fixing equations

Resonanz/doc/Hinweise-Resonanz.md

@@ -22,7 +22,11 @@ $$
 \begin{split}
 &\left(-\Omega^{2} + i\frac{\delta\,\Omega}{\Theta} + \frac{D}{\Theta}\right)\,\tilde{\varphi}_{0} = \frac{\Phi}{\Theta};\\
 &\\
-&\tilde{\varphi}_{0} = \frac{\Phi/\Theta}{\left(\omega_{0}^{2}-\Omega^{2}\right) + 2i\,\lambda\,\Omega}.\\
+&\tilde{\varphi}_{0} = \frac{\Phi/\Theta}{\left(\omega_{0}^{2}-\Omega^{2}\right) + 2i\,\lambda\,\Omega};\\
+&\\
+&\text{mit:}\\
+&\\
+&\lambda=\frac{\delta}{2\,\Theta};\qquad \omega_{0}=\sqrt{\frac{D}{\Theta}}. \\
 \end{split}
 \end{equation}
 $$
@@ -85,42 +89,52 @@ Ein elektrischer Schwingkreis bei dem eine Spule (mit Induktivität $L$), ein Ko
 
 Hier ergibt sich die inhomogene Schwingungsgleichung aus den [Kirchhoffschen Regeln](https://de.wikipedia.org/wiki/Kirchhoffsche_Regeln):
 $$
-\begin{equation*}
+\begin{equation}
 \begin{split}
 &L\,\dot{I} + R\,I + \frac{1}{C}\int I\,\mathrm{d}t = U(t);\\
 &\\
 &L\,\ddot{I} + R\,\dot{I} + \frac{1}{C}I = \dot{U}(t).\\
 \end{split}
-\end{equation*}
+\end{equation}
 $$
- Die Lösung erfolgt analog zum oben beschriebenen mechanischen Fall mit den Ersetzungen: 
+Die Lösung erfolgt, **bis auf einen kleinen Unterschied**, analog zum oben beschriebenen mechanischen Fall mit den Ersetzungen: 
 $$
 \begin{equation*}
 \begin{split}
-L\hspace{0.10cm} &\equiv \Theta \vphantom{\frac{1}{C}}\\
-R\hspace{0.10cm} &\equiv \delta \vphantom{\frac{1}{C}}\\
-\frac{1}{C} &\equiv D. \\
+&L\equiv \Theta;\quad 
+R\equiv \delta; \quad
+\frac{1}{C}\equiv D; \\
+&\\
+&U(t) = U_{0}\,e^{i\Omega\,t};\quad
+I(t) = \tilde{I}_{0}\,e^{i\Omega\,t};\\
+&\\
+&\\
+&\left(-\Omega^{2}+i\Omega\,\frac{R}{L} + \frac{1}{L\,C}\right)\,\tilde{I}_{0} = \frac{i\Omega}{L}\,U_{0};\\
+&\\
+&\tilde{I}_{0} = \frac{i\Omega\,U_{0}/L\,}{\left(\omega_{0}^{2}-\Omega^{2}\right) + 2i\,\lambda\,\Omega}\\
+&\\
+&\text{mit:}\\
+&\\
+&\lambda=\frac{R}{2\,L};\qquad \omega_{0}=\sqrt{\frac{1}{L\,C}}. \\
 \end{split}
 \end{equation*}
 $$
-  Daraus ergeben sich die folgenden abgeleiteten Größen: 
+Aus der Lösung von $\tilde{I}_{0}$ ergeben sich die Amplitude $I_{0}$ und die Phase $\phi$ von $I_{t}$ relativ zu $U_{t}$ zu:
 $$
 \begin{equation*}
 \begin{split}
-\omega_{0} &= \sqrt{\frac{1}{L\,C}} \\
-&\\
-\lambda\hphantom{_{0}} &= \frac{R}{2\,L} \\
+I_{0} &= \frac{\Omega\,U_{0}/L}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\Omega^{2}\right)^{2}+\left(2\,\lambda\,\Omega\right)^{2}}}= \frac{U_{0}}{Z};\\
 &\\
-\omega\hphantom{_{0}} &=\sqrt{\omega_{0}^{2} - \lambda^{2}\vphantom{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}} = \sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}} \\
-&\\
-I_{0} &= \frac{U_{0}/L}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\Omega^{2}\right)^{2}+\left(2\,\lambda\,\Omega\right)^{2}}} = \frac{U_{0}}{\sqrt{\left(\frac{1}{C\,\Omega}-L\,\Omega\right)^{2}+R^{2}}} = \frac{U_{0}}{Z};\\
-&\\
-\phi\hphantom{_{0}} &= \arctan\left(-\frac{2\,\lambda\,\Omega}{\omega_{0}^{2}-\Omega^{2}}\right) = \arctan\left(-\frac{\frac{1}{C\,\Omega}-L\,\Omega}{R}\right),
+\phi\hphantom{_{0}} &= \arctan\left(\frac{\omega_{0}^{2}-\Omega^{2}}{2\,\lambda\,\Omega}\right).
 \\
 \end{split}
 \end{equation*}
 $$
-wobei $Z$ der [Impedanz](https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrische_Impedanz) der Schaltung aus **Abbildung 2** entspricht. Im Resonanzfall $\Omega_{\mathrm{res}}$ gilt: 
+wobei $Z$ der [Impedanz](https://de.wikipedia.org/wiki/Elektrische_Impedanz) der Schaltung aus **Abbildung 1** entspricht. 
+
+Der Umstand, dass in Gleichung **(6)** mit $\dot{U}(t)$ die Ableitung von $U(t)$ steht, hat zur Konsequenz, dass im Vergleich zu Gleichung **(3)** ein weiterer Faktor $\Omega$ in der Amplitude von $I(t)$ auftaucht und die Phase um $\pi/2$ verschoben auftritt.
+
+Im Resonanzfall $\Omega_{\mathrm{res}}$ gilt: 
 
 - $Z(\Omega_{\mathrm{res}})$ ist minimal; 
 - $I_{0}(\Omega_{\mathrm{res}})$ ist maximal;