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Roger Wolf authoredRoger Wolf authored
Hinweise für den Versuch Vierpole und Leitungen
Aufgabe 1: Einfache Vierpole [1/2]
Bei dieser Aufgabe werden RC-Spannungsteiler, als einfache, passive, lineare Vierpole, bezüglich des Spannungsübertrags (Hoch-/Tiefpass) und der Phasenverschiebung (Phasenschieber) zwischen Ein- und Ausgangssignal untersucht.
Hochpass-Filter
Als einfachen Hochpass-Filter verwenden wir eine Schaltung, wie in Skizze 1 dargestellt.
Skizze 1 (Schaltbild eines einfachen Hochpass-Filters)
Die Eingänge (für U_{0}) befinden sich links, die Ausgänge (für U_{1}) rechts in der Skizze. Aus den Kirchhoffschen Regeln ergibt sich für diese Schaltung beim Anlegen einer Wechselspannung: \begin{equation} U_{0} = I_{0}\,R + \frac{I_{0}}{i\omega\,C};\qquad U_{1} = I_{1}\,R;\qquad I_{0}=I_{1}. \end{equation} Für das Verhältnis von U_{1} zu U_{0} ergibt sich \begin{equation*} \frac{U_{1}}{U_{0}} = \frac{R}{R+\frac{1}{i\omega\,C}}= \frac{1}{1+\frac{1}{i\omega\,C\,R}}. \end{equation*} Für die Messung von Relevanz ist das Verhältnis der Beträge (im folgenden Spannungsübertrag genannt) und die Phasendifferenz zwischen Ein- und Ausgangssignal: \begin{equation} \begin{split} &\mu = \frac{\left|U_{1}\right|}{\left|U_{0}\right|} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\omega^{2}C^{2}R^{2}}} }\qquad(\text{Spannungs\"ubertrag})\\ &\\ &\Delta\varphi = \arctan\left(\frac{1}{\omega\,C\,R}\right)\qquad(\text{Phasendifferenz})\\ \end{split} \end{equation} Zur Bestimmung von \Delta\varphi ist es intuitiv sich die Winkel von U_{1} und U_{0} im komplexen Phasendiagramm zu vergegenwärtigen.
Für hohe Frequenzen gilt \mu\to 1; bei der sog. Grenzfrequenz \begin{equation*} \omega_{0}=\frac{1}{C\,R} \end{equation*} gilt \mu=1/\sqrt{2} und \Delta\varphi=\pi/4; für \omega\to0 gilt \mu\to 0 und \Delta\varphi\to\pi/2.
Der Fall nicht-harmonischer Wechselspannung
Wählt man für eine nicht-harmonische Wechselspannung R und \omega(\ll\omega_{0}) klein, lassen sich die Gleichungen (1) wie folgt annähern \begin{equation} \frac{\mathrm{d}U_{0}}{\mathrm{d}t} \approx \frac{I_{0}}{C};\qquad U_{1} = I_{1}\,R;\qquad I_{0}=I_{1}=\frac{\mathrm{d}Q_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d}t}. \end{equation} Dabei entspricht \mathrm{d}Q_{\mathrm{C}} der zeitlich veränderlichen Ladung am Kondensator. Der Faktor 1/(i\omega) in den Gleichungen (1) folgte ursprünglich aus der Zeitableitung der harmonischen Wechselspannung. Da die zeitliche Ableitung hier explizit ausgeschrieben wurde taucht dieser Faktor in den Gleichungen (3) nicht mehr auf. Diese Näherung entspricht dem Lade- und Entladevorgang bei Gleichstrom. In diesem Fall ist \begin{equation*} U_{1}(t)=C\,R\,\frac{\mathrm{d}U_{0}}{\mathrm{d}t}(t)\propto\frac{\mathrm{d}U_{0}}{\mathrm{d}t}(t). \end{equation*} Man bezeichnet den Hochpass in diesem Fall als Differenzierglied.
Tiefpass-Filter
Als einfachen Tiefpass-Filter verwenden wir eine Schaltung, wie in Skizze 2 dargestellt.
Skizze 1 (Schaltbild eines einfachen Tiefpass-Filters)
Im Vergleich zu Skizze 1 sind die Positionen von Widerstand und Kondensator vertauscht. Aus den Kirchhoffschen Regeln ergibt sich für diese Schaltung: \begin{equation*} U_{0} = I_{0}\,R + \frac{I_{0}}{i\omega\,C};\qquad U_{1} = \frac{I_{1}}{i\omega\,C};\qquad I_{0}=I_{1} \end{equation*} und für das Verhältnis von U_{1} zu U_{0} \begin{equation*} \frac{U_{1}}{U_{0}} = \frac{\frac{1}{i\omega\,C}}{R+\frac{1}{i\omega\,C}} = \frac{1}{i\omega\,C\,R+1}. \end{equation*} Für \mu und \Delta\varphi ergeben sich: \begin{equation} \begin{split} &\mu=\frac{\left|U_{1}\right|}{\left|U_{0}\right|} = \frac{1}{\sqrt{\omega^{2}C^{2}R^{2}+1} }\qquad(\text{Spannungs\"ubertrag})\\ &\\ &\Delta\varphi = \arctan\left(\frac{1}{\omega\,C\,R}+\frac{\pi}{2}\right)=\arctan\left(\vphantom{\frac{1}{\omega\,C\,R}}\omega\,C\,R\right)\qquad(\text{Phasendifferenz}). \end{split} \end{equation} Beachten Sie, dass durch die Drehung um \pi/2 im Phasendiagramm Imaginär- und Realteil für die Bestimmung von \Delta\varphi im Vergleich zum Hochpass-Filter ihre Positionen getauscht haben.
In diesem Fall kehren sich die Verhältnisse relativ zum Hochpass-Filter um: Für \omega\to0 gilt \mu\to1, für hohe Frequenzen gilt \mu\to0 und \Delta\varphi\to\pi/2. Bei der Frequenz \omega_{0} nehmen \mu und \Delta\varphi die gleichen Werte, wie im Fall des Hochpass-Filters, an.
Der Fall nicht-harmonischer Wechselspannung
Wählt man für eine nicht-harmonische Wechselspannung \omega\gg\omega_{0}, lassen sich die Gleichungen (1) wie folgt annähern \begin{equation} U_{0}\approx I_{0}\,R ;\qquad U_{1} = \frac{1}{C}\int I_{1}\,\mathrm{d}t;\qquad I_{0}=I_{1}. \end{equation} Die Spannung U_{1} ergibt sich aus der Ladungsänderung I_{1}\hspace{0.05cm}\mathrm{d}t am Kondensator. Der Faktor 1/(i\omega) wurde, mit dem gleichen Argument wie oben, in die Integration absorbiert. Aufgrund der hohen Frequenz \omega ist der zweite Term für die Bestimmung von U_{0} in den Gleichungen (1) vernachlässigbar. In diesem Fall ist \begin{equation*} U_{1}(t)=\frac{1}{C\,R}\,\int U_{0}(t)\,\mathrm{d}t\propto\int U_{0}(t)\,\mathrm{d}t. \end{equation*} Man bezeichnet den Tiefpass-Filter in diesem Fall als Integrierglied.