and fixing a mess after the chanwa :-(

Vakuum/doc/Hinweise-Vakuum-a.md

@@ -2,7 +2,7 @@
 
 ## Grundbegriffe der Vakuumtechnik
 
-In der Vakuuumtechnik bezeichnet man den Volumendurchfluss ([Volumenstrom](https://de.wikipedia.org/wiki/Volumenstrom#Normvolumenstrom), siehe Gleichung **(3)**, für viskose Fluide)
+In der Vakuuumtechnik bezeichnet man den Volumendurchfluss ([Volumenstrom](https://de.wikipedia.org/wiki/Volumenstrom#Normvolumenstrom), siehe Gleichung **(3)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/blob/main/Vakuum/doc/Hinweise-Vakuum.md), für viskose Fluide)
 
 $$
 \begin{equation*}
@@ -45,7 +45,7 @@ $$
 q_{pV} = \left.\frac{\mathrm{d}(pV)}{\mathrm{d}t}\right|_{p=const.} = p\dot{V} = p\,S
 \end{equation*}
 $$
-(siehe Gleichung **(4)** für viskose Fluide). 
+(siehe Gleichung **(4)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/blob/main/Vakuum/doc/Hinweise-Vakuum.md) für viskose Fluide). 
 
 Wenn wir beim Saugvorgang von einer adiabatischen Zustandsänderung des Gases ($\delta Q=0$) ausgehen erhalten wir: 
 

Vakuum/doc/Hinweise-Vakuum.md

@@ -68,6 +68,46 @@ $$
 \end{split}
 \end{equation*}
 $$
+Für den Fluss eines Fluids durch ein zylindrisches Rohr mit Radius $R$ wählen wir die Randbedingung $v(R)=0$. Integriert man mit diesen Randbedingungen den obigen Ausdruck von $R$ bis $r$ erhält man das Geschwindigkeitsprofil des Fluids
+$$
+\begin{equation}
+v(r) = \int\limits_{R}^{r}\frac{r}{2\,\eta}\,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}r = \frac{r^{2}-R^{2}}{4\,\eta}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x},
+\end{equation}
+$$
+das eine $r^{2}$-Abhängigkeit aufweist. Eine laminare Strömung in kreiszylindrischen Rohren mit einer solchen Geschwindigkeitsverteilung nennt man [Poiseuille’sche Strömung](https://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_von_Hagen-Poiseuille). Integriert man das Geschwindigkeitsprofil aus Gleichung **(2)** zusätzlich über die Querschnittsfläche des Rohrs (in der $yz$-Ebene in **Abbildung 2**) erhält man den **Volumendurchfluss** durch das Rohr:
+$$
+\begin{equation}
+\dot{V} = \int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{R}\frac{r^{2}-R^{2}}{4\,\eta}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}\,r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}r = -\frac{\pi\,R^{4}}{8\,\eta}\,\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}.
+\end{equation}
+$$
+Das Minuszeichen in Gleichung **(3)** zeigt, dass $\dot{V}$ der Druckdifferenz entgegen gerichtet ist, d.h. "das Fluid fließt in Richtung des geringeren Drucks". Gleichung **(3)** bezeichnet man als das **Gesetzt von Hagen-Poisseuille**. Demnach gilt entlang der Stömungsrichtung $x$: 
+$$
+\begin{equation*}
+\dot{V}\propto R^{4};\qquad \dot{V}\propto \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}.
+\end{equation*}
+$$
+Für strömdende Gase ist zwar der Massenfluss $\dot{m}$, nicht aber $\dot{V}$ konstant. Trotzdem ist Gleichung **(3)** differenziell anwendbar. Man verwendet es in diesem Fall oft in der Form
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+& p\dot{V}\,\mathrm{d}x = -\frac{\pi\,R^{4}}{8\,\eta}\,p\,\mathrm{d}p; \\
+&\\
+&\text{Nach Separation der Variablen:}\\
+&\\
+&\int\limits_{0}^{\ell}p\dot{V}\,\mathrm{d}x = -\int\limits_{p_{\mathrm{ein}}}^{p_{\mathrm{aus}}}\frac{\pi\,R^{4}}{8\,\eta}\,p\,\mathrm{d}p; \\
+&\\
+&p\,\dot{V} = -\frac{\pi\,R^{4}}{8\,\eta\,\ell}\left(\frac{p_{\mathrm{aus}}^{2}}{2}-\frac{p_{\mathrm{ein}}^{2}}{2}\right) = 
+-\frac{\pi\,R^{4}}{8\,\eta\,\ell}\,\overline{p}\,\Delta p \\
+&\\
+&\text{mit:} \\
+&\\
+&\overline{p} = \frac{p_{\mathrm{aus}}+p_{\mathrm{ein}}}{2}; \qquad \Delta p = p_{\mathrm{aus}}-p_{\mathrm{ein}},
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+
+wobei $\ell$ dem Abstand zwischen den Messpunkten von $p_{\mathrm{ein}}$ und $p_{\mathrm{aus}}$ entspricht. 
+
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