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Hinweise für den Versuch Kreisel

Winkelgeschwindigkeit und Trägheitstensor

In der Mechanik verwenden wir zur Beschreibung der Dynamik eines Massepunkts die physikalischen Größen Geschwindigkeit (\vec{v}), Impuls (\vec{p}) und Kraft (\vec{F}). Mit dem Kreisel betrachten wir einen rotierenden, starren Körper, mit endlicher Ausdehnung, zu dessen Beschreibung wir zu \vec{v}, \vec{p} und \vec{F} äquivalente Größen heranziehen:

• Das Äquivalent zu \vec{v} ist die Winkelgeschwindigkeit \vec{\omega};
• das Äquivalent zu \vec{p} ist der Drehimpuls \vec{L}; und
• das Äquivalent zu \vec{F} ist das Drehmoment \vec{M}.

Für ein gegebenes (infinitesimales) Massenelement \mathrm{d}m wird der Zusammenhang dieser Größen zueinander durch das äußere Produkt (Kreuzprodukt) "\times" mit dem Ortsvektor \vec{r} des Massenelements hergestellt: \begin{equation*} \vec{v} = \vec{r}\times \vec{\omega}; \qquad \vec{L} = \vec{r}\times \vec{p}; \qquad \vec{M} = \vec{r}\times \vec{F}. \\ \end{equation*} Der Zusammenhang zwischen \vec{L} und \vec{\omega} ergibt sich daraus zu \begin{equation} \vec{L} = \vec{r}\times\vec{p} = \mathrm{d}m \left(\vec{r}\times\vec{v}\right) = \mathrm{d}m \left(\vec{r}\times\left(\vec{r}\times\vec{\omega}\right)\right). \end{equation} Um das doppelte Kreuzprodukt in Gleichung (1) weiter zu diskutieren, greifen wir auf eine Regel aus der analytischen Geometrie (die sog. "bac-cab"-Regel) zurück: \begin{equation*} \vec{a}\times\vec{b}\times\vec{c} = \big(\vec{b}\cdot\vec{a}\big)\,\vec{c} - \big(\vec{c}\cdot\vec{a}\big)\,\vec{b} \end{equation*} Das Kreuzprodukt \vec{b}\times\vec{c} kann durch einen Vektor \vec{\kappa} beschrieben werden, der senkrecht auf die aus \vec{b} und \vec{c} aufgespannte Ebene steht. Das erneute Kreuzprodukt \vec{a}\times\vec{\kappa} führt auf einen Vektor, der wieder in diese Ebene zurückfällt. Als Konsequenz kann der resultierende Vektor als eine Linearkombination aus \vec{b} und \vec{c} geschrieben werden. Diese Linearkombination ergibt sich aus den vorangestellten Skalarprodukten.

Anwendung auf Gleichung (1) führt auf: \begin{equation} \begin{split} &\vec{L} = \mathrm{d}m \left(r^{2}\vec{\omega} - \big(\vec{\omega}\cdot\vec{r}\big)\vec{r}\right)\\ &\\ &L_{i} = \underbrace{\mathrm{d}m \left(r^{2}\delta_{ij} - r_{i}r_{j}\right)}\omega_{j}.\\ &\hphantom{L_{i} = \mathrm{d}m \,r^{2}\,}\equiv \Theta_{ij}\\ \end{split} \end{equation} In der zweiten Zeile von Gleichung (2) haben wir die Vektoren komponentenweise ausgeschrieben, wobei i und j jeweils unabhängigen Indizes entsprechen. Die komponentenweise Darstellung von Gleichung (2) zeigt, dass sich die Komponenten L_{i} durch die lineare Abbildung \begin{equation*} L_{i} = \Theta_{ij}\,\omega_{j} \end{equation*} aus den Komponenten \omega_{j} ergeben. Dabei kann, je nach Struktur von \Theta_{ij} jede Komponente von \vec{\omega} zum Wert jeder Komponente von \vec{L} beitragen. Die Größe \begin{equation*} \boldsymbol{\Theta} \equiv \left(\Theta_{ij}\right) \end{equation*} bezeichnen wir als Trägheitstensor. Aufgrund seines Transformationsverhaltens unter Drehungen im Raum handelt es sich um einen Tensor 2. Stufe. Konkret als Matrix ausgeschrieben hat \boldsymbol{\Theta} die Form: \begin{equation} \boldsymbol{\Theta} = \mathrm{d}m \left( \begin{array}{ccc} r^{2}-x^{2} & x\,y & x\,z \\ y\,x & r^{2}-y^{2} & y\,z \\ z\,x & z\,y & r^{2}-z^{2} \\ \end{array} \right). \end{equation} Der Trägheitstensor ist durch seine Konstruktion symmetrisch (\Theta_{ij}=\Theta_{ji}). Die drei Diagonalelemente von \boldsymbol{\Theta} (die wir im Folgenden auch mit (\theta_{i};\ i=x,y,z) bezeichnen werden) heissen Trähgeitsmomente. Die drei nicht-diagonalen Elemente heissen Deviationsmomente.

Eigenwertprobleme

Schreibt man Gleichung (2) aus erhält man ein gekoppeltes lineares Gleichungssystem der Form

\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
L_{x} \\
L_{y} \\
L_{z} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
\Theta_{xx} & \Theta_{xy} & \Theta_{xz} \\
\Theta_{yx} & \Theta_{yy} & \Theta_{yz} \\
\Theta_{zx} & \Theta_{zy} & \Theta_{zz} \\
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
\omega_{x} \\
\omega_{y} \\
\omega_{z} \\
\end{array}
\right),
\end{equation}

wofür wir \boldsymbol{\Theta} als 3\times3-Matrix dargestellt haben. In bestimmten Fällen kann ein solches Gleichungssystem, durch eine Transformation \bold{U} auf eine geeignete Basis \begin{equation*} \boldsymbol{\widetilde{\Theta}} = \bold{U}\cdot\boldsymbol{\Theta}\cdot\bold{U}^{-1}, \end{equation*} mit \bold{U^{-1}U=\mathbb{1}}, entkoppelt werden, so dass \boldsymbol{\widetilde{\Theta}} die Form einer Diagonalmatrix annimmt. Die Suche nach solchen Abbildungen \bold{U} bezeichnet man als Eigenwertproblem. Die Matrix \boldsymbol{\widetilde{\Theta}} führt die Basisvektoren des Vektors \begin{equation*} \vec{\tilde{\omega}} \equiv \bold{U}\cdot\vec{\omega} \end{equation*} bis auf die Multiplikation mit dem Eigenwert \theta_{i} in sich selbst über. Die Transformation \bold{U} entspricht also einem Wechsel von einer beliebigen Orthonormalbasis in eine Orthonormalbasis, durch die \boldsymbol{\widetilde{\Theta}} in sich selbst abgebildet wird.

Hauptachsentransformation

Die Eigenschaft, dass der Trägheitstensor aus Gleichung (3) symmetrisch ist, hat für die Lösung des Eigenwertproblems die folgenden weitreichenden Konsequenzen:

• Für symmetrische Abbildung ist das Eigenwertproblem immer lösbar. Die Eigenwerte können allerdings n-fach entartet vorliegen.
• Die Eigenwerte sind immer reell.
• Die durch die zugehörigen Eigenvektoren aufgespannten Unterräume stehen immer senkrecht aufeinander.

Die Matrizen \bold{U} zur Diagonalisierung von \boldsymbol{\Theta} sind in diesem Fall Rotationsmatrizen mit der (definierenden) Eigenschaft: \begin{equation*} \bold{R}^{-1} = \bold{R}^{\intercal}, \end{equation*} wobei \bold{R}^{\intercal} der Transponierten von \bold{R} entspricht. Die Lösung des Eigenwertproblems gewinnt dadurch eine anschauliche geometrische Bedeutung:

Es handelt sich um die Drehung von einem allgemeinen in ein spezielles Bezugssystem, in dem die Eigenvektoren des Problems aus Gleichung (2) parallel zu den Hauptträgheitsachsen des starren Körpers verlaufen. Diese Achsen sind durch die Form und Massenbelegung des Körpers vorgegeben.

Das Eigenwertproblem erhält aufgrund dieser Besonderheiten den eigenen Namen Hauptachsentransformation. Nach Hauptachsentransformation hat Gleichung (4) die einfache Form:

\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
L_{x} \\L_{y} \\L_{z} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
\theta_{x} & 0 & 0 \\
0 & \theta_{y} & 0 \\
0 & 0 & \theta_{z}\\
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
\omega_{x} \\
\omega_{y} \\
\omega_{z} \\
\end{array}
\right),
\end{equation}

oder in Komponentenschreibweise \begin{equation*} L_{i} = \theta_{i}\,\delta_{ij}\,\omega_{j}. \end{equation*} Die \{\theta_{i}\} heißen in diesem Fall Hauptträgheitsmomente.

Essentials

Was Sie ab jetzt wissen sollten:

• Sie sollten sich über die Begriffe und Definitionen der Winkelgeschwindigkeit (\vec{\omega}), des Drehimpulses (\vec{L}) und des Drehmoments (\vec{M}) im Klaren sein.
• Sie sollten sich über die Eigenschaften des Trägheitstensors im Klaren sein und ihn aus Gleichung (1) und der "bac-cab"-Regel ableiten können.
• Die Hauptachsentransformation sollte Ihnen als Lösung eines Eigenwertproblems ein Begriff sein und sie sollten eine anschauliche Vorstellung davon haben, was diese bedeutet.

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