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Operationsverstaerker/doc/Hinweise-Innenbeschaltung.md

+# Hinweise für den Versuch **Operationsverstärker**
+
+## Innenbeschaltung
+
+Die Innenbeschaltung eines OPV ist i.a. sehr komplex und wird in der **Schaltungstheorie der Elektrotechnik** behandelt. Sie kann grundsätzlich immer in drei Abschnitte unterteilt werden:
+
+- Eingangsstufe*, 
+- Verstärkerstufe, 
+- Ausgangsstufe. 
+
+Es ist im Rahmen des Praktikums nicht notwendig die Innenbeschaltung des $\mathrm{\mu A741}$ restlos zu verstehen. Stattdessen werden wir hier die wichtigsten Konzepte beispielhaft erklären. 
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+#### Eingangsstufe
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+Die **Eingangsstufe** des $\mathrm{\mu A741}$ ist in **Abbildung 1** gezeigt: 
+
+---
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+<img src="../figures/OPV_Eingangsstufe.png" width="450" style="zoom:100%;"/>
+
+(**Abbildung 1**: Eingangsstufe des $\mathrm{\mu A741}$)
+
+---
+
+Es handelt sich dabei um einen [**Differenzverstärker**](https://de.wikipedia.org/wiki/Differenzverstärker), an dem die beiden Eingangssignale mit den Spannungen $U^{-}$ (an Pol 2) und $U^{+}$ (an Pol 3) anliegen. Diese liefern die Basisspannungen für zwei baugleiche npn-Transistoren, die durch die Spannungen $V_{S-},\ V_{S+}$ (an den Polen 4 und 7 in **Abbildung 1** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/tree/main/Operationsverstaerker)) versorgt werden. Die beiden Emitter E2 und E3 sind durch zwei (durch rote Umrandungen gekennzeichnete) **Stromspiegel** gekoppelt. Als [Stromspiegel](https://de.wikipedia.org/wiki/Stromspiegel) bezeichnet man zwei Transistoren mit kurzgeschlossener Basis. Der obere Stromspiegel besteht aus zwei pnp-, der untere aus zwei npn-Transistoren. Ein Kurzschluss mit zwei baugleichen Widerständen, im unteren Teil der Abbildung sorgt dafür, dass die Emitter beider Transistoren des unteren Stromspiegels auf dem gleichen Potential gehalten werden, so dass durch beide Transistoren der gleiche Strom $I_{\mathrm{Sp}}$ abfließt. Aufgrund dieser Konstellation fließt der Differenzstrom
+$$
+\begin{equation*}
+I_{\mathrm{diff}}=I_{2}-I_{3}
+\end{equation*}
+$$
+(im Bild nach rechts) in die Verstärkerstufe ab. 
+
+Nach diesem Prinzip übersetzt der Differenzverstärker bei intrinsich geringer Gleichtaktverstärkung kleine Spannungsdifferenzen in einen dazu proportionalen Strom $I_{\mathrm{diff}}$. 
+
+Die Spannungen $U^{-}_{\mathrm{offset}},\ U^{+}_{\mathrm{offset}}$ an den Polen 1 und 5 in der Schaltung dienen zur Regulation für die weitere Gleichtaktunterdrückung, so dass sich Fertigungsunterschiede einzelner Bauelemente ausgleichen lassen.
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+#### Verstärkerstufe
+
+Die **Verstärkerstufe** des $\mathrm{\mu A741}$ ist in **Abbildung 2** gezeigt: 
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+---
+
+<img src="../figures/OPV_Verstaerkerstufe.png" width="350" style="zoom:100%;"/>
+
+(**Abbildung 2**: Verstärkerstufe des $\mathrm{\mu A741}$)
+
+---
+
+Sie besteht aus einer [Darlington-Schaltung](https://de.wikipedia.org/wiki/Darlington-Schaltung), die $I_{\mathrm{diff}}$ aus der Eingangsstufe aufnimmt und in einen hohen Ausgangsstrom $I_{\mathrm{out}}^{T2}$ umsetzt. Die Schaltung entspricht dem Spezialfall eines [Emitterfolgers](https://de.wikipedia.org/wiki/Transistorgrundschaltungen#Emitterfolger), bei dem der Emitter des Transistors T1 die Basis des Transistors T2 ansteuert. Für den **Stromverstärkungsfaktor** $\beta_{\mathrm{DA}}$ gilt:
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&I_{\mathrm{out}}^{T2} = \beta_{T_{2}}\,I_{\mathrm{out}}^{T1};\qquad
+I_{\mathrm{out}}^{T1} = \beta_{T_{1}}\,I_{\mathrm{diff}};\\
+&\\
+&\beta_{\mathrm{DA}} = \frac{I_{\mathrm{out}}^{T1}+I_{\mathrm{out}}^{T2}}{I_{\mathrm{diff}}} = \frac{I_{\mathrm{out}}^{T1}}{I_{\mathrm{diff}}}\,\left(1+\beta_{T_{2}}\right)\approx\beta_{T_{1}}\beta_{T_{2}},
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+die Verstärkungsfaktoren von T1 und T2 multiplizieren sich also in erster Näherung. In der Praxis werden Kleinsignalverstärkungen von bis zu 50'000 erreicht. Über den Widerstand $R_{\mathrm{DA}}$ kann $I_{\mathrm{out}}^{T2}$ als Spannung abgegriffen werden. 
+
+#### Ausgangsstufe
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+Als Spannungsabfall über $R_{\mathrm{DA}}$ hängt $U_{\mathrm{out}}^{\mathrm{DA}}$ noch stark von der angeschlossenen Last ab. Wäre dies bereits der Ausgang des OPV, dann würde die Spannungsverstärkung beim Anschluss einer bereits geringen Last stark abfallen. $U_{\mathrm{out}}^{\mathrm{DA}}$ wird daher an eine Ausgangsstufe, wie in **Abbildung 3** gezeigt, weitergeleitet: 
+
+---
+
+<img src="../figures/OPV_Ausgangsstufe.png" width="300" style="zoom:100%;"/>
+
+(**Abbildung 3**: Ausgangsstufe des $\mathrm{\mu A741}$)
+
+---
+
+Die **Ausgangsstufe** besteht aus einer [Kollektorschaltung](https://de.wikipedia.org/wiki/Transistorgrundschaltungen#Kollektorschaltung_(Emitterfolger)), die keine eigene Spannungsverstärkung aufweist. Als [Impedanzwandler](https://de.wikipedia.org/wiki/Impedanzwandler) erfüllt sie den Zweck das Signal mit einem niedrigen Innenwiderstand auch für hohe Ströme stabil, als ideale Stromquelle, an den Verbraucher weiterzugeben. Nach innen weist sie einen hohen Widerstand auf, wodurch die Verstärkerstufe wiederum nicht belastet wird. 
+
+Würde es sich um eine einfache Kollektorschaltung mit einem einzelnen Transistor handeln wäre die über den Emitterwiderstand $R_{E}$ permanent abfallende Leistung unwirtschaftlich hoch. Bei der hier verwendeten Schaltung handelt es sich um einen komplementären Emitterfolger ([Gegentaktendstufe](https://de.wikipedia.org/wiki/Gegentaktendstufe)), bei dem ein (oben) npn- und (unten) ein pnp-Transistor wechselseitig jeweils an eine Versorgungsspannung unterschiedlichen Vorzeichens angeschlossen sind. Bei einem positiven Signal ist der npn-Transistor offen und gibt das Signal weiter, während der pnp-Tansistor sperrt. Bei einem negativen Signal sind die Verhältnisse umgekehrt. 
+
+Der Vorteil dieser Schaltung gegenüber der einfachen Kollektorschaltung besteht darin, dass im Arbeitspunkt $U_{\mathrm{out}}^{\mathrm{DA}}=0$ gewählt werden kann, so dass ohne Signal kein Ruhestrom fließt. Durch diese Wahl erreicht die Ausgangsstufe des OPV einen Wirkungsgrad von über 78%, gegenüber 6.5% bei einer einfachen Kollektorschaltung. Der Nachteil dieser Schaltung besteht darin, dass für jeden einzelnen Transistor erst ab einem Signal oberhalb der Diodenknickspannung $U_{D}$ ($|U_{\mathrm{out}}^{\mathrm{DA}}|\gtrsim |U_{D}|$) am Ausgang ein Strom fließt. Die daraus resultierende Verzerrung für kleine Eingangssignale bezeichnet man als **Übernahmeverzerrung**. Um diese abzumildern weicht man von $U_{\mathrm{out}}^{\mathrm{DA}}=0$ als Arbeitspunkt ab und setzt beide Transistoren auf ein eigenes Potential mit der Differenz
+$$
+\begin{equation*}
+|U_{\mathrm{out}}^{\mathrm{DA}} - U_{\mathrm{out}}^{\mathrm{DA}\prime}|=2\,U_{D}.
+\end{equation*}
+$$
+Dies wird durch die Beschaltung mit weiteren Transistoren erreicht, die als Spannungsteiler mit z den Ausgangstransitoren identischen Eigenschaften fungieren.
+
+Der Kondensator in der Mitte der Schaltung dient zur [Frequenzkompensation](https://de.wikipedia.org/wiki/Frequenzkompensation) und bestimmt $\nu_{\mathrm{G}}$.
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+## Essentials
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+Was Sie ab jetzt wissen sollten:
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+- Jeder OPV besteht aus einer **Eingangs-, Verstärker- und Ausgangsstufe**. 
+- Die Aufgabe der Eingangstufe ist die **Differenzverstärkung bei möglichst hoher Gleichtsaktunterdrückung**. 
+- Die Aufgabe der Ausgangsstufe ist die **Impedanzwandlung**, so dass die erreichte Verstärkung bis zur maximalen Last (durch $I_{a}^{\mathrm{max}}$), wie bei einer idealen Stromquelle, gleich bleibt. 
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+## Testfragen
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+1. Wie unterscheiden sich die Schaltsymbole eines npn- von einem pnp-Transistors?
+2. Aus wie vielen Kondensatoren, Widerständen, npn- und pnp-Transistoren besteht der $\mathrm{\mu A741}$?
+3. Wodurch zeichnet sich eine Kollektorschaltung aus?
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+# Navigation
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+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/tree/main/Operationsverstaerker)
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Operationsverstaerker/doc/Hinweise-OPV-Grundschaltungen.md

+# Hinweise für den Versuch **Operationsverstärker**
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+## Nicht-invertierender Verstärker
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+Beim nicht-invertierenden Verstärker (**Elektrometerverstärker**) handelt es sich um eine Verstärkerschaltung, bei der das Ausgangssignal die gleiche Polarität aufweist, wie das Eingangssignal. Das Eingangssignal liegt also auf dem Plus-Eingang des OPV, während der Minus-Eingang mit Masse verbunden ist. Ein Teil des Ausgangssignals wird zur Rückkopplung auf den Minus-Eingang zurückgeführt. Die Grundschaltung ist in **Abbildung 1** gezeigt:
+
+---
+
+<img src="../figures/OPV_Grundschaltung_ninv.png" width="400" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 1**: (Grundschaltung des nicht-invertierenden Verstärkers)
+
+---
+
+### Verstärkung
+
+Die Verstärkung ergibt sich aus der ersten **goldenen Regel** ($U_{d}=0$), wonach am Minus-Eingang des OPV ebenfalls $U^{+}$ anliegt. Nach den [**Kirchhoffschen Regeln**](https://de.wikipedia.org/wiki/Kirchhoffsche_Regeln) ergibt sich für die Spannungsverstärkung: 
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&U_{e} = I\, R_{1};\qquad U_{a} = I\, (R_{1} + R_{2})\\
+&\\
+&v_{U} = \frac{U_{a}}{U_{e}} = \frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}} = 1+\frac{R_{2}}{R_{1}}
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+
+## Impedanzwandler
+
+Für $R_{1}\to\infty,\ R_{2}=0$ wird aus der Schaltung aus **Abbildung 1** eine Schaltung, wie in **Abbildung 2** gezeigt:
+
+---
+
+<img src="../figures/OPV_Impedanzwandler.png" width="400" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 2**: (Schaltung des Impedanzwandlers)
+
+---
+
+Nach Gleichung **(1)** gilt
+$$
+\begin{equation*}
+v_{U}=1.
+\end{equation*}
+$$
+Dies folgt auch wieder aus aus der ersten **Goldenen Regel** ($U_{d}=0$), wonach auf dem Minus-Eingang des OPV die gleiche Spannung $U_{e}$, wie am Plus-Eingang anliegt. Durch den Kurzschluss mit dem Ausgang des OPV ergibt sich $U_{a}=U_{e}$. Aus diesem Grund bezeichnet man die Schaltung auch als **Spannungsfolger**. Der Nutzen dieser Schaltung besteht darin, dass man am Ausgang des OPV die Spannung  
+$$
+\begin{equation*}
+U_{a}=U_{e}
+\end{equation*}
+$$
+abgreifen kann, ohne dass es am Eingang des OPV zu einem Spannungsabfall kommt. 
+
+### Eingangsimpedanz
+
+Die Eingangsimpedanz $X_{e}$ des OPV Schaltung lässt sich mit einer Erweiterung der Schaltung, wie in **Abbildung 3** gezeigt bestimmen:
+
+---
+
+<img src="../figures/OPV_Grundschaltung1_XE.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 3**: (Abbildung (b) zeigt die Schaltung zur Bestimmung von $X_{e}$ des OPV. In Abbildung (a) ist das entsprechende Ersatzschaltbild gezeigt. Die Beschaltung innerhalb des blau gestrichelten Kastens wird im Ersatzschaltbild durch $X_{e}$ ersetzt)
+
+---
+
+Vor den Plus-Eingang des OPV wird ein bekannter **Messwiderstand** $R_{M}$ geschaltet, über den die abfallende Spannung $U_{M}$ gemessen wird. Aus der Messung von $U_{e}$ und $U_{M}$, sowie aus der Kenntnis von $R_{M}$ lässt sich $X_{e}$ wie folgt bestimmen:
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&U_{e} = I\, (R_{M}+X_{e});\qquad U_{M}=I\, R_{M}\\
+&\\
+&U_{e} = U_{M}\left(1+\frac{X_{e}}{R_{M}}\right);\\
+&\\
+&X_{e} = R_{M}\left(\frac{U_{e}}{U_{M}}-1\right).
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+
+### Ausgangsimpedanz
+
+Die Bestimmung der Ausgangsimpedanz $X_{a}$ des OPV ist weniger offensichtlich, da der OPV, als ein aktives Bauelement und quasi ideale Spannungsquelle, $I_{a}$ so regelt, dass $U_{a}=const.$ erfüllt ist. Eine statische Messung von $x_{a}$ ist daher nicht möglich. Eine immer noch relativ einfache Methode, um $X_{a}$ zu bestimmen ist in **Abbildung 4** gezeigt: 
+
+---
+
+<img src="../figures/OPV_Grundschaltung1_XA.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 4**: (Abbildung (a) zeigt die Schaltung zur Bestimmung von $X_{a}$ des OPV. In Abbildung (b) ist das entsprechende Ersatzschaltbild gezeigt. Die Beschaltung innerhalb des blau gestrichelten Kastens wird im Ersatzschaltbild durch $X_{a}$ ersetzt)
+
+---
+
+Es ist davon auszugehen, dass $X_{a}$ klein ist. Verbindet man den Ausgang des OPV mit einem Potentiometer mit möglichst großem, regelbarem Widerstand $R_{M}$ mit Masse, ist davon auszugehen, dass $U_{a}$ (bei minimaler Belastung der OPV-Ausgangs) zunächst vollständig über $R_{M}$ abfällt. Regelt man $R_{M}$ nun kontinuierlich nach unten, bis
+$$
+\begin{equation*}
+R_{M}\approx X_{a}
+\end{equation*}
+$$
+fällt $U_{a}$ ab. Für den Fall $R_{M}=X_{a}$ gilt 
+$$
+\begin{equation*}
+\left. U_{a}\vphantom{\frac{U_{a}}{2}}\right|_{R_{M}=X_{a}} = \frac{U_{e}}{2} = \left.\frac{U_{a}}{2}\right|_{R_{M}\to\infty}.
+\end{equation*}
+$$
+Die entsprechende Diskussion hierzu finden Sie [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Elektrische_Messverfahren/doc/Hinweise-Spannungsquellen.md).
+
+## Invertierender Verstärker
+
+Die Grundschaltung des invertierenden Verstärkers ist in **Abbildung 5** gezeigt: 
+
+---
+
+<img src="../figures/OPV_Grundschaltung_inv.png" width="450" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 5**: (Grundschaltung des invertierenden Verstärkers)
+
+---
+
+Das Eingangssignal liegt in diesem Fall auf dem Minus-Eingang des OPV, während der Plus-Eingang auf Masse liegt. Das Ausgangssignal $U_{a}$ wird zur Rückkopplung teilweise auf den invertierenden Eingang zurückgeführt. 
+
+Zur Berechnung der Verstärkung verwenden wir wieder die erste **goldene Regel** ($U_{d}=0$), wonach am Minus-Eingang des OPV die gleiche Spannung anliegt, wie am Plus-Eingang. Da der Plus-Eingang jedoch auf Masse liegt muss dies auch für den Minus-Eingang gelten. Da es keine direkte Verbindung des Minus-Eingangs zur Masse gibt spricht man in diesem Fall von scheinbarer oder **virtueller Masse** am Minus-Eingang. Nach den [**Kirchhoffschen Regeln**](https://de.wikipedia.org/wiki/Kirchhoffsche_Regeln) muss $U_{e}$ vollständig über $R_{1}$ abfallen, das gleiche gilt für $U_{a}$ und $R_{2}$:
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&U_{e} = I\,R_{1},\qquad U_{a} = -I\,R_{2};\\
+&\\
+&U_{a} = -\frac{R_{2}}{R_{1}}\,U_{e}.\\
+&\\
+&v_{U} = \frac{U_{a}}{U_{e}} = -\frac{R_{2}}{R_{1}}
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+Das Minuszeichen in Gleichung **(3)** folgt daraus, dass $U_{a}$ (im Gegensatz zu $U_{e}$) dem Stromfluss entgegen gerichtet ist. Durch das Vorzeichen wird die Invertierung des Eingangssignals, als Phasenverschiebung um $\pi$ ($e^{i\pi}=-1$) explizit sichtbar. 
+
+Im Rahmen von **Aufgabe 3** werden Sie einige einfache Erweiterungen der Grundschaltung des invertierenden Verstärkers untersuchen, die wir im folgenden kurz eingeführen werden.
+
+#### Addierer   
+
+Das Schaltbild des Addierers ist in **Abbildung 6** gezeigt:
+
+---
+
+<img src="../figures/OPV_Grundschaltung2_add.png" width="450" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 6**: (Schaltbild des Addierers)
+
+---
+
+Die Logik folgt derjenigen zur Berechnung von $v_{U}$ für die Grundschaltung. Im Eingangsschaltkreis addieren sich alle Teilströme zum Gesamtstrom
+$$
+\begin{equation*}
+I = \sum\limits_{i=1}^{n}I_{i};\qquad \text{mit}\qquad I_{i}=\frac{U_{ei}}{R_{ei}}.
+\end{equation*}
+$$
+ Für $U_{a}$ gilt analog zu Gleichung **(3)**: 
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&U_{a} = -I\,R_{2}= -\left(\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{U_{ei}}{R_{ei}}}\right)\,R_{2},
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+d.h. $U_{a}$ ist die (negative) gewichtete Summe der $U_{ei}$, mit den Gewichten $R_{2}/R_{ei}$. Belegt man alle Widerstände mit den gleichen Werten ist
+$$
+\begin{equation*}
+U_{\mathrm{a}}=-\sum\limits_{i=1}^{n}U_{ei}.
+\end{equation*}
+$$
+
+#### Integrierer
+
+Das Schaltbild des Integrierers ist in **Abbildung 7** gezeigt:
+
+---
+
+<img src="../figures/OPV_Grundschaltung2_int.png" width="450" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 7**: (Schaltbild des Integrierers)
+
+---
+
+Der Widerstand $R_{2}$ aus der Grundschaltung wird in diesem Fall durch den Kondensator $C$ ersetzt. Für $U_{e},\ U_{a}$ gilt: 
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+& U_{e} = I\,R_{1};\qquad U_{a} = \frac{Q}{C} = -\frac{1}{C}\int I\,\mathrm{d}t = -\frac{1}{C\,R_{1}}\int U_{e}\,\mathrm{d}t,
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+das Ausgangssignal entspricht also dem (negativen) Integral des Eingangssignals. 
+
+Der Widerstand $R_{S}$ in wird in die Schaltung eingeführt, um zu verhindern, dass der Kondensator durch ein Gleichspannungssignal aufgeladen wird. Wählt man $R_{S}$ geeignet groß, kann er (den [**Kirchhoffschen Regeln**](https://de.wikipedia.org/wiki/Kirchhoffsche_Regeln) entsprechend) in den Betrachtungen aus Gleichung **(4)** vernachlässigt werden. 
+
+#### Differenzierer
+
+Das Schaltbild des Differenzierers ist in **Abbildung 8** gezeigt:
+
+---
+
+<img src="../figures/OPV_Grundschaltung2_diff.png" width="450" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 8**: (Schaltbild des Differenzierers)
+
+---
+
+Im Vergleich zum Integrierer werden für diese Schaltung Widerstand und Kondensator vertauscht. Für das Ausgangssignal gilt: 
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+U_{e} = \frac{Q}{C};\qquad U_{a} = -R_{2}\,I = -R_{2}\,\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = -&\underbrace{C\,R_{2}\vphantom{\frac{\mathrm{d}U_{e}}{\mathrm{d}t}}}\frac{\mathrm{d}U_{e}}{\mathrm{d}t},\\
+&\equiv\tau
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+das Ausgangssignal entspricht also der (negativen) Ableitung des Eingangssignals. Das Produkt $\tau=C\ R_{2}$ wird als Zeitkonstante bezeichnet.
+
+## Essentials
+
+Was Sie ab jetzt wissen sollten:
+
+- Sie sollten die **Grundschaltungen des invertierenden und des nicht-invertierenden Verstärkers** kennen. 
+- Sie sollten die Schaltung des OPV als **Impedanzwandler** kennen und mindestens ein Verfahren in Erinnerung haben, wie man $X_{e}$ und $X_{e}$ des OPV messen kann. 
+- Sie sollten die Grundschaltungen des OPV mit Hilfe der **Goldenen Regeln** zur Dimensionierung von OPV Schaltungen erklären können.   
+
+## Testfragen
+
+1. Wo liegt das Problem bei dere Messung von $X_{a}$ des OPV? Warum haben Sie dieses Problem bei der Messung von $X_{e}$ nicht?
+2. Ihr Signal besteht aus einer geringen Aufladung eines Kondensators. Was passiert, wenn Sie versuchen diese Aufladung als Spannungsantieg mit einem Spannungsmessgerät mit moderatem Innenwiderstand zu messen?
+3. Wie würden Sie das Signal durch einen OPV vom Spannungsmessgerät entkoppeln? 
+
+# Navigation
+
+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/tree/main/Operationsverstaerker)
+

Operationsverstaerker/doc/Hinweise-OPV-Komplexer-Schaltungen.md

+# Hinweise für den Versuch **Operationsverstärker**
+
+## Komplexere Schaltungen mit Operationsverstärkern
+
+In **Aufgabe 4** werden Sie drei komplexere Schaltungen mit OPVs aufbauen. Dabei handelt es sich um:
+
+- Einen idealen Einweggleichrichter;
+- einen Generator für Drei- und Rechtecksignale;
+- ein Beispiel für die analoge Lösung einer Differenzialgleichung 2. Ordnung.
+
+Alle drei Schaltungen werden wir im folgenden kurz erklären.
+
+#### Idealer Einweggleichrichter
+
+Ein Einweggleichrichter lässt aus einem bipolaren Signal immer nur einen unipolaren Anteil durch. Die einfachste Realisation mit Hilfe einer Diode mit Durchlass für die positive Halbwelle eines sinusförmigen Eingangssignals ist in **Abbildung 1** gezeigt:
+
+---
+
+<img src="../figures/Einweggleichrichter_Diode.png" width="600" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 1**: (Schaltbild eines einfachen Einweggleichrichters mit Hilfe einer Diode mit Durchlass für ein positives Signal)
+
+---
+
+Die Eingangsspannung $U_{e}$ fällt über die Diode $D$ und den Widerstand $R$ ab. Das gleichgerichtete Signal kann als über $R$ abfallende Spannung $U_{a}$ abgegriffen werden. Ein Nachteil dieser Schaltung besteht darin, dass nicht die komplette Halbwelle des Signals wiedergegeben wird, da an der Diode immer zusätzlich die Diffusionsspannung ($U_{D}\approx -0.7\ \mathrm{V}$ im Fall von Silizium) abfällt. 
+
+Die Schaltung eines **idealen Einweggleichrichters** die sich mit Hilfe eines OPV realisieren lässt und die gesamte Halbwelle wiedergibt ist in **Abbildung 2** gezeigt: 
+
+---
+
+<img src="../figures/Einweggleichrichter_OPV.png" width="600" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 2**: (Schaltbild eines idealen Gleichwegrichters mit Hilfe eines OPV)
+
+---
+
+Die Schaltung enthält zwei Gegenkopplungszweige, von denen je nach Vorzeichen von $U_{e}$ immer nur einer stromführend aktiv ist. 
+
+- Für $U_{e}<0$ sind $D_{-}$ und $R_{-}$ stromführend; 
+- für $U_{e}>0$ sind es $𝑅_{+}$ und $𝐷_{+}$. 
+
+Für $U_{e},\ U_{a}$ gilt: 
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+U_{e} = I\,R_{e};\qquad U_{a}&=I\,R_{+} - U_{D} \\
+&=I\,R_{-}+U_{D}.\\
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+$D_{-},\ D_{+}$ bewirken also einen Sprung von $U_{a}$ um $2\ U_{D}$, wenn $U_{e}$ das Vorzeichen wechselt. Greift man $U_{a}^{(+)},\ U_{a}^{(-)}$ jeweils vor der entsprechenden Diode ab erhält man die entsprechende negative oder positive Halbwelle ohne *offset*.
+
+#### Generator für Drei- und Rechtecksignale
+
+Das Schaltbild eines Drei- und Rechteckgenerators ist in **Abbildung 3** gezeigt:
+
+---
+
+<img src="../figures/OPV_Generator.png" width="600" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 3**: (Schaltbild eines Drei- und Rechteckgenerators mit Hilfe von zwei OPVs)
+
+---
+
+Es handelt sich dabei um eine selbsterregende Schaltung, an der kein explizites Eingangssignal anliegt; das Ausgangssignal wird allein aus den anliegenden äußeren Betriebsspannungen der OPVs abgeleitet. Dabei entstehen periodische
+Ausgangssignale obwohl an den OPVs nur Gleichspannungen anliegen. 
+
+In der Schaltung fungiert der linke OPV als **Schwellenwertschalter ([Schmitt-Trigger](https://de.wikipedia.org/wiki/Schmitt-Trigger))** mit der Referenzspannung 0, bei dem das Ausgangssignal $U_{a}^{\Box}$ über $R_{a}^{\Box}$ teilweise auf den Plus-Eingang $E$ zurückgeführt wird. Der OPV wird ohne weitere äußere Beschaltung in Sättigung betrieben, d.h. wenn an $E$ ein positives (negatives) Signal anliegt gibt er die vollständige positive (negative) Betriebsspannung aus. 
+
+Der OPV rechts im Bild fungiert als **Integrierer** (vergleiche mit **Abbildung 7** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/blob/main/Operationsverstaerker/doc/Hinweise-OPV-Grundschaltungen.md)). 
+
+Zur weiteren Klärung der Vorgänge gehen wir von einer positiven Betriebsspannung am Ausgang des Schmitt-Triggers ($U_{a}^{\Box}>0$) aus, die über $R_{1}$ auf den Minus-Eingang des Integrierers geführt wird. Das Ausgangssignal des Integrierers ist negativ ($U_{a}^{\Delta}<0$) und wird über $R_{a}^{\Delta}$ ebenfalls auf $E$ zurückgeführt. 
+
+Zunächst wirkt auf $E$ vor allem der (positive) Signalanteil aus $U_{a}^{\Box}$. Dieser Zustand besteht solange, bis $C$ hinreichend aufgeladen ist, sodass das negative Signal aus $U_{a}^{\Delta}$ überwiegt. Von diesem Zeitpunkt an wird $U_{a}^{\Box}$ negativ, am Integrierer liegt ein negatives Eingangssignal an, $U_{a}^{\Delta}$ wird positiv. Der Kondensator $C$ wird positiv geladen und sobald der nun positive Signalanteil aus $U_{a}^{\Delta}$ den negativen Signalanteil aus $U_{a}^{\Box}$ an $E$ erneut überwiegt kehrt die Schaltung in ihren ursprünglichen Zustand zurück. 
+
+An den eingezeichneten Klemmen lassen sich **$U_{a}^{\Delta}$ als periodisches Drei- und $U_{a}^{\Box}$ periodisches Rechtecksignal** abgreifen. Für den Versuch gehen wir von der folgenden Belegung der Widerstände und des Kondensators aus: 
+$$
+\begin{equation*}
+R_{a}^{\Box}=10\ \mathrm{k\Omega}; \quad
+R_{a}^{\Delta}=5.6\ \mathrm{k\Omega}; \quad
+R_{1} =100\ \mathrm{k\Omega}; \quad
+C  =1\ \mathrm{nF}.
+\end{equation*}
+$$
+
+#### Analoge Lösung einer Differentialgleichung 2. Ordnung
+
+Eine homogene Differentialgleichung 2. Ordnung hat die Form: 
+$$
+\begin{equation}
+\ddot{U}(t) + 2\gamma\, \dot{U}(t) + \omega_{0}^{2}U(t) = 0.
+\end{equation}
+$$
+Die Lösung $U(t)$ einer solchen Differentialgleichung lässt sich mit Hilfe von zwei Integrierern und einem weiteren invertierenden Verstärker, wie in **Abbildung 4** gezeigt, auf analoge Weise ermitteln:
+
+---
+
+<img src="../figures/OPV_Diffgleichung.png" width="600" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 4**: (Schaltbild zur Darstellung der Lösung einer homogenen Differenzialgleichung 2. Ordnung mit Hilfe von drei OPVs)
+
+---
+
+In der Schaltung wird $U_{a}$ auf den Minus-Eingang des ersten Integrierers zurück gekoppelt. Nach Gleichung **(4)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/blob/main/Operationsverstaerker/doc/OPV-Grundschaltungen.md) ist das Ergebnis 
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+& U_{a}^{(1)} = -\frac{1}{C_{1}\,R_{1}}\int U_{a}\,\mathrm{d}t.
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+ Der Ausgang des ersten liegt auf dem Minus-Eingang des zweiten Integrierers
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+U_{a}^{(2)} &= -\frac{1}{C_{2}\,R_{2}}\int U_{a}^{(1)}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{C_{2}\,R_{2}}\frac{1}{C_{1}\,R_{1}}\iint U_{a}\,\mathrm{d}t. \\
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+Auf der rechten Seite des Netzwerks addieren sich die Spannungen $U_{a}$, $\hat{U}_{a}^{(1)}$ und $\hat{U}_{a}^{(2)}$, wobei der Symbolzusatz $\hat{\cdot}$ kennzeichnet, dass es sich um die Anteile der Spannung nach Abzug der über die Widerstände $R_{2,5,\mathrm{pot}}$, bzw. $R_{3,4}$ abgefallenen Spannungen $U_{a}^{(1)}$ und $U_{a}^{(2)}$ handelt. Das Symbol $R_{\mathrm{pot}}$​ steht für ein regelbares Potentiometer. Für den Versuch gehen wir von der folgenden Belegung der Widerstände und Kondensatoren aus: 
+$$
+\begin{equation*}
+R_{1}=R_{2}=10\ \mathrm{k\Omega}; \quad
+R_{3}=R_{4}=5.6\ \mathrm{k\Omega}; \quad
+R_{5} =1\ \mathrm{M\Omega}; \quad
+R_{\mathrm{pot}} =10\ \mathrm{k\Omega,\ (regelbar)}; \quad
+C_{1}=C_{2}=470\ \mathrm{nF}.
+\end{equation*}
+$$
+Aus der Belegung des Netzwerks lässt sich mit Hilfe der [Kirchhoffschen Regeln](https://de.wikipedia.org/wiki/Kirchhoffsche_Regeln) die Beziehung zwischen den Widerständen, Kapazitäten und Vorfaktoren $\gamma$ und $\omega_{0}$ aus Gleichung **(1)** bestimmen. Für die Durchführung des Versuchs ist dies nicht notwendig. 
+
+Dadurch, dass $R_{\mathrm{pot}}$ regelbar ist können Sie $\gamma$ für den Versuch variieren und den Schwing-, Kriech- und aperiodischen Grenzfall der gedämpften Schwingung experimentell einstellen.  
+
+# Navigation
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+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/tree/main/Operationsverstaerker)
+