diff --git a/Pendel/doc/Hinweise-Gekoppelt-Auswertung.md b/Pendel/doc/Hinweise-Gekoppelt-Auswertung.md index 3d02d4d410e981de9809d837add17bf75e8cc41c..733a5dafa3c0beed5eb0bf221520d561a97bb186 100644 --- a/Pendel/doc/Hinweise-Gekoppelt-Auswertung.md +++ b/Pendel/doc/Hinweise-Gekoppelt-Auswertung.md @@ -27,31 +27,31 @@ aus **Aufgabe 3.1** vergleichen. Eine mögliche Teststatistik wäre: $$ \begin{equation} \begin{split} -&t=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1,2} t_{i}^{2};\\ +&z=\sum\limits_{i=1,2} \delta_{i}^{2};\\ &\\ &\text{mit:}\\ &\\ -&t_{i} = \frac{\omega_{i}^{\prime}-\omega_{i}}{\sqrt{\Delta\omega_{i}^{\prime\,2}+\Delta\omega_{i}^{2}}}.\\ +&\delta_{i} = \frac{\omega_{i}^{\prime}-\omega_{i}}{\sqrt{\Delta\omega_{i}^{\prime\,2}+\Delta\omega_{i}^{2}}}.\\ \end{split} \end{equation} $$ -Sowohl die $t_{i}$, als auch $t$ sind für die Betrachtungen interessant. +Sowohl die $\delta_{i}$, als auch $z$ sind für die Betrachtungen interessant. -- An $t_{i}$ erinnern Sie sich womöglich als den ***pull* zwischen $\omega_{i}^{\prime}$ und $\omega_{i}$**. -- Die Größe $t$ haben Sie womöglich als die **$\chi^{2}$-Teststatistik** (mit $n_{\mathrm{dof}}=2$ Freiheitsgraden) erkannt. +- An $\delta_{i}$ erinnern Sie sich womöglich als den ***pull* zwischen $\omega_{i}^{\prime}$ und $\omega_{i}$**. +- Die Größe $z$ haben Sie womöglich als die **$\chi^{2}$-Teststatistik** (mit $n_{\mathrm{dof}}=2$ Freiheitsgraden) erkannt. -Falls alle Messungen der $\omega_{i}^{\prime}, \omega_{i}$ einer Normalverteilung folgen und Sie die Unsicherheiten $\Delta\omega_{i}^{\prime}, \Delta\omega_{i}$ so abgeschätzt haben, dass Sie der Standardabweichung der jeweiligen Normalverteilung entsprechen, sollten die $t_{i}$ einer Standardnormalverteilung +Falls alle Messungen der $\omega_{i}^{\prime}, \omega_{i}$ einer Normalverteilung folgen und Sie die Unsicherheiten $\Delta\omega_{i}^{\prime}, \Delta\omega_{i}$ so abgeschätzt haben, dass Sie der Standardabweichung der jeweiligen Normalverteilung entsprechen, sollten die $\delta_{i}$ einer Standardnormalverteilung $$ \begin{equation*} -\varphi(x,0,1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{x^{2}}{2}} +\varphi(\delta,0,1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{\delta^{2}}{2}} \end{equation*} $$ folgen. -Die Teststatistik $t$ sollte einer $\chi^{2}$-Verteilung mit $n_{\mathrm{dof}}=2$ folgen. Einen $p$-Wert dafür den Wert $\hat{t}$ zu beobachten erhalten Sie aus dem Integral +Die Teststatistik $z$ sollte einer $\chi^{2}$-Verteilung mit $n_{\mathrm{dof}}=2$ folgen. Einen $p$-Wert dafür den Wert $\hat{z}$ zu beobachten erhalten Sie aus dem Integral $$ \begin{equation*} -p_{\hat{t}} = \int\limits_{\hat{t}}^{\infty}\chi^{2}(x, n_{\mathrm{dof}}=2)\,\mathrm{d}x. +p_{\hat{z}} = \int\limits_{\hat{t}}^{\infty}\chi^{2}(z, n_{\mathrm{dof}}=2)\,\mathrm{d}z. \end{equation*} $$ Um den $p$-Wert anschaulich zu verstehen stellen wir uns die folgende Situation vor (d.h. wir legen das folgende **statistische Modell** zugrunde): @@ -60,7 +60,7 @@ Um den $p$-Wert anschaulich zu verstehen stellen wir uns die folgende Situation - Wir führen eine große Zahl identischer Messreihen durch. - Für jede einzelne Messreihe streuen die gemessenen Ergebnisse gemäß einer Normalverteilung um die Werte $\hat{\omega}_{i}^{\prime}, \hat{\omega}_{i}$ mit den Standardabweichungen $\Delta\hat{\omega}_{i}^{\prime}, \Delta\hat{\omega}_{i}$. -Wenn wir für jede einzelne Messreihe aus unseren Ergebnissen die Teststatistik $t$ berechnen folgt $t$ der $\chi^{2}(x, 2)$-Verteilung. $\chi^{2}(x, 2)$ ist auf 1 normiert und somit eine Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung. $p$ beziffert also die Wahrscheinlichkeit einen Wert $t\geq\hat{t}$ zu erhalten, wenn alle oben getroffenen Annahmen wirklich wahr sind. Anhand des $p$-Werts können Sie nun beurteilen, wie wahrscheinlich der Ausgang Ihrer Messreihe ist, falls alle gemachten Annahmen und Schlussfolgerungen richtig sind. +Wenn wir für jede einzelne Messreihe aus unseren Ergebnissen die Teststatistik $z$ berechnen folgt $z$ der $\chi^{2}(z, 2)$-Verteilung. $\chi^{2}(x, 2)$ ist auf 1 normiert und somit eine Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung. $p$ beziffert also die Wahrscheinlichkeit einen Wert $z\geq\hat{z}$ zu erhalten, wenn alle oben getroffenen Annahmen wirklich wahr sind. Anhand des $p$-Werts können Sie nun beurteilen, wie wahrscheinlich der Ausgang Ihrer Messreihe ist, falls alle gemachten Annahmen und Schlussfolgerungen richtig sind. # Navigation