## Messung der Lichtgeschwindigkeit mit Hilfe der Drehspiegelmethode
Diese Methode zur Messung von $c$ basiert auf der Vorstellung eines Wellenpakets, das sich mit endlicher *Gruppengeschwindigkeit* $v_{g}$ zwischen Dreh- und Endspiegel ausbreitet, wie in **Abbildung 1** gezeigt:
(**Abbildung 1**: Gang des Laserlichts für die Messung von $c$ mit Hilfe der Drehspiegelmethode)
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Um die Strecke zwischen Dreh- und Endspiegel ($a+b$ in **Abbildung 1**) zurückzulegen benötigt das Wellenpaket die endliche Zeit:
$$
\begin{equation*}
\Delta t = \frac{2(a+b)}{c}
\end{equation*}
$$
In dieser Zeit hat sich der Drehspiegel, der sich mit der Frequenz $\nu$ dreht um den Winkel
$$
\begin{equation*}
\alpha=2\pi\,\nu\Delta t
\end{equation*}
$$
weiter gedreht. Da für die Reflexion am Drehspiegel das Reflexionsgesetz "Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel" gilt wird der Strahl unter dem Winkel $2\alpha$ vom Drehspiegel zurück reflektiert. Ohne Drehung des Spiegels würde der Strahl in sich selbst zurück reflektiert werden. Durch die Drehung des Spiegels um den Winkel $\alpha$ **erscheint der Strahl auf einem Schirm um die Strecke $s$ zu seinem Ursprung versetzt**. Der Versatz $s$ ergibt sich (unter Annahme der Kleinwinkelnäherung) aus $\alpha$ nach
$$
\begin{equation*}
\frac{s}{\ell} = \tan(2\alpha)\approx2\alpha
\end{equation*}
$$
Daraus ergibt sich die Gleichung zur Berechnung von $c$:
wobei $K$ nur durch die Geometrie des Aufbaus festgelegt ist.
Im Aufbau durchläuft der Lichtstrahl einen Strahlteiler, so dass ein Teil des Strahls senkrecht zur Lichtquelle auf einen Schirm projiziert wird. Der Winkel des Strahlteilers muss genau justiert sein, was eine potentielle Quelle systematischer Fehlmessungen darstellt.
### Funktion der Sammellinse im Strahlengang
Die Sammellinse im Strahlengang hat die Funktion den Strahl auf einen Punkt zu fokussieren. Sie wird so aufgestellt, dass ihr Brennpunkt im Drehspiegel liegt. Lichtstrahlen aus dem Brennpunkt werden hinter der Linse auf parallele Bahnen gebeugt. Auf dem Rückweg vom Endspiegel wird der Strahlengang wieder in den Brennpunkt auf dem Drehspiegel zurück fokussiert. **Dies geschieht nur entlang der optischen Achse der Linse**. Durch diese Konstruktion findet eine Auswahl der Lichtpakete statt, die zu einem festen Zeitpunkt $t_{0}$ genau entlang der optischen Achse der Linse reflektiert werden. Der Drehspiegel hat also zu Beginn der "Laufzeitmessung" immer die gleiche Winkelposition, für die ein Gegenstand (G) in ein Bild (B) abgebildet wird. Für die Bildweite $b'$ und die Gegenstandsweite $g'$ gilt, mit den Angaben aus **Abbildung 1**:
$$
\begin{equation*}
\begin{split}
&g' = \ell+f \\
&b' = a+b-f
\end{split}
\end{equation*}
$$
Unter Verwendung der [Linsengleichung](https://de.wikipedia.org/wiki/Linsengleichung) lässt sich so der Abstand $\ell$ zwischen Laser und Drehspiegel bestimmen, bei dem der Laserstrahl (G) als B im Endspiegel abgebildet wird:
Mit den vorgegebenen Werten von $a$, $b$, $f$ und der Position des Drehspiegels ergibt sich die optimale Position $\ell$ des Lasers hinter der Linse. Da die Position des Lasers fest vorgegeben ist sollten Sie an dieser Stelle nur verfizieren, ob und dass die vorgenommene Justierung sinnvoll ist. Sie werden ggf. feststellen, dass dies nur ungefähr der Fall ist.
## Essentials
Was Sie ab jetzt wissen sollten:
- Sie sollten Gleichung **(1)** mit Hilfe von **Abbildung 1** und den Angaben zum Versuch ableiten können.
- Sie sollten sich über die Funktion der Linse für die Messung im Klaren sein.
## Testfragen
1. Nehmen Sie an der Winkel des Strahlteilers vor dem Laser betrüge $\beta_{\mathrm{ST}}=(45\pm1)^{\circ}$. Wie groß ist die daraus resultierende Unsicherheit auf $s$.
2. Wie sieht der Strahlengang der Laserlichts aus, wenn der Spiegel um einen Winkel $\delta\alpha_{0}$ mehr oder weniger ausgelenkt ist, als der Winkel $\alpha_{0}$, für den die optische Achse justiert wurde?
3. Wenn sich der Laserstrahl auf dem Rückweg vom Endspiegel befindet ist es gerade Bestandteil des Messprinzips, dass sich der Drehspiegel um den Winkel $\alpha$ weiter gedreht hat. Wann im Strahlengang des Lasers spielt also der Winkel $\alpha_{0}$ für den die optische Achse justiert wurde eine Rolle und wann nicht? Warum ist das so?
4. Welche Rolle spielt der Umlenkspiegel und unter welchem Winkel sollte dieser justiert sein?
5. Wie würden Sie zur besseren Justierung des Strahlengangs vorgehen oder welchen anderen Brennpunkt der Linse würden Sie wählen? Warum können wir uns an dieser Stelle eine näherungsweise Fokussierung des Laserstrahls auf dem Bildschirm leisten?
