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Pendel/doc/Hinweise-Gekoppelt-Auswertung.md

@@ -27,31 +27,31 @@ aus **Aufgabe 3.1** vergleichen. Eine mögliche Teststatistik wäre:
 $$
 \begin{equation}
 \begin{split}
-&t=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1,2} t_{i}^{2};\\
+&z=\sum\limits_{i=1,2} \delta_{i}^{2};\\
 &\\
 &\text{mit:}\\
 &\\
-&t_{i} = \frac{\omega_{i}^{\prime}-\omega_{i}}{\sqrt{\Delta\omega_{i}^{\prime\,2}+\Delta\omega_{i}^{2}}}.\\
+&\delta_{i} = \frac{\omega_{i}^{\prime}-\omega_{i}}{\sqrt{\Delta\omega_{i}^{\prime\,2}+\Delta\omega_{i}^{2}}}.\\
 \end{split}
 \end{equation}
 $$
-Sowohl die $t_{i}$, als auch $t$ sind für die Betrachtungen interessant. 
+Sowohl die $\delta_{i}$, als auch $z$ sind für die Betrachtungen interessant. 
 
-- An $t_{i}$ erinnern Sie sich womöglich als den ***pull* zwischen $\omega_{i}^{\prime}$ und $\omega_{i}$**.
-- Die Größe $t$ haben Sie womöglich als die **$\chi^{2}$-Teststatistik** (mit $n_{\mathrm{dof}}=2$ Freiheitsgraden) erkannt. 
+- An $\delta_{i}$ erinnern Sie sich womöglich als den ***pull* zwischen $\omega_{i}^{\prime}$ und $\omega_{i}$**.
+- Die Größe $z$ haben Sie womöglich als die **$\chi^{2}$-Teststatistik** (mit $n_{\mathrm{dof}}=2$ Freiheitsgraden) erkannt. 
 
-Falls alle Messungen der $\omega_{i}^{\prime}, \omega_{i}$ einer Normalverteilung folgen und Sie die Unsicherheiten $\Delta\omega_{i}^{\prime}, \Delta\omega_{i}$ so abgeschätzt haben, dass Sie der Standardabweichung der jeweiligen Normalverteilung entsprechen, sollten die $t_{i}$ einer Standardnormalverteilung 
+Falls alle Messungen der $\omega_{i}^{\prime}, \omega_{i}$ einer Normalverteilung folgen und Sie die Unsicherheiten $\Delta\omega_{i}^{\prime}, \Delta\omega_{i}$ so abgeschätzt haben, dass Sie der Standardabweichung der jeweiligen Normalverteilung entsprechen, sollten die $\delta_{i}$ einer Standardnormalverteilung 
 $$
 \begin{equation*}
-\varphi(x,0,1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{x^{2}}{2}}
+\varphi(\delta,0,1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{\delta^{2}}{2}}
 \end{equation*}
 $$
 folgen. 
 
-Die Teststatistik $t$ sollte einer $\chi^{2}$-Verteilung mit $n_{\mathrm{dof}}=2$ folgen. Einen $p$-Wert dafür den Wert $\hat{t}$ zu beobachten erhalten Sie aus dem Integral
+Die Teststatistik $z$ sollte einer $\chi^{2}$-Verteilung mit $n_{\mathrm{dof}}=2$ folgen. Einen $p$-Wert dafür den Wert $\hat{z}$ zu beobachten erhalten Sie aus dem Integral
 $$
 \begin{equation*}
-p_{\hat{t}} = \int\limits_{\hat{t}}^{\infty}\chi^{2}(x, n_{\mathrm{dof}}=2)\,\mathrm{d}x.
+p_{\hat{z}} = \int\limits_{\hat{t}}^{\infty}\chi^{2}(z, n_{\mathrm{dof}}=2)\,\mathrm{d}z.
 \end{equation*}
 $$
 Um den $p$-Wert anschaulich zu verstehen stellen wir uns die folgende Situation vor (d.h. wir legen das folgende **statistische Modell** zugrunde): 
@@ -60,7 +60,7 @@ Um den $p$-Wert anschaulich zu verstehen stellen wir uns die folgende Situation
 - Wir führen eine große Zahl identischer Messreihen durch.
 - Für jede einzelne Messreihe streuen die gemessenen Ergebnisse gemäß einer Normalverteilung um die Werte $\hat{\omega}_{i}^{\prime}, \hat{\omega}_{i}$ mit den Standardabweichungen $\Delta\hat{\omega}_{i}^{\prime}, \Delta\hat{\omega}_{i}$. 
 
-Wenn wir für jede einzelne Messreihe aus unseren Ergebnissen die Teststatistik $t$ berechnen folgt $t$ der $\chi^{2}(x, 2)$-Verteilung. $\chi^{2}(x, 2)$ ist auf 1 normiert und somit eine Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung. $p$ beziffert also die Wahrscheinlichkeit einen Wert $t\geq\hat{t}$ zu erhalten, wenn alle oben getroffenen Annahmen wirklich wahr sind. Anhand des $p$-Werts können Sie nun beurteilen, wie wahrscheinlich der Ausgang Ihrer Messreihe ist, falls alle gemachten Annahmen und Schlussfolgerungen richtig sind.  
+Wenn wir für jede einzelne Messreihe aus unseren Ergebnissen die Teststatistik $z$ berechnen folgt $z$ der $\chi^{2}(z, 2)$-Verteilung. $\chi^{2}(x, 2)$ ist auf 1 normiert und somit eine Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung. $p$ beziffert also die Wahrscheinlichkeit einen Wert $z\geq\hat{z}$ zu erhalten, wenn alle oben getroffenen Annahmen wirklich wahr sind. Anhand des $p$-Werts können Sie nun beurteilen, wie wahrscheinlich der Ausgang Ihrer Messreihe ist, falls alle gemachten Annahmen und Schlussfolgerungen richtig sind.  
 
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