Zur Beschreibung der Dynamik des Massepunkts in der Mechanik verwenden wir die physikalischen Größen Geschwindigkeit ($\vec{v}$), Impuls ($\vec{p}$) und Kraft ($\vec{F}$). Mit dem Kreisel betrachten wir einen ausgedehnten, starren Körper, in Rotation, zu dessen Beschreibung wir zu $\vec{v}$, $\vec{p}$ und $\vec{F}$ äquivalente Größen heranziehen:
In der Mechanik verwenden wir zur Beschreibung der Dynamik eines Massepunkts die physikalischen Größen Geschwindigkeit ($\vec{v}$), Impuls ($\vec{p}$) und Kraft ($\vec{F}$). Mit dem Kreisel betrachten wir einen rotierenden, starren Körper, mit endlicher Ausdehnung, zu dessen Beschreibung wir zu $\vec{v}$, $\vec{p}$ und $\vec{F}$ äquivalente Größen heranziehen:
- Das Äquivalent zu $\vec{v}$ ist die **Winkelgeschwindigkeit** $\vec{\omega}$;
- das Äquivalent zu $\vec{p}$ ist der **Drehimpuls** $\vec{L}$; und
...
...
@@ -18,7 +18,7 @@ $$
\vec{M} = \vec{r}\times \vec{F}. \\
\end{equation*}
$$
Ein Zusammenhang zwischen $\vec{L}$ und $\vec{\omega}$ ergibt sich daraus zu
Der Zusammenhang zwischen $\vec{L}$ und $\vec{\omega}$ ergibt sich daraus zu
Das Kreuzprodukt $\vec{b}\times\vec{c}$ kann durch einen Vektor $\vec{\kappa}$ beschrieben werden, der senkrecht auf die aus $\vec{b}$ und $\vec{c}$ aufgespannte Ebene steht. Das erneute Kreuzprodukt $\vec{a}\times\vec{\kappa}$ führt auf einen Vektor, der wiederum in diese Ebene fällt. Als Konsequenz kann dieser Vektor als eine Linearkombination aus $\vec{b}$ und $\vec{c}$ geschrieben werden. Diese Linearkombination ergibt sich aus den vorangestellten [Skalarprodukten](https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt).
Das Kreuzprodukt $\vec{b}\times\vec{c}$ kann durch einen Vektor $\vec{\kappa}$ beschrieben werden, der senkrecht auf die aus $\vec{b}$ und $\vec{c}$ aufgespannte Ebene steht. Das erneute Kreuzprodukt $\vec{a}\times\vec{\kappa}$ führt auf einen Vektor, der wieder in diese Ebene zurückfällt. Als Konsequenz kann der resultierende Vektor als eine Linearkombination aus $\vec{b}$ und $\vec{c}$ geschrieben werden. Diese Linearkombination ergibt sich aus den vorangestellten [Skalarprodukten](https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt).
Anwendung auf Gleichung **(1)** führt auf:
$$
...
...
@@ -100,7 +100,7 @@ L_{z} \\
\right),
\end{equation}
$$
wofür wir $\boldsymbol{\Theta}$ als $3\times3$-Matrix verwendet haben. In bestimmten Fällen kann ein solches Gleichungssystem, durch eine Transformation $\bold{U}$ auf eine geeignete Basis
wofür wir $\boldsymbol{\Theta}$ als $3\times3$-Matrix dargestellt haben. In bestimmten Fällen kann ein solches Gleichungssystem, durch eine Transformation $\bold{U}$ auf eine geeignete Basis
entkoppelt werden, so dass $\boldsymbol{\widetilde{\Theta}}$ die Form einer [Diagonalmatrix](https://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalmatrix) annimmt. Die Suche nach solchen Abbildungen $\bold{U}$ bezeichnet man als [Eigenwertproblem](https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwerte_und_Eigenvektoren). Die Matrix $\boldsymbol{\widetilde{\Theta}}$ führt die Basisvektoren des Vektors
bis auf die Multiplikation mit dem Eigenwert $\theta_{i}$ in sich selbst über. Die Transformation $\bold{U}$ entspricht also einem Wechsel von einer beliebigen Orthonormalbasis in eine Orthonormalbasis, die durch $\boldsymbol{\widetilde{\Theta}}$ in sich selbst abgebildet wird.
...
...
@@ -164,9 +164,9 @@ $$
L_{i} = \theta_{i}\,\delta_{ij}\,\omega_{j}.
\end{equation*}
$$
Die $\{\theta_{i}\}$ heisst in diesem Fall Hauptträgheitsmomente.
Die $\{\theta_{i}\}$ heißen in diesem Fall Hauptträgheitsmomente.
