re-introducing Knudsen and Co.

Vakuum/doc/Hinweise-Vakuum-a.md

@@ -89,15 +89,9 @@ $$
 q_{pV}\propto\Delta p
 \end{equation*}
 $$
-allgemein definieren. Gleichung **(2)** gilt nur für viskose Fluide, für molekulare Strömungen ergibt sich der Zusammenhang: 
-$$
-\begin{equation}
-L = \sqrt{\frac{\pi\,k_{B}\,T}{18\,M_{m}}}\,\frac{R^{3}}{8\,\ell},
-\end{equation}
-$$
-wobei $k_{B}$ der Boltzmann-Konstanten und $T$ der Temperatur (in $\mathrm{K}$) entsprechen. Der Leitwert wird also vom Druck unabhängig und $R$ geht nur noch in dritter Potenz ein.  
+allgemein definieren. Gleichung **(2)** gilt nur für viskose, laminare Fluide. Im allgemeinen hängt $L$ stärker vom Druck ab, als durch Gleichung **(2)** wiedergegeben, da sich druckabhängig die Art der Strömung verändert (siehe Abschnitt Vakuumbereiche [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/blob/main/Vakuum/doc/Hinweise-Vakuum.md)). Zudem hängt $L$ von der Art des strömenden Gases, dem Querschnitt der Leitung, sowie dem Umstand ab, ob die Leitung geradlinig verläuft oder in irgendeiner Weise gekrümmt ist. 
 
-Bei Parallelschaltung von Rohren addieren sich die Saugleistungen, während der Druckunterschied gleich bleibt: 
+Bei Parallelschaltung von Leitungen addieren sich die Saugleistungen, während der Druckunterschied gleich bleibt: 
 $$
 \begin{equation*}
 \begin{split}
@@ -107,7 +101,7 @@ $$
 \end{split}
 \end{equation*}
 $$
-Bei Serienschaltung von Rohren addieren sich die Druckunterschiede während die Saugleistung gleich bleibt: 
+Bei Serienschaltung von Leitungen addieren sich die Druckunterschiede während die Saugleistung gleich bleibt: 
 $$
 \begin{equation*}
 \begin{split}
@@ -172,6 +166,53 @@ $$
 
 Die effektive Saugleistung der Pumpe ergibt sich also durch "Serienschaltung" mit den entsprechenden Leitungselementen.
 
+### Knudsen-Gleichung
+
+Setzt man in Gleichung **(2)** $\eta$ für Stickstoff ein erhält man die folgende gebräuchliche Ingenieursformel (für Luft bei $20^{\circ}\mathrm{C}$):
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&L[\mathrm{l/s}] = \frac{\pi\,R^{4}\,\overline{p}}{8\,\eta\,\ell} = \frac{\pi\,\left(d[\mathrm{cm}]\right)^{4}\,\overline{p}[\mathrm{mbar}]\cdot 100}{1000\cdot8\cdot16\cdot17.58\times10^{-6}[\mathrm{Pa\,s}]\,\ell[\mathrm{cm}]} \\
+&\hphantom{L[\mathrm{l/s}]}=140\frac{\left(d[\mathrm{cm}]\right)^{4}}{\ell[\mathrm{cm}]}\, \overline{p}[\mathrm{mbar}] \\
+&\\
+&\text{mit:}\\
+&\\
+&d=2\,R; \qquad
+1\ \mathrm{Pa}=100\ \mathrm{mbar}; \qquad
+\eta = 17.58\, \mu\mathrm{Pa\cdot s},\\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+wobei $d$ dem Durchmesser der Leitung entspricht. Die eckigen Klammern geben an in welchen Einheiten die Messgrößen einzusetzen sind.
+
+Im Feinvakuum nimmt Gleichung **(3)** die Form 
+$$
+\begin{equation}
+L[\mathrm{l/s}] = 140\frac{d^{4}}{\ell}\overline{p} + 12.1\frac{d^{3}}{\ell}\frac{1+192\, d\,\overline{p}}{1+237\, d\, \overline{p}}
+\end{equation}
+$$
+an. Dabei handelt es sich um die sog. **Knudsen-Gleichung**. Formt man Gleichung **(4)** wie folgt um kann man abhängig von der dimensionsbehafteten Skala $d\,\overline{p}[\mathrm{mbar\ cm}]$ die Bereiche von Grob-, Fein- und Hochvakuum unterscheiden:
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&\text{Übergang} (10^{-2}\lesssim d\,\overline{p}[\mathrm{mbar\cdot cm}]\lesssim0.6): \\
+&\\
+&L[\mathrm{l/s}] = 12.1\frac{d^{3}}{\ell}\cdot\underbrace{\frac{1+203\, d\, \overline{p} + 2.78\times 10^{3}\,\left(d\,\overline{p}\right)^{2}}{1+237\, d\, \overline{p}}}\\
+&\hphantom{L[\mathrm{l/s}] = 12.1\frac{d^{3}}{\ell}1+203\, d\, \overline{p}c}\equiv f(d\,\overline{p}) \\
+&\\
+&\\
+&\text{Viskos, laminar } (0.6\lesssim d\,\overline{p}[\mathrm{mbar\cdot cm}]): \\
+&\\
+&L[\mathrm{l/s}] = 140\frac{d^{4}}{\ell}\overline{p}\\
+&\\
+&\text{Molekular } (d\,\overline{p}[\mathrm{mbar\cdot cm}]\lesssim10^{-2}): \\
+&\\
+&L[\mathrm{l/s}] = 12.1\frac{d^{3}}{\ell}.\\
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+Es fällt auf, dass der $L$ für molekulare Strömungen vom Druck unabhängig ist.   
+
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