diff --git a/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md b/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md index cd7fb32790c3bc79918a0f9c5b1dfb9bb95ca9f8..1ded024317542c858b71784ff5625fd17f93e0c4 100644 --- a/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md +++ b/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md @@ -78,102 +78,6 @@ Wiederholen Sie die Messreihe mit verschiedenen Gewichten an der Metallstange un Passen die an sich ergebenden Kurven jeweils ein Modell nach Gleichung (**(3)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)) an. -#### Aufgabe 2.4 - -Die Trägheitsmomente $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ lassen sich aus den Messungen der **Aufgaben 2.2** und **2.3** auf zweierlei Art und Weise bestimmen: - -- Zum einen, indem an alle Messungen als unabhängig betrachtet und die gesuchten Größen daraus Schritt für Schritt extrahiert (**Methode-1**). -- Zum anderen, indem man, mit Hilfe der *Multifit* Methode aus *kafe2*, ein gemeinsames zugrundeliegendes Modell gleichzeitig an alle Messungen anpasst (**Methode-2**). - -Methode-2 ist zwar technisch anspruchsvoller, es ist jedoch die bessere Methode, weil sie es erlaubt, alle Messpunkte gleichzeitig für die Bestimmung von drei gesuchten Parametern zu nutzen. Nach Methode-1 kann man immer nur einen Bruchteil der aufgezeichneten Messpunkte zur Bestimmung einzelner Parameter nutzen, deren individuelle statistische Unsicherheiten dadurch größer sind. - -##### Methode-1 - -###### Schritt-1: - -Hierbei nutzen Sie zunächst die Messung von $\omega_{N}$ als Funktion von $\omega$ zur Berechnung von $\theta_{x}'$ nach Gleichung (**(1)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)) -$$ -\begin{equation} -\omega_{N} = \omega\,\frac{\theta_{z}^{\prime}}{\sqrt{\theta_{x}^{\prime}\,\theta_{y}^{\prime}}}. -\end{equation} -$$ -Dabei nutzen Sie die Messung **einmal mit** und **einmal ohne Zusatzgewichte**, um die Ambiguität zwischen $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ in der Steigung der jeweiligen Ursprungsgeraden aufzuheben. - -Zunächst bestimmen Sie die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ mit und ohne Zusatzgewichte: -$$ -\begin{equation*} -\begin{split} -&\omega_{N} = m_{i}\,\omega; \\ -&\\ -&m_{1} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{\theta_{x}'\,\theta_{y}'}}; \qquad -m_{2} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{(\theta_{x}'+\theta_{\mathrm{Zylinder}})\,\theta_{y}'}}; \\ -&\\ -&\text{mit dem bekannten Tr\"agheitsmoment:} \\ -&\\ -&\theta_{\mathrm{Zylinder}} = 2\,\left(\frac{1}{2}m\,r^{2}+m\,\ell^{2}\right), -\end{split} -\end{equation*} -$$ -wobei $m$ der Masse und und $r$ dem Radius der jeweils baugleichen Zusatzgewichte und $\ell$ dem Abstand der Schwerpunkte der Zusatzgewichte von der Symmetrieachse des Kreisels entsprechen. - -Aus dem Quotienten -$$ -\begin{equation*} -\begin{split} -&\frac{m_{1}}{m_{2}}=\sqrt{\frac{\theta_{x}'}{\theta_{x}'+\theta_{\mathrm{Zylinder}}}}; \\ -&\\ -&\theta_{x}' = \frac{\theta_{\mathrm{Zylinder}}}{\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}-1} \\ -\end{split} -\end{equation*} -$$ - lässt sich $\theta_{x}'$ bestimmen. - -###### Schritt-2: - -Das Trägheitsmoment $\theta_{z}'$ lässt sich aus der Messung aus **Aufgabe 2.3** nach Gleichung (**(3)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)) bestimmen: -$$ -\begin{equation} -\Omega = \frac{M\,g\,s}{\theta_{z}'}\,\frac{1}{\omega} = \kappa \,\frac{1}{\omega}, -\end{equation} -$$ -wobei $M$ der Masse und und $s$ dem Abstand des Schwerpunkts des Stabs vom Schwerpunkt des Kreisels und $g$ der Erdbeschleunigung entsprechen. Sie können zur Bestimmung von $\kappa$ die Präzessionsfrequenz $\Omega$ gegen $1/\omega$ auftragen und $\kappa$ als Steigung einer Geraden bestimmen. Besser ist jedoch der Auftrag von $\Omega$ gegen $\omega$ und die direkte Anpassung der Hyperbelgleichung aus Gleichung **(2)**. Letzteres Vorgehen belässt die Grundannahme normalverteilter Unsicherheiten $\Delta\omega_{i}$ auf die Messwerte $\omega_{i}$ entlang der $x$-Achse **unverzerrt**. - -Aus $\kappa$ erhalten Sie $\theta_{z}'$ aus der Gleichung: -$$ -\begin{equation*} -\theta_{z}' = \frac{M\,g\,d}{\kappa}. -\end{equation*} -$$ - -###### Schritt-3: - -Mit dem Wissen um $\theta_{x}'$ und $\theta_{z}'$ können Sie nun $\theta_{y}'$ am einfachsten aus der zuvor bestimmten Steigung $m_{1}$ bestimmen: -$$ -\begin{equation*} -\begin{split} -& m_{1} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{\theta_{x}'\,\theta_{y}'}}; \qquad -\theta_{y}' = \frac{\theta_{z}^{\prime\,2}}{m_{1}^{2}\,\theta_{x}'}. \\ -\end{split} -\end{equation*} -$$ -**Beachten Sie, bei einer Berechnung der Trägheitsmomente auf diese Weise die Fortpflanzung der Unsicherheiten einschließlich der Bestimmung systematischer Unsicherheiten!** - -##### Methode-2: - -Für die Bestimmung von $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ nach Methode-2 übergeben Sie die Datenpunkte aus den **Aufgaben 2.2** und **2.3** geeignet an die *Mutifit*-Funktion aus *kafe2* und definieren die Modelle direkt nach Gleichung (**(1)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)) und Gleichung (**(3)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)). - -Nach erfolgreicher Implementierung erhalten Sie die Zentralwerte und Unsicherheiten auf $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ aus der Anpassung. - -##### Bestimmung der Masse des Rotors - -Die Masse des Rotors können Sie aus der Annahme abschätzen, dass dieser in erster Näherung einem flachen Zylinder entspricht. Daraus besteht der folgende Zusammenhang -$$ -\begin{equation*} -\theta_{z}' = \frac{1}{2}M_{\mathrm{Rotor}}\left(\frac{d}{2}\right)^{2}, -\end{equation*} -$$ - wobei $M_{\mathrm{Rotor}}$ der Masse und $d$ dem Durchmesser des Rotors entsprechen. aus der Kenntnis von $\theta_{z}'$ und $d$ lässt sich so $M_{\mathrm{Rotor}}$ abschätzen. - # Navigation -[Zurück](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md) | [Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel) +[Zurück](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md) | [Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel) | [Weiter](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-c.md) diff --git a/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-c.md b/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-c.md new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..64df1332006ef1047e4242edbe3010617527c8e4 --- /dev/null +++ b/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-c.md @@ -0,0 +1,105 @@ +# Hinweise für den Versuch Kreisel + +## Aufgabe 2: Kardanisch gelagerter Kreisel + +### Hinweise zur Durchführung + +#### Aufgabe 2.4 + +Die Trägheitsmomente $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ lassen sich aus den Messungen der **Aufgaben 2.2** und **2.3** auf zweierlei Art und Weise bestimmen: + +- Zum einen, indem an alle Messungen als unabhängig betrachtet und die gesuchten Größen daraus Schritt für Schritt extrahiert (**Methode-1**). +- Zum anderen, indem man, mit Hilfe der *Multifit* Methode aus *kafe2*, ein gemeinsames zugrundeliegendes Modell gleichzeitig an alle Messungen anpasst (**Methode-2**). + +Methode-2 ist zwar technisch anspruchsvoller, es ist jedoch die bessere Methode, weil sie es erlaubt, alle Messpunkte gleichzeitig für die Bestimmung von drei gesuchten Parametern zu nutzen. Nach Methode-1 kann man immer nur einen Bruchteil der aufgezeichneten Messpunkte zur Bestimmung einzelner Parameter nutzen, deren individuelle statistische Unsicherheiten dadurch größer sind. + +##### Methode-1 + +###### Schritt-1: + +Hierbei nutzen Sie zunächst die Messung von $\omega_{N}$ als Funktion von $\omega$ zur Berechnung von $\theta_{x}'$ nach Gleichung (**(1)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)) +$$ +\begin{equation} +\omega_{N} = \omega\,\frac{\theta_{z}^{\prime}}{\sqrt{\theta_{x}^{\prime}\,\theta_{y}^{\prime}}}. +\end{equation} +$$ +Dabei nutzen Sie die Messung **einmal mit** und **einmal ohne Zusatzgewichte**, um die Ambiguität zwischen $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ in der Steigung der jeweiligen Ursprungsgeraden aufzuheben. + +Zunächst bestimmen Sie die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ mit und ohne Zusatzgewichte: +$$ +\begin{equation*} +\begin{split} +&\omega_{N} = m_{i}\,\omega; \\ +&\\ +&m_{1} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{\theta_{x}'\,\theta_{y}'}}; \qquad +m_{2} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{(\theta_{x}'+\theta_{\mathrm{Zylinder}})\,\theta_{y}'}}; \\ +&\\ +&\text{mit dem bekannten Tr\"agheitsmoment:} \\ +&\\ +&\theta_{\mathrm{Zylinder}} = 2\,\left(\frac{1}{2}m\,r^{2}+m\,\ell^{2}\right), +\end{split} +\end{equation*} +$$ +wobei $m$ der Masse und und $r$ dem Radius der jeweils baugleichen Zusatzgewichte und $\ell$ dem Abstand der Schwerpunkte der Zusatzgewichte von der Symmetrieachse des Kreisels entsprechen. + +Aus dem Quotienten +$$ +\begin{equation*} +\begin{split} +&\frac{m_{1}}{m_{2}}=\sqrt{\frac{\theta_{x}'}{\theta_{x}'+\theta_{\mathrm{Zylinder}}}}; \\ +&\\ +&\theta_{x}' = \frac{\theta_{\mathrm{Zylinder}}}{\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}-1} \\ +\end{split} +\end{equation*} +$$ + lässt sich $\theta_{x}'$ bestimmen. + +###### Schritt-2: + +Das Trägheitsmoment $\theta_{z}'$ lässt sich aus der Messung aus **Aufgabe 2.3** nach Gleichung (**(3)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)) bestimmen: +$$ +\begin{equation} +\Omega = \frac{M\,g\,s}{\theta_{z}'}\,\frac{1}{\omega} = \kappa \,\frac{1}{\omega}, +\end{equation} +$$ +wobei $M$ der Masse und und $s$ dem Abstand des Schwerpunkts des Stabs vom Schwerpunkt des Kreisels und $g$ der Erdbeschleunigung entsprechen. Sie können zur Bestimmung von $\kappa$ die Präzessionsfrequenz $\Omega$ gegen $1/\omega$ auftragen und $\kappa$ als Steigung einer Geraden bestimmen. Besser ist jedoch der Auftrag von $\Omega$ gegen $\omega$ und die direkte Anpassung der Hyperbelgleichung aus Gleichung **(2)**. Letzteres Vorgehen belässt die Grundannahme normalverteilter Unsicherheiten $\Delta\omega_{i}$ auf die Messwerte $\omega_{i}$ entlang der $x$-Achse **unverzerrt**. + +Aus $\kappa$ erhalten Sie $\theta_{z}'$ aus der Gleichung: +$$ +\begin{equation*} +\theta_{z}' = \frac{M\,g\,d}{\kappa}. +\end{equation*} +$$ + +###### Schritt-3: + +Mit dem Wissen um $\theta_{x}'$ und $\theta_{z}'$ können Sie nun $\theta_{y}'$ am einfachsten aus der zuvor bestimmten Steigung $m_{1}$ bestimmen: +$$ +\begin{equation*} +\begin{split} +& m_{1} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{\theta_{x}'\,\theta_{y}'}}; \qquad +\theta_{y}' = \frac{\theta_{z}^{\prime\,2}}{m_{1}^{2}\,\theta_{x}'}. \\ +\end{split} +\end{equation*} +$$ +**Beachten Sie, bei einer Berechnung der Trägheitsmomente auf diese Weise die Fortpflanzung der Unsicherheiten einschließlich der Bestimmung systematischer Unsicherheiten!** + +##### Methode-2: + +Für die Bestimmung von $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ nach Methode-2 übergeben Sie die Datenpunkte aus den **Aufgaben 2.2** und **2.3** geeignet an die *Mutifit*-Funktion aus *kafe2* und definieren die Modelle direkt nach Gleichung (**(1)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)) und Gleichung (**(3)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)). + +Nach erfolgreicher Implementierung erhalten Sie die Zentralwerte und Unsicherheiten auf $\theta_{x}'$, $\theta_{y}'$ und $\theta_{z}'$ aus der Anpassung. + +##### Bestimmung der Masse des Rotors + +Die Masse des Rotors können Sie aus der Annahme abschätzen, dass dieser in erster Näherung einem flachen Zylinder entspricht. Daraus besteht der folgende Zusammenhang +$$ +\begin{equation*} +\theta_{z}' = \frac{1}{2}M_{\mathrm{Rotor}}\left(\frac{d}{2}\right)^{2}, +\end{equation*} +$$ + wobei $M_{\mathrm{Rotor}}$ der Masse und $d$ dem Durchmesser des Rotors entsprechen. aus der Kenntnis von $\theta_{z}'$ und $d$ lässt sich so $M_{\mathrm{Rotor}}$ abschätzen. + +# Navigation + +[Zurück](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Kreisel/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md) | [Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Kreisel)