
+$$
+
+ * Die mit der Handkurbel erreichbaren Drehimpulse $\vec{L}$ sind **zu gering**, um entgegen der Haftreibung der Lagerung des äußeren Kardanrahmens eine **Ausrichtung des Kreisels allein aufgrund der Erdrotation** zu erreichen.
+ * Daher steht der Kreisel auf einer drehbaren Bodenplatte, die mit Hilfe eines Elektromotors mit höheren Winkelgeschwindigkeiten gedreht werden kann.
+ * Der Kreisel lässt sich gegen die Standfläche verkippen, um **variierende Breitengrade** auf dieser "Nachbildung" der Erde zu simulieren.
+ * **Versetzen Sie die Platte in langsame Rotation, um vernünftige Experimente damit durchführen zu können!**
+ * Sie sollten sich bei der Durchfürung des Experiments über Ihre Erwartung genau im Klaren sein.
+ * Wenn Sie die Rotationsgeschwindigkeit der Platte zu hoch einstellen überschlägt sich der Kreisel aufgrund seiner eigenen, der Ausrichtung entgegenstehenden Trägheit, wobei sich die Schraubenfedern lösen können.
+ * Überprüfen Sie Ihre Erwartung an die Ausrichtung des Kreisels, für verschiedene Breitengrade.
+
+%% Cell type:markdown id:9f8c34eb-9f47-4813-a8bf-63b39d960ace tags:
+
+## Aufgabe 2: Kardanisch gelagerter Kreisel
+
+ * Diese Aufgabe hat das Ziel, die Hauptträgheitsmomente $\theta_{x}',\,\theta_{y}',\,\theta_{z}'$ zu bestimmen und aus $\theta_{z}'$ die Masse $M_{\mathrm{Rotor}}$ des Rotors abzuschätzen. Hierzu benötigen Sie alle Messungen aus den **Aufgaben 2.1 und 2.2**. Diese werden im Rahmen von **Aufgabe 2.3** ausgewertet.
+ * Es empfiehlt sich, **vor Versuchsbeginn die Hinweise zu allen Aufgaben sorgfältig durchgelesen** zu haben.
+
+---
+
+ * Weitere Details zum hier verwendeten Kreisel und den damit verbundenen Messvorgängen finden Sie in der Datei [Hinweise-Kreisel](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Kreisel.md).
+ * Wichtige Details zur Auswertung finden Sie in der Datei [Hinweise-Auswertung](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Auswertung.md).
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:529aa103-5d80-4ec8-bb4f-c07998acd74a tags:
+
+### Aufgabe 2.1: Nutation
+
+%% Cell type:markdown id:9c7a872f-92dc-4fc8-ad61-af6f550d1953 tags:
+
+Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:
+
+ * Bringen Sie den Kreisel für diese Messung mit Hilfe des Motors auf etwa $1000\,\text{Umdrehungen/min}$.
+ * Aufgrund der Konstruktion treiben Sie den Kreisel in seiner Figurenachse $\hat{z}$ (d.h. mit $\vec{L}\parallel\vec{\omega}$) an.
+ * Um eine Nutationsbewegung zu erhalten **müssen Sie $\vec{\omega}$ aus der Figurenachse auslenken**. Dies erreichen Sie durch einen **kräftigen Stoß mit dem am Versuch ausliegenden Gummihammer** auf den inneren Kardanrahmen.
+ * Bestimmen Sie die **Nutationsfrequenz $\omega_{N}$ des Kreisels als Funktion von $\omega$**.
+ * Positionieren Sie zur Bestimmung von $\omega_{N}$ eine der Schwanenhalshalterungen so, dass sie die Reflektor-beklebte Kante des inneren Kardanrahmens periodisch erfasst.
+ * Durch die Reibung in den Lagern des inneren Kardanrahmens wird die Nutationsbewegung relativ schnell gedämpft.
+ * Nehmen Sie eine **Messreihe mit mindestens 30 Messpunkten** auf.
+ * Gehen Sie dabei wie folgt vor:
+   * Schlagen Sie den inneren Kardanrahmen einige Mal an. Bestimmen Sie $\omega_{i}$ und $\omega_{N,i}$ aus dem **Mittelwerten der Stichprobe** und die Unsicherheiten $\Delta\omega_{i}$ und $\Delta\omega_{N,i}$ aus der **Stichprobenvarianz**.
+   * Beginnen Sie mit der jeweils nächsten Messung, wenn $\nu=\omega/2\pi$ um etwa $0.5\,\mathrm{Hz}$ abgenommen hat. Auf diese Weise sollten Sie bis zu 30 Messungen aufnehmen können.
+   * Nehmen Sie dann das Wertepaar $(\omega_{i}, \omega_{N,i})$ in Ihr Protokoll auf. Beachten Sie hierzu, dass Sie die Wiedergabe von $\omega_{N,i}$ und $\omega_{i}$ zum Ablesen der Werte an beiden Frequenzzählern gleichzeitig anhalten können.
+ * Führen Sie **eine Messreihe *ohne* und eine zweite Messreihe *mit* Zusatzgewichten** an den Enden des inneren Kardanrahmens durch.
+ * Schrauben Sie hierzu die zylindrischen Zusatzgewichte zusammen mit zwei $0.5\,\mathrm{mm}$ dicken Unterlegscheiben aus Teflon auf die überstehenden Gewinde der inneren Kardanachse auf.
+ * Positionieren Sie die Zylinder so, dass ihre Symmetrieachsen parallel zur Senkrechten (und damit **parallel zur Drehachse des äußeren Kardanrahmens**) stehen, um die Berechnung der durch die Gewichte zusätzlich eingebrachten Trägheitsmomente in $\theta_{x}^{(a)}$ nicht unnötig zu erschweren.
+ * Schrauben Sie die Gewichte gerade so fest, dass sie durch die Nutationsbewegung nicht aus ihrer variablen Lage gebracht werden; die Teflonscheiben sind flexibel und sollten den nötigen Spielraum hierzu bieten.
+ * Die Zusatzgewichte führen zu einem **wesentlich höherem Trägheitsmoment des äußeren Kardanrahmens** um die Senkrechte, woraus nach Gleichung **(1)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Nutation.md) eine entsprechend veränderte Abhängigkeit zwischen $\omega_{N}$ und $\omega$ resultiert.
+ * Ohne Gewichte können Sie $\omega_{N}$ bis zu Frequenzen von $\nu\approx 10\,\mathrm{Hz}$ noch einigermaßen verlässlich bestimmen; mit Gewichten bis zu Frequenzen von $\nu\approx 15\,\mathrm{Hz}$.
+ * **Protokollieren** Sie:
+   * Beschreiben Sie Ihr Vorgehen für die Messung.
+   * Die Wertepaare $(\omega_{i}, \omega_{N,i})$, mit entsprechenden Unsicherheiten $(\Delta\omega_{i}, \Delta\omega_{N,i})$ **für beide Messreihen**!
+   * **Stellen Sie die Wertepaare am besten noch während der Versuchsdurchführung geeignet dar**, so dass Sie eventuelle Fehlmessungen sofort erkennen und ggf. wiederholen können. Ein geeignetes Code-Fragment hierfür können Sie [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/tools/data_aquisition_by_hand.ipynb) finden.
+   * Passen Sie an die sich ergebenden Kurven jeweils ein Modell der Form $\omega_{N}=\mu_{j}\,\omega$, nach Gleichung (**(1)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Nutation.md)) an.
+   * Erlauben Sie zunächst noch einen zusätzlichen Parameter $m_{j}$ für den $y$-Achsenabschnitt und überprüfen Sie dessen Verträglichkeit (im Rahmen seiner Unsicherheiten aus der Anpassung) mit dem Wert 0. Nachdem Sie diese nachgewiesen haben können Sie auf den Paramerer $m_{j}$ in Ihrem Modell verzichten.
+   * Beurteilen Sie die **Gültigkeit der von Ihnen verwendeten Modelle** mit Hilfe des $\chi^{2}$-Werts der entsprechenden Anpassungen.
+   * Bestimmen Sie die Parameter $\mu_{i}\pm\Delta\mu_{i}$ aus den entsprechenden Anpassungen.
+
+---
+
+Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Nutation](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Nutation.md).
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:a765ce9a-f9b0-4bb5-8348-ccba0b79e79a tags:
+
+### Aufgabe 2.2: Präzession
+
+%% Cell type:markdown id:4fa83697-b1c0-4f71-9cd7-ed4d5e5b8cb8 tags:
+
+Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:
+
+ * Messen Sie $T_{\Omega}$ als Funktion von $\omega$.
+ * Das für die Präzession nötige Drehmoment erzeugen Sie durch ein **zusätzliches Gewicht am inneren Kardanrahmen**, das durch einen Stahlstab eingebracht wird, der auf der dem Antriebsflansch gegenüberliegenden Seite, aufgeschraubt wird.
+ * Sie messen $T_{\Omega}$ mit einer Stoppuhr. Bestimmen Sie jeden Messwert und die entsprechende Unsicherheit $\Delta T_{\Omega}$, wie für **Aufgabe 2.1** aus dem **Mittel und der Varianz einer Stichprobe von geeigneter Länge**.
+ * Achten Sie darauf vor dem Start jeder Messung **alle Nutationsbewegungen am inneren Kardanrahmen sachte abzudämpfen** und die Schwanenhalshalterungen aus dem Schwenkbereich des sich drehenden Stabs zu entfernen.
+ * Kontrollieren Sie $\omega$ sowohl vor, als auch nach der Messung von $T_{\Omega}$.
+ * Wiederholen Sie die Messreihe mit **verschiedenen Positionen eines zusätzlichen Gewichts am Stab**.
+ * Sie sollten **mindestens 30 Messpunkte** aufnehmen, die Sie auf verschiedene Messreihen mit verschiedenen Positionen des Gewichts am Stab aufteilen können. **Je mehr Messpunkte Sie aufnehmen, desto präziser wird Ihre Messung sein.**
+ * **Protokollieren** Sie:
+   * Beschreiben Sie Ihr Vorgehen für die Messung.
+   * Die Wertepaare $(\omega_{i}, T_{\Omega,i})$, mit entsprechenden Unsicherheiten $(\Delta\omega_{i}, \Delta T_{\Omega,i})$ **für alle aufgenommenen Messreihen**!
+   * **Stellen Sie die Wertepaare am besten noch während der Versuchsdurchführung geeignet dar**, so dass Sie eventuelle Fehlmessungen sofort erkennen und ggf. wiederholen können. Ein geeignetes Code-Fragment hierfür können Sie [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/tools/data_aquisition_by_hand.ipynb) finden.
+   * Passen Sie an die sich ergebenden Kurven jeweils ein Modell der Form $T_{\Omega}=\kappa_{j}\,\omega$ nach Gleichung (**(2)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Praezession.md)) an.
+   * Erlauben Sie zunächst noch einen zusätzlichen Parameter $k_{j}$ für den $y$-Achsenabschnitt und überprüfen Sie dessen Verträglichkeit (im Rahmen seiner Unsicherheiten aus der Anpassung) mit dem Wert 0. Nachdem Sie diese nachgewiesen haben können Sie auf den Paramerer $k_{j}$ in Ihrem Modell verzichten.
+   * Beurteilen Sie die **Gültigkeit der von Ihnen verwendeten Modelle** mit Hilfe des $\chi^{2}$-Werts der entsprechenden Anpassungen.
+   * Bestimmen Sie die Parameter $\kappa_{j}\pm\Delta\kappa_{j}$ aus den entsprechenden Anpassungen.
+
+---
+
+Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Praezession](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Praezession.md).
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:bc07be99-3e73-4749-adc2-c394b88e089c tags:
+
+### Aufgabe 2.3: Trägheitsmomente $\theta_{x}',\,\theta_{y}',\,\theta_{z}'$ entlang der Hauptträgheitsachsen des Kreisels
+
+%% Cell type:markdown id:c701c9c3-dd87-4696-9dcc-a35719c6f59f tags:
+
+ * Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Auswertung.md) beschrieben vor.
+ * Wählen Sie hierzu eine der vorgeschlagenen Methoden aus. **Achten Sie bei der Wahl von Methode-1 auf die Fehlerfortpflanzung aller relevanten Unsicherheiten und systematischen Unsicherheiten.**
+ * Die folgenden Größen sind das Ziel Ihrer Messung:
+   * $\theta_{x}'\pm\Delta\theta_{x}'$;
+   * $\theta_{y}'\pm\Delta\theta_{y}'$;
+   * $\theta_{z}'\pm\Delta\theta_{z}'$;
+   * $M_{\mathrm{Rotor}}\pm\Delta M_{\mathrm{Rotor}}$;
+
+---
+
+Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Auswertung](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Auswertung.md).
+
+---
+%% Cell type:markdown id:e27f092f-5efa-43d3-8f79-82bc32d4b518 tags:
+
+# Hinweise zum Versuch Kreisel
+
+%% Cell type:markdown id:9a0db2fe-61f6-4435-8816-d46d649d9738 tags:
+
+## Aufgabe 1: Physik starrer Körper
+
+---
+
+Weitere Details zur Vorbereitung auf die folgenden Aufgaben finden Sie in den Dateien [Hinweise-StarrerKoerper](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-StarrerKoerper.md) und [Hinweise-Traegheitsellipsoid](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Traegheitsellisoid.md).
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:825368c8-ccea-489c-9871-8b3aac0f3f7c tags:
+
+### Aufgabe 1.1: Drehimpulserhaltung
+
+%% Cell type:markdown id:062cc8cb-1206-4df8-be3f-4132abce3eb5 tags:
+
+Es gibt mehrere Versuche, die Sie mit Hilfe des **Drehschemels und des Fahrradkreisels mit Zugband** durchführen können, um sich mit den Eigenschaften rotierender starrer Körper und der **Erhaltung des Drehimpulses** vertraut zu machen. Wir geben im folgenden einige Anregungen:
+
+* Nehmen Sie auf dem Drehschemel Platz; halten Sie die **Radachse vertikal**; werfen Sie den Fahrradkreisel von Hand an, oder lassen Sie sich dabei helfen; Drehen Sie dann den Fahrradkreisel **in die Horizontale** und halten Sie ihn schließlich an.
+* Gehen Sie wie oben vor, aber beginnen Sie mit dem Fahrradkreisel in der **Horizontalen und drehen Sie ihn dann in die Vertikale**.
+* Gehen Sie wie oben vor, aber lassen Sie den Fahrradkreisel von einer anderen Person anwerfen, und schließlich **an Sie übergeben**.
+* Gehen Sie wie oben vor, aber drehen Sie den Fahrradkreisel langsam **von der Vertikalen um $180^{\circ}$ erneut in die Vertikale**. Dabei zeigt ein Griff des Kreisels mal nach oben und mal nach unten.
+* Versetzen Sie den Drehschemel (mit oder ohne Fahrradkreisel in Drehung); **halten Sie dabei die Arme ausgestreckt**; führen Sie dann die Arme an den Körper. Der Effekt verstärkt sich, wenn Sie Gewichte in den Händen halten.
+
+Führen Sie einige dieser Versuche durch, dokumentieren Sie Ihre Erfahrungen und erklären Sie diese.
+
+%% Cell type:markdown id:2ca63eec-654b-489d-a0fe-b642cc1d4733 tags:
+
+### Aufgabe 1.2: Trägheitstensor
+
+%% Cell type:markdown id:a95ded25-a7a4-40f3-8f76-d83504fe8db9 tags:
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+ * Die zu Ihrer Verfügung stehenden Aufbauten bieten Ihnen die Möglichkeit sich mit den **Hauptträgheitsachsen eines homogenen Quaders** vertraut zu machen.
+ * Führen Sie frei einige Versuche durch, dokumentieren Sie Ihre Beobachtungen und erklären Sie diese.
+ * Fügen Sie Ihrem Protokoll ggf. eine  oder mehrere Skizzen und Photographien zu.
+ * Führen Sie Ihre Experimente mit **moderaten Rotationsgeschwindigkeiten** durch, so dass die Ihnen zur Verfügung stehenden Materialien und Gerätschaften in gleicher Qualität noch für andere Gruppen erhalten bleiben.
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+%% Cell type:markdown id:e5d68f41-8b6c-41eb-a570-3f01d5a76a2b tags:
+
+### Aufgabe 1.3: Kreiselkompass
+
+%% Cell type:markdown id:50ae33b0-20f9-4c1a-997e-b61e1b7a209a tags:
+
+ * Die Funktionsweise des Kreiselkompasses basiert auf dem Phänomen der **[Präzession](https://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4zession)** unter einer, durch die Revolution der Erde erzwungenen, kontinuierlichen Drehung des Kreisels.
+ * Das Phänomen der Präzession sowie die genaue Ausrichtung des Kreisels werden in der Datei [Hinweise-Praezession.md](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Praezession.md) diskutiert.
+ * Die Erde dreht sich mit einer sehr geringen Winkelgeschwindigkeit von
+
+$$
+\begin{equation*}
+|\vec{\omega}_{E}| = 7,27\times10^{-5}\,\mathrm{s^{-1}}.
+\end{equation*}
+$$
+
+ * Die mit der Handkurbel erreichbaren Drehimpulse $\vec{L}$ sind **zu gering**, um entgegen der Haftreibung der Lagerung des äußeren Kardanrahmens eine **Ausrichtung des Kreisels allein aufgrund der Erdrotation** zu erreichen.
+ * Daher steht der Kreisel auf einer drehbaren Bodenplatte, die mit Hilfe eines Elektromotors mit höheren Winkelgeschwindigkeiten gedreht werden kann.
+ * Der Kreisel lässt sich gegen die Standfläche verkippen, um **variierende Breitengrade** auf dieser "Nachbildung" der Erde zu simulieren.
+ * **Versetzen Sie die Platte in langsame Rotation, um vernünftige Experimente damit durchführen zu können!**
+ * Sie sollten sich bei der Durchfürung des Experiments über Ihre Erwartung genau im Klaren sein.
+ * Wenn Sie die Rotationsgeschwindigkeit der Platte zu hoch einstellen überschlägt sich der Kreisel aufgrund seiner eigenen, der Ausrichtung entgegenstehenden Trägheit, wobei sich die Schraubenfedern lösen können.
+ * Überprüfen Sie Ihre Erwartung an die Ausrichtung des Kreisels, für verschiedene Breitengrade.
+
+%% Cell type:markdown id:9f8c34eb-9f47-4813-a8bf-63b39d960ace tags:
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+## Aufgabe 2: Kardanisch gelagerter Kreisel
+
+ * Diese Aufgabe hat das Ziel, die Hauptträgheitsmomente $\theta_{x}',\,\theta_{y}',\,\theta_{z}'$ zu bestimmen und aus $\theta_{z}'$ die Masse $M_{\mathrm{Rotor}}$ des Rotors abzuschätzen. Hierzu benötigen Sie alle Messungen aus den **Aufgaben 2.1 und 2.2**. Diese werden im Rahmen von **Aufgabe 2.3** ausgewertet.
+ * Es empfiehlt sich, **vor Versuchsbeginn die Hinweise zu allen Aufgaben sorgfältig durchgelesen** zu haben.
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+ * Weitere Details zum hier verwendeten Kreisel und den damit verbundenen Messvorgängen finden Sie in der Datei [Hinweise-Kreisel](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Kreisel.md).
+ * Wichtige Details zur Auswertung finden Sie in der Datei [Hinweise-Auswertung](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Auswertung.md).
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+%% Cell type:markdown id:529aa103-5d80-4ec8-bb4f-c07998acd74a tags:
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+### Aufgabe 2.1: Nutation
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+%% Cell type:markdown id:9c7a872f-92dc-4fc8-ad61-af6f550d1953 tags:
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+Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:
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+ * Bringen Sie den Kreisel für diese Messung mit Hilfe des Motors auf etwa $1000\,\text{Umdrehungen/min}$.
+ * Aufgrund der Konstruktion treiben Sie den Kreisel in seiner Figurenachse $\hat{z}$ (d.h. mit $\vec{L}\parallel\vec{\omega}$) an.
+ * Um eine Nutationsbewegung zu erhalten **müssen Sie $\vec{\omega}$ aus der Figurenachse auslenken**. Dies erreichen Sie durch einen **kräftigen Stoß mit dem am Versuch ausliegenden Gummihammer** auf den inneren Kardanrahmen.
+ * Bestimmen Sie die **Nutationsfrequenz $\omega_{N}$ des Kreisels als Funktion von $\omega$**.
+ * Positionieren Sie zur Bestimmung von $\omega_{N}$ eine der Schwanenhalshalterungen so, dass sie die Reflektor-beklebte Kante des inneren Kardanrahmens periodisch erfasst.
+ * Durch die Reibung in den Lagern des inneren Kardanrahmens wird die Nutationsbewegung relativ schnell gedämpft.
+ * Nehmen Sie eine **Messreihe mit mindestens 30 Messpunkten** auf.
+ * Gehen Sie dabei wie folgt vor:
+   * Schlagen Sie den inneren Kardanrahmen einige Mal an. Bestimmen Sie $\omega_{i}$ und $\omega_{N,i}$ aus dem **Mittelwerten der Stichprobe** und die Unsicherheiten $\Delta\omega_{i}$ und $\Delta\omega_{N,i}$ aus der **Stichprobenvarianz**.
+   * Beginnen Sie mit der jeweils nächsten Messung, wenn $\nu=\omega/2\pi$ um etwa $0.5\,\mathrm{Hz}$ abgenommen hat. Auf diese Weise sollten Sie bis zu 30 Messungen aufnehmen können.
+   * Nehmen Sie dann das Wertepaar $(\omega_{i}, \omega_{N,i})$ in Ihr Protokoll auf. Beachten Sie hierzu, dass Sie die Wiedergabe von $\omega_{N,i}$ und $\omega_{i}$ zum Ablesen der Werte an beiden Frequenzzählern gleichzeitig anhalten können.
+ * Führen Sie **eine Messreihe *ohne* und eine zweite Messreihe *mit* Zusatzgewichten** an den Enden des inneren Kardanrahmens durch.
+ * Schrauben Sie hierzu die zylindrischen Zusatzgewichte zusammen mit zwei $0.5\,\mathrm{mm}$ dicken Unterlegscheiben aus Teflon auf die überstehenden Gewinde der inneren Kardanachse auf.
+ * Positionieren Sie die Zylinder so, dass ihre Symmetrieachsen parallel zur Senkrechten (und damit **parallel zur Drehachse des äußeren Kardanrahmens**) stehen, um die Berechnung der durch die Gewichte zusätzlich eingebrachten Trägheitsmomente in $\theta_{x}^{(a)}$ nicht unnötig zu erschweren.
+ * Schrauben Sie die Gewichte gerade so fest, dass sie durch die Nutationsbewegung nicht aus ihrer variablen Lage gebracht werden; die Teflonscheiben sind flexibel und sollten den nötigen Spielraum hierzu bieten.
+ * Die Zusatzgewichte führen zu einem **wesentlich höherem Trägheitsmoment des äußeren Kardanrahmens** um die Senkrechte, woraus nach Gleichung **(1)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Nutation.md) eine entsprechend veränderte Abhängigkeit zwischen $\omega_{N}$ und $\omega$ resultiert.
+ * Ohne Gewichte können Sie $\omega_{N}$ bis zu Frequenzen von $\nu\approx 10\,\mathrm{Hz}$ noch einigermaßen verlässlich bestimmen; mit Gewichten bis zu Frequenzen von $\nu\approx 15\,\mathrm{Hz}$.
+ * **Protokollieren** Sie:
+   * Beschreiben Sie Ihr Vorgehen für die Messung.
+   * Die Wertepaare $(\omega_{i}, \omega_{N,i})$, mit entsprechenden Unsicherheiten $(\Delta\omega_{i}, \Delta\omega_{N,i})$ **für beide Messreihen**!
+   * **Stellen Sie die Wertepaare am besten noch während der Versuchsdurchführung geeignet dar**, so dass Sie eventuelle Fehlmessungen sofort erkennen und ggf. wiederholen können. Ein geeignetes Code-Fragment hierfür können Sie [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/tools/data_aquisition_by_hand.ipynb) finden.
+   * Passen Sie an die sich ergebenden Kurven jeweils ein Modell der Form $\omega_{N}=\mu_{j}\,\omega$, nach Gleichung (**(1)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Nutation.md)) an.
+   * Erlauben Sie zunächst noch einen zusätzlichen Parameter $m_{j}$ für den $y$-Achsenabschnitt und überprüfen Sie dessen Verträglichkeit (im Rahmen seiner Unsicherheiten aus der Anpassung) mit dem Wert 0. Nachdem Sie diese nachgewiesen haben können Sie auf den Paramerer $m_{j}$ in Ihrem Modell verzichten.
+   * Beurteilen Sie die **Gültigkeit der von Ihnen verwendeten Modelle** mit Hilfe des $\chi^{2}$-Werts der entsprechenden Anpassungen.
+   * Bestimmen Sie die Parameter $\mu_{i}\pm\Delta\mu_{i}$ aus den entsprechenden Anpassungen.
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+Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Nutation](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Nutation.md).
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+%% Cell type:markdown id:a765ce9a-f9b0-4bb5-8348-ccba0b79e79a tags:
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+### Aufgabe 2.2: Präzession
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+%% Cell type:markdown id:4fa83697-b1c0-4f71-9cd7-ed4d5e5b8cb8 tags:
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+Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:
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+ * Messen Sie $T_{\Omega}$ als Funktion von $\omega$.
+ * Das für die Präzession nötige Drehmoment erzeugen Sie durch ein **zusätzliches Gewicht am inneren Kardanrahmen**, das durch einen Stahlstab eingebracht wird, der auf der dem Antriebsflansch gegenüberliegenden Seite, aufgeschraubt wird.
+ * Sie messen $T_{\Omega}$ mit einer Stoppuhr. Bestimmen Sie jeden Messwert und die entsprechende Unsicherheit $\Delta T_{\Omega}$, wie für **Aufgabe 2.1** aus dem **Mittel und der Varianz einer Stichprobe von geeigneter Länge**.
+ * Achten Sie darauf vor dem Start jeder Messung **alle Nutationsbewegungen am inneren Kardanrahmen sachte abzudämpfen** und die Schwanenhalshalterungen aus dem Schwenkbereich des sich drehenden Stabs zu entfernen.
+ * Kontrollieren Sie $\omega$ sowohl vor, als auch nach der Messung von $T_{\Omega}$.
+ * Wiederholen Sie die Messreihe mit **verschiedenen Positionen eines zusätzlichen Gewichts am Stab**.
+ * Sie sollten **mindestens 30 Messpunkte** aufnehmen, die Sie auf verschiedene Messreihen mit verschiedenen Positionen des Gewichts am Stab aufteilen können. **Je mehr Messpunkte Sie aufnehmen, desto präziser wird Ihre Messung sein.**
+ * **Protokollieren** Sie:
+   * Beschreiben Sie Ihr Vorgehen für die Messung.
+   * Die Wertepaare $(\omega_{i}, T_{\Omega,i})$, mit entsprechenden Unsicherheiten $(\Delta\omega_{i}, \Delta T_{\Omega,i})$ **für alle aufgenommenen Messreihen**!
+   * **Stellen Sie die Wertepaare am besten noch während der Versuchsdurchführung geeignet dar**, so dass Sie eventuelle Fehlmessungen sofort erkennen und ggf. wiederholen können. Ein geeignetes Code-Fragment hierfür können Sie [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/tools/data_aquisition_by_hand.ipynb) finden.
+   * Passen Sie an die sich ergebenden Kurven jeweils ein Modell der Form $T_{\Omega}=\kappa_{j}\,\omega$ nach Gleichung (**(2)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Praezession.md)) an.
+   * Erlauben Sie zunächst noch einen zusätzlichen Parameter $k_{j}$ für den $y$-Achsenabschnitt und überprüfen Sie dessen Verträglichkeit (im Rahmen seiner Unsicherheiten aus der Anpassung) mit dem Wert 0. Nachdem Sie diese nachgewiesen haben können Sie auf den Paramerer $k_{j}$ in Ihrem Modell verzichten.
+   * Beurteilen Sie die **Gültigkeit der von Ihnen verwendeten Modelle** mit Hilfe des $\chi^{2}$-Werts der entsprechenden Anpassungen.
+   * Bestimmen Sie die Parameter $\kappa_{j}\pm\Delta\kappa_{j}$ aus den entsprechenden Anpassungen.
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+Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Praezession](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Praezession.md).
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+%% Cell type:markdown id:bc07be99-3e73-4749-adc2-c394b88e089c tags:
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+### Aufgabe 2.3: Trägheitsmomente $\theta_{x}',\,\theta_{y}',\,\theta_{z}'$ entlang der Hauptträgheitsachsen des Kreisels
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+%% Cell type:markdown id:c701c9c3-dd87-4696-9dcc-a35719c6f59f tags:
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+ * Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Auswertung.md) beschrieben vor.
+ * Wählen Sie hierzu eine der vorgeschlagenen Methoden aus. **Achten Sie bei der Wahl von Methode-1 auf die Fehlerfortpflanzung aller relevanten Unsicherheiten und systematischen Unsicherheiten.**
+ * Die folgenden Größen sind das Ziel Ihrer Messung:
+   * $\theta_{x}'\pm\Delta\theta_{x}'$;
+   * $\theta_{y}'\pm\Delta\theta_{y}'$;
+   * $\theta_{z}'\pm\Delta\theta_{z}'$;
+   * $M_{\mathrm{Rotor}}\pm\Delta M_{\mathrm{Rotor}}$;
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+Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Auswertung](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Auswertung.md).
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+++ b/Kreisel/README.md
@@ -4,9 +4,9 @@

 ## Physikalisches Praktikum P1 für Studierende der Physik

-Versuch P1-26, 27, 28 (Stand: Oktober 2023)
+Versuch P1-91, 92, 93 (Stand: **Oktober 2024**)

-[Raum F1-15](https://labs.physik.kit.edu/img/Praktikum/Lageplan_P1.png)
+[Raum F1-15](https://labs.physik.kit.edu/img/Klassische-Praktika/Lageplan_P1P2.png)



@@ -16,20 +16,20 @@ Versuch P1-26, 27, 28 (Stand: Oktober 2023)

 Die uns umgebende Natur ist i.a. weder geradlinig noch punktförmig, wie in der Schule oder den ersten Einführungsvorlesungen der Mechanik oft vorausgesetzt. Physikalische Körper bewegen sich im dreidimensionalen Raum und haben eine endliche Ausdehnung. Als erste Konsequenz erfolgt die Beschreibung der Bewegung physikalischer Körper nicht allein mit der Hilfe [skalarer](https://de.wikipedia.org/wiki/Skalar_(Mathematik)) Größen, wie der Masse $m$, sondern zusätzlich mit der Hilfe von [Vektoren](https://de.wikipedia.org/wiki/Vektor), mehr-komponentigen mathematischen Darstellungen, wie dem Ortsvektor $\vec{r}$, mit einem fest vorgegebenen Verhalten unter Transformationen im Raum. Ausgedehnte Körper, bei denen einzelne Punkte im Raum in festen Beziehungen zueinander stehen werden zudem mit Hilfe von [Tensoren](https://de.wikipedia.org/wiki/Tensor) beschrieben. Die Welt der [analytischen Geometrie](https://de.wikipedia.org/wiki/Analytische_Geometrie) wird durch komplizierte Verknüpfungen wie das [innere](https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt), [äußere](https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt) oder das [Tensorprodukt](https://de.wikipedia.org/wiki/Tensorprodukt) bestimmt. Wichtige mathematische Gebilde, wie der [Hilbertraum](https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum), sind der Natur abgeschaut. 

-Ausgedehnte Körper können manchmal nicht-intuitive, zum Teil verrückt anmutende Bewegungen ausführen, die durch die Sprache der analytischen Geometrie genau beschrieben und vorhergesagt werden können. Gerade aufgrund seiner bemerkenswerten Bewegungsformen ist der Kreisel vielen von Ihnen, als *physikalisches* Spielzeug, seit Kindesbein wohl bekannt. In der Physik ist der Kreisel ein niemals langweiliges Studienobjekt, um die manchmal nicht-intuitive Erfahrungswelt der uns umgebenden Realität mit der manchmal nicht besonders anschaulichen Welt der Mathematik in Verbindung zu bringen. Mit dem Versuch Kreisel, haben Sie Gelegenheit hierzu.   
+Ausgedehnte Körper können manchmal nicht-intuitive, zum Teil verrückt anmutende Bewegungen ausführen, die durch die Sprache der analytischen Geometrie genau beschrieben und vorhergesagt werden können. Gerade aufgrund seiner bemerkenswerten Bewegungsformen ist der Kreisel vielen von Ihnen, als *physikalisches* Spielzeug, von Kindesbein an wohl bekannt. In der Physik ist der Kreisel ein niemals langweiliges Studienobjekt, um die manchmal nicht-intuitive Erfahrungswelt der uns umgebenden Realität mit der manchmal nicht besonders anschaulichen Welt der Mathematik in Verbindung zu bringen.

 ## Lehrziele

 Wir listen im Folgenden die wichtigsten **Lehrziele** auf, die wir Ihnen mit dem Versuch **Kreisel** vermitteln möchten: 

- Sie vergegenwärtigen sich die Bedeutung von Skalaren, Vektoren und Tensoren. 
- Mit dem [Trägheitstensor](https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitstensor) $\boldsymbol{\Theta}$ beschäftigen Sie sich mit einer der experimentell zugänglichsten und noch anschaulichsten Tensorgrößen in der klassischen Physik. Dabei haben Sie die Möglichkeit mathematisch abstrakte Konzepte, wie [Eigenwert](https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwerte_und_Eigenvektoren), [Eigenvektor](https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwerte_und_Eigenvektoren) oder [Hauptachsentransformation](https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation), die Sie aus der [linearen Algebra](https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Algebra) kennen physikalisch mit Leben zu füllen. [Eigenwertprobleme](https://de.wikipedia.org/wiki/Verallgemeinertes_Eigenwertproblem) sind von entscheidender Bedeutung bei der Beschreibung stationärer Zustände in der Physik. 
- Sie untersuchen wichtige, nicht-alltägliche und zunächst nicht-intuitiv anmutende Eigenschaften des [symmetrischen Kreisels](https://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrischer_Kreisel), wie [Nutation](https://de.wikipedia.org/wiki/Nutation_(Physik)) und [Präzession](https://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4zession) und bestimmen daraus die [Trägheitsmomente](https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment) $\Theta_{i}$ entlang der [Hauptträgheitsachsen](https://de.wikipedia.org/wiki/Haupttr%C3%A4gheitsachse) eines [kardanisch gelagerten](https://de.wikipedia.org/wiki/Kardanische_Aufh%C3%A4ngung) Kreisels. 
- Als historische Anwendung diskutieren Sie die Funktionsweise des [Kreiselkompass](https://de.wikipedia.org/wiki/Kreiselkompass).  
+- Sie vergegenwärtigen sich die Bedeutung von **Skalaren, Vektoren und Tensoren**. 
+- Mit dem **[Trägheitstensor](https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitstensor) $\boldsymbol{\Theta}$** beschäftigen Sie sich mit einer der experimentell zugänglichsten und noch anschaulichsten Tensorgrößen in der klassischen Physik. Dabei haben Sie die Möglichkeit mathematisch abstrakte Konzepte, wie [Eigenwert](https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwerte_und_Eigenvektoren), [Eigenvektor](https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwerte_und_Eigenvektoren) oder [Hauptachsentransformation](https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation), die Sie aus der [linearen Algebra](https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Algebra) kennen physikalisch mit Leben zu füllen. [Eigenwertprobleme](https://de.wikipedia.org/wiki/Verallgemeinertes_Eigenwertproblem) sind von entscheidender Bedeutung bei der Beschreibung stationärer Zustände in der Physik. 
+- Sie untersuchen wichtige, nicht-alltägliche und zunächst nicht-intuitiv anmutende Eigenschaften des **[symmetrischen Kreisels](https://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrischer_Kreisel), wie [Nutation](https://de.wikipedia.org/wiki/Nutation_(Physik)) und [Präzession](https://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4zession)** und bestimmen daraus die [Trägheitsmomente](https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment) $\theta_{i}$ entlang der [Hauptträgheitsachsen](https://de.wikipedia.org/wiki/Haupttr%C3%A4gheitsachse) eines [kardanisch gelagerten](https://de.wikipedia.org/wiki/Kardanische_Aufh%C3%A4ngung) Kreisels. 
+- Als (historische) Anwendung vergegenwährtigen Sie sich die Funktionsweise des [Kreiselkompasses](https://de.wikipedia.org/wiki/Kreiselkompass).  

 ## Versuchsaufbau

-Dieser Versuch ist zweigeteilt. Im Folgenden sind die verwendeten Aufbauten kurz beschrieben. Eine Auflistung der für ihre Auswertung wichtigen Bauteile und deren Eigenschaften finden Sie in der Datei [Datenblatt.md](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel/Datenblatt.md).
+Dieser Versuch ist zweigeteilt. Im Folgenden sind die verwendeten Aufbauten kurz beschrieben. Eine Auflistung der für Ihre Auswertung wichtigsten Bauteile und deren Eigenschaften finden Sie in der Datei [Datenblatt.md](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel/Datenblatt.md).

 ### Physik starrer Körper

@@ -42,7 +42,7 @@ Im ersten Versuchsteil machen Sie ganz persönliche Erfahrungen mit der Physik s
 Hierzu stehen Ihnen die folgenden Utensilien zur Verfügung: 

 - Ein Drehschemel und ein Rad mit Zugband und Griffen (im Folgenden auch als Fahrradkreisel bezeichnet).
- Eine Sammlung von Holzquadern, die Sie in ihren Schwerpunkten zu jeder Grundfläche an einem Draht aufhängen können. Der Draht kann mit Hilfe eines externen Elektromotors in Drehung versetzt werden, so dass Sie das Verhalten der Holzquader bezüglich jeder Ihrer Hauptachsen untersuchen können. 
+- Eine Sammlung von Holzquadern, die Sie in ihren Schwerpunkten zu jeder Grundfläche an einem Draht aufhängen können. Der Draht kann mit Hilfe eines externen Elektromotors in (langsame) Drehung versetzt werden, so dass Sie das Verhalten der Holzquader bezüglich jeder Ihrer Hauptachsen untersuchen können. 
 - Ein [kardanisch gelagerter](https://de.wikipedia.org/wiki/Kardanische_Aufh%C3%A4ngung) [Kreiselkompass](https://de.wikipedia.org/wiki/Kreiselkompass) auf einer drehbahren tellerförmigen Standfläche. Die Standfläche dient als Ersatz für die rotierende Erde. Der Kreisel lässt sich gegen die Standfläche verkippen, um variierende Breitengrade nachzustellen. Der innere Kardanrahmen des Kreisels ist mit Schraubenfedern in der angenommenen Tangential- (Horizontal-)ebene des eingestellten Breitengrads fixiert. Der Rotor des Kreisels kann mit Hilfe einer aufsetzbaren Antriebskurbel in Rotation versetzt werden. Die Standfläche wiederum kann mit Hilfe eines externen Elektromotors in eine langsame gleichmäßige Rotation versetzt werden, um die Revolution der Erde zu simulieren. 

 ### Kardanisch gelagerter Kreisel
@@ -51,7 +51,7 @@ Im zweiten Versuchsteil nehmen Sie quantitative Untersuchungen an einem kardanis

 <img src="./figures/KardanischerKreisel.png" width="900" style="zoom:100%;" />

-Der Rotor des Kreisels wird durch zwei Kardanrahmen gehalten. An den äußeren Kardanrahmen lassen sich (beidseitig) zwei Zylinder oder (einseitig) ein Metallstab, als zusätzliche Gewichte anbringen. Mit Hilfe der symmetrisch zu montierenden Zylinder erhöhen Sie das Trägheitsmoment entlang einer der Hauptträgheitsachsen des Kreisels. Mithilfe des Stabs sorgen Sie dafür, dass ein resultierendes Drehmoment auf den Kreisel wirkt, der dadurch nicht mehr momentenfrei lagert und in [Präzession](https://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4zession) versetzt wird. Frequenzmessungen nehmen Sie mit Hilfe von Photosensoren mit eingebauten Lichtquellen vor, die zur flexibleren Handhabe auf [Schwanenhalshalterungen](https://de.wikipedia.org/wiki/Schwanenhals_(Halterung)) montiert sind. Aus den durchgeführten Messungen können Sie auf geschickte Weise die Trägheitsmomente entlang der Hauptträgheitsachsen des Kreisels experimentell bestimmen und die Masse des Rotors abschätzen.
+Der Rotor des Kreisels wird durch zwei Kardanrahmen gehalten. An den äußeren Kardanrahmen lassen sich (beidseitig) zwei Zylinder, als zusätzliche Gewichte anbringen. An den inneren Kardanrahmen kann (einseitig) ein Metallstab angebracht werden. Mit Hilfe der symmetrisch zu montierenden Zylinder erhöhen Sie das Trägheitsmoment entlang einer der Hauptträgheitsachsen des Kreisels. Mithilfe des Stabs sorgen Sie dafür, dass ein resultierendes Drehmoment auf den Kreisel wirkt, der dadurch nicht mehr drehmomentenfrei lagert und in [Präzession](https://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4zession) versetzt wird. Frequenzmessungen nehmen Sie mit Hilfe von Photosensoren mit eingebauten Lichtquellen vor, die zur flexibleren Handhabe auf [Schwanenhalshalterungen](https://de.wikipedia.org/wiki/Schwanenhals_(Halterung)) montiert sind. Aus den durchgeführten Messungen können Sie auf geschickte Weise die Trägheitsmomente entlang der Hauptträgheitsachsen des Kreisels experimentell bestimmen und die Masse des Rotors abschätzen.

 ## Wichtige Hinweise zum Versuch

@@ -60,7 +60,8 @@ Der Rotor des Kreisels wird durch zwei Kardanrahmen gehalten. An den äußeren K

 # Navigation

- Wichtige Hinweise zur Vorbereitung und  Durchführung von Aufgabe 1 finden Sie in der Datei [Hinweise-Aufgabe-1.md](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-1.md).
- Wichtige Hinweise zur Vorbereitung und  Durchführung von Aufgabe 2 finden Sie in der Datei [Hinweise-Aufgabe-2.md](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2.md).
- Wichtige technische Daten zum Versuch finden Sie in der Datei [Datenblatt.md](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel/Datenblatt.md). 
-
+- [Kreisel.iypnb](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/Kreisel.ipynb): Aufgabenstellung und Vorlage fürs Protokoll.
+- [Kreisel_Hinweise.ipynb](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/Kreisel_Hinweise.ipynb): Hinweise zu den Aufgaben.
+- [Datenblatt.md](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/Datenblatt.md): Technische Details zu den Versuchsaufbauten.
+- [doc](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel/doc): Dokumente zur Vorbereitung auf den Versuch.
+- [figures](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel/figures): Bilder, die für die Dokumentation des Versuchs verwendet wurden.
--- a/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-1-b.md
+++ b/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-1-b.md
-# Hinweise für den Versuch Kreisel
-
-## Aufgabe 1: Physik starrer Körper [3/3]
-
-### Hinweise zur Durchführung
-
-#### Aufgabe 1.1 Drehimpulserhaltung
-
-Es gibt mehrere Versuche, die Sie mit Hilfe des Drehschemels und des Fahrradkreisels mit Zugband durchführen können, um sich mit den Eigenschaften rotierender starrer Körper und der Erhaltung des Drehimpulses vertraut zu machen. Wir geben im folgenden einige Anregungen:
-
- Nehmen Sie auf dem Drehschemel Platz; halten Sie die Radachse vertikal; werfen Sie den Fahrradkreisel von Hand an, oder lassen Sie sich dabei helfen; Drehen Sie dann den Fahrradkreisel in die Horizontale und halten Sie ihn schließlich an. 
- Gehen Sie wie oben vor, aber beginnen Sie mit dem Fahrradkreisel in der Horizontalen und drehen Sie ihn dann in die Vertikale.
- Gehen Sie wie oben vor, aber lassen Sie den Fahrradkreisel von einer anderen Person anwerfen, die diesen dann an Sie übergibt.
- Gehen Sie wie oben vor, aber drehen Sie den Fahrradkreisel langsam von der Vertikalen um 180 Grad erneut in die Vertikale. Dabei zeigt ein Griff des Kreisels mal nach oben und mal nach unten.
- Versetzen Sie den Drehschemel (mit oder ohne Fahrradkreisel in Drehung); halten Sie dabei die Arme ausgestreckt; führen Sie dann die Arme an den Körper. Der Effekt verstärkt sich, wenn Sie Gewichte in den Händen halten. 
-
-Führen Sie einige dieser Versuche durch und dokumentieren Sie Ihre Erfahrungen. 
-
-#### Aufgabe 1.2 Trägheitstensor
-
-Die zu Ihrer Verfügung stehenden Aufbauten bieten Ihnen die Möglichkeit sich mit den Hauptträgheitsachsen eines homogenen Quaders vertraut zu machen.  Führen Sie frei einige Versuche durch und dokumentieren Sie Ihre Beobachtungen. Gerne können sie Ihre Beobachtungen durch Skizzen und Photographien unterstützen. Beginnen Sie dabei mit geringen Rotationsgeschwindigkeiten.
-
-#### Aufgabe 1.3 Kreiselkompass
-
-Die Funktionsweise des Kreiselkompasses basiert auf dem Phänomen der Präzession unter einer, durch die Revolution der Erde erzwungenen, kontinuierlichen Drehung des Kreisels. Das Phänomen der Präzession sowie die genaue Ausrichtung des Kreisels werden in der Datei [Hinweise-Aufgabe-2-a.md](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md) diskutiert. 
-
-Die Erde dreht sich mit einer sehr geringen Winkelgeschwindigkeit von 
-$$
-\begin{equation*}
-|\vec{\omega}_{E}| = 7,27\times10^{-5}\,\mathrm{s^{-1}}.
-\end{equation*}
-$$
-Die mit der Handkurbel erreichbaren Drehimpulse $\vec{L}$ sind zu gering, um eine Ausrichtung des Kreisels entgegen der Haftreibung der Lagerung des äußeren Kardanrahmens zu erreichen. Daher steht der Kreisel auf einer drehbaren Bodenplatte, die mit Hilfe eines Elektromotors mit höherer Winkelgeschwindigkeit gedreht werden kann. Der Kreisel lässt sich gegen die Standfläche verkippen, um variierende Breitengrade auf dieser "Nachbildung" der Erde zu simulieren. Versetzen Sie die Platte trotz allem in langsame Rotation. Stellen Sie diese zu hoch ein überschlägt sich der Kreisel aufgrund seiner eigenen, der Ausrichtung entgegenstehenden Trägheit, wobei sich die Schraubenfedern lösen können. 
-
-Überprüfen Sie Ihre Erwartung an die Ausrichtung des Kreisels, für verschiedene Breitengrade.
-
-# Navigation
-
-[Zurück](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-1-a.md) | [Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel)
--- a/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md
+++ b/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md
-# Hinweise für den Versuch Kreisel
-
-## Aufgabe 2: Kardanisch gelagerter Kreisel [3/4]
-
-### Hinweise zur Durchführung
-
-#### Antrieb des Kreisels
-
-Der Kreisel wird mit einem regelbaren Antriebsmotor mit biegsamer Welle in Schwung gebracht. 
-
- Stellen Sie die Drehzahlsteuerung vor jedem Kreiselanwurf auf Null zurück. 
- Der Antriebsmotor sollte immer im Rechtslauf und im Drehzahlbereich zwischen $0-3500\,\text{Umdrehungen pro min}$ betrieben werden. 
- Vergewissern Sie sich vor jedem Kreiselanwurf, dass die biegsame Welle am Motorflansch fest aufsitzt und dass sie möglichst wenig gebogen
-  ist. 
- Sorgen Sie durch geeigneten Druck für einen guten mechanischen Kontakt mit der Sägezahnkupplung.
- Es bietet sich an, dass eine Person die Welle hält, während eine andere Person die Drehzahl des Motors langsam hochregelt. 
- Wenn Sie die biegsame Welle nicht benötigen, lagern Sie diese bitte in gestreckter Haltung.
-
-#### Frequenzbestimmung am Kreisel
-
-Zur Frequenzbestimmung am Kardankreisel gibt es zwei auf Schwanenhalshalterungen montierte Bewegungssensoren. Die periodischen Bewegungen der Rotation ($\vec{\omega}$) und der Nutation ($\vec{\omega}_{N}$) werden durch Fototransistoren in elektrische Pulse umgesetzt, die über Pulszähler direkt als Frequenzen angezeigt werden. 
-
-Zur Bestimmung von $\vec{\omega}$ befindet sich ein reflektierender Streifen auf den Rotor. Biegen Sie die Schwanenhalshalterung so, dass sich das Dioden/Fototransistorelement fast senkrecht etwa $1\,\mathrm{cm}$ über der Rotationsfläche befindet. Zwei LED-Leuchten an der Schwanenhalshalterung geben Aufschluss über eine gute Positionierung:
-
- LED-1 sollte bei Betriebsbereitschaft immer an sein.
- LED-2 sollte regelmäßig mit aufgenommenen Frequenz blinken. 
-
-Wenn LED-2 dunkel bleibt, ist der Lichtreflex zu schwach; bei Dauerlicht ist er zu intensiv. Als Regelparameter verwenden Sie den Abstand und den Winkel
-des Dioden/Fototransistorelements zur Oberfläche des Rotors.
-
-Die Nickbewegung des inneren Kardanrahmens aufgrund der Nutation mit der Frequenz $\vec{\omega}_{N}$ wird mit Hilfe der zweiten Schwanenhalhalterung erfasst. Positionieren Sie hierzu das Dioden/Fototransistorelement so, dass der auf dem Rand des inneren Kardanrahmen befindliche Reflektorstreifen periodisch erfasst werden kann. 
-
-Die Frequenzzähler werden über den A-Eingang gespeist. Die Funktion „FA“ (Frequenz an A) sollte beim Einschalten der Geräte standardmäßig aktiviert sein. Mit den weiteren Einstellungen „Auto“-Triggerung und Dämpfung „1-25“ sollte ein sorgloser Messbetrieb gewährleistet sein. Die Frequenzzählung erfolgt kontinuierlich. Für die Ablesung können beide Frequenzzähler gleichzeitig mit
-einem Schalter am Kontrollkästchen angehalten werden.
-
-Die Präzessionsbewegung sollten Sie per Hand mit einer Stoppuhr aufnehmen.
-
-#### Aufgabe 2.1 Dämpfung
-
-Bringen Sie den Kreisel für diese Messung mit Hilfe des Motors auf etwa $2000\,\text{Umdrehungen pro min}$. Bis der Kreisel zum Stillstand kommt, vergehen daraufhin etwa $35\,\mathrm{min}$. Sie können die Dämpfungskurve auf zweierlei Wese aufnehmen: 
-
- Sie protokollieren $\omega(t)$ alle $30\,\mathrm{s}$. Auf diese Weise erhalten Sie etwa 60 Messwerte;
- Sie verwenden eine Messbox, die die Messwerte automatisch aufnimmt. Hierzu benötigen Sie einen Laptop mit Windows Betriebssystem zur Auslese via USB-Verbindung und die Möglichkeit `python` aus einem Terminal auszuführen. Die Software zur Auslese der  Messbox finden Sie unter [diesem Link](https://github.com/Xraydylan/MessBox). Wenn Sie die Messbox für die Auslese der Daten verwenden möchten sollte diese Software lokal auf dem entsprechenden Laptop installiert sein.
-
-Tragen Sie die Messwerte als Funktion von $t$ auf. Es empfiehlt sich ein phänomenologisches Modell der Art
-$$
-\begin{equation*}
-\omega(t, \omega_{0}, \alpha, \beta, \gamma) = \omega_{0}\,e^{-\alpha\,t} + \beta\,t^{\gamma}
-\end{equation*}
-$$
-mit den freien Parametern $\omega_{0}$, $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ an die Daten anzupassen. Der Term $t^{\gamma}$ des Modells beinhaltet Reibungseffekte in der Lagerung des Rotors. 
-
-#### Aufgabe 2.2 Nutation
-
-Bringen Sie den Kreisel für diese Messung mit Hilfe des Motors auf etwa $1000\,\text{Umdrehungen pro min}$. Aufgrund der Konstruktion treiben Sie den Kreisel in seiner Figurenachse (d.h. mit $\vec{L}\parallel\vec{\omega}$) an.  Um eine Nutationsbewegung zu erhalten müssen Sie $\vec{\omega}$ aus der Figurenachse auslenken. Dies erreichen Sie durch einen kräftigen Stoß mit der Faust auf den inneren Kardanrahmen. 
-
-Positionieren Sie zur Bestimmung von $\omega_{N}$ eine der Schwanenhalshalterungen so, dass sie die Reflektor-beklebte Kante des inneren Kardanrahmens periodisch erfasst. Durch die Reibung in den Lagern des inneren Kardanrahmens wird die Nutationsbewegung relativ schnell gedämpft. 
-
-Gehen Sie dann wie folgt vor:
-
- Schlagen Sie den inneren Kardanrahmen zur Bestimmung eines Stichprobenmittels (und entsprechender Unsicherheiten) einige Male an. 
- Beginnen Sie mit der jeweils nächsten Messung, wenn $|\vec{\omega}/2\pi|$ um etwa $0,5\,\mathrm{Hz}$ gesunken ist. Auf diese Weise können Sie bis zu 30 Messungen aufnehmen. 
- Tragen Sie dann $\omega_{N}$ als Funktion von $\omega$ auf. Beachten Sie hierzu, dass Sie die Wiedergabe von $\omega_{N}$ und $\omega$ zum Ablesen der Werte an beiden Frequenzzählern gleichzeitig anhalten können (siehe oben).
- Führen Sie eine Messreihe ohne und eine zweite Messreihe mit Zusatzgewichten an den Enden des inneren Kardanrahmens durch. 
- Schrauben Sie hierzu die Zusatzgewichte zusammen mit zwei $0,5\,\mathrm{mm}$ dicken Unterlegscheiben aus Teflon auf die überstehenden Gewinde der inneren Kardanachse auf. Positionieren Sie die Zylinder so, dass deren Symmetrieachsen parallel zur Senkrechten (und damit parallel zur Drehachse des äußeren Kardanrahmens) stehen, um die Berechnung der durch die Gewichte zusätzlich eingebrachten Trägheitsmomente in $\theta_{x}^{(a)}$ nicht unnötig zu erschweren. Schrauben Sie die Gewichte gerade so fest, dass sie durch die Nutationsbewegung nicht aus ihrer variablen Lage gebracht werden; die Teflonscheiben sind flexibel und sollten den nötigen Spielraum hierzu bieten.
- Die zylindrischen Zusatzgewichte führen zu einem wesentlich höherem Trägheitsmoment des äußeren Kardanrahmens um die Senkrechte, woraus eine entsprechend veränderte Abhängigkeit zwischen $\omega_{N}$ und $\omega$ resultiert. 
- Ohne Gewichte können Sie $\omega_{N}$ bis zu Frequenzen von $\omega/2\pi\approx 10\,\mathrm{Hz}$ noch einigermaßen verlässlich bestimmen; mit Gewichten bis zu Frequenzen von $\omega/2\pi\approx 15\,\mathrm{Hz}$.
-
-Passen die an sich ergebenden Kurven jeweils ein Modell nach Gleichung (**(1)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)) an. 
-
-#### Aufgabe 2.3 Präzession
-
-Die Messung von $\Omega$ gleicht im Prinzip der Messung von $\omega_{N}$. Das für die Präzession nötige Drehmoment wird durch ein zusätzliches Gewicht am inneren Kardanrahmen verursacht, das durch einen Stahlstab eingebracht wird, der auf der dem Antriebsflansch gegenüberliegenden Seite, aufgeschraubt wird. 
-
-Messen Sie dann $T=2\pi/\Omega$ mit einer Stoppuhr. Achten Sie darauf vor dem Start jeder Messung alle Nutationsbewegungen am inneren Kardanrahmen sachte abzudämpfen und die Schwanenhalshalterungen aus dem Schwenkbereich des sich drehenden Stabs zu räumen. Kontrollieren $\omega$ sowohl vor, als auch nach der Messung von $T$.
-
-Wiederholen Sie die Messreihe mit verschiedenen Positionen des zusätzlichen Gewichts am Stab und tragen Sie $T(\omega)$ jeweils als Funktion von $\omega$ auf. Sie sollten mindestens 30 Messpunkte aufnehmen, die Sie auf verschiedene Messreihen mit verschiedenen Positionen des Gewichts am Stab aufteilen können. 
-
-Passen Sie an die sich ergebenden Kurven jeweils ein Modell nach Gleichung (**(3)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)) an. 
-
-# Navigation
-
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 # Hinweise für den Versuch Kreisel

-## Aufgabe 2: Kardanisch gelagerter Kreisel [4/4]
+## Bestimmung der Trägheitsmomente $\theta_{x}^{\prime},\,\theta_{y}^{\prime},\,\theta_{z}^{\prime}$ des kardanisch gelagerten Kreisels

-### Hinweise zur Durchführung
+Die Trägheitsmomente $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ des kardanisch gelagerten Kreisels lassen sich aus den Messungen der **Aufgaben 2.1 und 2.2** auf zwei Methoden bestimmen: 

-#### Aufgabe 2.4
+- **Methode-1:** Sie betrachten alle Messungen als unabhängig und extrahieren die gesuchten Größen daraus Schritt für Schritt. 
+- **Methode-2:** Sie passen mit Hilfe der `Multifit`-Funktion aus *kafe2*, ein **gemeinsames zugrundeliegendes Modell** gleichzeitig an alle Messungen an. 

-Die Trägheitsmomente $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ lassen sich aus den Messungen der **Aufgaben 2.2** und **2.3** auf zweierlei Art und Weise bestimmen: 
+**Methode-2** ist zwar technisch anspruchsvoller, es ist jedoch die bessere Methode, weil sie es erlaubt, alle Messpunkte gleichzeitig für die Bestimmung der gesuchten Parameter zu nutzen. 

- Zum einen, indem an alle Messungen als unabhängig betrachtet und die gesuchten Größen daraus Schritt für Schritt extrahiert (**Methode-1**). 
- Zum anderen, indem man, mit Hilfe der *Multifit* Methode aus *kafe2*, ein gemeinsames zugrundeliegendes Modell gleichzeitig an alle Messungen anpasst (**Methode-2**). 
+Nach **Methode-1** kann man immer nur einen Bruchteil der aufgezeichneten Messpunkte zur Bestimmung einzelner Parameter nutzen, deren individuelle statistische Unsicherheiten dadurch größer sind. 

-Methode-2 ist zwar technisch anspruchsvoller, es ist jedoch die bessere Methode, weil sie es erlaubt, alle Messpunkte gleichzeitig für die Bestimmung von drei gesuchten Parametern zu nutzen. Nach Methode-1 kann man immer nur einen Bruchteil der aufgezeichneten Messpunkte zur Bestimmung einzelner Parameter nutzen, deren individuelle statistische Unsicherheiten dadurch größer sind. 
+### Methode-1

-##### Methode-1
+#### Schritt-1:

-###### Schritt-1:
-
-Hierbei nutzen Sie zunächst die Messung von $\omega_{N}$ als Funktion von $\omega$ zur Berechnung von $\theta_{x}'$ nach Gleichung (**(1)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md))
+Hierbei nutzen Sie zunächst die Messung von $\omega_{N}$ als Funktion von $\omega$ zur Berechnung von $\theta_{x}'$ nach Gleichung **(2)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Nutation.md)
 $$
 \begin{equation}
 \omega_{N} = \omega\,\frac{\theta_{z}^{\prime}}{\sqrt{\theta_{x}^{\prime}\,\theta_{y}^{\prime}}}.
 \end{equation}
 $$
-Dabei nutzen Sie die Messung **einmal mit** und **einmal ohne Zusatzgewichte**, um die Ambiguität zwischen $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ in der Steigung der jeweiligen Ursprungsgeraden aufzuheben. 
+Dabei nutzen Sie die **Messung einmal mit und einmal ohne Zusatzgewichte**, um die Ambiguität zwischen $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ in der Steigung der jeweiligen Ursprungsgeraden aufzuheben. 

-Zunächst bestimmen Sie die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ mit und ohne Zusatzgewichte: 
+Zunächst bestimmen Sie die Steigungen $\mu_{1}$ und $\mu_{2}$ mit und ohne Zusatzgewichte: 
 $$
 \begin{equation*}
 \begin{split}
-&\omega_{N} = \mu_{i}\,\omega; \\
+&\omega_{N} = \mu_{j}\,\omega; \\
 &\\
 &\mu_{1} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{\theta_{x}'\,\theta_{y}'}}; \qquad 
-\mu_{2} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{(\theta_{x}'+\theta_{\mathrm{Z}})\,\theta_{y}'}}; \\
+\mu_{2} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{(\theta_{x}'+\theta_{\mathcal{Z}})\,\theta_{y}'}}; \\
 &\\
 &\text{mit dem bekannten Tr\"agheitsmoment:} \\
 &\\
-&\theta_{\mathrm{Z}} = 2\,\left(\frac{1}{2}m_{\mathrm{Z}}\,r_{\mathrm{Z}}^{2}+m\,\ell^{2}\right),
+&\theta_{\mathcal{Z}} = 2\,\left(\frac{1}{2}m_{\mathcal{Z}}\,r_{\mathcal{Z}}^{2}+m\,\ell^{2}\right),
 \end{split}
 \end{equation*}
 $$
-wobei $m_{\mathrm{Z}}$ der Masse und und $r_{\mathrm{Z}}$ dem Radius der jeweils baugleichen Zusatzgewichte und $\ell$ dem Abstand der Schwerpunkte der Zusatzgewichte von der Symmetrieachse des Kreisels entsprechen. 
+wobei $m_{\mathcal{Z}}$ der Masse und und $r_{\mathcal{Z}}$ dem Radius der jeweils baugleichen Zusatzgewichte und $\ell$ dem Abstand der Schwerpunkte der Zusatzgewichte von der Symmetrieachse des Kreisels entsprechen. 

 Aus dem Quotienten 
 $$
 \begin{equation*}
 \begin{split}
-&\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}=\sqrt{\frac{\theta_{x}'}{\theta_{x}'+\theta_{\mathrm{Z}}}}; \\
+&\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}=\sqrt{\frac{\theta_{x}'}{\theta_{x}'+\theta_{\mathcal{Z}}}}; \\
 &\\
-&\theta_{x}' = \frac{\theta_{\mathrm{Z}}}{\frac{\mu_{2}^{2}}{\mu_{1}^{2}}-1} \\
+&\theta_{x}' = \frac{\theta_{\mathcal{Z}}}{\frac{\mu_{2}^{2}}{\mu_{1}^{2}}-1} \\
 \end{split}
 \end{equation*}
 $$
- lässt sich $\theta_{x}'$ bestimmen.
+lässt sich $\theta_{x}'$ bestimmen.

-###### Schritt-2:
+#### Schritt-2:

-Das Trägheitsmoment $\theta_{z}'$ lässt sich aus der Messung aus **Aufgabe 2.3** nach Gleichung (**(3)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)) bestimmen:
+Das Trägheitsmoment $\theta_{z}'$ lässt sich aus der Messung aus **Aufgabe 2.2** nach Gleichung **(2)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Praezession.md) bestimmen:
 $$
 \begin{equation}
-T(\omega) = \frac{2\pi\,\theta_{z}'}{m_{\mathrm{Stab}}\,g\,s}\,\omega = \kappa \,\omega,
+\begin{split}
+T(\omega) = &\underbrace{\frac{2\pi\,\theta_{z}'}{m_{\mathrm{Stab}}\,g\,s}}\,\omega = \kappa \,\omega,\\
+&\hphantom{cc}\equiv\kappa\\
+\end{split}
 \end{equation}
 $$
 wobei $m_{\mathrm{Stab}}$ der Masse und und $s$ dem Abstand des Schwerpunkts des Stabs vom Schwerpunkt des Kreisels und $g$ der Erdbeschleunigung entsprechen. Aus $\kappa$ erhalten Sie $\theta_{z}'$ aus der Gleichung: 
@@ -70,7 +71,7 @@ $$
 \end{equation*}
 $$

-###### Schritt-3: 
+#### Schritt-3: 

 Mit dem Wissen um $\theta_{x}'$ und $\theta_{z}'$ können Sie nun $\theta_{y}'$ am einfachsten aus der zuvor bestimmten Steigung $\mu_{1}$ bestimmen: 
 $$
@@ -81,17 +82,19 @@ $$
 \end{split}
 \end{equation*}
 $$
-**Beachten Sie, bei einer Berechnung der Trägheitsmomente auf diese Weise die Fortpflanzung der Unsicherheiten einschließlich der Bestimmung systematischer Unsicherheiten!**
+**Achten Sie bei einer Berechnung der Trägheitsmomente nach dieser Methode auf die korrekte Fortpflanzung aller Unsicherheiten einschließlich der Bestimmung systematischer Unsicherheiten!**
+
+### Methode-2:

-##### Methode-2:
+Für die Bestimmung von $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ nach Methode-2 übergeben Sie die Datenpunkte aus den **Aufgaben 2.1 und 2.2** an die `MultiFit`-Funktion aus dem Programm-Paket *kafe2* und definieren die Modelle direkt nach Gleichung **(2)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Nutation.md) und Gleichung **(2)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Praezession.md). 

-Für die Bestimmung von $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ nach Methode-2 übergeben Sie die Datenpunkte aus den **Aufgaben 2.2** und **2.3** an die `MultiFit`-Funktion aus dem Programm-Paket *kafe2* und definieren die Modelle direkt nach Gleichung (**(1)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)) und Gleichung (**(3)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)). Ein Beispiel für die Nutzung finden Sie in der offiziellen Dokumentation des Programmpakets [hier](https://kafe2.readthedocs.io/en/latest/parts/beginners_guide.html#multifit). Eine lauffähige Adaption mit weiteren Erklärungen finden im `tools`-Verzeichnis dieses Repositories [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/tools/kafe2_example_MultiFit.ipynb).
+Ein Beispiel für die Nutzung der `Multifit`-Funktion finden Sie in der offiziellen Dokumentation des *kafe2*-Programmpakets [hier](https://kafe2.readthedocs.io/en/latest/parts/beginners_guide.html#multifit). Eine lauffähige Adaption mit weiteren Erklärungen finden Sie [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/tools/kafe2_example_MultiFit.ipynb).

-Zur Implementierung eines geeigneten Objekts der `MultiFit`-Klasse sollten Sie zwei `XYFit`-Objekte zu den Modellen $\omega_{N}^{(1)}(\omega, \theta_{z}', \theta_{y}', \theta_{z}')$ und $\omega_N^{(2)}(\omega, \theta_{z}', \theta_{y}', \theta_{z}', \theta_{\mathrm{Z}})$ für die Messungen der Nutation und $i$ `XYFit`-Objekte zu den Modellen $T^{(i)}(\omega, \theta_{z}', m_{\mathrm{Stab}}^{(i)}, s^{(i)}, g)$ für die Messung(en) der Präzession definieren, wobei $i$ den verwendeten Konfigurationen mit zusätzlichem Gewicht am Stahlstab entsprechen. Geben Sie für jedes `XYFit`-Objekt auch die Unsicherheiten auf $\omega$ individuell an. Da es sich für jede Messung um neu aufgenommene Messpunkte handelt sind die Unsicherheiten zu verschiedenen `XYFit`-Objekten (im Gegensatz zum oben verlinkten Beispiel einer Strom-Spannungs Kennlinie) **nicht korreliert**. 
+Zur Implementierung eines geeigneten Objekts der `MultiFit`-Klasse sollten Sie zwei `XYFit`-Objekte zu den Modellen $\omega_{N}^{(1)}(\omega, \theta_{z}', \theta_{y}', \theta_{z}')$ und $\omega_N^{(2)}(\omega, \theta_{z}', \theta_{y}', \theta_{z}', \theta_{\mathcal{Z}})$ für die Messungen der Nutation und $j$ `XYFit`-Objekte zu den Modellen $T^{(j)}(\omega, \theta_{z}', m_{\mathrm{Stab}}^{(j)}, s^{(j)}, g)$ für die Messung(en) der Präzession definieren, wobei $j$ den verwendeten Konfigurationen mit zusätzlichem Gewicht am Stahlstab entsprechen. Geben Sie für jedes `XYFit`-Objekt auch die Unsicherheiten auf $\omega$ individuell an. Da es sich bei jeder Messung um neu aufgenommene Messpunkte handelt sind die Unsicherheiten zu verschiedenen `XYFit`-Objekten (im Gegensatz zum oben verlinkten Beispiel einer Strom-Spannungs Kennlinie) **nicht korreliert**. 

-Nach erfolgreicher Implementierung erhalten Sie die Zentralwerte und Unsicherheiten auf $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ aus der Anpassung. 
+Nach erfolgreicher Implementierung erhalten Sie die Zentralwerte $\theta_{x}',\ \theta_{y}',\ \theta_{z}'$ und Unsicherheiten auf $\Delta\theta_{x}',\ \Delta\theta_{y}',\ \Delta\theta_{z}'$ aus der Anpassung. 

-##### Bestimmung der Masse des Rotors
+## Bestimmung der Masse des Rotors

 Die Masse des Rotors können Sie aus der Annahme abschätzen, dass dieser in erster Näherung einem flachen Zylinder entspricht. Daraus besteht der folgende Zusammenhang
 $$
@@ -99,8 +102,8 @@ $$
 \theta_{z}' = \frac{1}{2}M_{\mathrm{Rotor}}\left(\frac{d_{\mathrm{Rotor}}}{2}\right)^{2},
 \end{equation*}
 $$
- wobei $M_{\mathrm{Rotor}}$ der Masse und $d_{\mathrm{Rotor}}$ dem Durchmesser des Rotors entsprechen. aus der Kenntnis von $\theta_{z}'$ und $d_{\mathrm{Rotor}}$ lässt sich so $M_{\mathrm{Rotor}}$ abschätzen.
+wobei $M_{\mathrm{Rotor}}$ der Masse und $d_{\mathrm{Rotor}}$ dem Durchmesser des Rotors entsprechen. Aus der Kenntnis von $\theta_{z}'$ und $d_{\mathrm{Rotor}}$ lässt sich auf diese Weise $M_{\mathrm{Rotor}}\pm\Delta M_{\mathrm{Rotor}}$ abschätzen.

 # Navigation

-[Zurück](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md) | [Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel)
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+++ b/Kreisel/doc/Hinweise-Kreisel.md
+# Hinweise für den Versuch Kreisel
+
+## Kardanisch gelagerter Kreisel
+
+Ein kardanisch gelagerter Kreisel, wie Sie ihn in diesem Versuch verwenden, ist in **Abbildung 1** gezeigt:
+
+---
+
+<img src="../figures/KardanischerKreiselSkizze.png" width="900" style="zoom:100%;" />
+
+**Abbildung 1** (Kardanisch gelagerter Kreisel , wie Sie ihn in diesem Versuch verwenden)
+
+---
+
+Er besteht aus einem massiven **Rotor**, der in seiner Figurenachse drehbar an einem **inneren Kardanrahmen** befestigt ist. Senkrecht zur Figurenachse des Rotors ist der innere Kardanrahmen drehbar an einem **äußeren Kardanrahmen** befestigt. Der äußere Kardanrahmen ist drehbar mit einer **Bodenplatte** verbunden. Im Bild sind der Rotor schwarz, die Kardanrahmen gelb und die Bodenplatte grau zu sehen. Auf diese Weise kann sich der Rotor grundsätzlich frei im Raum drehen. 
+
+- Am inneren Kardanrahmen lässt sich an einer Seite eine Antriebswelle zum **Anwerfen des Kreisels mit Hilfe eines Zahngetriebes** ansetzen. 
+- An der anderen Seite lässt sich ein **Metallstab zur Erzeugung eines resultierenden Drehmoments** anschrauben, was zum Phänomen der Präzession des Kreisels führt. 
+- Am äußeren Kardanrahmen lassen sich **zylinderförmige Zusatzgewichte** zur Erhöhung des mit dem äußeren Kardanrahmen verbundenen Drehmoments anbringen. 
+
+#### Antrieb des Kreisels
+
+Der Kreisel wird mit einem regelbaren **Antriebsmotor mit biegsamer Welle** in Schwung gebracht. 
+
+- Stellen Sie die Drehzahlsteuerung vor jedem Kreiselanwurf auf Null zurück. 
+- Der Antriebsmotor sollte immer im Rechtslauf und im Drehzahlbereich zwischen $0-3500\,\text{Umdrehungen/min}$ betrieben werden. 
+- Vergewissern Sie sich vor jedem Kreiselanwurf, dass die biegsame Welle am Motorflansch fest aufsitzt, und dass sie möglichst wenig gebogen
+  ist. 
+- Sorgen Sie durch geeigneten Druck für einen guten mechanischen Kontakt mit der Sägezahnkupplung.
+- Es bietet sich an, dass eine Person die Welle hält, während eine andere Person die Drehzahl des Motors langsam erhöht. 
+- Wenn Sie die biegsame Welle nicht benötigen, lagern Sie diese in gestreckter Stellung.
+
+#### Frequenzbestimmung am Kreisel
+
+Zur **Frequenzbestimmung am Kardankreisel** gibt es zwei auf Schwanenhalshalterungen montierte Bewegungssensoren. Die periodischen Bewegungen der Rotation ($\vec{\omega}$) und der Nutation ($\vec{\omega}_{N}$) werden durch Fototransistoren in elektrische Pulse umgesetzt, die über Pulszähler direkt als Frequenzen angezeigt werden. 
+
+Zur Bestimmung von $\vec{\omega}$ befindet sich ein **reflektierender Streifen** auf den Rotor. Biegen Sie die Schwanenhalshalterung so, dass sich das Dioden/Fototransistorelement **fast senkrecht etwa $1\,\mathrm{cm}$ über der Rotationsfläche** befindet. Zwei LED-Leuchten an der Schwanenhalshalterung geben Aufschluss über eine gute Positionierung:
+
+- LED-1 sollte bei Betriebsbereitschaft immer an sein.
+- LED-2 sollte regelmäßig mit aufgenommenen Frequenz blinken. 
+
+Wenn LED-2 dunkel bleibt, ist der Lichtreflex zu schwach; bei Dauerlicht ist er zu intensiv. Als Regelparameter verwenden Sie den Abstand und den Winkel
+des Dioden/Fototransistorelements zur Oberfläche des Rotors.
+
+**Die Nickbewegung des inneren Kardanrahmens** aufgrund der Nutation mit der Frequenz $\vec{\omega}_{N}$ wird mit Hilfe der zweiten Schwanenhalshalterung erfasst. Positionieren Sie hierzu das Dioden/Fototransistorelement so, dass der auf dem Rand des inneren Kardanrahmens befindliche Reflektorstreifen periodisch erfasst werden kann. 
+
+- Die Frequenzzähler werden über den A-Eingang gespeist. 
+- Die Funktion „FA“ (Frequenz an A) sollte beim Einschalten der Geräte standardmäßig aktiviert sein. 
+- Mit den weiteren Einstellungen „Auto“-Triggerung und Dämpfung „1-25“ sollte ein sorgloser Messbetrieb gewährleistet sein. 
+- Die Frequenzzählung erfolgt kontinuierlich. 
+- Zum Ablesen können beide Frequenzzähler gleichzeitig mit
+  einem Schalter am Kontrollkästchen angehalten werden.
+
+**Die Präzessionsbewegung** sollten Sie per Hand mit einer Stoppuhr aufnehmen.
+
+# Navigation
+
+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel)
--- a/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2.md
+++ b/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2.md
 # Hinweise für den Versuch Kreisel

-## Aufgabe 2: Kardanisch gelagerter Kreisel [1/4]

-Im Rahmen dieser Aufgabe führen Sie quantitative Untersuchungen an einem kardanisch gelagerten Kreisel durch. Ein Beispiel für einen solchen Kreisel ist in **Abbildung 1** gezeigt:   
+## Nutation

-<img src="../figures/KardanischerKreiselSkizze.png" width="900" style="zoom:100%;" />
-
-**Abbildung 1** (Kardanisch gelagerter Kreisel im P1)
+Wir diskutieren das Phänomen der **[Nutation](https://de.wikipedia.org/wiki/Nutation_(Physik))** ohne Einschränkung der Allgemeinheit am Beispiel eines kräftefrei gelagerten Kreisels, für den die Richtung und der Betrag von $\vec{L}$ zeitlich konstant sind. Verläuft $\vec{L}$ entlang einer der Hauptträgheitsachsen sind auch die Richtung und der Betrag von $\vec{\omega}$ zeitlich konstant und nach Gleichung **(5)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel/doc/Hinweise-StarrerKoerper.md) gilt $\vec{\omega}\parallel\vec{L}$, wie in **Abbildung 1a** gezeigt:

 ---

-Er besteht aus einem **Rotor**, der in seiner Figurenachse drehbar an einem **inneren Kardanrahmen** befestigt ist. Senkrecht zur Figurenachse des Rotors ist der innere Kardanrahmen wiederum drehbar an einem **äußeren Kardanrahmen** befestigt. Der äußere Kardanrahmen ist drehbar mit einer **Bodenplatte** verbunden. Im Bild sind der Rotor schwarz, die Kardanrahmen gelb und die Bodenplatte grau zu sehen. Auf diese Weise kann sich der Rotor grundsätzlich frei im Raum drehen. 
-
-Am inneren Kardanrahmen lässt sich an einer Seite eine Antriebswelle zum Anwerfen des Kreisels mit Hilfe eines Zahngetriebes ansetzen. An der anderen Seite lässt sich ein Metallstab zur Erzeugung eines resultierenden Drehmoments zur Anregung der Präzssion anschrauben. 
+<img src="../figures/FreieAchsen.png" width="1000" style="zoom:100%;" />

-Am äußeren Kardanrahmen lassen sich zylinderförmige Zusatzgewichte zur Erhöhung des mit dem äußeren Kardanrahmen verbundenen Drehmoments anbringen. 
+**Abbildung 1** (Lage von $\vec{L}$ und $\vec{\omega}$ für einen symmetrischen Kreisel, (a) für den Fall, dass $\vec{L}$ entlang der Figurenachse $\hat{z}$ verläuft, und (b und c) für den Fall, dass dies nicht zutrifft)

-### Nutation
-
-Wir diskutieren das Phänomen der [Nutation](https://de.wikipedia.org/wiki/Nutation_(Physik)) ohne Einschränkung der Allgemeinheit am Beispiel eines kräftefrei gelagerten Kreisels, für den Richtung und Betrag von $\vec{L}$ zeitlich konstant sind. Verläuft $\vec{L}$ entlang einer der Hauptträgheitsachsen sind auch die Richtung und der Betrag von $\vec{\omega}$ zeitlich konstant und nach Gleichung (**(5)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-1.md)) gilt $\vec{\omega}\parallel\vec{L}$, wie in **Skizze 3** (links) gezeigt. Zur weiteren Vereinfachung der Diskussion legen wir unseren Betrachtungen weiterhin das Modell eines symmetrischen Kreisels, mit der Figurenachse $\hat{z}$ zugrunde.
+---

-<img src="../figures/FreieAchsen.png" width="900" style="zoom:100%;" />
+Zur weiteren Vereinfachung der Diskussion legen wir unseren Betrachtungen weiterhin das Modell eines symmetrischen Kreisels, mit der Figurenachse $\hat{z}$ zugrunde.

-**Skizze 3** (Lage von $\vec{L}$ und $\vec{\omega}$ für einen symmetrischen Kreisel, (links) für den Fall, dass $\vec{L}$ entlang der Figurenachse $\hat{z}$ verläuft, und (mittig und rechts) für den Fall, dass dies nicht zutrifft)
+Verläuft $\vec{L}$ nicht entlang einer der Hauptträgheitsachsen, ändert $\vec{\omega}(t)$ als Funktion der Zeit die Richtung und der Kreisel vollzieht eine **Nick- oder Nutationsbewegung, wie in Abbildung 2** gezeigt:

 ---

-Verläuft $\vec{L}$ nicht entlang einer der Hauptträgheitsachsen, ändert $\vec{\omega}(t)$ die Richtung und der Kreisel vollzieht eine Nick- oder Nutationsbewegung, wie in **Skizze 4** gezeigt:
+<img src="../figures/Polkegel.png" width="900" style="zoom:100%;" />

-Im raumfesten Bezugssystem $K$ umläuft die momentane Drehachse $\vec{\omega}(t)$ den (in $K$ ruhenden) Drehimpulsvektor $\vec{L}$ auf dem **Rastpolkegel** (rot). Im körperfesten Bezugssystem $\widetilde{K}$ umläuft $\vec{\omega}$ zur gleichen Zeit (die in $\widetilde{K}$ ruhende Figurenachse) $\hat{z}$ auf dem den **Gangpolkegel** (blau). Die resultierende Bewegung lässt sich durch ein schlupffreies Abrollen des Gangpolkegels auf dem Rastpolkegel in $K$ beschreiben. Auf der Berührlinie der beiden Kegel liegt $\vec{\omega}(t)$. Die Figurenachse $\hat{z}$ des Kreisels beschreibt dabei den **Nutationskegel** (schwarz) in $K$, dessen Kegelachse mit $\vec{L}$ zusammenfällt.  
+**Abbildung 2** (Bewegungsablauf des Kreisels für den (a) *prolaten* und (b) *oblaten* symmetrischen Kreisel)

-Der genaue Ablauf dieser Bewegung hängt von der Beschaffenheit des Kreisels ab: 
+---

- Für den *prolaten* Kreisel ($\theta_{z}\lt\theta_{\perp}$, **Skizze 3** mittig, **Skizze 4** links) liegt $\vec{\omega}$ zwischen $\hat{z}$ und $\vec{L}$; der *äußere* Mantel des Gangpolkegels rollt auf dem äußeren Mantel des Rastpolkegels ab; in $K$ kreisen $\vec{\omega}$ und $\hat{z}$ in Phase um $\vec{L}$.  
- Für den *oblaten* Kreisel ($\theta_{z}\gt\theta_{\perp}$, **Skizze 3** rechts, **Skizze 4** rechts) liegt $\vec{L}$ zwischen $\hat{z}$ und $\vec{\omega}$; der *innere* Mantel des Gangpolkegels rollt auf dem äußeren Mantel des Rastpolkegels ab; in $K$ kreisen $\vec{\omega}$ und $\hat{z}$ gegenphasig um $\vec{L}$. 
+Im raumfesten Bezugssystem K umläuft die momentane Drehachse $\vec{\omega}(t)$ den (in K ruhenden) Drehimpulsvektor $\vec{L}$ auf dem **Rastpolkegel** (rot). Im körperfesten Bezugssystem $\mathrm{\widetilde{K}}$ umläuft $\vec{\omega}$ zur gleichen Zeit (die in $\mathrm{\widetilde{K}}$ ruhende Figurenachse) $\hat{z}$ auf dem **Gangpolkegel** (blau). Die resultierende Bewegung lässt sich durch ein schlupffreies Abrollen des Gangpolkegels auf dem Rastpolkegel in K beschreiben. Auf der Berührlinie der beiden Kegel liegt $\vec{\omega}(t)$. Die Figurenachse $\hat{z}$ des Kreisels beschreibt dabei den **Nutationskegel** (schwarz) in K, dessen Kegelachse mit $\vec{L}$ zusammenfällt.  

-<img src="../figures/Polkegel.png" width="900" style="zoom:100%;" />
-
-**Skizze 4** (Bewegungsablauf des Kreisels für den (links) *prolaten* und (rechts) *oblaten* symmetrischen Kreisel)
+Der genaue Ablauf dieser Bewegung hängt von der Beschaffenheit des Kreisels ab: 

---
+- Für den *prolaten* Kreisel ($\theta_{z}\lt\theta_{\perp}$, **Abbildung 1b** und **Abbildung 2a**) liegt $\vec{\omega}$ zwischen $\hat{z}$ und $\vec{L}$; der *äußere* Mantel des Gangpolkegels rollt auf dem äußeren Mantel des Rastpolkegels ab; in K kreisen $\vec{\omega}$ und $\hat{z}$ in Phase um $\vec{L}$.  
+- Für den *oblaten* Kreisel ($\theta_{z}\gt\theta_{\perp}$, **Abbildung 1c** und **Abbildung 2b**) liegt $\vec{L}$ zwischen $\hat{z}$ und $\vec{\omega}$; der *innere* Mantel des Gangpolkegels rollt auf dem äußeren Mantel des Rastpolkegels ab; in K kreisen $\vec{\omega}$ und $\hat{z}$ gegenphasig um $\vec{L}$. 

 Um die Nutation quantitativ besser zu verstehen empfiehlt es sich $\vec{\omega}$ in einen Anteil $\vec{\omega}_{\hat{z}}$ parallel zu $\hat{z}$ und einen Anteil $\vec{\omega}_{N}$ parallel zu $\vec{L}$ zu zerlegen:
 $$
@@ -47,14 +38,18 @@ $$
 \vec{\omega} = \vec{\omega}_{N} + \vec{\omega}_{\hat{z}},
 \end{equation*}
 $$
-wie in **Skizze 5** dargestellt. Ebenfalls in die Skizze eingetragen sind der Öffnungswinkel des Gangpolkegels $\alpha$ und der Öffnungswinkel des Nutationskegels $\beta$. 
+wie in **Abbildung 3** dargestellt: 
+
+---

 <img src="../figures/Nutation.png" width="900" style="zoom:100%;" />

-**Skizze 5** (Definitionen zum quantitativen Verständnis der Nutation)
+**Abbildung 3** (Definitionen zum quantitativen Verständnis der Nutation)

 ---

+Ebenfalls in die Skizze eingetragen sind der Öffnungswinkel des Gangpolkegels $\alpha$ und der Öffnungswinkel des Nutationskegels $\beta$. 
+
 Mit diesen Definitionen ergeben sich die folgenden Zusammenhänge: 
 $$
 \begin{equation*}
@@ -81,6 +76,37 @@ $$
 $$
 Wie aus Gleichung **(1)** ersichtlich gilt für den *oblaten* (*prolaten*) Kreisel $\omega_{N}\gt\omega$ ($\omega_{N}\lt\omega$).

+Die obigen Betrachtungen gelten für einen einfachen symmetrischen Kreisel. Im Fall des Kreisels den Sie für diesen Versuch verwenden (siehe **Abbildung 1** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Kreisel.md)), müssen die Trägheitsmomente der *massiven* Kardanrahmen bei der Beschreibung der Kreiselbewegung berücksichtigt werden. Bei Drehungen um $\hat{x}$ dreht sich der innere, bei Drehungen um $\hat{y}$ sowohl der innere, als auch der äußere Kardanrahmen mit. Für die Trägheitsmomente gilt daher: 
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&\theta_{x}^{\prime} = \theta_{x} + \theta_{x}^{(i)} + \theta_{x}^{(a)}; \\
+&\theta_{y}^{\prime} = \theta_{y} + \theta_{y}^{(i)}; \\
+&\theta_{z}^{\prime} = \theta_{z}, \\
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+wobei $\theta_{x}=\theta_{y}=\theta_{\perp}$ die Trägheitsmomente des Rotors, $\theta_{x}^{(i)}$ und $\theta_{y}^{(i)}$ die Trägheitsmomente des inneren und $\theta_{x}^{(a)}$ das Trägheitsmoment des äußeren Kardanrahmens sind. Unter diesen Voraussetzungen ergibt sich für kleine Werte von $\beta$ (ohne Beweis)
+$$
+\begin{equation}
+\omega_{N} = \omega\,\frac{\theta_{z}^{\prime}}{\sqrt{\theta_{x}^{\prime}\,\theta_{y}^{\prime}}}
+\end{equation}
+$$
+
+## Essentials
+
+Was Sie ab jetzt wissen sollten:
+
+- Sie sollten eine **anschauliche Vorstellung vom Phänomen der Nutation** haben. 
+- Sie sollten erklären können, **wann Nutation auftritt**. 
+- Sie sollten ein Gefühl für die Gleichungen **(1)** und **(2)** haben.
+
+## Testfragen
+
+- Tritt Nutation nur beim symmetrischen Kreisel auf?
+-  Tritt Nutation nur beim kräftefrei gelagerten Kreisel auf?
+- Was bedeutet kräfte- bzw. momentenfreie Lagerung beim Kreisel? 
+
 # Navigation

-[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel) | [Weiter](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)
+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel)
--- a/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md
+++ b/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md
 # Hinweise für den Versuch Kreisel

-## Aufgabe 2: Kardanisch gelagerter Kreisel [2/4]
+## Präzession

-Die obigen Betrachtungen gelten für einen einfachen symmetrischen Kreisel. Im Fall des in (**Abbildung 1** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2.md)) gezeigten, kardanisch gelagerten Kreisels, wie er im Praktikum zum Einsatz kommt, müssen die Trägheitsmomente der *massiven* Kardanrahmen bei der Beschreibung der Kreiselbewegung berücksichtigt werden. Bei Drehungen um $\hat{x}$ dreht sich der innere, bei Drehungen um $\hat{y}$ sowohl der innere, als auch der äußere Kardanrahmen mit. Für die Trägheitsmomente gilt daher: 
-$$
-\begin{equation*}
-\begin{split}
-&\theta_{x}^{\prime} = \theta_{x} + \theta_{x}^{(i)} + \theta_{x}^{(a)}; \\
-&\theta_{y}^{\prime} = \theta_{y} + \theta_{y}^{(i)}; \\
-&\theta_{z}^{\prime} = \theta_{z}, \\
-\end{split}
-\end{equation*}
-$$
-wobei $\theta_{x}=\theta_{y}=\theta_{\perp}$ die Trägheitsmomente des Rotors, $\theta_{x}^{(i)}$ und $\theta_{y}^{(i)}$ die Trägheitsmomente des inneren und $\theta_{x}^{(a)}$ das Trägheitsmoment des äußeren Kardanrahmens sind. Unter diesen Voraussetzungen ergibt sich für kleine Werte von $\beta$
-$$
-\begin{equation}
-\omega_{N} = \omega\,\frac{\theta_{z}^{\prime}}{\sqrt{\theta_{x}^{\prime}\,\theta_{y}^{\prime}}}
-\end{equation}
-$$
+Zur Diskussion der Präzession betrachten wir einen symmetrischen Kreisel, der mit der Winkelgeschwindigkeit $\vec{\omega}$ um die Figurenachse $\hat{z}$ rotiert. Die zugehörige Geometrie zu diesen Betrachtungen ist in **Abbildung 1** gezeigt: 
+
+---
+
+<img src="../figures/Praezession.png" width="1000" style="zoom:100%;" />
+
+**Abbildung 1** (Geometrie eines präzedierenden Kreisels)

-### Präzession
+---

-Zur Diskussion der Präzession betrachten wir einen symmetrischen Kreisel, der mit der Winkelgeschwindigkeit $\vec{\omega}$ um die Figurenachse $\hat{z}$ rotiert. Die zugehörige Geometrie zu diesen Betrachtungen ist in **Skizze 6** gezeigt. Da der Kreisel um die Figurenachse rotiert gilt $\vec{L}=\theta_{z}\,\vec{\omega}$.  Im Abstand $\vec{r}=r\hat{z}$ soll ein zusätzliches Gewicht dazu führen, dass auf den Kreisel ein resultierendes Drehmoment 
+Da der Kreisel um die Figurenachse $\hat{z}$ rotiert gilt $\vec{L}=\theta_{z}\ \vec{\omega}$.  Im Abstand $\vec{r}=r\ \hat{z}$ soll ein zusätzliches Gewicht dazu führen, dass auf den Kreisel ein resultierendes Drehmoment 
 $$
 \begin{equation}
 \vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}_{g}; \qquad M=m\,g\,r\sin\gamma
@@ -29,28 +20,29 @@ $$
 $$
 wirkt.

-<img src="../figures/Praezession.png" width="900" style="zoom:100%;" />
-
-**Skizze 6** (Geometrie eines präzedierenden Kreisels)
-
---
-
 Nach einem Zeitabschnitt $\mathrm{d}t$ führt $\vec{M}$ zu einer Änderung
 $$
 \begin{equation*}
 \mathrm{d}\vec{L} = \vec{M}\,\mathrm{dt}.
 \end{equation*}
 $$
-Da $\vec{L}$ per Konstruktion parallel zu $\vec{r}$ verläuft, gilt nach Gleichung **(2)** $\vec{M}\perp\vec{L}$, d.h. $\mathrm{d}\vec{L}$ ändert die Richtung, **nicht aber den Betrag** von $\vec{L}$. Diese Änderung führt zu einer Drehung von $\vec{L}$ um den Winkel
+Da $\vec{L}$ per Konstruktion parallel zu $\vec{r}$ verläuft, gilt nach Gleichung **(1)** $\vec{M}\perp\vec{L}$, d.h. **$\mathrm{d}\vec{L}$ ändert die Richtung, nicht aber den Betrag von $\vec{L}$**. Diese Änderung führt zu einer Drehung von $\vec{L}$ um den Winkel
 $$
 \begin{equation*}
 \mathrm{d}\varphi = \frac{\mathrm{d}L}{L_{\perp}} = \frac{M\,\mathrm{d}t}{L\sin\gamma}
 \end{equation*}
 $$
-und damit zu einer Rotation des Kreisels mit der Winkelgeschwindigkeit
+und damit zu einer Rotation des Kreisels mit der Winkelgeschwindigkeit und Periode
 $$
 \begin{equation}
-\Omega = \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t} = \frac{M}{L\sin\gamma} = \frac{m\,g\,r\,\sin\gamma}{\theta_{z}\,\omega\,\sin\gamma} = \frac{m\,g\,r}{\theta_{z}\,\omega}.
+\begin{split}
+&\Omega = \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t} = \frac{M}{L\sin\gamma} = \frac{m\,g\,r\,\sin\gamma}{\theta_{z}\,\omega\,\sin\gamma} = \frac{m\,g\,r}{\theta_{z}\,\omega}; \\
+&\\
+&T_{\Omega} = \underbrace{\frac{2\pi\,\theta_{z}}{m\,g\,r}}\,\omega, \\
+&\hphantom{ccccc}\equiv \kappa\\
+&\\
+&\text{mit:}\quad T_{\Omega}=\frac{2\pi}{\Omega}.\\
+\end{split}
 \end{equation}
 $$
 Unter Berücksichtigung der Vektorstruktur ergibt sich
@@ -60,24 +52,39 @@ $$
 \end{equation}
 $$

-#### Kreiselkompass
+## Kreiselkompass

-Der Kreiselkompass, wie er im P1 zu Demonstrationszwecken verwendet wird, ist ebenfalls kardanisch gelagert, jedoch ist der innere Kardanrahmen durch Schraubenfedern an den äußeren Kardanrahmen gebunden. Die Funktionsweise eines Kreiselkompasses ist in **Skizze 7** gezeigt, in der die Nordhalbkugel der Erde schematisch dargestellt ist:
+Der Kreiselkompass, wie er im P1 zu Demonstrationszwecken in **Aufgabe 1.3** verwendet wird, ist ebenfalls kardanisch gelagert, jedoch ist der innere Kardanrahmen durch Schraubenfedern an den äußeren Kardanrahmen gebunden. Die Funktionsweise eines Kreiselkompasses ist in **Abbildung 2** gezeigt, in der die Nordhalbkugel der Erde schematisch dargestellt ist:

-<img src="../figures/KreiselkompassSkizze.png" width="900" style="zoom:100%;" />
+---
+
+<img src="../figures/KreiselkompassSkizze.png" width="1000" style="zoom:100%;" />

-**Skizze 7** (Geometrie zur Disksussion des Kreiselkompasses)
+**Abbildung 2** (Geometrie zur Disksussion des Kreiselkompasses)

 ---

-Die folgende Diskussion erfordert wie wiederholte Anwendung der **"Rechten-Hand-Regel"** zur Auswertung der Richtung des Kreuzprodukts aus Gleichung **(3)**. 
+Wir gehen von einem symmetrischen Kreisel aus, dessen Figurenachse $\hat{z}$ mit der Richtung von $\vec{L}$ zusammenfällt. Die folgende Diskussion erfordert die wiederholte Anwendung der **"Rechten-Hand-Regel"** zur Auswertung der Richtung des Kreuzprodukts aus Gleichung **(3)**. 

-Die Erde dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit $\vec\omega_{E}$. Ein Kreiselkompass, der auf Höhe des Äquators, in Ost-West-Richtung ausgerichtet ist erfährt durch die Drehung der Erde das Drehmoment $\vec{M}$. Dies führt zur Präzession mit der Winkelgeschwindigkeit $\vec{\Omega}$, die die Figurenachse des Kreisels in Nord-Süd-Richtung ($\vec{L}$ im Bild nach oben) und damit parallel zu $\vec\omega_{E}$ ausrichtet. Dieser Umstand ist in **Skizze 7**, in drei Positionen entlang des Äquators, in den unteren drei Achsenkreuzen aus $\vec{\Omega}$, $\vec{L}$ und $\vec{M}$ dargestellt. 
+Die Erde dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit $\vec\omega_{E}$. Ein Kreiselkompass, der auf Höhe des Äquators, in Ost-West-Richtung ausgerichtet ist erfährt durch die Drehung der Erde das Drehmoment $\vec{M}$. Dies führt zur Präzession mit der Winkelgeschwindigkeit $\vec{\Omega}$, die die Figurenachse des Kreisels in Nord-Süd-Richtung ($\vec{L}$ im Bild nach oben) und damit parallel zu $\vec\omega_{E}$ ausrichtet. Dieser Umstand ist in **Abbildung 2**, in drei Positionen entlang des Äquators, in den unteren drei Achsenkreuzen aus $\vec{\Omega}$, $\vec{L}$ und $\vec{M}$ dargestellt. 

-Für die weiteren Betrachtungen ist zu berücksichtigen, dass sich der Kreisel in der jeweiligen Tangentialebene auf der Halbkugel nur in horizontaler Richtung bewegen kann, während er in vertikaler Richtung, durch die Schraubenfedern, *gebunden* ist. Wäre der Kreisel nicht in vertikaler Richtung gebunden, würde sich $\vec{L}$ im Bild wiederum nach oben und damit damit parallel zu $\vec\omega_{E}$ ausrichten. Durch die Bindung ist es erforderlich $\vec{M}$ in zwei Komponenten $\vec M_{\parallel}$ (horizontal) und $\vec M_{\perp}$ (vertikal) in der Tangentialebene auf der Halbkugel zu zerlegen. Der Anteil $\vec M_{\parallel}$ führt zur Präzession mit $\vec\Omega_{\parallel}$, die wiederum dazu führt, dass sich der Kreisel innerhalb der Horizontalen in Nord-Süd-Richtung ausrichtet. Im Bild richtet sich $\vec{L}$ nach oben links weisend aus. Der Anteil $\vec M_{\perp}$ würde zur Präzession mit der Winkelgeschwindigkeit $\vec\Omega_{\perp}$ führen, die den Kreisel aus der Horizontalen in die Vertikale (im Bild richtet sich $\vec{L}$ nach oben rechts weisend aus) ausrichten würde. **Dieser Anteil der Präzession ist durch die Bindung an den entsprechenden Kardanrahmen jedoch unterbunden.** Im Vergleich zum Äquator ist der Effekt der Präzession um den Faktor $\cos\beta$ reduziert.  
+Für die weiteren Betrachtungen ist zu berücksichtigen, dass sich der Kreisel in der jeweiligen Tangentialebene auf der Halbkugel nur in horizontaler Richtung bewegen kann, **während er in vertikaler Richtung, durch die Schraubenfedern, *gebunden* ist**. Wäre der Kreisel nicht in vertikaler Richtung gebunden, würde sich $\vec{L}$ im Bild wieder nach oben und damit damit parallel zu $\vec\omega_{E}$ ausrichten. Durch die Bindung ist es erforderlich $\vec{M}$ in zwei Komponenten $\vec M_{\parallel}$ (horizontal) und $\vec M_{\perp}$ (vertikal) in der Tangentialebene auf der Halbkugel zu zerlegen. Der Anteil $\vec M_{\parallel}$ führt zur Präzession mit $\vec\Omega_{\parallel}$, die wieder dazu führt, dass sich der Kreisel innerhalb der Horizontalen in Nord-Süd-Richtung ausrichtet. Im Bild richtet sich $\vec{L}$ nach oben links weisend aus. Der Anteil $\vec M_{\perp}$ würde zur Präzession mit der Winkelgeschwindigkeit $\vec\Omega_{\perp}$ führen, die den Kreisel aus der Horizontalen in die Vertikale (im Bild richtet sich $\vec{L}$ nach oben rechts weisend aus) ausrichten würde. **Dieser Anteil der Präzession ist durch die Bindung an den entsprechenden Kardanrahmen jedoch unterbunden.** Im Vergleich zum Äquator ist der Effekt der Präzession um den Faktor $\cos\beta$ reduziert.  

 Am Nordpol findet keine Einstellung des Kreisels in Nord-Süd-Richtung statt. Der Kreisel würde sich senkrecht in die Vertikale drehen. Diese Drehung ist jedoch durch die Bindung an den Kardanrahmen unterbunden. 

+## Essentials
+
+Was Sie ab jetzt wissen sollten:
+
+- Sie sollten das **Phänomen der Präzession verstanden** haben und **Gleichung (1) mit Hilfe von Abbildung 1 ableiten** können. 
+- Sie sollten die **Funktionsweise eine Kreiselkompass** verstanden haben. 
+
+## Testfragen
+
+- Warum ändert sich in der Konstellation von **Abbildung 1** der Betrag von $\vec{L}$ nicht? 
+- Was tut ein Kreiselkompassam Nordpol?
+- Wie verhält sich ein Kreiselkompass auf der Südhalbkugel? 
+
 # Navigation

-[Zurück](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2.md) | [Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel) | [Weiter](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md)
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 # Hinweise für den Versuch Kreisel

-## Aufgabe 1: Physik starrer Körper [1/3]
+## Winkelgeschwindigkeit und Trägheitstensor

-### Winkelgeschwindigkeit und Trägheitstensor
-
-In der Mechanik verwenden wir zur Beschreibung der Dynamik eines Massepunkts die physikalischen Größen Geschwindigkeit ($\vec{v}$), Impuls ($\vec{p}$) und Kraft ($\vec{F}$). Mit dem Kreisel betrachten wir einen rotierenden, [starren Körper](https://de.wikipedia.org/wiki/Starrer_K%C3%B6rper), mit endlicher Ausdehnung, zu dessen Beschreibung wir zu $\vec{v}$, $\vec{p}$ und $\vec{F}$ äquivalente Größen heranziehen:  
+In der Mechanik verwenden wir zur Beschreibung der Dynamik eines Massepunkts die physikalischen Größen Geschwindigkeit ($\vec{v}$), Impuls ($\vec{p}$) und Kraft ($\vec{F}$). Mit dem Kreisel betrachten wir einen rotierenden, **[starren Körper](https://de.wikipedia.org/wiki/Starrer_K%C3%B6rper)**, mit endlicher Ausdehnung, zu dessen Beschreibung wir zu $\vec{v}$, $\vec{p}$ und $\vec{F}$ äquivalente Größen heranziehen:  

 - Das Äquivalent zu $\vec{v}$ ist die **Winkelgeschwindigkeit** $\vec{\omega}$; 
 - das Äquivalent zu $\vec{p}$ ist der **Drehimpuls** $\vec{L}$; und 
 - das Äquivalent zu $\vec{F}$ ist das **Drehmoment** $\vec{M}$.  

-Für ein gegebenes (infinitesimales) Massenelement $\mathrm{d}m$ wird der Zusammenhang dieser Größen zueinander durch das äußere Produkt ([Kreuzprodukt](https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt)) "$\times$" mit dem Ortsvektor $\vec{r}$ des Massenelements hergestellt: 
+Für ein gegebenes (infinitesimales) Massenelement $\mathrm{d}m$ wird der Zusammenhang dieser Größen zueinander durch das **äußere Produkt ([Kreuzprodukt](https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt))** "$\times$" mit dem Ortsvektor $\vec{r}$ des Massenelements hergestellt: 
 $$
 \begin{equation*}
 \vec{v} = \vec{r}\times \vec{\omega}; \qquad
@@ -55,7 +53,7 @@ $$
 \boldsymbol{\Theta} \equiv \left(\Theta_{ij}\right)
 \end{equation*}
 $$
-bezeichnen wir als [Trägheitstensor](https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitstensor). Aufgrund seines Transformationsverhaltens unter Drehungen im Raum handelt es sich um einen Tensor 2. Stufe. Konkret als Matrix ausgeschrieben hat $\boldsymbol{\Theta}$ die Form: 
+bezeichnen wir als **[Trägheitstensor](https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitstensor)**. Aufgrund seines Transformationsverhaltens unter Drehungen im Raum handelt es sich um einen **Tensor 2. Stufe**. Konkret als Matrix ausgeschrieben hat $\boldsymbol{\Theta}$ die Form: 
 $$
 \begin{equation}
 \boldsymbol{\Theta} = \mathrm{d}m
@@ -68,12 +66,13 @@ z\,x & z\,y & r^{2}-z^{2} \\
 \right).
 \end{equation}
 $$
-Der Trägheitstensor ist durch seine Konstruktion symmetrisch ($\Theta_{ij}=\Theta_{ji}$). Die drei Diagonalelemente von $\boldsymbol{\Theta}$ (die wir im Folgenden auch mit $(\theta_{i};\hspace{0.1cm}i=x,y,z)$ bezeichnen werden) heissen [Trähgeitsmomente](https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment). Die drei nicht-diagonalen Elemente heissen [Deviationsmomente](https://de.wikipedia.org/wiki/Deviationsmoment).
+Der Trägheitstensor ist durch seine Konstruktion symmetrisch ($\Theta_{ij}=\Theta_{ji}$). Die drei Diagonalelemente von $\boldsymbol{\Theta}$ (die wir im Folgenden auch mit $(\theta_{i};\ i=x,y,z)$ bezeichnen werden) heissen **[Trähgeitsmomente](https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment)**. Die drei nicht-diagonalen Elemente heissen **[Deviationsmomente](https://de.wikipedia.org/wiki/Deviationsmoment)**.

-### Eigenwertproblem  
+## Eigenwertprobleme  

 Schreibt man Gleichung **(2)** aus erhält man ein gekoppeltes [lineares Gleichungssystem](https://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem) der Form
-$$
+
+```math
 \begin{equation}
 \left(
 \begin{array}{c}
@@ -99,22 +98,23 @@ L_{z} \\
 \end{array}
 \right),
 \end{equation}
-$$
+```
+
 wofür wir $\boldsymbol{\Theta}$ als $3\times3$-Matrix dargestellt haben. In bestimmten Fällen kann ein solches Gleichungssystem, durch eine Transformation $\bold{U}$ auf eine geeignete Basis 
 $$
 \begin{equation*}
-\boldsymbol{\widetilde{\Theta}} = \bold{U}\cdot\boldsymbol{\Theta}\cdot\bold{U}^{-1}
+\boldsymbol{\widetilde{\Theta}} = \bold{U}\cdot\boldsymbol{\Theta}\cdot\bold{U}^{-1},
 \end{equation*}
 $$
-mit $\bold{U^{-1}U=\mathbb{1}}$, entkoppelt werden, so dass $\boldsymbol{\widetilde{\Theta}}$ die Form einer [Diagonalmatrix](https://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalmatrix) annimmt. Die Suche nach solchen Abbildungen $\bold{U}$ bezeichnet man als [Eigenwertproblem](https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwerte_und_Eigenvektoren). Die Matrix $\boldsymbol{\widetilde{\Theta}}$ führt die Basisvektoren des Vektors 
+mit $\bold{U^{-1}U=\mathbb{1}}$, entkoppelt werden, so dass $\boldsymbol{\widetilde{\Theta}}$ die Form einer [Diagonalmatrix](https://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalmatrix) annimmt. Die Suche nach solchen Abbildungen $\bold{U}$ bezeichnet man als **[Eigenwertproblem](https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwerte_und_Eigenvektoren)**. Die Matrix $\boldsymbol{\widetilde{\Theta}}$ führt die Basisvektoren des Vektors 
 $$
 \begin{equation*}
 \vec{\tilde{\omega}} \equiv \bold{U}\cdot\vec{\omega}
 \end{equation*}
 $$
-bis auf die Multiplikation mit dem Eigenwert $\theta_{i}$ in sich selbst über. Die Transformation $\bold{U}$ entspricht also einem Wechsel von einer beliebigen [Orthonormalbasis](https://de.wikipedia.org/wiki/Orthonormalbasis) in eine Orthonormalbasis, die durch $\boldsymbol{\widetilde{\Theta}}$ in sich selbst abgebildet wird. 
+bis auf die Multiplikation mit dem Eigenwert $\theta_{i}$ in sich selbst über. Die Transformation $\bold{U}$ entspricht also einem Wechsel von einer beliebigen [Orthonormalbasis](https://de.wikipedia.org/wiki/Orthonormalbasis) in eine Orthonormalbasis, durch die $\boldsymbol{\widetilde{\Theta}}$ in sich selbst abgebildet wird. 

-### Hauptachsentransformation
+## Hauptachsentransformation

 Die Eigenschaft, dass der Trägheitstensor aus Gleichung **(3)** **symmetrisch** ist, hat für die Lösung des Eigenwertproblems die folgenden weitreichenden Konsequenzen: 

@@ -132,8 +132,9 @@ wobei $\bold{R}^{\intercal}$ der Transponierten von $\bold{R}$ entspricht. Die L

 Es handelt sich um die Drehung von einem allgemeinen in ein spezielles Bezugssystem, in dem die Eigenvektoren des Problems aus Gleichung **(2)** parallel zu den [Hauptträgheitsachsen](https://de.wikipedia.org/wiki/Haupttr%C3%A4gheitsachse) des starren Körpers verlaufen. Diese Achsen sind durch die Form und Massenbelegung des Körpers vorgegeben. 

-Das Eigenwertproblem erhält aufgrund dieser Besonderheiten den eigenen Namen [Hauptachsentransformation](https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation). Nach Hauptachsentransformation hat Gleichung **(4)** die einfache Form: 
-$$
+Das Eigenwertproblem erhält aufgrund dieser Besonderheiten den eigenen Namen **[Hauptachsentransformation](https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation)**. Nach Hauptachsentransformation hat Gleichung **(4)** die einfache Form: 
+
+```math
 \begin{equation}
 \left(
 \begin{array}{c}
@@ -157,7 +158,8 @@ L_{x} \\L_{y} \\L_{z} \\
 \end{array}
 \right),
 \end{equation}
-$$
+```
+
 oder in Komponentenschreibweise
 $$
 \begin{equation*}
@@ -166,7 +168,15 @@ L_{i} = \theta_{i}\,\delta_{ij}\,\omega_{j}.
 $$
 Die $\{\theta_{i}\}$ heißen in diesem Fall **Hauptträgheitsmomente**.

+## Essentials
+
+Was Sie ab jetzt wissen sollten:
+
+- Sie sollten sich über die Begriffe und Definitionen der **Winkelgeschwindigkeit ($\vec{\omega}$), des Drehimpulses ($\vec{L}$) und des Drehmoments ($\vec{M}$)** im Klaren sein. 
+- Sie sollten sich über die Eigenschaften des **Trägheitstensors** im Klaren sein und ihn aus Gleichung **(1)** und der "bac-cab"-Regel ableiten können. 
+- Die **Hauptachsentransformation** sollte Ihnen als Lösung eines Eigenwertproblems ein Begriff sein und sie sollten eine anschauliche Vorstellung davon haben, was diese bedeutet. 
+
 # Navigation

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--- a/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-1-a.md
+++ b/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-1-a.md
 # Hinweise für den Versuch Kreisel

-## Aufgabe 1: Physik starrer Körper [2/3]
+## Bestimmung von $\theta_{i}$ aus $\boldsymbol{\Theta}$

-### Bestimmung von $\theta_{i}$ aus $\boldsymbol{\Theta}$
-
-Es macht nur Sinn von einem Trägheitsmoment $\theta_{\hat{n}}$ eines starren Körpers bezüglich einer (zunächst beliebigen) Achse $\hat{n}$ zu sprechen, um die der Körper rotiert. Beim Trägheitstensor $\boldsymbol{\Theta}$ handelt es sich um eine lineare Abbildung von $\vec{\omega}$ auf $\vec{L}$, die i.a. als $3\times3$-Matrix dargestellt wird. Beim Trägheitsmoment $\theta_{\hat{n}}$ handelt es sich um eine Zahl.  Aus $\boldsymbol{\Theta}$ erhält man $\theta_{\hat{n}}$ aus der beidseitigen Multiplikation von $\boldsymbol{\Theta}$ mit $\hat{n}$:
+Es macht nur Sinn von einem Trägheitsmoment $\theta_{\hat{n}}$ eines starren Körpers bezüglich einer (zunächst beliebigen) Achse $\hat{n}$ zu sprechen, um die der Körper rotiert. Beim Trägheitstensor $\boldsymbol{\Theta}$ handelt es sich um eine lineare Abbildung von $\vec{\omega}$ auf $\vec{L}$, die i.a. als $3\times3$-Matrix dargestellt wird. Beim Trägheitsmoment $\theta_{\hat{n}}$ handelt es sich um **eine Zahl**. Verwechseln Sie diese Ausdrücke daher nicht! Aus $\boldsymbol{\Theta}$ erhält man $\theta_{\hat{n}}$ aus der beidseitigen Multiplikation von $\boldsymbol{\Theta}$ mit $\hat{n}$:
 $$
 \begin{equation*}
 \begin{split}
@@ -18,19 +16,21 @@ $$
 \end{split}
 \end{equation*}
 $$
-Auch dieses Ergebnis hat eine anschauliche Bedeutung, wie in **Skizze 1** dargestellt:
+Auch dieses Ergebnis hat eine anschauliche Bedeutung, wie in **Abbildung 1** dargestellt:
+
+---

 <img src="../figures/Traegheitsmoment.png" width="900" style="zoom:100%;" />

-**Skizze 1** (Anschauliche Bedeutung des Trägheitsmoments $\theta_{\hat{n}}$)
+**Abbildung 1** (Anschauliche Bedeutung des Trägheitsmoments $\theta_{\hat{n}}$)

 ---

-Das Trägheitsmoment $\theta_{\hat{n}}$ jedes Massenelements $\mathrm{d}m$ eines starren Körpers berechnet sich aus dessen Abstand $r_{\perp}$ senkrecht zu $\hat{n}$.
+**Das Trägheitsmoment $\theta_{\hat{n}}$ jedes Massenelements $\mathrm{d}m$ eines starren Körpers berechnet sich aus dessen Abstand $r_{\perp}$ senkrecht zu $\hat{n}$.**

 ### Trägheitsellipsoid

-Um das Trägheitsmoment um eine beliebige Achse $\hat{n}$ eines ausgedehnten Körpers zu berechnen ist über alle Massenelemente $\mathrm{d}m$ des Körpers zu integrieren. Wir beschreiben hierzu die Lage von $\hat{n}$ in einem körperfesten Koordinatensystem $K$, dessen Ursprung im Schwerpunkt des Körpers liegt, mit den drei Winkeln $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ mit
+Um das Trägheitsmoment um eine beliebige Achse $\hat{n}$ eines ausgedehnten Körpers zu berechnen ist über alle Massenelemente $\mathrm{d}m$ des Körpers zu integrieren. Wir beschreiben hierzu die Lage von $\hat{n}$ in einem körperfesten Koordinatensystem K, dessen Ursprung im Schwerpunkt des Körpers liegt, mit den drei Winkeln $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ mit
 $$
 \begin{equation*}
 \hat{n} = 
@@ -43,7 +43,7 @@ $$
 \right)
 \end{equation*}
 $$
-Diese drei Winkel sind nicht unabhängig voneinander, denn es soll weiterhin $|\hat{n}|=1$ gelten. Man überzeugt sich z.B. leicht, dass in 2 Dimensionen $\beta=\pi/2-\alpha$ gelten würde. Für die Berechnung von $\theta_{\hat{n}}$ gilt damit
+Da $\hat{n}$ einen festen Betrag $|\hat{n}|$ hat, sind die Winkel $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ nicht unabhängig voneinander. Man überzeugt sich z.B. leicht davon, dass in 2 Dimensionen $\beta=\pi/2-\alpha$ gilt. Für die Berechnung von $\theta_{\hat{n}}$ gilt damit
 $$
 \begin{equation}
 \begin{split}
@@ -70,13 +70,13 @@ $$
 \end{split}
 \end{equation}
 $$
-Die $\{\theta_{i}\}$ und $\{\Theta_{ij}\}$ sind die (zunächst nur für ein Massenelement eingeführten) **Trägheits-** und **Deviationsmomente** in den Koordinaten von $K$. Ist $K$ beliebig gewählt sind die $\{\Theta_{ij}\}$ ungleich 0. Nach Hauptachsentransformation (ins Koordinatensystem $\widetilde{K}$) gilt 
+Die $\{\theta_{i}\}$ und $\{\Theta_{ij}\}$ sind die (zunächst nur für ein Massenelement eingeführten) **Trägheits-** und **Deviationsmomente** in den Koordinaten von K. Ist K beliebig gewählt gilt $\{\Theta_{ij}\}\neq0$. Nach Hauptachsentransformation (ins Koordinatensystem $\widetilde{\mathrm{K}}$) gilt definitionsgemäß
 $$
 \begin{equation*}
 \Theta_{ij}=0 \qquad \forall\,i,j=x, \,y, \,z \text{ und }i\neq j
 \end{equation*}
 $$
-Und die $\{\theta_{i}\}$ entsprechen den Hauptträgheitsmomenten. Aus Gleichung **(1)** ist zu erkennen, dass die bilinearen Deviationsmomente verschwinden, wenn sich eine Rotationsachse $\hat{n}$ finden lässt bezüglich derer die Massenbelegung des Körpers symmetrisch verteilt ist, weshalb für homogene, symmetrische Körper die Hauptträgheitsachsen mit den Symmetrie- oder [Figurenachsen](https://de.wikipedia.org/wiki/Figurenachse) der Körper zusammenfallen.
+und die $\{\theta_{i}\}$ entsprechen den **Hauptträgheitsmomenten**. Aus Gleichung **(1)** ist zu erkennen, dass die bilinearen Deviationsmomente verschwinden, wenn sich eine Rotationsachse $\hat{n}$ finden lässt bezüglich derer die Massenbelegung des Körpers symmetrisch verteilt ist, **weshalb für homogene, symmetrische Körper die Hauptträgheitsachsen mit den Symmetrie- oder [Figurenachsen](https://de.wikipedia.org/wiki/Figurenachse) der Körper zusammenfallen**.

 Trägt man den sog. Trägheitsmodul entlang der Achse $\hat{n}$ als
 $$
@@ -100,22 +100,24 @@ x_{\hat{n}}\\y_{\hat{n}}\\z_{\hat{n}}
 \right),
 \end{equation*}
 $$
-dann bilden die Endpunkte der $\vec{r}_{\rho_{\hat{n}}}$ das sog. [Trägheitsellipsoid](https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsellipsoid), dessen allgemeine analytische Form 
+dann bilden die Endpunkte der $\vec{r}_{\rho_{\hat{n}}}$ das sog. [**Trägheitsellipsoid**](https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsellipsoid), dessen allgemeine analytische Form 
 $$
 \begin{equation}
 \theta_{\hat{}n} = \frac{1}{\rho_{\hat{n}}^{2}}\left(x_{\hat{n}}^{2}\,\theta_{x} + y_{\hat{n}}^{2}\,\theta_{y} + z_{\hat{n}}^{2}\,\theta_{z} -2\left(x_{\hat{n}}y_{\hat{n}}\Theta_{xy} + y_{\hat{n}}z_{\hat{n}}\Theta_{yz} + 
 x_{\hat{n}}z_{\hat{n}}\Theta_{xz}\right)\right)
 \end{equation}
 $$
-man durch Einsetzen in Gleichung **(1)** erhält.  Das Trägheitsellipsoid besitzt drei Hauptachsen. Durch Gleichung **(3)** wird die Lage des Ellipsoids in einem allgemeinen Koordinatensystem $K$, wie in **Skizze 2** gezeigt, beschrieben.
+man durch Einsetzen in Gleichung **(1)** erhält.  Das Trägheitsellipsoid besitzt drei Hauptachsen. Durch Gleichung **(3)** wird die Lage des Ellipsoids in einem allgemeinen Koordinatensystem K beschrieben, wie in **Abbildung 2** gezeigt:
+
+---

 <img src="../figures/Traegheitsellipsoid.png" width="900" style="zoom:100%;" />

-**Skizze 2** ((Links) Allgemeine Lage des Trägheitsellipsoids im Raum und (rechts) Trägheitsellipsoid nach Hauptachsentransformation)
+**Abbildung 2** ((a) Allgemeine Lage des Trägheitsellipsoids im Raum und (b) Trägheitsellipsoid nach Hauptachsentransformation, von K nach $\mathrm{\widetilde{K}}$)

 ---

-Nach Hauptachsentransformation fallen die Hauptachsen des Trägheitsellipsoids mit den Koordinatenachsen von $\widetilde{K}$ zusammen und Gleichung **(3)** erhält die sog. Normalform
+Nach Hauptachsentransformation fallen die Hauptachsen des Trägheitsellipsoids mit den Koordinatenachsen von $\mathrm{\widetilde{K}}$ zusammen und Gleichung **(3)** erhält die sog. **Normalform**
 $$
 \begin{equation*}
 \begin{split}
@@ -127,14 +129,14 @@ $$
 \end{split}
 \end{equation*}
 $$
-Die (kleinste) größte Hauptachse des Trägheitsellipsoids entspricht dabei dem (größten) kleinsten Hauptträgheitsmoment. Die Rotationen des Kreisels um diese beiden Achsen erfolgen stabil. diese beiden Achsen werden daher auch als freie Achsen bezeichnet. Drehungen des Kreisels um die Achse zum mittleren Hauptträgheitsmoment sind metastabil. 
+Die (kleinste) größte Hauptachse des Trägheitsellipsoids entspricht dabei dem (größten) kleinsten Hauptträgheitsmoment. Die Rotationen des Kreisels um diese beiden Achsen erfolgen stabil. Diese beiden Achsen werden daher auch als **freie Achsen** bezeichnet. **Drehungen des Kreisels um die Achse zum mittleren Hauptträgheitsmoment sind metastabil.** 

-### Klassifikation von Kreiseln
+## Klassifikation von Kreiseln

-Sind zwei Hauptträgheitsmomente (ohne Einschränkung der Allgemeinheit z.B. $\theta_{x}=\theta_{y}=\theta_{\perp}$) gleich, bezeichnet man die durch die entsprechenden Hauptachsen aufgespannte Ebene als *Äquatorebene*. Das Trägheitsmoment entlang jeder beliebigen Achse innerhalb dieser Ebene ist gleich dem sog. *äquatorealen Trägheitsmoment* $\theta_{\perp}$. Einen solchen Kreisel bezeichnet man als symmetrisch. Das Trägheitsellipsoid ist in diesem Fall symmterisch bezüglich der dritten ($z$-)Achse, die als Figurenachse bezeichnet wird. 
+Sind zwei Hauptträgheitsmomente (ohne Einschränkung der Allgemeinheit z.B. $\theta_{x}=\theta_{y}=\theta_{\perp}$) gleich, bezeichnet man die durch die entsprechenden Hauptachsen aufgespannte Ebene als ***Äquatorebene*. Das Trägheitsmoment entlang jeder beliebigen Achse innerhalb dieser Ebene ist gleich dem sog. *äquatorealen Trägheitsmoment* $\theta_{\perp}$.** Einen solchen Kreisel bezeichnet man als symmetrisch. Das Trägheitsellipsoid ist in diesem Fall symmterisch bezüglich der dritten ($z$-)Achse, die als Figurenachse bezeichnet wird. 

 - Für den Fall $\theta_{\perp}\lt\theta_{z}$ ist das Trägheitsellipsoid abgeplattet. Der Kreisel wir als *oblat* bezeichnet. 
- Für den Fall $\theta_{\perp}\gt\theta_{z}$ ist das Trägheitsellipsoid verlängert. Der Kreisel wird als *prolat* bezeichnet. 
+- Für den Fall $\theta_{\perp}\gt\theta_{z}$ ist das Trägheitsellipsoid gedehnt. Der Kreisel wird als *prolat* bezeichnet. 

 Wenn zusätzlich
 $$
@@ -142,10 +144,24 @@ $$
 \theta_{x}=\theta_{y}=\theta_{z}=\theta
 \end{equation*}
 $$
-gilt, spricht man von einen kugelsymmetrischen Kreisel. In diesem Fall ist das Trägheitsmoment jeder beliebigen Achse gleich $\theta$. 
+gilt, spricht man von einen **kugelsymmetrischen Kreisel**. In diesem Fall ist das Trägheitsmoment jeder beliebigen Achse gleich $\theta$. 
+
+**Beachten Sie, dass ein kugelsymmetrischer Kreisel seiner physischen Erscheinung nach selbst nicht kugelsymmetrisch sein muss.** Zum Beispiel ist ein Quader mit quadratischer Grundfläche ein symmetrischer Kreisel und ein Würfel ein kugelsymmetrischer Kreisel!  
+
+## Essentials
+
+Was Sie ab jetzt wissen sollten:
+
+- Sie sollten die Begriffe **Trägheitsmoment und Trägheitstensor unterscheiden** und einordnen können. 
+- Sie sollten eine anschauliche Vorstellung von der **Bedeutung des Trägheitsmoments** haben. 
+- Sie sollten eine Vorstellung davon haben, was das **Trägheitsellipsoid** ist.
+- Sie sollten eine Vorstellung davon haben, was ein **(kugel-)symmetrischer Kreisel** ist und jeweils ein nicht offensichtliches Beispiel für einen symmetrsichen und einen kugelsymmetrischen Kreisel nennen können. 
+
+## Testfragen

-**Beachten Sie, dass ein kugelsymmetrischer Kreisel seiner physischen Erscheinung nach selbst nicht kugelsymmetrisch sein muss.** Zum Beispiel ist ein Quader mit quadratischer Grundfläche ein symmetrischer Kreisel und ein Würfel ein kugelsymmetrischer Kreisel.  
+1. Gilt für $\hat{n}$, so wie es im Text definiert ist $|\hat{n}|=1$?
+2. Wir betrachten einen symmetrischen, quaderförmigen Körper mit den Kantenlängen $a=b;\ b>c$, es handelt sich also um einen abgeflachten Quader mit quadratischer Grundfläche. Ist dieser Körper als Kreisel oblat oder prolat?

 # Navigation

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