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Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md

@@ -78,102 +78,6 @@ Wiederholen Sie die Messreihe mit verschiedenen Gewichten an der Metallstange un
 
 Passen die an sich ergebenden Kurven jeweils ein Modell nach Gleichung (**(3)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)) an. 
 
-#### Aufgabe 2.4
-
-Die Trägheitsmomente $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ lassen sich aus den Messungen der **Aufgaben 2.2** und **2.3** auf zweierlei Art und Weise bestimmen: 
-
-- Zum einen, indem an alle Messungen als unabhängig betrachtet und die gesuchten Größen daraus Schritt für Schritt extrahiert (**Methode-1**). 
-- Zum anderen, indem man, mit Hilfe der *Multifit* Methode aus *kafe2*, ein gemeinsames zugrundeliegendes Modell gleichzeitig an alle Messungen anpasst (**Methode-2**). 
-
-Methode-2 ist zwar technisch anspruchsvoller, es ist jedoch die bessere Methode, weil sie es erlaubt, alle Messpunkte gleichzeitig für die Bestimmung von drei gesuchten Parametern zu nutzen. Nach Methode-1 kann man immer nur einen Bruchteil der aufgezeichneten Messpunkte zur Bestimmung einzelner Parameter nutzen, deren individuelle statistische Unsicherheiten dadurch größer sind. 
-
-##### Methode-1
-
-###### Schritt-1:
-
-Hierbei nutzen Sie zunächst die Messung von $\omega_{N}$ als Funktion von $\omega$ zur Berechnung von $\theta_{x}'$ nach Gleichung (**(1)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md))
-$$
-\begin{equation}
-\omega_{N} = \omega\,\frac{\theta_{z}^{\prime}}{\sqrt{\theta_{x}^{\prime}\,\theta_{y}^{\prime}}}.
-\end{equation}
-$$
-Dabei nutzen Sie die Messung **einmal mit** und **einmal ohne Zusatzgewichte**, um die Ambiguität zwischen $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ in der Steigung der jeweiligen Ursprungsgeraden aufzuheben. 
-
-Zunächst bestimmen Sie die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ mit und ohne Zusatzgewichte: 
-$$
-\begin{equation*}
-\begin{split}
-&\omega_{N} = m_{i}\,\omega; \\
-&\\
-&m_{1} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{\theta_{x}'\,\theta_{y}'}}; \qquad 
-m_{2} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{(\theta_{x}'+\theta_{\mathrm{Zylinder}})\,\theta_{y}'}}; \\
-&\\
-&\text{mit dem bekannten Tr\"agheitsmoment:} \\
-&\\
-&\theta_{\mathrm{Zylinder}} = 2\,\left(\frac{1}{2}m\,r^{2}+m\,\ell^{2}\right),
-\end{split}
-\end{equation*}
-$$
-wobei $m$ der Masse und und $r$ dem Radius der jeweils baugleichen Zusatzgewichte und $\ell$ dem Abstand der Schwerpunkte der Zusatzgewichte von der Symmetrieachse des Kreisels entsprechen. 
-
-Aus dem Quotienten 
-$$
-\begin{equation*}
-\begin{split}
-&\frac{m_{1}}{m_{2}}=\sqrt{\frac{\theta_{x}'}{\theta_{x}'+\theta_{\mathrm{Zylinder}}}}; \\
-&\\
-&\theta_{x}' = \frac{\theta_{\mathrm{Zylinder}}}{\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}-1} \\
-\end{split}
-\end{equation*}
-$$
- lässt sich $\theta_{x}'$ bestimmen.
-
-###### Schritt-2:
-
-Das Trägheitsmoment $\theta_{z}'$ lässt sich aus der Messung aus **Aufgabe 2.3** nach Gleichung (**(3)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)) bestimmen:
-$$
-\begin{equation}
-\Omega = \frac{M\,g\,s}{\theta_{z}'}\,\frac{1}{\omega} = \kappa \,\frac{1}{\omega},
-\end{equation}
-$$
-wobei $M$ der Masse und und $s$ dem Abstand des Schwerpunkts des Stabs vom Schwerpunkt des Kreisels und $g$ der Erdbeschleunigung entsprechen. Sie können zur Bestimmung von $\kappa$ die Präzessionsfrequenz $\Omega$ gegen $1/\omega$ auftragen und $\kappa$ als Steigung einer Geraden bestimmen. Besser ist jedoch der Auftrag von $\Omega$ gegen $\omega$ und die direkte Anpassung der Hyperbelgleichung aus Gleichung **(2)**. Letzteres Vorgehen belässt die Grundannahme normalverteilter Unsicherheiten $\Delta\omega_{i}$ auf die Messwerte $\omega_{i}$ entlang der $x$-Achse **unverzerrt**. 
-
-Aus $\kappa$ erhalten Sie $\theta_{z}'$ aus der Gleichung: 
-$$
-\begin{equation*}
-\theta_{z}' = \frac{M\,g\,d}{\kappa}.
-\end{equation*}
-$$
-
-###### Schritt-3: 
-
-Mit dem Wissen um $\theta_{x}'$ und $\theta_{z}'$ können Sie nun $\theta_{y}'$ am einfachsten aus der zuvor bestimmten Steigung $m_{1}$ bestimmen: 
-$$
-\begin{equation*}
-\begin{split}
-& m_{1} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{\theta_{x}'\,\theta_{y}'}}; \qquad
-\theta_{y}' = \frac{\theta_{z}^{\prime\,2}}{m_{1}^{2}\,\theta_{x}'}. \\
-\end{split}
-\end{equation*}
-$$
-**Beachten Sie, bei einer Berechnung der Trägheitsmomente auf diese Weise die Fortpflanzung der Unsicherheiten einschließlich der Bestimmung systematischer Unsicherheiten!**
-
-##### Methode-2:
-
-Für die Bestimmung von $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ nach Methode-2 übergeben Sie die Datenpunkte aus den **Aufgaben 2.2** und **2.3** geeignet an die *Mutifit*-Funktion aus *kafe2* und definieren die Modelle direkt nach Gleichung (**(1)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)) und Gleichung (**(3)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)). 
-
-Nach erfolgreicher Implementierung erhalten Sie die Zentralwerte und Unsicherheiten auf $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ aus der Anpassung. 
-
-##### Bestimmung der Masse des Rotors
-
-Die Masse des Rotors können Sie aus der Annahme abschätzen, dass dieser in erster Näherung einem flachen Zylinder entspricht. Daraus besteht der folgende Zusammenhang
-$$
-\begin{equation*}
-\theta_{z}' = \frac{1}{2}M_{\mathrm{Rotor}}\left(\frac{d}{2}\right)^{2},
-\end{equation*}
-$$
- wobei $M_{\mathrm{Rotor}}$ der Masse und $d$ dem Durchmesser des Rotors entsprechen. aus der Kenntnis von $\theta_{z}'$ und $d$ lässt sich so $M_{\mathrm{Rotor}}$ abschätzen.
-
 # Navigation
 
-[Zurück](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md) | [Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel)
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Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-c.md

+# Hinweise für den Versuch Kreisel
+
+## Aufgabe 2: Kardanisch gelagerter Kreisel
+
+### Hinweise zur Durchführung
+
+#### Aufgabe 2.4
+
+Die Trägheitsmomente $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ lassen sich aus den Messungen der **Aufgaben 2.2** und **2.3** auf zweierlei Art und Weise bestimmen: 
+
+- Zum einen, indem an alle Messungen als unabhängig betrachtet und die gesuchten Größen daraus Schritt für Schritt extrahiert (**Methode-1**). 
+- Zum anderen, indem man, mit Hilfe der *Multifit* Methode aus *kafe2*, ein gemeinsames zugrundeliegendes Modell gleichzeitig an alle Messungen anpasst (**Methode-2**). 
+
+Methode-2 ist zwar technisch anspruchsvoller, es ist jedoch die bessere Methode, weil sie es erlaubt, alle Messpunkte gleichzeitig für die Bestimmung von drei gesuchten Parametern zu nutzen. Nach Methode-1 kann man immer nur einen Bruchteil der aufgezeichneten Messpunkte zur Bestimmung einzelner Parameter nutzen, deren individuelle statistische Unsicherheiten dadurch größer sind. 
+
+##### Methode-1
+
+###### Schritt-1:
+
+Hierbei nutzen Sie zunächst die Messung von $\omega_{N}$ als Funktion von $\omega$ zur Berechnung von $\theta_{x}'$ nach Gleichung (**(1)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md))
+$$
+\begin{equation}
+\omega_{N} = \omega\,\frac{\theta_{z}^{\prime}}{\sqrt{\theta_{x}^{\prime}\,\theta_{y}^{\prime}}}.
+\end{equation}
+$$
+Dabei nutzen Sie die Messung **einmal mit** und **einmal ohne Zusatzgewichte**, um die Ambiguität zwischen $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ in der Steigung der jeweiligen Ursprungsgeraden aufzuheben. 
+
+Zunächst bestimmen Sie die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ mit und ohne Zusatzgewichte: 
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&\omega_{N} = m_{i}\,\omega; \\
+&\\
+&m_{1} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{\theta_{x}'\,\theta_{y}'}}; \qquad 
+m_{2} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{(\theta_{x}'+\theta_{\mathrm{Zylinder}})\,\theta_{y}'}}; \\
+&\\
+&\text{mit dem bekannten Tr\"agheitsmoment:} \\
+&\\
+&\theta_{\mathrm{Zylinder}} = 2\,\left(\frac{1}{2}m\,r^{2}+m\,\ell^{2}\right),
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+wobei $m$ der Masse und und $r$ dem Radius der jeweils baugleichen Zusatzgewichte und $\ell$ dem Abstand der Schwerpunkte der Zusatzgewichte von der Symmetrieachse des Kreisels entsprechen. 
+
+Aus dem Quotienten 
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&\frac{m_{1}}{m_{2}}=\sqrt{\frac{\theta_{x}'}{\theta_{x}'+\theta_{\mathrm{Zylinder}}}}; \\
+&\\
+&\theta_{x}' = \frac{\theta_{\mathrm{Zylinder}}}{\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}-1} \\
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+ lässt sich $\theta_{x}'$ bestimmen.
+
+###### Schritt-2:
+
+Das Trägheitsmoment $\theta_{z}'$ lässt sich aus der Messung aus **Aufgabe 2.3** nach Gleichung (**(3)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)) bestimmen:
+$$
+\begin{equation}
+\Omega = \frac{M\,g\,s}{\theta_{z}'}\,\frac{1}{\omega} = \kappa \,\frac{1}{\omega},
+\end{equation}
+$$
+wobei $M$ der Masse und und $s$ dem Abstand des Schwerpunkts des Stabs vom Schwerpunkt des Kreisels und $g$ der Erdbeschleunigung entsprechen. Sie können zur Bestimmung von $\kappa$ die Präzessionsfrequenz $\Omega$ gegen $1/\omega$ auftragen und $\kappa$ als Steigung einer Geraden bestimmen. Besser ist jedoch der Auftrag von $\Omega$ gegen $\omega$ und die direkte Anpassung der Hyperbelgleichung aus Gleichung **(2)**. Letzteres Vorgehen belässt die Grundannahme normalverteilter Unsicherheiten $\Delta\omega_{i}$ auf die Messwerte $\omega_{i}$ entlang der $x$-Achse **unverzerrt**. 
+
+Aus $\kappa$ erhalten Sie $\theta_{z}'$ aus der Gleichung: 
+$$
+\begin{equation*}
+\theta_{z}' = \frac{M\,g\,d}{\kappa}.
+\end{equation*}
+$$
+
+###### Schritt-3: 
+
+Mit dem Wissen um $\theta_{x}'$ und $\theta_{z}'$ können Sie nun $\theta_{y}'$ am einfachsten aus der zuvor bestimmten Steigung $m_{1}$ bestimmen: 
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+& m_{1} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{\theta_{x}'\,\theta_{y}'}}; \qquad
+\theta_{y}' = \frac{\theta_{z}^{\prime\,2}}{m_{1}^{2}\,\theta_{x}'}. \\
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+**Beachten Sie, bei einer Berechnung der Trägheitsmomente auf diese Weise die Fortpflanzung der Unsicherheiten einschließlich der Bestimmung systematischer Unsicherheiten!**
+
+##### Methode-2:
+
+Für die Bestimmung von $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ nach Methode-2 übergeben Sie die Datenpunkte aus den **Aufgaben 2.2** und **2.3** geeignet an die *Mutifit*-Funktion aus *kafe2* und definieren die Modelle direkt nach Gleichung (**(1)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)) und Gleichung (**(3)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)). 
+
+Nach erfolgreicher Implementierung erhalten Sie die Zentralwerte und Unsicherheiten auf $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ aus der Anpassung. 
+
+##### Bestimmung der Masse des Rotors
+
+Die Masse des Rotors können Sie aus der Annahme abschätzen, dass dieser in erster Näherung einem flachen Zylinder entspricht. Daraus besteht der folgende Zusammenhang
+$$
+\begin{equation*}
+\theta_{z}' = \frac{1}{2}M_{\mathrm{Rotor}}\left(\frac{d}{2}\right)^{2},
+\end{equation*}
+$$
+ wobei $M_{\mathrm{Rotor}}$ der Masse und $d$ dem Durchmesser des Rotors entsprechen. aus der Kenntnis von $\theta_{z}'$ und $d$ lässt sich so $M_{\mathrm{Rotor}}$ abschätzen.
+
+# Navigation
+
+[Zurück](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md) | [Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel)