" * Untersuchen Sie den Fall der **Resonanz am Pohlschen Rad mit Wirbelstrombremse**.\n",
" * Diskutieren Sie den Verlauf sowohl der Amplitude $\\varphi_{0}(\\Omega)$, als auch der Phasenlage $\\phi(\\Omega)$ als funktion der Erregerfrequenz $\\Omega$.\n",
" * Diskutieren Sie den Verlauf sowohl der Amplitude $\\varphi_{0}(\\Omega)$, als auch der Phasenlage $\\phi(\\Omega)$ als Funktion der Erregerfrequenz $\\Omega$.\n",
" * Bestimmen Sie $Q(I_{\\mathrm{B}})$ aus der Resonanzkurve und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Ergebnissen aus **Aufgabe 1.3**. \n",
**Detaillierte Hinweise zur Durchführung der Versuche finden Sie in der Datei [Resonanz_Hinweise.ipynb](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Resonanz/Resonanz_Hinweise.ipynb)**
Stellen Sie die folgenden Größen für das [Pohlsche Rad](https://de.wikipedia.org/wiki/Pohlsches_Rad) geeignet dar:
- Den zeitlichen Verlauf des **Phasenwinkels, $\varphi(t)$**.
- Den zeitlichen Verlauf der **Winkelgeschwindigkeit, $\dot{\varphi}(t)$**.
- Stellen Sie den Schwingungsvorgang in einem **[Phasenraumportrait](https://de.wikipedia.org/wiki/Phasenraum)** $(\varphi,\,\dot{\varphi})(t)$ dar.
Der Schwingungsvorgang ist auch ohne äußere Dämpfung nicht dämpfungsfrei. Passen Sie ein geeignetes Modell mit linearer Dämpfung an die Verteilung $\varphi(t)$ an und bestimmmen Sie daraus die **Eigenfrequenz $\omega_{0}$ und die Dämpfung $\lambda_{0}$** der Schwingung.
*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*
*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*
Die Drehbewegung des Pohlschen Rads kann **durch eine [Wirbelstrombremse](https://de.wikipedia.org/wiki/Wirbelstrom) zusätzlich von außen gedämpft** werden.
* Bestimmen Sie $\varphi(t)$ für vier verschiedene Ströme $I_{\mathrm{B}}$ der Wirbelstrombremse.
***Bestimmen Sie $\lambda(I_{\mathrm{B}})$** durch Anpassung Ihres Modells aus **Aufgabe 1.1** an die aufgezeichneten Daten.
* Überprüfen Sie die **Abhängikeiten $\omega(I_{\mathrm{B}})$ und $\lambda(I_{\mathrm{B}})$** anhand der aufgezeichneten Daten.
* Bestimmen Sie aus dem Verlauf von $\lambda(I_{\mathrm{B}})$ den Wert von $I_{\mathrm{B}}$ für den der **aperiodische Grenzfall** eintritt.
* Bestimmen Sie aus $\omega_{0}$ und $\lambda(I_{\mathrm{B}})$ die **Güte $Q(I_{\mathrm{B}})$** des Pohlschen Rads.
*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*
* Untersuchen Sie den Fall der **Resonanz am Pohlschen Rad mit Wirbelstrombremse**.
* Diskutieren Sie den Verlauf sowohl der Amplitude $\varphi_{0}(\Omega)$, als auch der Phasenlage $\phi(\Omega)$ als funktion der Erregerfrequenz $\Omega$.
* Diskutieren Sie den Verlauf sowohl der Amplitude $\varphi_{0}(\Omega)$, als auch der Phasenlage $\phi(\Omega)$ als Funktion der Erregerfrequenz $\Omega$.
* Bestimmen Sie $Q(I_{\mathrm{B}})$ aus der Resonanzkurve und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Ergebnissen aus **Aufgabe 1.3**.
*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*
* Untersuchen Sie den Fall der **Resonanz am Serienschwingkreis** bestehend aus Kondensator, Spule und verschiedenen Widerständen $R_{i}$.
* Stellen Sie den Strom $I$, die Impedanz $Z$, sowie die Spannungen $U_{C}$ am Kondensator und $U_{L}$ an der Spule für drei verschiedene Widerstände $R_{i}$ als Funktion von $\Omega$ dar.
***Bestimmen Sie $Q(R)$** aus der Resonanzbreite und der Resonanzüberhöhung an Kondensator und Spule und vergleichen Sie die nach beiden Methoden bestimmten Ergebnisse.
*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*
" * Verwenden Sie für die **Wirbelstrombremse den Strom $I_{\\mathrm{B}}=200\\ \\mathrm{mA}$**.\n",
" * Nehmen Sie eine Resonanzkurve mit **midestens 12 verschiedenen Erregerfrequenzen $\\Omega_{i}$** auf.\n",
" * Davon sollten mindestens 6 Werte in der Nähe der Resonanzfrequenz $\\omega_{0}$ liegen. Die Werte $\\Omega_{i}$ müssen nicht die gleichen Abstände haben!\n",
" * Die Datenpunkte können Sie für diese Aufgabe aus der Benutzeroberfläche des CASSY-Messsystems vom Bildschirm ablesen.\n",
" * Die Datenpunkte können Sie für diese Aufgabe aus der Benutzeroberfläche des CASSY-Messsystems vom Bildschirm ablesen. **Wählen Sie hierzu ein Zeitintervall kleiner, als die Standardeinstellung des CASSY-Messsystems von $\\Delta t=200\\,\\mathrm{ms}$**.\n",
" * Schätzen Sie **geeignete Unsicherheiten** $\\Delta\\Omega$ und $\\Delta\\varphi$ ab. \n",
" * Die Bewegung des Motors wird über einen Winkelgeber in eine Spannung zwischen 0 und $5\\ \\mathrm{V}$ umgewandelt und über den Eingang B am CASSY Messsystem ausgelesen. Damit die Nulllage mit dem Pendel übereinstimmt, müssen Sie zu Beginn einen *Offset* von $2.5\\ \\mathrm{V}$ in der Konfiguration für den Eingang B des CASSY Systems vorgegeben. \n",
Hinweise zum Umgang mit dem CASSY-Messsystem finden Sie in der Datei [Hinweise-CASSY](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Resonanz/doc/Hinweise-CASSY.md).
Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:
* Sie sollten mit dem CASSY-Messsystem u.a. die folgenden Daten auswerten können:
* $t$ Zeitmessung;
* $\varphi(t)$ Winkel;
* $\dot{\varphi}(t)$ Winkelgeschwindigkeit.
* Lenken Sie das [Pohlsche Rad](https://de.wikipedia.org/wiki/Pohlsches_Rad) aus und nehmen Sie einen entsprechenden Datensatz über einen **Zeitraum von 2-3 min** auf.
* Bereiten Sie den Datensatz für die weitere Verarbeitung auf (siehe Hinweise zum Versuch [Datenverarbeitung](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Datenverarbeitung)):
* Beschneiden Sie den Datensatz auf eine **geeignete Zeitspanne** in der eine stabile Schwingung vorlag.
* Reduzieren Sie die **Datenmenge** auf ein handhabbares Maß ggf. durch *down sampling* (wenn anwendbar!).
* Beachten Sie dabei, die Periode der Schwingung und achten Sie darauf, dass die *sampling rate* nicht zu gering wird.
* Sie sollten aus praktischen Gründen nicht mehr als 500 Datenpunkte vorhalten.
* Glätten Sie die Datenpunkte gegebenenfalls.
***Protokollieren** Sie:
* Beschreiben Sie Ihr Vorgehen, auch für die Aufbereitung der Daten.
* Fügen Sie Ihrem Protokoll graphische **Darstellungen von $\varphi(t)$ und $\dot{\varphi}(t)$** über einen geeigenten Zeitraum zu.
* Stellen Sie den Schwingungsvorgang in einem **[Phasenraumportrait](https://de.wikipedia.org/wiki/Phasenraum) $(\varphi,\,\dot{\varphi})(t)$** dar.
* Passen Sie an die Datenpunkte $(t, \varphi(t))$ ein **geeignetes Modell einer linear gedämpften Schwingung** auf Grundlage von Gleichung **(6)**[hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Resonanz/doc/Hinweise-Schwingung.md) an.
* Beachten Sie dass die Lagerdämpfung des Rads u.U. Anteile besitzt die über das naive Modell einer linear gedämpften Schwingung hinausgehen und fügen Sie Ihrem Modell ggf. geeignete Terme zu.
* Überprüfen Sie die Qualität Ihres Modells mit Hilfe des $\chi^{2}$-Wertes der Anpassung.
* Das resultierende Modell sollte die Grundlage für Ihre weiteren Messungen sein.
* Bestimmen Sie die Größen $\omega_{0}\pm\Delta\omega_{0}$ und $\lambda_{0}\pm\Delta\lambda$ aus der Anpassung Ihres Modells an die Daten.
**Hinweise und Code-Beispiele zur Verarbeitung und Darstellung der Daten finden Sie im Verzeichnis *tools*[hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Resonanz/tools/swing.ipynb).**
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Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Schwingung](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Resonanz/doc/Hinweise-Schwingung.md).
Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:
* Messen Sie die Winkelauslenkung des Pohlschen Rads, indem Sie **mit Hilfe eines Fadens Gewichte an den Zeiger des Pendels** anhängen, wie in **Abbildung 1**[hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Resonanz/doc/Hinweise-Theta.md) gezeigt.
* Bringen Sie den Faden so an, dass er durch die Randnut bei $r = r_{a}$ läuft.
* Verwenden Sie die Gewichte mit den **Massen $m_{i}=5,\ 10,\ 20\ \mathrm{g}$**. Für die Massen können Sie eine allgemeine Unsicherheit von $\Delta m=\pm0.5\ \mathrm{g}$ annehmen.
* Führen Sie die Messreihe in **beide Auslenkungsrichtungen des Zeigers** durch!
***Protokollieren** Sie:
* Beschreiben Sie Ihr Vorgehen.
* Die Auslenkungen $\varphi_{i}\pm\Delta\varphi_{i}$.
* Bestimmen Sie $D$ aus der **Anpassung eines geeigneten Modells** an die Punkte $(m_{i},\varphi_{i})$.
* Bewerten Sie die Qualität des Modells mit Hilfe des $\chi^{2}$-Werts der Anpassung.
* Bestimmen Sie $\Theta$ aus Gleichung **(3)**[hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Resonanz/doc/Hinweise-Schwingung.md).
* Pflanzen Sie alle Unsicherheiten entsprechend fort.
* Anm.: Sie können $\Theta$ auch direkt aus der Anpassung bestimmen und $\omega_{0}$ aus **Aufgabe 1.1** als äußeren Parameter in Ihr Modell einführen (siehe **Aufgabe 2.3 aus [Datenverarbeitung](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Datenverarbeitung)**).
* Vergleichen Sie das Ergebnis, im Rahmen der ermittelten Unsicherheiten mit Ihrer Erwartung aus einer einfachen geometrischen Abschätzung für $\Theta$.
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Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Theta](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Resonanz/doc/Hinweise-Theta.md).
Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:
* Sie können den Strom $I_{\mathrm{B}}$ der Wirbelstrombremse aus dem CASSY-Messsystem heraus ansteuern.
* Führen Sie die folgenden Messreihen für **mindestens vier verschiedene Werte von $I_{\mathrm{B}}$** durch.
* Wir schlagen $I_{\mathrm{B}}=100,\ 200,\ 400,\ 600\ \mathrm{mA}$ vor.
* Gehen Sie für die Aufbereitung der Daten, wie für **Aufgabe 1.1** vor.
***Protokollieren** Sie:
* Beschreiben Sie Ihr Vorgehen.
* Passen Sie an die gewonnenen Datenpunkte $(t, \varphi(t))$ für gegebene Werte von $I_{\mathrm{B}}$ Ihr Modell aus **Aufgabe 1.1** an.
* Beurteilen Sie jeweils die Qualität des Modells mit Hilfe des $\chi^{2}$-Werts der Anpassung an die Datenpunkte.
* Beachten Sie die Signifikanz eventueller Terme, die Sie zusätzlich zur linearen Dämpfung in Ihr Modell eingefügt haben.
* Bestimmen Sie **aus den Anpassungen die Werte $\lambda\pm\Delta\lambda$ und $\omega\pm\Delta\omega$** als Funktion von $I_{\mathrm{B}}$.
***Korrigieren Sie Ihre Werte von $\lambda$** auf $\lambda_{0}$ aus **Aufgabe 1.1** (mit entsprechender Fehlerfortpflanzung).
* Passen Sie an die gewonnenen Datenpunkte $(I_{\mathrm{B}}, \omega(I_{\mathrm{B}}))$ und $(I_{\mathrm{B}}, \lambda(I_{\mathrm{B}}))$ **geeignete Modelle** an.
* Geben Sie in der Diskussion Ihrer Auswertung eine **physikalische Motivation** für die gewählten Modelle an.
* Bestimmen Sie aus dem Verlauf von $\lambda(I_{\mathrm{B}})$ den Wert von $I_{\mathrm{B}}\pm\Delta I_{\mathrm{B}}$ für den der **aperiodeische Grenzfall auftritt**.
* Verifizieren Sie diesen Wert grob experimentell und dokumentieren Sie Ihre Beobachtung.
* Betimmen Sie mit Hilfe Ihrer Ergebnisse für $\omega_{0}$ (aus **Aufgabe 1.1**) und $\lambda(I_{\mathrm{B}})$ die **Güte $Q(I_{\mathrm{B}})$ des Pohlschen Rads** basierend auf Gleichung **(7)**[hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Resonanz/doc/Hinweise-Schwingung.md).
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Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Schwingung](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Resonanz/doc/Hinweise-Schwingung.md).
Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:
* Verwenden Sie für die **Wirbelstrombremse den Strom $I_{\mathrm{B}}=200\ \mathrm{mA}$**.
* Nehmen Sie eine Resonanzkurve mit **midestens 12 verschiedenen Erregerfrequenzen $\Omega_{i}$** auf.
* Davon sollten mindestens 6 Werte in der Nähe der Resonanzfrequenz $\omega_{0}$ liegen. Die Werte $\Omega_{i}$ müssen nicht die gleichen Abstände haben!
* Die Datenpunkte können Sie für diese Aufgabe aus der Benutzeroberfläche des CASSY-Messsystems vom Bildschirm ablesen.
* Die Datenpunkte können Sie für diese Aufgabe aus der Benutzeroberfläche des CASSY-Messsystems vom Bildschirm ablesen.**Wählen Sie hierzu ein Zeitintervall kleiner, als die Standardeinstellung des CASSY-Messsystems von $\Delta t=200\,\mathrm{ms}$**.
* Schätzen Sie **geeignete Unsicherheiten** $\Delta\Omega$ und $\Delta\varphi$ ab.
* Die Bewegung des Motors wird über einen Winkelgeber in eine Spannung zwischen 0 und $5\ \mathrm{V}$ umgewandelt und über den Eingang B am CASSY Messsystem ausgelesen. Damit die Nulllage mit dem Pendel übereinstimmt, müssen Sie zu Beginn einen *Offset* von $2.5\ \mathrm{V}$ in der Konfiguration für den Eingang B des CASSY Systems vorgegeben.
***Protokollieren** Sie:
* Beschreiben Sie Ihr Vorgehen für die Messung.
* Die Werte der sich einstellenden Amplituden $\varphi_{0}(\Omega_{i})$, sowie die Phasenlagen $\phi(\Omega_{i})$ relativ zum anregenden Signal.
* Stellen Sie die **Verläufe von $\varphi_{0}(\Omega)$ und $\phi(\Omega)$** geeignet dar.
* Passen Sie an die Verteilung von $\varphi_{0}(\Omega)$ ein **Modell basierend auf Gleichung (3) [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Resonanz/doc/Hinweise-Resonanz.md)** an.
* Verwenden Sie für die Anpassung an die Verteilung $\phi(\Omega)$ ebenfalls ein **Modell basierend auf Gleichung (3) [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Resonanz/doc/Hinweise-Resonanz.md)**.
* Erweitern Sie die Modelle wenn nötig entsprechend, um eine möglichst gute Beschreibung der Daten zu erzielen.
* Beurteilen Sie schließlich die Qualität des jeweiligen Modells anhand des erzielten **$\chi^{2}$-Werts der Anpassung**.
* Bestimmen Sie aus den Anpassungen die **Werte für $\omega_{0}\pm\Delta\omega_{0}$ und $\lambda\pm\Delta\lambda$**. Vergleichen Sie diese mit Ihren Ergebnissen aus **Aufgabe 1.3**.
* Benutzen Sie zur Bestimmung von $Q(I_{\mathrm{B}})$ die Werte für $\Omega$ bei denen die Amplitude der Schwingung aus dem angepassten Modell jeweils auf den Wert $1/\sqrt{2}$ des maximalen Werts abgefallen ist. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit denen von **Aufgabe 1.3**.
**Hinweise und Code-Beispiele zur Verarbeitung und Darstellung der Daten finden Sie im Verzeichnis *tools*[hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Resonanz/tools/resonance.ipynb).**
#### Hinweis für Studierende mit Hauptfach Physik:
Sie können $\omega_{0}$ sowohl aus der Verteilung $\varphi_{0}(\Omega)$, als auch aus der Verteilung $\phi(\Omega)$ bestimmen. Da es sich um jeweils unabhängige Messungen handelt können Sie den mächtigsten Modelltest und ggf. die präziseste Bestimmung von $\omega_{0}\pm\Delta\omega_{0}$ und $\lambda\pm\Delta\lambda$ aus einer gleichzeitigen Anpassung an beide Verteilungen mit Hilfe der Multifit-Option in [kafe2](https://etpwww.etp.kit.edu/~quast/kafe2/htmldoc/) erhalten. Ein Beispiel für die Verwendung der Multifit-Option finden Sie [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/tools/kafe2_example_MultiFit.ipynb)
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Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Resonanz](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Resonanz/doc/Hinweise-Resonanz.md).
Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:
* Nehmen Sie Resonanzkurven für die drei zur Verfügung stehenden **Widerstände mit $R_{i}=8.2,\ 47\ \Omega$ und $100\ \Omega$** auf.
***Protokollieren** Sie:
* Beschreiben Sie Ihr Vorgehen für die Messung.
* Stellen Sie den **Strom $I(\Omega)$ für alle Widerstände $R_{i}$** gemeinsam als Funktion von $\Omega$ dar.
* Stellen Sie für jeden Widerstand $R_{i}$ jeweils den **Strom $I(\Omega)$ und die Impedanz $Z(\Omega)$** gemeinsamen als Funktion von $\Omega$ dar.
* Bestimmen Sie die **Güte $Q(R_{i})$** aus der Breite $\Delta\Omega$ der Resonanzkurve. Gehen Sie hierzu vor, wie für **Aufgabe 2.1**.
* Stellen Sie die **Spannungen $U_{C}(\Omega)$ am Kondensator und $U_{L}(\Omega)$ an der Spule** geeignet dar und diskutieren Sie anhand der Darstellungen das Phänomen der Spannungsüberhöhung.
* Bestimmen Sie $U_{C}(\omega_{0})\pm\Delta U_{C}$, $U_{L}(\omega_{0})\pm\Delta U_{L}$ und $U_{0}\pm\Delta U_{0}$ und berechnen Sie daraus $Q(R_{i})$.
* Überprüfen Sie die Übereinstimmung der aus beiden Methoden ermittelten Werte für $Q(R_{i})$ innerhalb der entsprechenden Unsicherheiten.
* Stellen Sie $\phi(\Omega)$ als Funktion von $\Omega$ geeignet dar.
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Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Resonanz](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Resonanz/doc/Hinweise-Resonanz.md).
