Positioniert man $K'$ im Abstand $d=\ell_{r}$ zu $A$ besitzt das Reversionspendel zwei bemerkenswerte, nicht-triviale Eigenschaften:
-**Eine zusätzliche Masse $\boldsymbol{m'}$ in der Position $\boldsymbol{d=\ell_{r}}$ ändert $\boldsymbol{T_{0}}$ nicht**. In diesem Fall ändern sich $\Theta$ und $s$ wie folgt:
Der Vergleich mit Gleichung **(1)** zeigt, dass $T_{0}$ tatsächlich unverändert bleibt.
-**Dreht man das Pendel um $\boldsymbol{180^{\circ}}$ um, schwingt es mit der gleichen Periode $\boldsymbol{T_{0}}$**. Beachten Sie hierzu **Skizze 1**, rechts. In gedrehtem Zustand befindet sich 1/3 des Stabs oberhalb der Aufhängung. Für das Direktionsmoment gilt daher:
```math
\begin{equation*}
D' = \frac{1}{6}\ell\,m\,g.
\end{equation*}
```
Für das Trägheitsmoment gilt nach dem [Satz von Steiner](https://de.wikipedia.org/wiki/Steinerscher_Satz):
Der Vergleich mit Gleichung **(1)** zeigt, dass $T_{0}$ tatsächlich unverändert bleibt.
**Beide Eigenschaften sind hier für einen Spezielfall gezeigt, der auf den Versuch anwendbar ist. Sie gelten aber (ohne Beweis) allgemein!** Ausführliche Betrachtungen zum Reversionspendel gehen auf [Friedrich Wilhelm Bessel](https://de.wikipedia.org/wiki/Friedrich_Wilhelm_Bessel) zurück.
Unabhängig von der exakten Form des Pendels, lässt sich die Position $d=\ell_{r}$ zwischen $K$ und $K'$ also z.B. dadurch auffinden, dass $T_{0}$ in der Aufhängung in den Punkten $A$ und $A'$ den gleichen Wert hat. Hat man $d=\ell_{r}$ sicher aufgefunden lässt sich $g$, ohne Kenntnis von $\Theta$ oder $s$, aus der Gleichung
$$
\begin{equation*}
g = \frac{4\pi^{2}}{T_{0}^{2}}\ell_{r} = \frac{4\pi^{2}}{T_{0}^{2}}d
Beantworten Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe die folgenden Aufgaben/Fragen:
- Berechnen Sie aus dem einfachen Modell eines dünnen Stabs mit den Abmessungen des im Praktikum verwendeten Pendels konkrete Werte für $\Theta$, $s$ und $\ell_{r}$.
- Das Pendel im Praktikum besteht nicht nur aus einem dünnen Stab. Es besitzt Halterungen, um $K$ und $K'$ zu fixieren. Wie groß sind, Ihrer Erwartung nach, die Abweichungen dieses *realen* Pendels von der oben gemachten, vereinfachenden Annahme eines dünnen Stabs, für die berechneten Werte?
#### Aufgabe 2.2: Bestimmung von $g$
##### Messautomatik
- Zur Messung wird eine Lichtschranke zur Zeiterfassung benutzt. Beachten Sie, dass eine Messung nur bei offener Schranke, d.h. wenn die Leuchtdiode an der Schranke rot leuchtet, gestartet werden kann.
- Justieren Sie die Lichtschranke sorgfältig, so dass die Messautomatik wirklich die Nulldurchgänge der Schwingung zählt.
- Sie können als relative Unsicherheit für die Zeitmessung $\Delta t/t=\pm 0,2\%$ wählen.
##### Aufnahme der Messpunkte zur Bestimmung von $\ell_{r}$
Gehen Sie bei der Aufnahme der Messpunkte wie folgt vor:
- Verschieben Sie $K'$ in einem Intervall um den in **Aufgabe 2.1** abgeschätzten Wert von $\ell_{r}$ und messen Sie $d$, als den Abstand zwischen $K$ und $K'$ aus. Schätzen Sie eine geeignete Unsicherheit $\Delta d$ ab.
- Bestimmen Sie für, so ermittelte, feste Werte von $d$ die Periode $T_{0}$ für das Pendel auf dem Auflagepunkt $A$ (**Skizze 1**, links). Drehen Sie dann das Pendel um und bestimmen Sie für den gleichen Wert von $d$ die Periode $T_{0}'$ für das Pendel auf dem Auflagepunkt $A'$ (**Skizze 1**, rechts). Beschränken Sie sich auf kleine Auslenkungen des Pendels, so dass die Kleinwinkelnäherung anwendbar ist (vergleiche **Aufgabe 1**).
- Nehmen Sie auf diese Weise 10–12 Messpunkte für verschiedene Werte von $d$ im Bereich des nach **Aufgabe 2.1** von Ihnen erwarteten Werts von $\ell_{r}\pm5\hspace{0.05cm}\mathrm{cm}$, jeweils in Schritten von nicht mehr als $1\hspace{0.05cm}\mathrm{cm}$. In der näheren Umgebung des von Ihnen erwarteten Werts von $\ell_{r}$ können Sie die Messpunkte etwas dichter setzen.
##### Auswertung der Messung
Sie erwarten für den Verlauf von $T_{0}(d)$ eine Gerade ($T_{0}\propto d$), einen konvexen Verlauf (z.B. $T_{0}'\propto d^{2}$) für $T_{0}^{\prime}(d)$ und $T_{0}(\ell_{r})=T_{0}'(\ell_{r})$. Ziel der Messreihe ist die Bestimmung von $\ell_{r}$. Verwenden Sie zur Anpassung an Ihre Messpunkte die Modelle:
$$
\begin{equation}
T_{0}(d) = \beta'\,d + \gamma'
\end{equation}
$$
und
$$
\begin{equation}
T_{0}'(d) = \alpha\,(d-\beta)^{2} + \gamma.
\end{equation}
$$
Gehen Sie dann für die Auswertung wie folgt vor:
- Tragen Sie, zum Zweck der Illustration die Messwerte $(d_{i},\hspace{0.05cm}T_{0}(d_{i}))$ und $(d_{i},\hspace{0.05cm}T_{0}'(d_{i}))$ mit entsprechenden Unsicherheiten ins gleiche Diagramm ein und passen Sie jeweils die Modelle aus den Gleichungen **(1)** und **(2)** an die entsprechenden Messpunkte an. Die angepassten Kurven sollten einen Schnittpunkt aufweisen.
- Überprüfen Sie die Anwendbarkeit der Modelle aus den Gleichungen **(1)** und **(2)** zur Beschreibung der Daten mit Hilfe eines *goodness-of-fit* Parameters, wie dem $\chi^{2}$- oder $p$-Wert. Dies ist Bestandteil der Auswertung!
- Tragen Sie, zur Bestimmung von $\ell_{r}$ die Messpunkte $(d_{i},\hspace{0.05cm}D(d_{i}))$ mit $D(d_{i}) = T_{0}(d_{i})-T_{0}'(d_{i})$ in einem extra Diagramm auf. Vergessen Sie nicht die Unsicherheiten auf $D(d_{i})$ entsprechend fortzupflanzen. Passen Sie an diese Datenreihe das Modell aus Gleichung **(2)** an.
Aus der folgenden Rechnung können Sie sich leicht überzeugen, dass Sie für $D(d_{i})$ den gleichen funktionalen Zusammenhang mit $d$, wie für $T_{0}'$ erwarten:
bestimmen. Eine Gerade hat bis zu zwei Schnittpunkte mit einer Parabel. Überprüfen Sie welche Lösung für $\ell_{r}$ für Sie von Relevanz ist.
Wir empfehlen in diesem Fall die Bestimmung der Unsicherheit $\Delta\ell_{r}$ aus linearer Fehlerfortpflanzung. Bestandteil der Ausgabe der Anpassung des Modells aus Gleichung **(2)** an die Daten ist eine Kovarianzmatrix der angepassten Parameter $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, woraus Sie überprüfen können, inwiefern die Annahme der Unabhängigkeit dieser Parameter gerechtfertigt ist.
NB: Sie können die Parameter $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ durch Variablentransformation
$$
\begin{equation*}
d\to d'=d+\beta; \qquad
D\to D'=D-\gamma,
\end{equation*}
$$
so dass der Ursprung des verwendeten Koordinatensystems im Scheitelpunkt der angepassten Parabel liegt, vollständig dekorrelieren.
