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Pendel/doc/Hinweise-Auswertung.md

+# Hinweise für den Versuch Pendel
+
+## Auswertung der Messungen mit dem Reversionspendel
+
+Sie sollten für Ihre Messungen mit dem Reversionspendel die folgenden Erwartungen haben:
+
+- $T_{0}(d)$ hat einen linearen Verlauf, $T_{0}\propto d$; 
+- $T_{0}^{\prime}(d)$ hat einen konvexen Verlauf, z.B. $T_{0}'\propto d^{2}$; 
+- Für $\ell_{r}$ gilt $T_{0}(\ell_{r})=T_{0}'(\ell_{r})$. 
+
+Verwenden Sie zur Anpassung an die Datenpunkte z.B. die Modelle:
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&T_{0}(d) = \beta'\,d + \gamma'\\
+&\\
+&T_{0}'(d) = \alpha\,(d-\beta)^{2} + \gamma,\\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+mit den freien Parametern $\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \beta',\ \gamma'$. Die angepassten Kurven sollten einen Schnittpunkt aufweisen.
+
+Tragen Sie, zur Bestimmung von $\ell_{r}$ die Messpunkte $(d_{i},D(d_{i}))$ mit 
+$$
+\begin{equation}
+D(d_{i}) = T_{0}(d_{i})-T_{0}'(d_{i})
+\end{equation}
+$$
+auf. Passen Sie an diese Datenreihe das Modell für $T_{0}'$ aus Gleichung **(1)** an. 
+
+Aus der folgenden Rechnung können Sie sich leicht überzeugen, dass Sie für $D(d_{i})$ den gleichen funktionalen Zusammenhang mit $d$, wie für $T_{0}'$ erwarten: 
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+D(d) &= T_{0}(d) - T_{0}'(d);\\
+&\\
+& = \bigl(\beta'\,d + \gamma'\bigr) - \bigl(\alpha\,d^{2} + 2\alpha\beta\,d + \left(\beta^{2}+\gamma\right)\bigr);\\
+&\\
+& = \alpha\,d^{2} + \underbrace{(\beta'-2\alpha\beta)}\,d + \underbrace{\left(\gamma'-\left(\beta^{2}+\gamma\right)\right)}\\
+&\hphantom{= \alpha\,d^{2} +\beta'-} \equiv\widetilde{\beta}
+\hphantom{\beta + \gamma'-\beta^{2}+}\equiv\widetilde{\gamma}\\
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+Aus dem Modell für $T_{0}'$ aus Gleichung **(1)** können Sie $\ell_{r}$ leicht mit Hilfe der folgenden Umstellung
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+& D(\ell_{r}) = \alpha\,(\ell_{r}-\beta)^{2} + \gamma = 0; \\
+&\\
+& \ell_{r} = \pm\sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}+\beta
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+bestimmen. Eine Gerade hat bis zu zwei Schnittpunkte mit einer Parabel. Vergewissern Sie sich welche Lösung für $\ell_{r}$ für Sie von Relevanz ist. 
+
+- Wir empfehlen für diese Aufgabe die Bestimmung der Unsicherheit $\Delta\ell_{r}$ aus linearer Fehlerfortpflanzung. 
+- Nutzen Sie hierzu die Unsicherheiten der Parameter $\alpha,\ \beta,\ \gamma$, wie Sie sie aus der Anpassung an die Daten erhalten haben. 
+- Bestandteil der Ausgabe der Anpassung des Modells für $T_{0}'$ aus Gleichung **(1)** ist eine Kovarianzmatrix für die angepassten Parameter $\alpha,\ \beta,\ \gamma$, woraus Sie überprüfen können, inwiefern die Annahme der Unabhängigkeit dieser Parameter gerechtfertigt ist. 
+
+**NB:** Sie können die Parameter $\alpha,\ \beta,\gamma$ durch Variablentransformation
+$$
+\begin{equation*}
+d\to d'=d+\beta; \qquad
+D\to D'=D-\gamma,
+\end{equation*}
+$$
+so dass der Ursprung des verwendeten Koordinatensystems im Scheitelpunkt der angepassten Parabel liegt, vollständig dekorrelieren. 
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+# Navigation
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+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Pendel)
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