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Operationsverstaerker/doc/Hinweise-OPV.md

+# Hinweise für den Versuch Operationsverstärker
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+## Operationsverstärker
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+Ein [Operationsverstärker](https://de.wikipedia.org/wiki/Operationsverst%C3%A4rker) (OPV) ist ein aus mehreren Transistoren bestehendes [Netzwerk](https://de.wikipedia.org/wiki/Netzwerk_(Elektrotechnik)), das heutzutage i.a. in Form von [integrierten Schaltkreisen](https://de.wikipedia.org/wiki/Integrierter_Schaltkreis) realisiert wird. Das Schaltsymbol eines OPV ist in **Abbildung 9** gezeigt: 
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+<img src="../figures/OPVSymbolik.png" width="400" style="zoom:100%;"/>
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+**Abbildung 9**: (Schaltsymbol eines OPV und Definition der Ströme und Spannungen)
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+Der OPV besitzt **mindestens fünf Klemmen**: 
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+- Einen ($\ominus$) invertierenden und einen ($\oplus$) nicht-invertierenden Signaleingang; 
+- einen Signalausgang und 
+- mindestens zwei (im Schaltbild nicht gezeigte) Anschlüsse zur externen Spannungsversorgung. 
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+Je nach Komplexität des OPV können noch weitere Klemmen vorhanden sein. Im allgemeinen ist der $\oplus$-Eingang als hochohmiger Spannungseingang ausgeführt; der $\ominus$-Eingang ist je nach OPV-Typ ebenfalls ein hochohmiger Spannungs- oder ein niederohmiger Stromeingang. Entsprechend ist der Ausgang des OPV entweder als hochohmiger Strom- oder niederohmiger Spannungsausgang ausgelegt. Der OPV kann somit in guter Näherung als ideale [Strom-](https://de.wikipedia.org/wiki/Stromquelle_(Schaltungstheorie)#Ideale_Stromquelle) oder [Spannungsquelle](https://de.wikipedia.org/wiki/Spannungsquelle#Ideale_und_reale_Spannungsquellen) (relativ zum Massenpotential) angesehen und verwendet werden. 
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+Der Stromfluss in den $\oplus$-Eingang wird im Folgenden mit $I_{P}$ bezeichnet, der Stromfluss in den $\ominus$-Eingang mit $I_{N}$, die anliegenden Spannungen werden entsprechend mit $U_{P}$ und $U_{N}$ bezeichnet; $U_{d}=U_{P}-U_{N}$ ist die Differenzspannung zwischen $\ominus$- und $\oplus$-Eingang; und $I_{a}$ und $U_{a}$ bezeichnen, je nach OPV-Typ den Strom oder die Spannung am Ausgang. 
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+Für diesen Versuch verwenden wir einen OPV vom Typ $\mu\mathrm{A}741$. Dabei handelt es sich um einen **Spannungsverstärker** (engl. *voltage feedback operational amplifier*, VFA) mit zwei hochohmigen Spannungseingängen und niederohmigem Spannungsausgang. 
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+### Darlington-Schaltung
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+Die [Darlington-Schaltung](https://de.wikipedia.org/wiki/Darlington-Schaltung), als eines der einfachsten Netzwerke zur Signalverstärkung mit zwei Transistoren T1 und T2, ist in **Abbildung 10** dargestellt: 
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+<img src="../figures/DarlingtonSchaltung.png" width="400" style="zoom:100%;"/>
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+**Abbildung 10**: (Darlington-Schaltung aus zwei npn-Transistoren)
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+Sie ist Bestandteil nahezu jedes OPV. Die Beschaltung erfolgt als Spezialfall eines [Emitterfolgers](https://de.wikipedia.org/wiki/Transistorgrundschaltungen#Emitterfolger), wobei der Emitter von T1 die Basis von T2 ansteuert. Für den **Stromverstärkungsfaktor** gilt:
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&I_{\mathrm{C,2}} = \beta_{2}\,I_{\mathrm{B,2}};\qquad
+I_{\mathrm{C,1}} = \beta_{1}\,I_{\mathrm{B,1}};\\
+&\\
+&\beta' = \frac{I_{\mathrm{C,1}}+I_{\mathrm{C,2}}}{I_{\mathrm{B,1}}} = \frac{I_{\mathrm{C,1}}}{I_{\mathrm{B,1}}}\,\left(1+\beta_{2}\right)\approx\beta_{1}\beta_{2},
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+die Verstärkungsfaktoren von T1 und T2 werden also multipliziert. In der Praxis werden Kleinsignalverstärkungen von bis zu 50'000 erreicht. Die Darlington-Schaltung kann als einzelner **Darlington-Transistor** betrachtet und verbaut werden. Je nach äußerer Beschaltung kann sie zur Spannungs- oder Stromverstärkung genutzt werden.  
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+### Innenbeschaltung eines OPV
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+Die Innenbeschaltung eines OPV ist i.a. sehr komplex. Wir diskutieren hier nur die wichtigsten Konzepte anhand der beispielhaften und stark vereinfachten Schaltskizze aus **Abbildung 11**:
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+<img src="../figures/OPVInnenbeschaltung.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
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+**Abbildung 11**: (Beispielhafte Schaltskizze zur Diskussion der Innenbeschaltung eines OPV)
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+Die Innenbeschaltung jedes OPVs kann grundsätzlich immer in drei Abschnitte unterteilt werden:
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+- Eingangsstufe, 
+- Verstärkerstufe und 
+- Ausgangsstufe. 
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+Wir werden jede Stufe im Folgenden genauer diskutieren.
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+#### Eingangsstufe
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+Die Eingangsstufe besteht aus einem [Differenzverstärker](https://de.wikipedia.org/wiki/Differenzverstärker), an dem die beiden Eingangssignale mit den Spannungen $U_{N}$ und $U_{P}$ anliegen. In **Abbildung 11** liefern diese die Basisspannungen für zwei baugleiche pnp-Transistoren, die durch eine [Konstantstromquelle](https://de.wikipedia.org/wiki/Konstantstromquelle) versorgt werden. In unserem Beispiel soll zur Erklärung des Prinzips $U_{N}>U_{P}$ gelten. Für den pnp-Transistor liegt der Emitter (in diesem Fall als Quelle positiver Ladungen!) oben im Bild (siehe **Abbildung 1** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/tree/main/Operationsverstaerker/doc/Hinweise-Verstaerker.md)). Je größer die Basisspannung desto geringer $U_{\mathrm{BE}}$, desto geringer also auch die Verstärkung und damit $I_{\mathrm{C}}$. Für das hier ausgeführte Beispiel gilt also $I_{2}>I_{1}$. An die Kollektoren der Transistoren schließt sich die einfache Realisation eines [Stromspiegels](https://de.wikipedia.org/wiki/Stromspiegel) an. Dieser besteht aus zwei baugleichen npn-Transistoren mit kurzgeschlossener Basis. Ein weiterer Kurzschluss zwischen Kollektor und Basis an einem der Transistoren sorgt dafür, dass sich eine wohl-definierte, für beide Transistoren gleiche Basisspannung $U_{\mathrm{B}}\gtrsim -U_{D}$ einstellt. Ein Kurzschluss mit zwei baugleichen Widerständen sorgt dafür, dass die Emitter beider Transistoren ebenfalls auf gleichem Potential gehalten werden, so dass durch beide Transistoren der gleiche Strom $I_{3}=I_{4}$ fließt. Aufgrund dieser Konstellation fließt der überschüssige Strom aus $I_{2}$ als Differenzstrom
+$$
+\begin{equation*}
+I_{\mathrm{diff}}=I_{2}-I_{1}
+\end{equation*}
+$$
+im Bild nach rechts in die Verstärkerstufe ab. 
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+Nach diesem Prinzip übersetzt der Differenzverstärker kleine Spannungsdifferenzen in einen dazu proportionalen (ggf. verstärkten) Strom $I_{\mathrm{diff}}$. Mit einem solchen Aufbau erreicht man eine sehr gute Gleichtaktunterdrückung, d.h. die Zunahme von $I_{\mathrm{diff}}$ bei gleichzeitiger Erhöhung von $U_{N}$ und $U_{P}$ ist gering. Bei guten OPVs kann diese ungewollte Zunahme um Faktoren bis zu $10^{9}$ unterdrückt werden. Ein Potentiometer im unteren Teil der Schaltung erlaubt es bauliche Unterschiede der Widerstände auszugleichen. 
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+Bei einem herkömmlichen OPV stellt die Eingangsstufe zudem den hohen [Eingangswiderstand](https://de.wikipedia.org/wiki/Eingangswiderstand) des OPV auf beiden Eingängen sicher.
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+#### Verstärkerstufe
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+Die **Verstärkerstufe** besteht in **Abbildung 11** aus einer Darlington-Schaltung, die $I_{\mathrm{diff}}$ aus der Eingangsstufe als $I_{\mathrm{B}}$ aufnimmt und in eine hohe Ausgangsspannung umsetzt. An dieser Stelle hängt die Spannungsverstärkung noch stark von der angeschlossenen Last abhängt. Wäre dies bereits der Ausgang des OPV, so würde die Verstärkung beim Anschluss einer bereits geringen Last stark abfallen.
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+#### Ausgangsstufe
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+Die **Ausgangsstufe** besteht aus einer Kollektorschaltung, die im Gegensatz zu den vorherigen Stufen keine Spannungsverstärkung aufweist. Als [Impedanzwandler](https://de.wikipedia.org/wiki/Impedanzwandler) erfüllt sie den Zweck das Signal mit einem niedrigen Innenwiderstand auch für hohe Ströme stabil, als ideale Spannungsquelle, an den Verbraucher weiterzugeben. Nach innen weist sie einen hohen Widerstand auf, wodurch die Verstärkerstufe wiederum nicht belastet wird. 
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+Würde es sich um eine einfache Kollektorschaltung mit einem einzelnen Transistor handeln wäre die über $R_{E}$ permanent abfallende Leistung unwirtschaftlich hoch. Bei der hier dargestellten Schaltung handelt es sich um einen komplementären Emitterfolger ([Gegentaktendstufe](https://de.wikipedia.org/wiki/Gegentaktendstufe)), bei dem ein npn- und ein pnp-Transistor wechselseitig jeweils an eine Versorgungsspannung unterschiedlichen Vorzeichens angeschlossen sind. Bei einem positiven Signal ist der npn-Transistor offen und gibt das Signal weiter, während der pnp-Tansistor sperrt. Bei einem negativen Signal sind die Verhältnisse umgekehrt. Der Vorteil dieser Schaltung gegenüber der einfachen Kollektorschaltung besteht darin, dass im Arbeitspunkt $U_{\mathrm{B}}=0$ gewählt werden kann, so dass ohne Signal kein Ruhestrom fließt. Durch diese Wahl erreicht die Ausgangsstufe des OPV einen Wirkungsgrad von 78.5%, gegenüber 6.5% bei einer einfache Kollektorschaltung. Der Nachteil dieser Schaltung besteht darin, dass für jeden einzelnen Transistor erst ab einem Signal mit $|U_{\mathrm{B}}|\gtrsim |U_{D}|$ am Ausgang ein Strom fließt. Die daraus resultierende Verzerrung für kleine Eingangssignale bezeichnet man als **Übernahmeverzerrung**. Um diese weitestgehend auszuschließen weicht man von $U_{\mathrm{B}}=0$ als Arbeitspunkt ab und setzt beide Transistoren auf ein eigenes Potential mit der Differenz $\Delta U_{\mathrm{B}}=2\,U_{D}$. Dies wird durch die zwei Dioden im Schaltkreis vor der Ausgangsstufe erreicht, die als Spannungsteiler fungieren. Die Dioden haben zu den Transistoren äquivalente Kennlinien. Sind sie zudem wärmeleitend mit ihnen verbunden lassen sich selbst thermische Potentialdifferenzen zwischen Trasistoren und Dioden nahezu vollständig ausschließen.
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+#### Reale Innenbeschaltung im OPV $\mu\mathrm{A}741$
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+Im [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/blob/main/Operationsverstaerker/figures/OpAmpTransistorLevel_Colored.png) dargestellten noch verhältnismäßig "einfachen" Schaltplan des $\mu\mathrm{A}741$ sind die einzelnen Stufen durch farbige Umrandungen gekennzeichnet: 
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+- Die **Eingangstufe**, in der man den Differenzverstärker gut erkennen kann ist blau umrandet; 
+- die **Verstärkerstufe** mit einer Darlington-Emitterschaltung ist magenta-farben umrandet;
+- die **Ausgangsstufe** mit komplementärem Emitterfolger ist cyan-farben umrandet. Die Potentialdifferenz der komplementär beschalteten Transistoren wurde durch einen weiteren Transistor realisiert und ist grün umrandet; 
+- Schließlich sind durch rote Umrandungen einige **Stromspiegel** hervorgehoben.
+- Der Kondensator in der Mitte der Schaltung dient zur [Frequenzkompensation](https://de.wikipedia.org/wiki/Frequenzkompensation).
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+### Einsatz und Dimensionierung
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+Ohne äußere Beschaltung des OPV wäre aufgrund der hohen Verstärkung $U_{A}$ abhängig von $U_{B}$ entweder maximal oder Null. Aufgrund dieser Eigenschaft werden OPVs auch als Schalter oder [Komparatoren](https://de.wikipedia.org/wiki/Komparator_(Analogtechnik)) eingesetzt.
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+Um den OPV als Verstärker zu betreiben verhindert man dieses Verhalten wieder durch äußere Beschaltung, mit der man, analog zum Transistors den maximal erreichbaren Verstärkungsfaktor der Schaltung durch Gegenkopplung kontrolliert reduziert. Bei der Gegenkopplung wird ein Teil des Ausgangssignals mit invertiertem Vorzeichen so auf den Eingang des OPV zurückgeführt, dass die Schaltung insgesamt Veränderungen des Eingangssignals entgegenwirkt. Bei allen Verstärkerschaltung wird daher immer der Ausgang auf den $\ominus$-Eingang gekoppelt. Bei Gegenkopplung steigt $U_{a}$ daraufhin nur so lange an, bis $U_{d}$ über das Rückkopplungsnetzwerk auf Null abfällt. Ebenfalls analog zum Transistor hängt der (Strom-) Spannungsverstärkungsfaktor $(v_{I})$ $v_{U}$ der resultierenden Schaltung hängt dann nicht mehr vom Verstärkungsfaktor des OPV, sondern nur noch von der äußeren Beschaltung ab. 
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+Zur ungefähren Dimensionierung (d.h. zur Beschaltung mit konkreten äußeren Widerstanden) von OPV-Schaltkreisen betrachtet man den OPV als ideal, d.h.:
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+- Die Verstärkung des idealen OPV ist unendlich. Daraus folgt $U_{N}\approx U_{P}$ , da sonst der Ausgang des OPV übersteuern würde.
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+- Der Eingangswiderstand des OPV ist unendlich groß, d.h. es fließt kein Strom in den OPV.
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+- Der Ausgangswiderstand ist Null, d.h. die Ausgangsspannung ist unabhängig von der Last, also vom Ausgangsstrom $I_{a}$. Dies gilt, solange $𝐼_{a} \lt 𝐼_{𝐴}^{\mathrm{max}}$ .
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+Diese Annahmen werden auch als die sog. [**Goldenen Regeln**](https://de.wikipedia.org/wiki/Operationsverst%C3%A4rker) zur OPV Dimensionierung bezeichnet. Die exakte Justierung wird darauf hin i.a. experimentell vorgenommen. 
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+### Nicht-invertierende Grundschaltung
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+Bei der nicht-invertierenden Grundschaltung handelt es sich um eine Verstärkerschaltung, bei der das Ausgangssignal die gleiche Polarität aufweist, wie das Eingangssignal. Das Eingangssignal liegt also auf dem nicht-invertierenden Eingang des OPV. Ein Teil des Ausgangssignals wird auf den invertierenden Eingang zurückgeführt. Die nicht-invertierende Grundschaltung ist in **Abbildung 12** gezeigt: 
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+<img src="../figures/OPV_Grundschaltung1.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 12**: (Nicht-invertierende Grundschaltung des OPV)
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+---
+
+Die Verstärkung ergibt sich aus der oben formulierten ersten goldenen Regel ($U_{d}\approx0$), wonach am invertierenden Eingang des OPV ebenfalls $U_{P}$ anliegt. Nach den Kirchhoffschen Regeln ergibt sich für die Spannungsverstärkung: 
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&U_{P} = I\, R_{1};\qquad U_{a} = I\, (R_{1} + R_{2})\\
+&\\
+&v_{U} = \frac{U_{a}}{U_{P}} = \frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}} = 1+\frac{R_{2}}{R_{1}}
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+Die Eingangsimpedanz $X_{E}$ der Schaltung lässt sich mit einer Erweiterung der Schaltung, wie in **Abbildung 13** gezeigt bestimmen: 
+
+<img src="../figures/OPV_Grundschaltung1_XE.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 13**: ((Rechts) Schaltung zur Bestimmung der Eingangsimpedanz $X_{E}$ des OPV mit Ersatzschaltbild (links))
+
+---
+
+Vor den nicht invertierenden Eingang des OPV wird ein bekannter Messwiderstand $R_{M}$ geschaltet über den die abfallende Spannung $U_{M}$ gemessen wird. Aus der Messung von $U_{P}$ und $U_{M}$, sowie aus der Kenntnis von $R_{M}$ lässt sich $X_{E}$ wie folgt bestimmen:
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&U_{E} = I\, (R_{M}+X_{E});\qquad U_{M}=I\, R_{M}\\
+&\\
+&U_{E} = U_{M}\left(1+\frac{X_{E}}{R_{M}}\right);\\
+&\\
+&X_{E} = R_{M}\left(\frac{U_{E}}{U_{M}}-1\right).
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+Die Beschaltung innerhalb des blau gestrichelten Kastens wird im Ersatzschaltbild durch $X_{E}$ ersetzt. 
+
+Die Bestimmung der Ausgangsimpedanz $X_{A}$ ist weniger einfach, da der OPV das Ausgangssignal als quasi ideale Stromquelle regelt und der Strom somit bei $U_{a}=const.$ vom Verbraucher abhängt. Eine immer noch relativ einfache Methode, $X_{A}$ zu bestimmen ist in **Abbildung 14** gezeigt: 
+
+<img src="../figures/OPV_Grundschaltung1_XA.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 14**: ((Links) Schaltung zur Bestimmung der Ausgangsimpedanz $X_{A}$ des OPV mit Ersatzschaltbild (rechts))
+
+---
+
+Es ist davon auszugehen, dass $X_{A}$ sehr klein ist. Schließt man ein Potentiometer mit regelbarem Widerstand $R_{M}$ zum Ausgang des OPV parallel ist davon auszugehen, dass $U_{a}$ vor allem über $X_{A}$ abfällt:
+$$
+\begin{equation*}
+U_{a} = \left(\frac{1}{X_{A}}+\frac{1}{R_{M}}\right)^{-1}\,I\approx X_{A}\,I;\qquad R_{M}\gg X_{A}.
+\end{equation*}
+$$
+Regelt man $R_{M}$ kontinuierlich nach unten bis $R_{M}\lesssim X_{A}$ fällt $U_{a}$ zunehmend über $R_{M}$ ab. An dem Punkt, an dem $U_{a}$ auf die Hälfte des ursprünglichen Wertes abgefallen ist gilt:
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&\frac{U_{a}}{2} = \left(\frac{1}{X_{A}}+\frac{1}{R_{M}}\right)^{-1}\,I; \\
+&\\
+&\text{mit:}
+&\\
+& \vphantom{\left(\frac{1}{X_{A}}+\frac{1}{R_{M}}\right)^{-1}}
+I=\frac{U_{a}}{X_{A}} \\
+&\\
+&\frac{1}{2} = \frac{R_{M}}{R_{M}+X_{A}}; \\
+&\\
+&\vphantom{\left(\frac{1}{X_{A}}+\frac{1}{R_{M}}\right)^{-1}}
+X_{A}=R_{M}\\
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+Der Strom $I$ bleibt trotz der variierenden Belastung am OPV-Ausgang gleich, weil der OPV sich näherungsweise, wie eine ideale Stromquelle verhält. 
+
+Die Beschaltung innerhalb des blau gestrichelten Kastens wird im Ersatzschaltbild durch $X_{A}$ ersetzt. 
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+### Invertierende Grundschaltung
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