Operationsverstaerker/doc/Hinweise-Verstaerker.md

-# Hinweise für den Versuch **Operationsverstärker**
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-## Verstärker
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-Ein [Verstärker](https://de.wikipedia.org/wiki/Verst%C3%A4rker_(Elektrotechnik)) ist ein in der Elektrotechnik verwendetes aktives elektrisches Bauelement, dass den zeitlichen Verlauf eines Eingangssignals mit erhöhter Leistung treu wiedergibt. *Aktiv* bedeutet dabei, dass das Bauelement über eine eigene Spannungsversorgung verfügt, die in Schaltplänen allerdings i.a. nicht eingezeichnet wird! Wichtige Eigenschaften eines Verstärkers sind: 
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-- Seine **Linearität**, d.h. ein um den Faktor $\alpha$ ansteigendes Eingangssignal wird (dem Betrag nach) auch als ein um den Faktor $\alpha$ ansteigendes Ausgangssignal wiedergegeben, sowie 
-- seine **Bandbreite**, d.h. der Frequenzbereich, in dem er einsetzbar ist.
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-Eine schematische Kennlinie eines Verstärkers ist in **Abbildung 1** gezeigt.
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-<img src="../figures/Verstaerker.png" width="400" style="zoom:100%;"/>
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-**Abbildung 1**: (Schematische Kennlinie eines Verstärkers)
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-Darin entspricht $U_{e}$ (auf der $x$-Achse) dem Eingangs- und $U_{a}$ dem Ausgangssignal. Unter realen Bedingungen saturiert der Verstärker, i.a. dem Betrag nach etwas unterhalb der äußeren Versorgungsspannung, die wir im weiteren mit VCC bezeichnen werden. Zwischen den vertikalen, gestrichelten Linien befindet sich der lineare Bereich in dem der Verstärker i.a. betrieben wird. Der Verstärkungsfaktor $v_{U}$ kennzeichnet die Verstärkung.  
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-### Geschichte
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-Die historisch ersten elektronischen Verstärker wurden als [Elektronenröhren](https://de.wikipedia.org/wiki/Elektronenr%C3%B6hre), zwischen 1906 und 1914 v.a. für den Einsatz in der Telefonie entwickelt. Seine Gestalt als Hochvakuum-Triode nahm der Röhrenverstärker um 1913, im Vertrieb durch die amerikanische Firma General Electric an. Ab den 1940er Jahren erhielt der Röhrenverstärker Konkurrenz durch den [Transistor](https://de.wikipedia.org/wiki/Transistor), als funktionsgleichem Bauelement der sich rasant entwickelnden Halbleitertechnologie. Gegenüber dem Röhrenverstärker besitzt der Transistor entscheidende Vorteile: er ist kleiner, leichter, mechanisch robuster und günstiger herzustellen, besitzt eine höhere Linearität bei der Verstärkung und benötigt für den Betrieb keine komplizierte Beschaltung unter Hochspannung. Beim Begriff **Transistor** handelt es sich um ein [Kunstwort](https://de.wikipedia.org/wiki/Kofferwort), das aus dem englischen Begriff *transfer resistor* entstanden ist, der die Eigenschaft des Transistors als von außen steuerbarem, elektrischem Widerstand charakterisiert. Das erste Patent, dass die Funktionsweise eines Transistors beschreibt wurde 1925 vom US-amerikanischen Physiker [Julius Lilienfeld](https://de.wikipedia.org/wiki/Julius_Edgar_Lilienfeld) angemeldet. Im Jahr 1947 meldeten die ebenfalls US-amerikanischen Physiker [John Bardeen](https://de.wikipedia.org/wiki/John_Bardeen), [William Shockley](https://de.wikipedia.org/wiki/William_Bradford_Shockley) und [Walter Brattain](https://de.wikipedia.org/wiki/Walter_Houser_Brattain) den [Bipolartransistor](https://de.wikipedia.org/wiki/Bipolartransistor) zum Patent an. Im Jahr 1956 erhielten sie für ihre Arbeiten auf diesem Gebiet den **Nobelpreis für Physik**. Ab den 1970er Jahren wurde der Röhrenverstärker durch den Transistor fast vollständig verdrängt. Heutzutage findet der Röhrenverstärker nur noch in speziellen Gebieten der Musikindustrie Anwendung. 
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-## Röhrenverstärker
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-Der grundsätzliche Aufbau eines Röhrenverstärkers ([Elektronenröhre](https://de.wikipedia.org/wiki/Elektronenr%C3%B6hre#Funktionsweise)) ist in **Abbildung 2** oben gezeigt:
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-<img src="../figures/RoehreTransistor.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
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-**Abbildung 2**: (Schematische Darstellung eines (oben) Röhrenverstärkers und (unten) bipolaren npn-Transistors. Rechts unten sind die Schaltsymbole für den bipolaren (mitte) npn- und (rechts) pnp-Transistor gezeigt. Die Pfeilrichtungen in den Schaltbildern entsprechen der technischen Stromrichtung)
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-An der Glühkathode (K) einer Vakuumröhre werden Elektronen freigesetzt und als freier Elektronenstrahl, i.a. unter Hochspannung, zur Anode (A) hin beschleunigt. An A ist der Elektronenstrahl als Strom $I_{A}$ messbar. Bereits sehr geringe Änderungen einer variablen, an der Gitterelektrode (G) anliegenden Steuerspannungen $U_{\mathrm{G}}$ können durch diese Anordnungen als verstärktes Signal auf $I_{\mathrm{A}}$ übertragen werden. Gleiches gilt für Änderungen von $U_{\mathrm{K}}$ selbst, in der Beschaltung als [Kathodenfolger](https://de.wikipedia.org/wiki/Kathodenfolger). 
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-Der Röhrenverstärker hat die [Strom-Spannungs-Kennlinie einer Diode](https://de.wikipedia.org/wiki/Diode#Kennlinie), die nur in einem begrenzten Bereich näherungsweise linear ist. Die Verstärkung hängt vom gewählten Arbeitspunkt in diesem Bereich ab und liegt i.a. in der Größenordnung von $\mathcal{O}(10-100)$. 
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-## Bipolartransistor
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-### Einordnung
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-Ein [Transistor](https://de.wikipedia.org/wiki/Transistor) funktioniert nach dem gleichen Prinzip, wie der Röhrenverstärker. Der [Bipolartransistor](https://de.wikipedia.org/wiki/Bipolartransistor) (engl. *bipolar junction transistor*, BJT), den wir im Rahmen dieses Versuchs diskutieren, besteht aus zwei gegeneinander geschalteten pn-[Halbleiterdioden](https://de.wikipedia.org/wiki/Diode). Je nach [Dotierung](https://de.wikipedia.org/wiki/Dotierung) unterscheidet man npn- von pnp-Transistoren. In **Abbildung 2** unten ist ein npn-Transistor gezeigt. Dabei ist die rechte Seite n- und die linke Seite *stark* n-dotiert; dazwischen befindet sich eine dünne p-dotierte Grenzschicht. Im Fall des pnp-Transistors sind die Dotierungen entsprechend von n nach p oder p nach n zu umzukehren. 
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-### Transistor als Netzwerk
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-Die elektrischen Schaltsymbole für beide Transistorarten sind in **Abbildung 2** unten rechts gezeigt. Am Transistor befinden sich, wie beim Röhrenverstärker, drei Anschlüsse (Klemmen), die als (E) **Emitter**, (C) **Kollektor** und (B) **Basis** bezeichnet werden. Damit kann der Transistor als ein elektrisches [Netzwerk](https://de.wikipedia.org/wiki/Netzwerk_(Elektrotechnik)) mit drei Anschlüssen aufgefasst werden. Zwei Klemmen können zu einem sog. *Tor* zusammengefasst werden, wenn aus einer Klemme der gleiche Strom hinaus fließt, der in die andere Klemme hinein fließt. Nach dieser Einordnung wird der Transistor auch als [Zweitor](https://de.wikipedia.org/wiki/Zweitor), mit der Besonderheit bezeichnet, dass eine der drei Klemmen beiden Toren gemeinsam ist. Je nachdem, welche Klemme dies ist, unterscheidet man drei **Transistorgrundschaltungen** die 
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-- Emitterschaltung, 
-- Basisschaltung und 
-- Kollektorschaltung, 
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-von denen v.a. die **Emitter- und Kollektorschaltungen** in der Elektrotechnik von Relevanz sind. 
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-### Emitterschaltung
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-Die Grundbeschaltung des Transistors in der **Emitterschaltung** ist in **Abbildung 3** gezeigt:
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-<img src="../figures/TransistorGrundSchaltung.png" width="500" style="zoom:100%;"/>
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-**Abbildung 3**: (Grundbeschaltung eines npn-Transistors in der Emitterschaltung)
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-Der BE-Stromkreis bezeichnet das Eingangs-, der EC-Stromkreis das Ausgangstor. E ist (namensgebend für die Schaltung) beiden Toren gemeinsam und liegt auf Masse. An C liegt eine positive Versorgungsspannung von typischerweise $\mathrm{VCC}=5\ldots 15\ \mathrm{V}$ an. Damit ist die BE-Diode in Durchlass- und die BC-Diode in Sperrrichtung geschaltet. Liegt an B keine Spannung an, ist der Transistor *selbstsperrend*, d.h. mindestens eine Diode (im Fall des hier diskutierten npn-Transistors die BC-Diode) ist in Sperrrichtung geschaltet. Eine bereits geringe mit einem kleinen Basisstrom $I_{\mathrm{B}}$ assoziierte Spannung $U_{\mathrm{B}}$ an B kann allerdings zu einem erheblichen Fluss von Ladungsträgern zwischen E und C und damit zu einem hohen Kollektorstrom $I_{\mathrm{C}}$ führen. Dabei können, je nach Transistorart, sowohl Elektronen als auch [Defektelektronen](https://de.wikipedia.org/wiki/Defektelektron) zum Stromfluss beitragen. Die Spannung $U_{\mathrm{A}}$ kann als ggf. verstärktes Ausgangssignal von $U_{\mathrm{B}}$ abgegriffen werden. 
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-#### Funktionsweise
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-Liegt zwischen E und C eine Spannung $\mathrm{VCC}\gt 0$ an wird die [Sperrschicht](https://de.wikipedia.org/wiki/Raumladungszone) der BE-Diode zwar verringert, die Sperrschicht der BC-Diode jedoch zur gleichen Zeit stark vergrößert. Zwischen E und C fließt nur ein geringer Kollektorstrom $I_{\mathrm{C}}$, der [Sperrstrom](https://de.wikipedia.org/wiki/Sperrstrom) der BC-Diode. In der Sperrschicht der BE-Diode wirkt im Gleichgewichtszustand die materialspezifische [Diffusionsspannung](https://de.wikipedia.org/wiki/Diffusionsspannung) (oder Diodenknickspannung) $U_{D}$ intrinsisch der Diffusion von Elektronen und Defektelektronen entgegen. Diese beträgt für Silizium 
-$$
-\begin{equation}
-U_{D}\approx-0.7\ \mathrm{V}.
-\end{equation}
-$$
-Entscheidend für die Eigenschaften des Transistors ist die Spannung $U_{\mathrm{BE}}$ in **Abbildung 3**. Legt man ans Eingangstor eine Basisspannung $U_{B}$ an, so dass $U_{\mathrm{BE}}=U_{\mathrm{B}}+U_{D}\gtrsim 0$, wird die BE-Diode leitend. Man bezeichnet diesen Betrieb auch als Forwärtsbetrieb. 
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-Wie bei der einfachen pn-Halbleiterdiode basiert diese Leitung auf zwei Effekten: 
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-- Zum einen werden Defektelektronen aus B in E injiziert. Der dadurch entstehende Strom ist allerdings sehr gering und nimmt mit der [Diffusionslänge](https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Diffusionslänge&action=edit&redlink=1) der Defektelektronen ab. Diese rekombinieren daraufhin mit Elektronen in E. 
-- Zum anderen werden Elektronen aus E in B injiziert. Da E höher als B dotiert ist, überwiegt der Elektronenstrom von E nach B. 
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-Aufgrund der geringen räumlichen Ausdehnung von B — die bei der Herstellung des Transistors kleiner als die Diffusionslänge der Ladungsträger im Material zu wählen ist — rekombinieren nur wenige der Elektronen mit den Defektelektronen in B. Der bei weitem größte Anteil der Elektronen (${\gg} 90\%$) diffundiert stattdessen durch B hindurch, in die Sperrschicht der BC-Diode, wo sie wegen des großen Potentialabfalls zwischen B und C weiter nach C [driften](https://de.wikipedia.org/wiki/Driftgeschwindigkeit). In Form von $I_{\mathrm{C}}$ fließt auf diese Weise ein großer Teil der Elektronen von E nach C ab, wobei $I_{\mathrm{C}}$ durch geringe Ströme $I_{\mathrm{B}}$ gesteuert werden kann. Das Verhältnis
-$$
-\begin{equation}
-v_{I}=\beta=\frac{I_{\mathrm{C}}}{I_{\mathrm{B}}},
-\end{equation}
-$$
-das man als statischen [Stromverstärkungsfaktor](https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematische_Beschreibung_des_Bipolartransistors#Stromverst%C3%A4rkungsfaktor) bezeichnet, hängt vom Transistortyp, dem Betrag von $I_{\mathrm{C}}$ sowie (wie im Folgenden noch diskutiert werden wird) von der Temperatur des Transistors ab. Die Größe $v_{I}$ kann Werte zwischen 4 und 1000 annehmen. 
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-#### Arbeitspunkt für den Betrieb als Verstärker
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-Der Name *Transistor* geht auf den englischen Begriff *transfer resistor* zurück, der die Eigenschaft des Transistors als von außen steuerbarem, elektrischem (Innen-)Widerstand $r_{\mathrm{C}}$ im Ausgangstor charakterisiert: 
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-- Für $U_{\mathrm{BE}}=U_{\mathrm{B}}+ U_{D}\lesssim 0$ befindet sich der Transistor auf dem Ausgangstor im Sperrbetrieb, d.h. $r_{\mathrm{C}}\gg0$. 
-- Für $U_{\mathrm{BE}}=U_{\mathrm{B}}+ U_{D}\gtrsim 0$ befindet sich der Transistor auf dem Ausgangstor im Sättigungssbetrieb, d.h. $r_{\mathrm{C}}\approx0$. 
-- Für $U_{\mathrm{BE}}\approx 0$ fällt $r_{\mathrm{C}}$ von seinem Maximalwert auf Null ab und hängt dabei stark von $I_{\mathrm{B}}$ und damit von $U_{\mathrm{B}}$ ab. In diesem Betrieb erfolgt die Verwendung des Transistors als Verstärker.
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-Ein optimaler **Arbeitspunkt** für den Betrieb als Verstärker ist für ein Eingangssignal $U_{\mathrm{B}}$ erreicht, für das $r_{\mathrm{C}}$ die Hälfte des Maximalwerts annimmt. 
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-Da im Forwärtsbetrieb des Transistors die BE-Diode in Durchlassrichtung betrieben wird gilt für den Innenwiderstand $r_{\mathrm{B}}$ auf dem Eingangstor $r_{\mathrm{B}}\approx0$. 
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-### Stromgegengekoppelte Emitterschaltung
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-#### Problembeschreibung
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-Da der Transistor Signale kleiner als $U_{D}$ nicht verstärkt, sondern stattdessen wie eine Diode gleichrichtet, kann der npn-Transistor nur Spannungen von $U_{\mathrm{B}}\gtrsim -U_{D}$ verstärken. Zum Beispiel für bipolare Signale, erweist es sich daher als notwendig, dem Eingangssignal einen *offset* zu geben, der geeignet gewählt sein sollte, so dass das Ausgangssignal weder nach unten (durch die Gleichrichtung) noch nach oben (durch die Sättigung des Transistors) beschnitten wird. 
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-Zudem gehört der Halbleitertransistor zu den sog. [Heißleitern](https://de.wikipedia.org/wiki/Hei%C3%9Fleiter), deren ohmscher Widerstand mit zunehmender Temperatur nicht *zu-*, sondern *abnimmt*. Der Stromfluss $I_{\mathrm{C}}$ führt zur Erwärmung des Transistors und damit zu sinkenden Widerständen $r_{\mathrm{B}}$ und $r_{\mathrm{C}}$. Eine Erhöhung von $I_{\mathrm{B}}$ führt wiederum zu einer Erhöhung von $I_{\mathrm{C}}$, wodurch die Temperatur weiter ansteigt. Der Stromverstärkungsfaktor $\beta=v_{I}$ und der Arbeitspunkt für den Transistor hängen also (z.T. sogar sehr stark) von der Betriebstemperatur des Transistors ab. Zu starke Erwärmung kann sogar zur Zerstörung des Transistors führen. 
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-Es erweist sich daher zudem als notwendig $v_{I}$ kontrolliert zu drosseln. Dies erreicht man z.B. mit Hilfe der **stromgegengekoppelten Emitterschaltung**, die wir im Folgenden schrittweise entwickeln werden.
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-#### Einrichtung eines stabilen Arbeitspunkts für $U_{\mathrm{B}}$
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-Der erste Schritt zum Aufbau der Schaltung besteht darin $U_{\mathrm{B}}$, wie in **Abbildung 4** dargestellt, mit Hilfe eines Spannungsteilers stabil einzurichten:  
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-<img src="../figures/Emitterschaltung-A.png" width="600" style="zoom:100%;"/>
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-**Abbildung 4**: (Wahl eines stabilen Arbeitspunkts für $U_{\mathrm{B}}$ durch Teilung der Versorgungsspannung VCC)
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-In der Schaltung wird VCC mit B gekoppelt, die Widerstände $R_{1}$ und $R_{2}$ realisieren einen [Spannungsteiler](https://de.wikipedia.org/wiki/Spannungsteiler), durch den $U_{\mathrm{B}}$ durch geeignete Wahl der Widerstände eingerichtet werden kann. 
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-Zwischen $R_{1}$ und $R_{2}$ teilt sich der Strom $I$ in $I_{\mathrm{B}}$ und den sog. Querstrom $I_{q}$ auf. Für $U_{\mathrm{B}}$ gilt:
-$$
-\begin{equation}
-\begin{split}
-&U_{B}= \underbrace{\text{VCC}\,\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}} - I_{B}\,\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right).\\
-&\hphantom{cccccccc}U_{R_{1}}=I_{q}\,R_{1}
-\end{split}
-\end{equation}
-$$
-Der zweite Term auf der rechten Seite von Gleichung **(3)** entspricht der Belastung der (von außen angelegten) Spannung $U_{\mathrm{B}}$ durch $I_{\mathrm{B}}$. Wählt man $R_{1}$ so, dass $I_{\mathrm{B}}\ll I_{q}$ kann der Spannungsteiler in guter Näherung als unbelastet angenommen werden, d.h. durch diese Maßnahme kann $U_{\mathrm{B}}$ gleichzeitig stabilisiert werden. In der vorliegenden Schaltung würde $I_{\mathrm{B}}$ noch weitestgehend ungehindert über den niedrigen Innenwiderstand $r_{\mathrm{B}}$ abfließen, was sich jedoch im nächsten Schritt der Beschaltung ändern wird. 
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-#### Stromgegenkopplung
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-Der zweite Schritt besteht darin, wie in **Abbildung 5** dargestellt, auf der Seite des Emitters zusätzlich einen Widerstand $R_{\mathrm{E}}$ einzubringen: 
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-<img src="../figures/Emitterschaltung-B.png" width="600" style="zoom:100%;"/>
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-**Abbildung 5**: (Stromgegengekoppelte Emitterschaltung)
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-Erhöht sich die Temperatur sinkt, aufgrund der Eigenschaften des Transistors, $r_{\mathrm{B}}$, wodurch sich $I_{\mathrm{B}}$ erhöht, was einen weiteren Anstieg von $I_{\mathrm{C}}$ und damit eine weitere Temperaturerhöhung zur Folge hätte. Über $R_{\mathrm{E}}$ fällt nun aber die Spannung
-$$
-\begin{equation*}
-U_{R_{\mathrm{E}}} = I_{\mathrm{C}}\,R_{\mathrm{E}}
-\end{equation*}
-$$
-ab. Nach den [Kirchhoffschen Regeln](https://de.wikipedia.org/wiki/Kirchhoffsche_Regeln) gilt zudem: 
-$$
-\begin{equation*}
-U_{\mathrm{B}} = U_{\mathrm{BE}} - U_{D}+U_{R_{\mathrm{E}}}.
-\end{equation*}
-$$
-Da $U_{\mathrm{B}}$ durch den Spannungsteiler auf $U_{R_{1}}$ fixiert und $U_{D}$ durch Gleichung **(1)** fest vorgegeben sind, nimmt $U_{\mathrm{BE}}$ in dem Maße ab, in dem $U_{R_{\mathrm{E}}}$ zunimmt, was wiederum die Reduktion von $I_{\mathrm{C}}$ zur Folge hat. Die zusätzliche Beschaltung durch $R_{\mathrm{E}}$ wirkt also der Erhöhung von $I_{\mathrm{C}}$ entgegen. Man bezeichnet diese Beschaltung als **Stromgegenkopplung**. 
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-Bringt man, wie in **Abbildung 6** gezeigt, parallel zu $R_{\mathrm{E}}$ einen zusätzlichen Emitter-Kondensator $C_{\mathrm{E}}$ in die Schaltung ein wird $R_{\mathrm{E}}$ bedingt durch die frequenzabhängige Impedanz 
-$$
-\begin{equation*}
-Z_{C}=\frac{1}{i\omega\,C}
-\end{equation*}
-$$
-des Kondensators für höherfrequente Signale mit $\omega\gg0$ überbrückt ($Z_{C}\to0$):
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-<img src="../figures/Emitterschaltung-C.png" width="600" style="zoom:100%;"/>
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-**Abbildung 6**: (Gleichstromgegengekoppelte Emitterschaltung)
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-Man spricht in diesem Fall von einer **gleichstromgegengekoppelten Emitterschaltung**. Diese führt im Vergleich zur stromgegengekoppelten Emitterschaltung zu einer höheren Signalerstärkung, bei der zeitlich veränderliche Signale annähernd mit $v_{I}$ verstärkt werden. 
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-#### Abkopplung von Gleichstromsignalen
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-Der letzte Schritt zur vollständigen Schaltung, wie Sie sie in **Aufgabe 1** dieses Versuchs untersuchen werden besteht darin, sowohl das Ein- als auch das Ausgangspotential durch Kondensatoren, wie in **Abbildung 7** gezeigt von potentiellen Gleichstromquellen abzukoppeln:  
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-<img src="../figures/Emitterschaltung-D.png" width="600" style="zoom:100%;"/>
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-**Abbildung 7**: (Abkopplung des Gleichstromsignals durch $C_{\mathrm{A}}$ und $C_{\mathrm{B}}$)
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-Diese Maßnahme verhindert, dass die Schaltung sich unerwünscht auflädt; sie entfernt darüber hinaus den *offset* der sich durch die Wahl des Arbeitspunktes ergibt. In **Abbildung 7** wurde zusätzlich zu $C_{\mathrm{B}}$ und $C_{\mathrm{A}}$ ein Lastwiderstand $R_{L}$ in die Schaltung eingefügt. 
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-### Spannungsverstärkung der stromgegengekoppelten Emitterschaltung
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-Die Stromverstärkung des Transistors $v_{I}$ ist bauspezifisch und durch Gleichung **(2)** vorgegeben. Zur Herleitung der Spannungsverstärkung $v_{U}$ der stromgegengekoppelten Emitterschaltung (ohne $C_{\mathrm{E}}$) aus **Abbildung 4** verwenden wir das [statische Kleinsignalmodell](https://de.wikipedia.org/wiki/Ersatzschaltungen_des_Bipolartransistors#Statisches_Kleinsignalmodell) zur Beschreibung kleiner Abweichung vom Arbeitspunkt. Diese kennzeichnen wir durch Kleinbuchstaben $u_{b}$, $i_{b}$, $u_{a}$ und $i_{c}$. Dabei legen wir alle Potentialquellen auf Masse, tauschen alle nichtlinearen Bauelemente, wie Transistoren und Dioden, durch lineare Ersatzschaltungen aus und schalten zur Beschreibung des statischen Kleinsignalverhaltens alle Kapazitäten (soweit vorhanden) kurz. Der Transistor wird durch seine Innenwiderstände $r_{\mathrm{B}}$ und $r_{\mathrm{C}}$ charakterisiert. Das resultierende Ersatzschaltbild des mit $R_{\mathrm{E}}$ und $R_{\mathrm{C}}$ beschalteten Transistors ist in **Abbildung 8** gezeigt:
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-<img src="../figures/TransistorErsatzschaltung.png" width="400" style="zoom:100%;"/>
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-**Abbildung 8**: (Ersatzschaltbild zur Beschreibung des Kleinsignalverhaltens des Transistors bei äußerer Beschaltung mit $R_{\mathrm{E}}$ und $R_{\mathrm{C}}$)
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-Zur weiteren Vereinfachung der Schaltung haben wir auf die äußere Beschaltung durch den Spannungsteiler, der nicht zur Verstärkung beiträgt, verzichtet. Weiterhin machen wir die folgenden zwei Annahmen:
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-- $r_{\mathrm{C}}\gg r_{\mathrm{B}},\ R_{\mathrm{C}},\ R_{\mathrm{E}}$, d.h. $r_{\mathrm{C}}$ ist viel größer, als alle anderen Widerstände im Netzwerk;
-- $r_{\mathrm{B}}\ll r_{\mathrm{C}},\ R_{\mathrm{C}},\ R_{\mathrm{E}}$, d.h. $r_{\mathrm{B}}$ ist viel kleiner, als alle anderen Widerstände im Netzwerk.
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-Damit lassen sich $u_{b}$ und $u_{a}$ wie folgt berechnen:
-$$
-\begin{equation*}
-\begin{split}
-&\text{Eingangstor:}\\
-&\\
-&u_{b} = i_{b}\,r_{\mathrm{B}} + 
-(\beta+1)\,i_{b}\,\left(\frac{1}{R_{\mathrm{E}}}+ \underbrace{\frac{1}{r_{\mathrm{C}}}}\right)^{-1};\\
-&\hphantom{cccccccccccccccccccccccccccccci}\approx0\\
-&\\
-&\hphantom{u_{b}}\approx 
-\underbrace{i_{b}\,r_{\mathrm{B}}} +
-(\beta+1)\,i_{b}\,R_{\mathrm{E}}
-\approx
-(\beta+1)\,i_{b}\,R_{\mathrm{E}}.\\
-&\hphantom{cccccc}\approx0\\
-&\\
-&\text{Ausgangstor:}\\
-&\\
-&u_{a} = -\beta\,i_{b}\left(
-\frac{1}{R_{\mathrm{C}}} + 
-\left(r_{\mathrm{C}} + 
-\left(\frac{1}{R_{\mathrm{E}}} + \underbrace{\frac{\beta}{r_{\mathrm{B}}}}\right)^{-1}\right)^{-1}\right);\\
-&\hphantom{cccccccccccccccccccccccccccccccccc}\approx0\\
-&\\
-&\hphantom{u_{a}} \approx -\beta\,i_{b}\left(
-\frac{1}{R_{\mathrm{C}}} + 
-\frac{1}{r_{\mathrm{C}} + R_{\mathrm{E}}
-}\right)^{-1}\approx -\beta\,i_{b}\,R_{\mathrm{C}},\\
-\end{split}
-\end{equation*}
-$$
-  woraus sich der einfache Zusammenhang
-$$
-\begin{equation}
-\begin{split}
-v_{U} = \frac{u_{a}}{u_{b}} \approx -\frac{\beta\,i_{b}\,R_{\mathrm{C}}}{(\beta+1)\,i_{b}\,R_{\mathrm{E}}}\approx-\frac{R_{\mathrm{C}}}{R_{\mathrm{E}}}
-\end{split}
-\end{equation}
-$$
-ergibt. **Für kleine Signale hängt $v_{U}$ nicht mehr von den Materialeigenschaften des eigentlichen Transistors ab.** Diese Eigenschaft ist sehr vorteilhaft, weil Transistoren z.B. teilweise erhebliche Fertigungstoleranzen aufweisen können. Stattdessen besteht die Abhängigkeit nur noch durch die äußere Beschaltung durch die Widerstände $R_{\mathrm{C}}$ und $R_{\mathrm{E}}$. Das Vorzeichen weist darauf hin, dass $u_{a}$ in dieser Schaltung zu $u_{b}$ invertiert ist. Für eine Schaltung mit Lastwiderstand $R_{L}$, wie in **Abbildung 7** gezeigt nimmt Gleichung **(4)** die Form
-$$
-\begin{equation*}
-\begin{split}
-v_{U} \approx-\frac{R_{\mathrm{C}}\parallel R_{L}}{R_{\mathrm{E}}}; \qquad \text{mit:}\quad 
-R_{\mathrm{C}}\parallel R_{L} = \left(\frac{1}{R_{\mathrm{C}}} + \frac{1}{R_{L}}\right)^{-1}
-\end{split}
-\end{equation*}
-$$
-an.
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-### Kollektorschaltung
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-Bei der Kollektorschaltung teilen sich das Ein- und Ausgangstor des Transistors die Kollektorklemme als gemeinsamen Bezugspunkt, der auf der gemeinsamen Spannung VCC liegt. Die entsprechende Beschaltung ist in **Abbildung 9** gezeigt:
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-<img src="../figures/Kollektorschaltung.png" width="600" style="zoom:100%;"/>
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-**Abbildung 9**: (Kollektorschaltung)
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-Der gemeinsame Anschluss liegt auf der Kollektorklemme, der Spannungsteiler im Eingangstor definiert $U_{B}$, $R_{E}$ ist bei dieser Schaltung nicht optional, sondern ein notwendiger und fester Bestandteil zur Stabilisierung der Schaltung. Die durch $R_{E}$ vermittelte Stromgegenkopplung funktioniert auf die gleiche Weise, wie oben beschrieben. Da  
-$$
-\begin{equation*}
-\begin{split}
-&U_{A}= U_{B} + U_{\mathrm{BE}}\lesssim U_{B},\qquad\text{mit: }
-U_{\mathrm{BE}}=U_{D}\\
-\end{split}
-\end{equation*}
-$$
-wirkt diese Beschaltung **nicht spannungs- sondern nur stromverstärkend**. Die Stromverstärkung erfolgt mit $v_{I}$ und kann damit sehr groß werden. Da $U_{A}$ der Basisspannung $U_{\mathrm{B}}$ (in diesem Fall in Phase) folgt wird diese Schaltung auch als **Emitterfolger** bezeichnet. Dieser Begriff leitet sich vom analogen Begriff des Kathodenfolgers beim Röhrenverstärker ab (siehe oben), wobei in der Analogie der Emitter des Halbleiters die Rolle der Kathode bei der Röhre übernimmt. 
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-Neben der Stromverstärkung zeichnen den Emitterfolger zwei weitere wichtige Eigenschaften aus: 
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-- Da der Strom durch den Lastwiderstand $R_{L}$ vom Eingangstor aus gesehen um $v_{I}$ reduziert erscheint ist der Eingangswiderstand der Schaltung sehr groß. 
-- Der Ausgangswiderstand hingegen ist klein. 
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-Deshalb wird die Kollektorschaltung oft auch als [Impedanzwandler](https://de.wikipedia.org/wiki/Impedanzwandler) verwendet. In der Elektrotechnik bezeichnet dieser Begriff ein Zweitor, das die Impedanz einer Quelle an die eines Verbrauchers anpasst.
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-# Navigation
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-[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/tree/main/Operationsverstaerker)