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Elektrische_Bauelemente/doc/Hinweise-Dioden.md

+# Hinweise für den Versuch **Elektrische Bauelemente**
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+## Halbleiterdiode im thermischen Gleichgewicht
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+Eine Halbleiter (HL)-Diode (kurz Diode) besteht aus der Verbindung eines n- mit einem p-dotierten HL, wie in **Abbildung 1** dargestellt:
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+<img src="../figures/Diode_Gleichgewicht.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
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+**Abbildung 1**: (Übergang von zwei jeweils n- und p-dotierten HL, in Abbildung (a) zur Diode in Abbildung (b), in einer räumlichen Modellvorstellung und unter Berücksichtigung der Energieniveaus der freien Ladungsträger im Bändermodell)
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+Bei den freien Ladungsträgern des n-dotierten HL handelt es sich um Elektronen im Leitungsband, beim p-dotierten HL sind es die Löcher im Valenzband. Kommt es zum Kontakt (am **pn-Übergang**), wie in **Abbildung 1 (b)** gezeigt, diffundieren die freien Ladungsträger beider HL an der Grenzfläche in den jeweils anderen HL, wo sie mit den dortigen freien Ladungsträgern **rekombinieren**. Die jeweiligen, im Kristall verankerten und damit unbeweglichen Rümpfe bleiben zurück. Beim n-dotierten HL sind dies z.B. die positiv geladenen Rümpfe der P-Atome, beim p-dotierten HL die negativ geladenen Al-Rümpfe. Es bildet sich eine **Grenzschicht** ohne freie Ladungsträger aus, entlang derer sich durch die räumliche Trennung der Ladungen eine **Diffusionsspannung $U_{D}$** aufbaut. Diese Spannung stellt für die freien Ladungsträger jenseits der Grenzschicht eine **Barriere** dar, so dass der Diffusionsstrom zum erliegen kommt. $U_{D}$ ist materialspezifisch und temperaturabhängig. Bei Zimmertemperatur gilt 
+$$
+\begin{equation*}
+U_{D}(\mathrm{Si})\approx 0.6-0.7\ \mathrm{V};\qquad 
+U_{D}(\mathrm{Ge})\approx 0.3\ \mathrm{V}.
+\end{equation*}
+$$
+Im Bändermodell liegen Valenz- und Leitungsbänder des n- und p-dotierten HL auf unterschiedlichen Energieniveaus, das Fermi-Niveau $E_{F}$ ist jedoch über den gesamten Übergang der Diode gleich. Die Elektronen im Leitungsband des n-dotierten HL können nicht über die Barriere der Grenzschicht in den p-dotierten HL fließen. Als Eselsbrücke kann man sich die Elektronen als Kugeln im Leitungsband vorstellen, die in **Abbildung 1 (a)** nicht bergauf rollen. Umgekehrt können die Löcher im Valenzband des p-dotierten HL nicht über die Barriere in den n-dotierten HL fließen. Als Eselsbrücke kann man sich die Löcher als Luftblasen im Valenzband vorstellen. Im thermischen Gleichgewicht fließt durch die Diode kein Strom. 
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+## Halbleiterdiode im Betrieb
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+Liegt an der Diode eine äußere Spannung mit dem Minus-Pol an der n- und dem Plus-Pol an der p-dotierten Seite an, wird diese in **Durchlassrichtung** betrieben, sie ist leitend. Liegt umgekehrt an der n-dotierten Seite eine positive und an der p-dotierten Seite eine negative Spannung an, befindet sich die Diode im **Sperrbetrieb**, sie ist nicht-leitend. Mit dieser Eigenschaft ist die Diode in einer wohldefinierten Stromrichtung durchlässig, während sie den Stromfluss in umgekehrter Richtung sperrt. Die offensichtlichste Anwendung einfacher Dioden besteht daher in der [Gleichrichtung von Wechselstromsignalen](https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichrichter). Diese Situation ist in **Abbildung 2** dargestellt: 
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+<img src="../figures/Diode_Betrieb.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
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+(**Abbildung 2**: Darstellung einer Diode im (a) Durchlass- und (b) Sperrbetrieb)
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+---
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+### Durchlassbetrieb
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+Der Durchlassbetrieb der Diode ist in **Abbildung 2 (a)** gezeigt. In diesem Fall wird die n-dotierte Seite der Diode mit Elektronen und die p-dotierte Seite mit Löchern geflutet, wodurch sich die Grenzschicht verringert. Bei einer Spannung von 
+$$
+\begin{equation*}
+U_{S} = -U_{D}
+\end{equation*}
+$$
+ist die Grenzschicht vollständig abgebaut. An der Grenzfläche rekombinieren die Elektronen und Löcher ungestört und es kommt zum Stromfluss. Man bezeichnet $U_{S}$ als **Schleusen- oder Schwellenspannung**. Tatsächlich driften freie Ladungsträger auch über die Grenzschicht hinaus bis sie rekombinieren. Diesen Vorgang bezeichnet man als **Injektion**. Er sorgt dafür, dass die Minoritätsladungsträgerdichte auf beiden Seiten der Diode ansteigt. 
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+Im Bändermodell verschieben sich die Energieniveaus der Leitungs- und Valenzbänder im n- und p-dotierten HL, bis sich die Barriere "umkehrt" und zum **Durchlass** wird. Im Fall $U_{S}=-U_{D}$ liegen beide Energieniveaus für beide HL auf gleicher Höhe. Das Fermi-Niveau wird entsprechend verzerrt. 
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+### Sperrbetrieb
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+Der Sperrbetrieb der Diode ist in **Abbildung 2 (b)** gezeigt. In diesem Fall werden durch die äußere Spannung die Elektronen aus dem n- und die Löcher aus dem p-dotierten Teil der Diode gezogen, womit sich die Dichte der freien Ladungsträger stark verringert. Die Grenzschicht, die in diesem Fall auch als **Sperrschicht** bezeichnet wird, weitet sich aus bis die sich dadurch ausbildende Driftspannung aufgrund der verbliebenen, im HL fest eingebauten Atomrümpfe die äußere Spannung kompensiert. Dies passiert so schnell, dass der Stromfluss quasi augenblicklich zum erliegen kommt. 
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+Im Idealzustand ist die Diode in diesem Betrieb nicht leitend. In der Realität besitzt sie immer noch einen endlichen Widerstand, der auf die Eigenleitung des HL zurückzuführen ist. Ab der sog. **Durchbruchspannung $U_{BR}$ (engl. *breakdown voltage*)** wird die Diode auch in Sperrrichtung leitend. In diesem Fall kommt es i.a. zur Zerstörung der Diode. 
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+An technischen Bauteilen wird die Durchlassrichtung einfacher Dioden i.a. durch einen silbernen Ring angezeigt, wie in **Abbildung 3 (a)** gezeigt. Das Schaltsymbol für eine Diode ist in **Abbildung 3 (b)** dargestellt: 
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+<img src="../figures/Schaltsymbol_Dioden.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
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+(**Abbildung 3**: Abbildung (a) zeigt das typische Aussehen einer Diode, als elektronischem Bauteil. Die Durchlassrichtung wird durch einen silbernen Ring markiert. In Abbildung (b) ist das Schaltsymbol einer Diode, in Abbildung (c) einer Z-Diode und in Abbildung (d) eines VDR gezeigt. In den Abbildungen (b) und (c) weisen die Dreieckspitzen in die technische Stromrichtung in Durchlassrichtung)
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+### Z-Diode
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+[Z-Dioden](https://de.wikipedia.org/wiki/Z-Diode) sind besonders hoch dotierte Si-Dioden mit einer schmalen Grenzschicht und vordefinierter Durchbruchspannung. Sie sind für den **dauerhaften Betrieb in Sperrrichtung** ausgelegt und dienen auf diese Weise der Spannungsstablisierung oder **Spannungsbegrenzung**. Die Durchbruchspannung, bei der die Z-Diode auch in Sperrrichtung leitend wird, heißt **Zener-Spannung** $U_{Z0}$. Sie liegt je nach Typ normalerweise zwischen $2-5.5\ \mathrm{V}$. 
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+Z-Dioden verhalten sich in Durchlassrichtung wie normale Dioden. In Sperrrichtung kommt es durch die starke Verschiebung der Energieniveaus der Leitungs- und Valenzbänder an der Grenzschicht zum [Zener-Effekt](https://de.wikipedia.org/wiki/Zener-Effekt), durch den ab einer bestimmten Größe des elektrischen Felds Elektronen aus ihren Kristallbindungen gelöst werden und den Strom $I_{Z}$ ausbilden. Erreicht die anliegende Sperrspannung $U_{Z0}$, dann nimmt $I_{Z}$ stark zu. Die Ladungsträger, die durch den Zener-Effekt frei geworden sind, werden durch das elektrische Feld beschleunigt und schlagen weitere Elektronen aus ihren Kristallbindungen heraus. Schließlich kommt es zum **Zener-Durchbruch** der Sperrschicht. Sinkt die angelegte Spannung unter $U_{Z0}$, werden keine weiteren Ladungsträger mehr
+freigesetzt und die Sperrschicht verarmt. 
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+Im Gegensatz zu einer normalen Diode wird die Z-Diode durch den Zener-Durchbruch nicht zerstört. 
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+Das Schaltsymbol für eine Z-Diode ist in **Abbildung 3 (c)** gezeigt.
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+### Varistor
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+Widerstände, die ihren Wert aufgrund der anliegenden Spannung ändern, heißen **Varistoren oder VDR (in engl. *volt dependent resistor*)**. Beim VDR handelt es nicht um eine Diode, er besteht dennoch aus vielen kleinen HL-Kristallen, zwischen denen sich Sperrschichten ausbilden. Da diese Kristalle (und damit auch die Sperrschichten) völlig ungeordnet vorliegen haben VDRs keine Vorzugsrichtung für den Strom. Wird eine äußere Spannung angelegt, entsteht im VDR ein elektrisches Feld und die Sperrschichten bauen sich teilweise ab. Mit zunehmender Spannung werden immer mehr Sperrschichten abgebaut, so dass der Widerstand des VDR sinkt. Die Polung der Spannung spielt dabei keine Rolle. 
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+Die Spannung, von der ab ein deutlicher Stromanstieg zu beobachten ist, heißt auch in diesem Fall **Schwellenspannung** ($U_{S}$). Sie hängt maßgeblich von der Dicke des VDR ab, denn je dicker die VDR-Schicht ist, desto mehr Kristalle liegen in Reihe geschaltet vor und desto mehr Sperrschichten müssen abgebaut werden. 
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+Das Schaltsymbol für einen VDR ist in **Abbildung 3 (d)** gezeigt. 
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+### Dioden- und Varistorkennlinien
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+Die [Strom-Spannungs ($UI$)-Kennlinien](https://de.wikipedia.org/wiki/Diode#Kennlinie) einer Si-, Ge- und Z-Diode, mit ihren wichtigsten Kenngrößen, sind in **Abbildung 4 (a)** schematisch dargestellt. Der typische Verlauf einer VDR-Kennlinie ist in **Abbildung 4 (b)** gezeigt: 
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+<img src="../figures/Diode_Kennlinie.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
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+(**Abbildung 4**: Abbildung (a) zeigt die Kennlinien einer Si-, Ge- und Z-Diode. Abbildung (b) zeigt die Kennlinie eines VDR)
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+---
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+Zu beachten Sind in **Abbildung 4 (a)** die deutlich unterschiedlichen Skalen für Strom und Spannung, auf den positiven $x$- und $y$-Achsen. 
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+Die Spannung für den Betrieb einer Diode in Durchlassrichtung wird als **Flussspannung $U_{F}$ (engl. *forward voltage*)** bezeichnet. Bis $U_{S}$ fließt nur ein geringer Strom. Für $U_{F}>U_{S}$ ist die Sperrschicht komplett abgebaut und der Stromfluss nimmt rapide zu. Die Spannung für den Betrieb in Sperrrichtung wird als **Sperrspannung $U_{R}$ (engl. *reverse voltage*)** bezeichnet. In Sperrrichtung fließt im Idealzustand kein Strom durch die Diode. Jenseits der **Durchbruchspannung $U_{BR}$** nimmt der Strom wieder schnell zu.  
+
+Oberhalb von $U_{BR}$ kann die $UI$-Kennlinie einer Diode allg. durch die [Shockley-Gleichung](https://de.wikipedia.org/wiki/Shockley-Gleichung) beschrieben werden:
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&I_{F}(U_{F}) = I_{S}(T)\left(e^{\frac{U_{F}}{n\,U_{T}}}-1\right);\\
+&\\
+&\text{mit}\\
+&\\
+&U_{T}=\frac{k_{B}\,T}{e},
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+wobei $I_{S}(T)$ dem temperaturabhängigen Sättigungsstrom (Sperrstrom), $n\approx 1\ldots 2$ dem sog. Emissionskoeffizienten und  $U_{T}$ der Temperaturspannung entsprechen.  
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+**Bei der Z-Diode ist der Durchbruch in Sperrrichtung erwünscht!** Er erfolgt, aufgrund des Zener-Effekts bei $U_{Z0}$. $U_{Z0}$ ist temperaturabhängig und weist deutlich niedrigere Werte als $U_{BR}$ auf. An der Kennlinie sind **Sperr- und Durchbruchbereich** deutlich zu erkennen. Dazwischen liegt der sogenannte **Knickbereich**, der mit dem Einsetzten des Durchbruchs beginnt.
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+Die Kennlinie des VDR ist ab der Schwellenspannung ${\pm}U>U_{S}$ in beide Richtungen durchlässig. Aufgrund der Tatsache, dass die HL-Kristalle im VDR keine Vorzugsrichtung haben, weist die $UI$-Kennlinie eine Punktsymmetrie zum Ursprung des $UI$-Koordinatensystems auf. 
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+Die Aufzeichnung von $UI$-Kennlinien mit dem Oszilloskop erfolgt z.B. mit einem Aufbau, wie in **Abbildung 5** gezeigt: 
+
+---
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+<img src="../figures/Messanordnung_Kennlinien.png" width="400" style="zoom:100%;"/>
+
+(**Abbildung 5**: Messanordnung zur Darstellung einer $UI$-Kennlinie für eine Diode am Oszilloskop)
+
+---
+
+Es handelt sich bei diesem Beispiel um eine **Schaltung zur Darstellung einer Diodenkennlinie**. Das Oszilloskop wird dabei im XY-Modus verwendet. Das zu untersuchende Bauteil ist die Diode oben rechts im Bild. Über der Diode wird die abfallende Spannung als $U_{\mathrm{CH2}}$ auf CH2 des Oszilloskops gelegt. Die abfallende Spannung über dem Referenzwiderstand $R_{\mathrm{ref}}$ wird als Maß für den Strom
+$$
+\begin{equation*}
+U_{\mathrm{CH1}} = I\,R_{\mathrm{ref}},
+\end{equation*}
+$$
+ als $U_{\mathrm{CH1}}$, auf CH1 des Oszilloskops gelegt. 
+
+## Essentials
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+Was Sie ab jetzt wissen sollten:
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+- Sie sollten die **Funktionsweise einer einfachen Diode** geometrisch und im Bändermodell erklären können. 
+- Sie sollten die **Sperr- und Durchlassrichtung** einer einfachen Diode angeben können. 
+- Sie sollten eine Vorstellung davon haben, wie die $UI$-Kennlinien einer Diode, Z-Diode und eines VDR aussehen. 
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+## Testfragen
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+1. Wie sollten Sie die Diode in **Abbildung 3 (a)** polen, um sie in Durchlassrichtung zu betreiben? 
+2. Sind die Dioden in den **Abbildung 3 (b) und (c)** in Durchlass- oder Sperrrichtung gepolt?
+3. Eine Ge-Diode besitzt einen höheren Strom in Sperrrichtung, als die Si-Diode, der auch mit zunehmenden Werten von $U_{R}$ etwas zunimmt (siehe **Abbildung 4 (a)**). Wie erklären Sie sich diesen Umstand?  
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+# Navigation
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+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/tree/main/Elektrische_Bauelemente)
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Elektrische_Bauelemente/doc/Hinweise-PhotoelektrischerEffekt.md

+# Hinweise für den Versuch **Elektrische Bauelemente**
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+## Photodiode
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+Eine Photodiode, ist eine Diode, auf die Licht ungehindert einfallen kann, wie in **Abbildung 1** dargestellt:
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+---
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+<img src="../figures/Photodiode.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
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+**Abbildung 1**: (Funktionsweise einer Diode als Photodiode, unter ungehindertem Lichteinfall. Abbildung (a) zeigt die Photodiode ohne äußere Beschaltung. Abbildung (b) zeigt die Photodiode in Sperrrichtung)
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+---
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+Die Bandlücke in Si beträgt $E_{g}=1.1\ \mathrm{eV}$ und liegt damit im Energiebereich sichtbaren Lichts. Fällt Licht hinreichend kurzer Wellenlänge auf die Diode kommt es im HL-material zum [inneren Photoeffekt](https://de.wikipedia.org/wiki/Photoelektrischer_Effekt#Innerer_photoelektrischer_Effekt): Valenzelektronen werden aus ihrer Bindung gelöst und ins Leitungsband gehoben. Gleichzeitig entsteht im Valenzband ein Loch. Sowohl Elektron, als auch Loch stehen daraufhin als freie Ladungsträger zur Verfügung. Findet der Photoeffekt im Grenzbereich der Diode statt kommt es aufgrund von $U_{D}$ zur sofortigen Ladungstrennung. Den entstehenden Strom bezeichnet man als **Driftstrom**. Elektron-Loch-Paare jenseits der Grenzschicht tragen ebenfalls zum Stromfluss bei. In diesem Fall muss einer der beiden Ladungsträger, Elektron oder Loch, die Grenzschicht der Diode überwinden. Diesen Beitrag zum Gesamtstrom bezeichnet man als **Diffusionsstrom**. 
+
+- Ohne weitere äußere Anschlüsse, wie in **Abbildung 1 (a)** gezeigt, baut sich eine materialspezifische charakteristische Spannung an den Klemmen der Diode auf. 
+- Schließt man die Diode kurz fließt ein Strom $I_{\mathrm{Ph}}$ proportional zur einfallenden Lichtintensität. In dieser Form würde man die Photodiode als **Solarzelle** betreiben.  
+- Wird die Diode in Sperrrichuntg betrieben, wie in **Abbildung 1 (b)** gezeigt, verändert sich der sich einstellende Sperrstrom $I_{R}$ proportional zur einfallenden Lichtintensität. 
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+Eine Photodiode, als elektronisches Bauelement, ist in **Abbildung 2 (a)** gezeigt. Das Schaltsymbol einer Photodiode ist in **Abbildung 2 (b)** gezeigt.
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+---
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+<img src="../figures/Schaltsymbol_Photodiode.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
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+(**Abbildung 2**: Beispiele für eine Photodiode (a) als Bauelement und (b) als Schaltsymbol, einen Photowiderstand (LDR) (c) als Bauelement und (d) als Schaltsymbol, (e) das Schaltsymbol eines Phototransistors und (f) das Schaltsymbol einer Leuchtdiode (LED))
+
+---
+
+## Photowiderstand (LDR)
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+Nach dem gleichen Prinzip, aber im Vergleich zur Photodiode langsamer und träger in seinem Verhalten funktioniert der **Photowiderstand oder LDR (engl. *light dependent resistor*)**. Dabei wird eine dünne Schicht aus dem photosensitivem Halbleitermaterial auf eine Keramikschicht aufgebracht. Der Strom bei anliegender Spannung wird dann i.a. durch kammartige Elektroden abgegriffen. Ein VDR, als elektronisches Bauelement, ist in **Abbildung 2 (c)** gezeigt. Das Schaltsymbol eines VDR ist in **Abbildung 2 (d)** gezeigt. 
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+## Phototransistor
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+Zur technischen Anwendung würde man eine Photodiode nicht einfach als Diode, sondern als **Phototransistor** betreiben. Dabei handelt es sich i.a. um einen bipolaren pnp- oder pnp-Transistor, dessen Basis-Kollektor-Sperrschicht einer externen Lichtquelle zugänglich ist. Die grundlegende Funktionsweise von Transistoren wird im **P1 Versuch [Transistor und Operationsverstärker](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Transistor_und_Operationsverstaerker)** ausgiebig diskutiert. Im Gegensatz zu einem normalen bipolaren Transistor hat ein Phototransistor i.a. nur zwei Klemmen, für den Kollektor und den Emitter. 
+
+In der Basis-Kollektor-Sperrschicht werden, wie bei der Photodiode, durch den inneren Photoeffekt Elektron-Loch-Paare erzeugt. Durch die zwischen Kollektor und Emitter anliegende äußere Spannung werden die Ladungen getrennt und der Ladungsfluss durch den statischen **Stromverstärkungsfaktor $\beta$** des Transistors gleichzeitig verstärkt. Die Basis wird i.a. nicht durch einen eigenen Spannungsanschluss, sondern durch den sich bei Beleuchtung einstellenden Photostrom $I_{\mathrm{Ph}}$ gesteuert. Übliche Verstärkungen liegen im Bereich 
+$$
+\begin{equation*}
+\beta\approx100\ldots 1000.
+\end{equation*}
+$$
+Der Phototransistor besitzt eine um den Faktor $\beta$ höhere Lichtempfindlichkeit, als die Photodiode, weist aber ein sich langsamer entwickelndes Stromsignal auf. 
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+Bei der Darstellung der Kennlinie wird meist eine Auftragung des Kollektorstroms $I_{\mathrm{C}}$ über der Spannung $U_{\mathrm{CE}}$ zwischen Kollektor und Emitter in Abhängigkeit von der Beleuchtungsstärke gewählt. Das Schaltsymbol eines Phototransistors ist in **Abbildung 2 (e)** gezeigt. 
+
+## Leuchtdiode
+
+**[Leuchtdioden oder LEDs](https://de.wikipedia.org/wiki/Leuchtdiode) (engl. *light emitting diode*)**, senden Licht aus, wenn sie in Durchlassrichtung betrieben werden. In diesem Fall wird also elektrische Energie in Licht umgewandelt. 
+
+Die Leuchtdiode besteht aus einem n-leitenden Grundhalbleiter, auf dem eine sehr dünne p-leitende Halbleiterschicht mit großer Löcherdichte aufgebracht wird. Durch die hohe Löcherdichte rekombinieren die Elektronen der n-leitenden HL-Schicht sehr schnell mit den Löchern der p-leitenden HL-Schicht. Dabei fällt ein Elektron aus dem Leitungsband (d.h. aus dem höheren Energieniveau) ins Valenzband (d.h. auf ein niedrigeres Energienivau) und gibt die Energiedifferenz $E_{g}$ der Bandlücke in Form eines Lichtimpulses mit der Wellenlänge
+$$
+\begin{equation*}
+\lambda = \frac{h\,c}{E_{g}} = \frac{1240\,\mathrm{eV\,nm}}{E_{g} [\mathrm{eV}]}
+\end{equation*}
+$$
+ab. $E_{g}$ bestimmt die Farbe des abgestrahlten Lichts, die somit von der genauen Wahl und Beschaffenheit des Halbleitermaterials abhängt. Da die p-Schicht sehr dünn ist, kann das Licht entweichen und wird nicht wieder absorbiert. Im Gegensatz zu einer normalen [Gleichrichterdiode](https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichrichter#Moderne_Halbleitergleichrichter) besteht eine LED nicht aus Si sondern aus anderen Stoffverbindungen, wie z.B. Galliumarsenid (GaAs), einem [III-V-Verbindungshalbleiter](https://de.wikipedia.org/wiki/III-V-Verbindungshalbleiter). GaAs gehört zur Gruppe der sog. [**direkten HL**](https://de.wikipedia.org/wiki/Bandl%C3%BCcke#Direkte_Bandl%C3%BCcke), während Si ein **indirekter HL** ist. Der Unterschied dieser beiden HL-Typen ist in **Abbildung 3** schematisch dargestellt:
+
+---
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+<img src="../figures/FK_Bandluecken.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
+
+(**Abbildung 3**: Schematische Darstellung einer (a) direkten und (b) indirekten Bandlücke in einem HL, im reziproken Raum, in dem man die Energie $E$ auf der $y$- und dem Wellenzahlvektor $k$ (bzw. den Impulsübertrag $\Delta p$) auf der $x$-Achse aufträgt)
+
+---
+
+Für diese Unterscheidung betrachtet man die Energiebänder des HL im [**reziproken Raum**](https://de.wikipedia.org/wiki/Reziprokes_Gitter), in dem die Energie $E$ auf der $y$- und dem Wellekzahlvektor $k$ auf der $x$-Achse dargestellt sind. $k$ ist dabei zum Impulsübertrag $\Delta p$ z.B. bei Übergängen zwischen Valenz- und Leitungsband äquivalent.
+
+Als **direkte Bandlücke** bezeichnet man eine Bandstruktur im reziproken Raum, bei der das Energieminimum $E_{L}$ des Leitungsbandes direkt über dem Energiemaximum $E_{V}$ des Valenzbandes liegt. In diesem Fall kann ein Elektron ohne nennenswerten Impulsübertrag vom Leitungs- ins Valenzband gelangen. Diese Situation ist in **Abbildung 3 (a)** gezeigt. Ist dies nicht der Fall, spricht man von einer **indirekten Bandlücke**. Diese Situation ist in **Abbildung 3 (b)** gezeigt.
+
+Findet der Übergang eines Elektrons vom Leitungs- ins Valenzband elektronisch, d.h. durch die Abstrahlung eines Photons mit der Wellenlänge $\lambda$ statt, trägt das abgestrahlte Photon den Impuls
+$$
+\begin{equation*}
+p = \frac{h\ c}{\lambda} = \frac{1240\,\mathrm{eV\,nm}}{\lambda [\mathrm{nm}]}= \frac{E_{g}}{c}
+\end{equation*}
+$$
+bei. Bei einem indirekten Halbleiter erfordert ein solcher Übergang i.a. einen zusätzlichen Stoßpartner für den Impulsübertrag, so dass die Energie-Impuls-Relation der Reaktion erhalten bleibt. I.a. wird dieser Impuls in Form von Gitterschwingungen (Phononen) vom Halbleiter aufgenommen. Der Umstand, dass bei indirekten Halbleitern ein zusätzliches Quasiteilchen am Übergang beteiligt ist, reduziert die Wahrscheinlichkeit für solche Übergänge. Stattdessen dominieren nicht-strahlende Übergänge wie die [Rekombination über Störstellen](https://de.wikipedia.org/wiki/Rekombination_(Physik)#Shockley-Read-Hall-Rekombination). Entsprechend leuchtet z.B. eine normale Si-[Gleichrichterdiode](https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichrichter#Moderne_Halbleitergleichrichter) nicht. 
+
+Bei einer aus GaAs bestehenden LED sind strahlende Übergänge im Gegensatz zum Si sehr häufig. Man bezeichnet die Anzahl abgestrahlter Photonen pro Übergang eines Elektrons vom Leitungs- ins Valenzband als Quantenausbeute. Diese liegt für GaAs bei  ${\approx}0.5$, für Si liegt sie bei ${\approx}10^{−5}$. Dieser Umstand erklärt, warum eine GaAs-Diode leuchtet und eine Si-Diode nicht. 
+
+Schon bei kleinen Stromstärken ist bei LEDs eine Lichtabstrahlung wahrnehmbar. Die Lichtstärke wächst proportional mit der Stromstärke. Leuchtdioden reagieren sehr empfindlich auf einen zu großen Durchlassstrom, deshalb schalten Sie im Versuch einen strombegrenzenden Vorwiderstand in Reihe zur Leuchtdiode. Auch die Durchlassspannungen der Bauteile unterscheiden sich. Die $UI$-Kennlinie ist
+in Folge dessen je nach Material der LED auf der $U$-Achse verschoben, alle LEDs weisen jedoch, wie normale Dioden, einen exponentiellen Anstieg des Durchlassstroms bei zunehmender Durchlassspannung auf.
+
+## Essentials
+
+Was Sie ab jetzt wissen sollten:
+
+- Sie sollten wissen wie eine Photodiode funktioniert und auf welchem zugrundeliegenden Effekt ihre **Funktionsweise** beruht. 
+- Sie sollten die **Unterschiede einer Photodiode zu einem Photowiderstand und zu einem Phototransistor** benennen können. 
+- Sie sollten erklären können, **warum eine LED aus GaAs leuchtet, aber eine Photodiode aus Si nicht**. 
+
+## Testfragen
+
+1. Welche Wellenlänge gehört zur Energie von $E_{g}=1.1\ \mathrm{eV}$? 
+2. Wie groß sind Wert und Polung der Spannung, die sich an einer Photodiode aufbauen, an der keine äußere Spannung anliegt? 
+3. Wie würde Sie mit Hilfe einer Photodiode einen Versuch zum (inneren) Photoeffekt aufbauen? 
+
+# Navigation
+
+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/tree/main/Elektrische_Bauelemente)
+

Elektrische_Bauelemente/doc/Hinweise-Piezoeffekt.md

+# Hinweise für den Versuch **Elektrische Bauelemente**
+
+## Druckabhängige Bauelemente
+
+Stoffe bei denen es unter der Einwirkung gerichteter mechanischer Spannung zur elektrischen Polarisation kommt bezeichnet man als [piezoelektrisch](https://de.wikipedia.org/wiki/Piezoelektrizit%C3%A4t). Man bezeichnet diesen Effekt als den **direkten piezoelektrischen Effekt** oder **direkten Piezoeffekt**. Umgekehrt verformen sich piezoelektrische Stoffe, wenn elektrische Spannungen an ihnen anliegen. Diesen Effekt bezeichnet man als **inversen Piezoeffekt**. 
+
+Der Piezoeffekt tritt bei Stoffen auf, die polare Bindungen besitzen und deren Kristallstruktur Elementarzellen (EZ) ohne Punktsymmetrie am Zentrum der EZ aufweisen, wie dies z.B. bei Quarz ($\mathrm{SiO_{2}}$) der Fall ist. Eine vereinfachte Darstellung der Geometrie für Quarz ist in **Abbildung 1** gezeigt:
+
+---
+
+<img src="../figures/Piezoeffekt.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 1**: (Ein hexagonal nicht punktsymmetrsicher Schnitt durch Quarz, für den es unter mechanischer Spannung zum direkten Piezoeffekt kommt. Abbildung (a) zeigt eine EZ des Kristall ohne äußere, mechanische Spannungseinwirkung. Abbildung (b) zeigt die gleiche EZ unter einer äußeren, mechanischen Spannungseinwirkung)
+
+---
+
+Im Quarz bildet das vierwertige Si zwei polare Doppelbindungen mit zwei Sauerstoffatomen aus. Die Kristallstruktur weist einen Schnitt auf, entlang dessen sich eine hexagonale Struktur in einer Helix durch den Kristall windet, mit einer EZ, wie in **Abbildung 1 (a)**. Diese weist keine Punktsymmetrie an ihrem Zentrum auf, ein Sauerstoffatom wird jeweils im Zentrum auf ein Si-Atom abgebildet und umgekehrt. Die Ladungsschwerpunkte der Sauerstoffatome (in rot) und der Si-Atome (in blau) fallen aufeinander, so dass der Kristall keine Nettopolarisation aufweist. Unter der Einwirkung einer gerichteten Spannung, wie in **Abbildung 1 (b)** gezeigt, verschieben sich die Ladungsschwerpunkte und es kommt zur Polarisation die, in diesem Fall an den Oberflächen des Kristalls, auf die die Spannung jeweils ausgeübt wird zur Ladungstrennung und damit zu einer Spannung führt. 
+
+Im Gegenzug führt das Anlegen einer elektrischen Spannung (im Bild mit positiver Polung oben und negativer Polung unten) zu einer Abflachung des Kristalls in der angegebenen Richtung. Dieser **Längs-Effekt** ist am einfachsten zu beschreiben. Je nach Kristallstruktur kann es aber auch zu **Quer- und Scher-Effekten** kommen.
+
+Die mathematische Beschreibung erfolgt z.B. effektiv, d.h. ohne Berücksichtigung der mikroskopischen Strktur im Rahmen der [Kontinuumsmechanik](https://de.wikipedia.org/wiki/Kontinuumsmechanik) in erster Näherung durch die Gleichung:
+$$
+\begin{equation*}
+P=d\,T = e\,S,
+\end{equation*}
+$$
+wobei $P$ der Polarisation des Kristalls, $T$ der mechanischen Spannung und $S$ der relativen Verformung entsprechen. Bei den 
+$$
+\begin{equation*}
+d_{ijk} = \frac{\partial S_{ij}}{\partial E_{k}}
+\end{equation*}
+$$
+handelt es sich um die **piezoelektrischen Verzerrungskoeffizienten**. Bei den 
+$$
+\begin{equation*}
+e_{ijk} = \frac{\partial T_{ij}}{\partial E_{k}}
+\end{equation*}
+$$
+handelt es sich um die **piezoelektrischen Spannungskoeffizienten**. Beide lassen sich jeweils zu einem Tensor dritter Stufe anordnen.
+
+## Funktionsweise einer Quarzuhr
+
+Die Funktionsweise einer Quarzuhr beruht auf dem Piezoeffekt von Quarz. Im Werk wird ein Resonator, wie eine Stimmgabel, auf eine Eigenfrequenz 
+$$
+\begin{equation*}
+\nu_{0}=32.768\,\mathrm{kHz}
+\end{equation*}
+$$
+kalibriert. Dies erfolgt unter Auftragung dünner Goldschichten, um die Trägheit des Resonators zu erhöhen, bis die gewünschte Eigenfrequenz erreicht ist. Bei $\nu_{0}$ handelt es sich um die niedrigste Zweierpotenz
+$$
+\begin{equation*}
+2^{15}=32768
+\end{equation*}
+$$
+oberhalb des Frequenzbereichs von ${\approx}20\ \mathrm{kHz}$, ab dem das menschliche Ohr Frequenzen nicht mehr wahrnimmt. Die Uhr macht dadurch beim Betrieb keine wahrnehmbaren Geräusche. In der Uhr wird die Spannung aufgrund des piezoelektrischen Effekts abgegriffen und durch einen Operationsverstärker positiv auf den Kristall zurück gekoppelt, was den Quarz zur resonanten Schwingung anregt. Die Schwingung wird durch die Toggle-Zustände von 15 in Reihe geschaltete Jack-Kilby Flipflops (JK-FF) 15 mal halbiert, woraus sich eine Schwingung von einer Sekunde einstellt. 
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+Sehr gute Quarzuhren verlieren auf einen Tag nicht mehr als 5 Sekunden, was einer Präzision von besser als $6\times10^{-5}$ entspricht. 
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+# Navigation
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+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/tree/main/Elektrische_Bauelemente)
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