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Spezifische_Waermekapazitaet/doc/Hinweise-Versuchsdurchfuehrung.md

+# Hinweise für den Versuch: "Spezifische Wärmekapazität" 
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+## Versuchsdurchführung
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+### Aufgabe 1: Spezifische Wärmekapazität durch Mischtemperatur
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+Für Ihre Messungen stehen Ihnen die folgenden weiteren Metalle zu Verfügung:
+   * Aluminium (Erwartung $896\, \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$);
+   * Kupfer (Erwartung $385\, \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$); 
+   * Messing (Erwartung $376\, \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$); 
+   * Blei (Erwartung $131\, \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$); und 
+   * Zinn (Erwartung $221\, \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$).
+
+Erwartung jeweils bei  bei $20^{\circ}\mathrm{C}$.
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+####  Aufgabe 1.1: Planung und Messvorhaben
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+Wichtige Fragen, die Sie bei der Bearbeitung dieser Aufgabe beantworten sollten sind: 
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+- Sollten Sie lieber ein kompaktes Metallstück benutzen oder ein Granulat?
+- Sollten Sie zur Herstellung der Mischtemperatur heißes Metall und kaltes Wasser verwenden oder umgekehrt? 
+- Ist Wasser oder eine andere Flüssigkeit geeigneter? 
+- Was sind günstigste Anfangs- bzw. Endtemperaturen für Ihre Messung? 
+- Welche Massen (für Wasser und Metall) sollten Sie benutzen und wie und zu welchem Zeitpunkt der Messung sollten Sie diese bestimmen? 
+- Sollten Sie Massenfehler durch anhaftendes Wasser oder durch die an das Kalorimeter und Zubehör abgegebene Wärmemenge (Wärmegang) berücksichtigen? 
+- Wie wollen Sie den Wärmegang des gesamten Aufbaus abschätzen?
+- Wie schaffen Sie es bei Wiederholung der Messung immer wieder wohldefinierte Anfangsbedingungen herzustellen (das Metall erhitzt sich oder kühlt sich ab, das gleiche gilt für das Wasser oder das Kalorimeter)? 
+- Sind Ihre Messungen reproduzierbar und die Ergebnisse mit einer statistischen Streuung kompatibel, oder gibt es mögliche Tendenzen (werden die Ergebnisse mit zunehmender Stichprobenlänge z.B. größer oder kleiner)?
+- Was ist ein geeignetes Thermometer in Hinblick auf Genauigkeit, Ablesegenauigkeit, oder störende eigene Masse? 
+- Genügt Ihnen jeweils eine Temperaturablesung oder sollten Sie die Messung der Temperatur in Abhängigkeit von der Zeit bestimmen?
+- Wäre es sinnvoll Hilfsmessungen, mit bekannten Sollergebnissen (z.B. mit Wasser-Wasser-Gemischen) vorzunehmen aus denen Sie die Mischtemperatur vorhersagen können?
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+Beschreiben und begründen Sie Ihre Versuchsplanung, **messen Sie sorgfältig und dokumentieren Sie Ihr Vorgehen genau.** 
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+#### Aufgabe 1.2: Durchführung des Messprogramms und Auswertung
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+- Wiederholen Sie Ihre Messungen mindestens drei–fünf mal zur Abschätzung statistischer Variationen. 
+- Variieren Sie das Verfahren in den oben genannten Punkten, um systematische Effekte abzuschätzen. 
+- Diskutieren und Beurteilen Sie am Ende der Auswertung das gewählte Verfahren.
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+### Aufgabe 2: Spezifische Wärmekapazität von Aluminium als Funktion der Temperatur
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+#### Aufgabe 2.1: Datennahme
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+- Kühlen Sie den Al-Hohlzylinder (AL) mit Flüssigstickstoff im Nalgene-Isolierbehälter auf $T=-196^{\circ}\mathrm{C}$ (Siedetemperatur von Flüssigstickstoff) ab. 
+- Bereiten Sie den Edelstahl-Isolierbehälter (EI) durch Ausschwenken mit Flüssigstickstoff auf die Aufnahme von AL vor. 
+- Heizen Sie AL dann mit Hilfe der eingebauten Heizwicklung innerhalb von EI mit konstanter Heizleistung (von $\approx 20\,\mathrm{W}$) wieder auf und zeichnen Sie mit Hilfe des Datenloggers den Verlauf der Temperatur als Funktion der Zeit $T(t)$ auf. 
+- Zu diesem Zweck ist ein $\mathrm{NiCr}$-$\mathrm{Ni}$-Thermoelement (TE) in AL befestigt; mit Hilfe von Eiswasser können Sie TE eine stabile Referenztemperatur von $T_{\mathrm{ref}}=0^{\circ}\mathrm{C}$ zur Verfügung stellen. Sie müssen TE für die Messung von Temperaturen erst noch geeignet kalibrieren, d.h. die von TE ausgegebenen Spannungen in Temperaturen umrechnen (siehe **Aufgabe 2.2**).
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+- Sie können diese Messung bereits starten, noch bevor Sie mit **Aufgabe 1** beginnen. Sie läuft, abgesehen von gelegentlichen Kontrollen der Heizleistung, automatisch ab. 
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+#### Aufgabe 2.2: Kalibration des Thermoelements
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+- Bestimmen Sie durch Anpassung einer geeigneten analytischen Funktion an die Messpunkte der Datei [calibration.csv](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/blob/main/Spezifische_Waermekapazitaet/params/calibration.csv) eine Kalibrationsfunktion $K(U, T)$, um die aufgezeichneten Spannungen $U(t)$ aus Ihrer Messung in Temperaturen $T(t)$ umzurechnen. 
+- Schätzen Sie hierzu für jeden Messpunkt geeignete Unsicherheiten $\Delta T$ und $\Delta U$ ab. 
+- Stellen Sie die Messpunkte und $K(U, T)$ geeignet dar.
+- Fügen Sie Ihrer Auswertung eine Diskussion des $\chi^{2}$-Werts der durchgeführten Anpassung zu.  
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+#### Aufgabe 2.3: Korrektur des Wärmegangs
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+- Korrigieren Sie die Daten mit Hilfe von $K(U, T)$ aus **Aufgabe 2.2**. 
+
+- Passen Sie ein Modell z.B. der folgenden Form an: 
+  ```math
+  \begin{equation*}
+  T_{0}(t)=\alpha+\beta\,e^{t/\gamma},
+  \end{equation*}
+  ```
+
+  wobei $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ freie Parameter des Modells sind. 
+
+- Fügen Sie Ihrer Auswertung eine geeignete Darstellung der Messpunkte, und der Anpassung zu. 
+
+- Fügen Sie Ihrer Auswertung eine Diskussion des $\chi^{2}$-Werts der durchgeführten Anpassung zu.
+
+- Korrigieren Sie für ihre Auswertung die Messung aus **Aufgabe 2.1** um den so ermittelten Verlauf des Wärmegangs.   
+
+#### Aufgabe 2.4: Bestimmung von $c_{\mathrm{Al}}(T)$
+
+- Bestimmen Sie hierzu zunächst durch Anpassung eine analytische Funktion zur Beschreibung des korrigierten Verlaufs von $T(t)$. Hierzu eignet sich ein Modell der Form
+
+  ```math
+  \begin{equation}
+  T(t) = a\,t^{b} + c,
+  \end{equation}
+  ```
+
+  mit den freien Parametern $a$, $b$ und $c$. 
+
+- Fügen Sie Ihrer Auswertung eine geeignete Darstellung der Messpunkte und der Anpassung zu. 
+
+- Fügen Sie Ihrer Auswertung eine Diskussion des $\chi^{2}$-Werts der durchgeführten Anpassung zu.
+
+- Aus dem Modell können Sie die Ableitung wie folgt leicht bestimmen: 
+
+  ```math
+  \begin{equation}
+  \dot{T}(t) = a\,b\,t^{b-1}.
+  \end{equation}
+  ```
+
+- Um $\dot{T}$ als Funktion von $T$ zu bestimmen benötigen Sie noch die Umkehrfunktion von Gleichung **(1)** 
+
+  ```math
+  \begin{equation*}
+  t(T) = \left(\frac{T-c}{a}\right)^{1/b}.
+  \end{equation*}
+  ```
+
+- Nach Einsetzen ergibt sich eine analytische Abschätzung des gesuchten Zusammenhangs zu 
+  ```math
+  \begin{equation*}
+  \dot{T}(T) = a\, b\, \left(\frac{T-c}{a}\right)^{\frac{b-1}{b}}.
+  \end{equation*}
+  ```
+
+- Verwenden Sie Monte Carlo Methode, um die Unsicherheiten $\Delta a$, $\Delta b$ und $\Delta c$ auf den Verlauf von $\dot{T}(T)$ fortzupflanzen, wie [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/blob/main/Spezifische_Waermekapazitaet/tools/heat_capacity.py) gezeigt.
+
+- Fügen Sie Ihrem Protokoll eine geeignete Darstellung des Verlaufs mit entsprechendem Fehlerband zu. 
+
+   
+

Spezifische_Waermekapazitaet/doc/Hinweise-Waermekapazitaet.md

+# Hinweise für den Versuch: "Spezifische Wärmekapazität" 
+
+##  Spezifischen Wärmekapazität
+
+Die spezifische Wärmekapazität eines Stoffs $X$ ist definiert als
+$$
+\begin{equation*}
+c_{X} = \frac{1}{m_{X}}\frac{\partial Q}{\partial T},
+\end{equation*}
+$$
+wobei $m_{X}$ der Masse von $X$, $\partial Q$ der Änderung der Wärmemenge und $\partial T$ der Änderung der Temperatur entsprechen. Für einen Festkörper oder eine Flüssigkeit gehen Wärmeänderungen, solange Sie nicht zur Änderung des Aggregatzustands führen, in sehr guter Näherung vollständig in Änderungen der inneren Energie $\mathrm{d} U$ und damit in eine Erhöhung der Temperatur $\mathrm{d} T$ über. 
+
+### Prinzip der Messung
+
+Bei diesem Versuch sollen Sie $c_{\mathrm{M}}$ für verschiedene Metalle M, wie z.B. Aluminium mit Hilfe des bekannten Werts $c_{\mathrm{H_{2}O}}=4.1815\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}$ von Wasser bestimmen. Hierzu bringen Sie M, mit der Temperatur $T_{\mathrm{M}}$ und der Masse $m_{\mathrm{M}}$ in ein Wärmebad aus Wasser, mit der bekannten Temperatur $T_{\mathrm{H_{2}O}}\neq T_{\mathrm{M}}$ und Masse $m_{\mathrm{H_{2}O}}$ und bestimmen die Mischtemperatur $T_{\mathrm{Mix}}$, die sich nach einiger Zeit einstellt. Dies geschieht durch den Übergang von Wärme $\partial Q$ von einem zum anderen Material. 
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&c_{\mathrm{H_{2}O}}\,m_{\mathrm{H_{2}O}}\left(T_{\mathrm{H_{2}O}}-T_{\mathrm{Mix}}\right) = c_{\mathrm{M}}\,m_{\mathrm{M}}\left(T_{\mathrm{M}}-T_{\mathrm{Mix}}\right) \\
+&\\
+&c_{\mathrm{M}} = c_{\mathrm{H_{2}O}}\frac{m_{\mathrm{H_{2}O}}\left(T_{\mathrm{H_{2}O}}-T_{\mathrm{Mix}}\right)}{m_{\mathrm{M}}\left(T_{\mathrm{M}}-T_{\mathrm{Mix}}\right)} \\
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+**Eine wichtige Voraussetzung dieser Messung ist, dass kein weiterer Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet!** 
+
+## Spezifische Wärmekapazität als Funktion der Temperatur
+
+### Prinzip der Messung
+
+Für diese Messung kühlen Sie einen Aluminium-Hohlzylinder in einem Wärmebad von flüssigem Stickstoff auf möglichst tiefe Temperaturen ab. Daraufhin führen Sie dem Hohlzylinder durch eine Heizspule mit der Leistung $P_{\mathrm{Heiz}}$ in festen Zeitintervallen $\mathrm{dt}$ kontrolliert Wärme $\delta Q = P_{\mathrm{Heiz}}\,\mathrm{d}t$ zu. Da dabei keine Arbeit verrichtet wird ($\delta W=0$) geht $\delta Q$ vollständig in innere Energie ($\mathrm{d}U$) über:
+
+$$
+\begin{equation*}
+P_{\mathrm{H}}\,\mathrm{d}t = \delta Q = \mathrm{d}U = c_{\mathrm{Al}}(T)\,m_{\mathrm{Al}}\,\mathrm{d} T.
+\end{equation*}
+$$
+Daraus ergibt sich 
+
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&c_{\mathrm{Al}}(T) = \frac{P_{\mathrm{H}}}{m_{\mathrm{Al}}\, \dot{T}^{(0)}(T)};\\ 
+&\\
+&\text{mit:}\\
+&\\
+&\dot{T}^{(0)}(T) = \lim\limits_{\Delta t\to0}\left(\frac{\Delta T}{\Delta t}\right).\\ 
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+
+
+### Hinweise zur Durchführung:
+
+Bei der Durchführung wird über $\approx 3\,\mathrm{h}$ in einem festen Intervall von $\Delta t = 10\,\mathrm{s}$ ein Wert aufgezeichnet. Sie sollten deutlich über $100$ Datenpunkte erhalten und können $\dot{T}$ ruhig durch einen Differenzenquotienten benachbarter Messpunkte approximieren. Bestimmen Sie diesen als Funktion von $T$, $\dot{T}(T)$. 
+
+Bei der Auswertung sollten Sie berücksichtigen, dass dem System auch aus der Umgebung Wärme zugeführt wird, die in den gleichen Zeitintervallen zu einer Temperaturänderung $\Delta T_{\mathrm{U}}$ des Hohlzylinders führt. Durch die Ihnen zur Verfügung gestellte Nullmessung können Sie $\dot{T}_{\mathrm{U}}(T)$ bestimmen und $\dot{T}(T)$ in Gleichung (1) entsprechend korrigieren:
+
+```math
+\begin{equation*}
+\dot{T}(T) = \lim\limits_{\Delta t\to0}\left(\frac{\Delta T - \Delta T_{\mathrm{U}}}{\Delta t}\right) = \dot{T}^{(0)}(T) - \dot{T}_{\mathrm{U}}(T).
+\end{equation*}
+```
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+
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