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Pendel/doc/Hinweise-Aufgabe-1.md

+# Hinweise für den Versuch Pendel
+
+
+## Aufgabe 1: Fadenpendel
+
+### Modell des Fadenpendels
+
+Unter Vernachlässigung von Reibungseffekten und bei kleinen Auslenkungen $\varphi_{0}$  wird die Schwingung des Fadenpendels durch die Differentialgleichung des [physikalischen Pendels](https://de.wikipedia.org/wiki/Physikalisches_Pendel) 
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&\Theta\ddot{\varphi}+\underbrace{m\,s\,g}\,\varphi=0\\
+&\hphantom{\Theta\ddot{\varphi}\quad}\equiv D \\
+&\\
+&\varphi(t) = \varphi_{0}\sin(\omega_{o}\,t+\phi)
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+beschrieben, wobei $\Theta$ dem Trägheitsmoment, $g$ der Erdbeschleunigung, $m$ der Masse und $s$ dem Abstand zwischen Aufhängung und Schwerpunkt des Pendels entsprechen. $D$ bezeichnet das [Direktionsmoment](https://de.wikipedia.org/wiki/Direktionsmoment). Aus Gleichung **(1)** lassen sich die Kreisfrequenz $\omega_{0}$ und die Periode $T_{0}$ bestimmen:
+$$
+\begin{equation}
+\omega_{0} = \sqrt{\frac{D}{\Theta}}=\sqrt{\frac{m\,\ell\,g}{\Theta}};\qquad T_{0}=2\pi\sqrt{\frac{\Theta}{D}}=2\pi\sqrt{\frac{\Theta}{m\,\ell\,g}}.
+\end{equation}
+$$
+Mit Hilfe des [Satzes von Steiner](https://de.wikipedia.org/wiki/Steinerscher_Satz) lässt sich $\Theta$ aus dem Trägheitsmoment einer homogenen Kugel  berechnen: 
+$$
+\begin{equation}
+\Theta = m\,s^{2} + \frac{2}{5}\,m\,r^{2},
+\end{equation}
+$$
+wobei $r$ dem Radius der Kugel entspricht. Beachten Sie, dass $s$ nicht die Länge des Fadens, sondern der Abstand zwischen Aufhängung und Schwerpunkt des Pendels ist. Da Sie die Masse des Fadens der Masse der Kugel gegenüber vernachlässigen können, fällt der Schwerpunkt des Pendels mit dem Schwerpunkt der Kugel zusammen.
+
+Einsetzen von Gleichung **(3)** in Gleichung **(2)** führt zu einer Bestimmungsgleichung für $g$:
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+g = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\left(s +\frac{2}{5}\frac{r^{2}}{s}\right).
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+
+### Abweichungen von der Kleinwinkelnäherung
+
+Verlässt man die Kleinwinkelnäherung wird Gleichung **(1)** zu einer nicht-linearen Differentialgleichung der Form 
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&\Theta\ddot{\varphi}+\underbrace{m\,s\,g}\,\sin\varphi=0\\
+&\hphantom{\Theta\ddot{\varphi}\quad}\equiv D
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+die zwar immer noch [exakt lösbar](https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Pendel#Exakte_L%C3%B6sung), aber nicht mehr analytisch geschlossen darstellbar ist. Die Lösung erfordert die Verwendung [elliptischer Funktionen](https://de.wikipedia.org/wiki/Jacobische_elliptische_Funktionen#Die_drei_grundlegenden_Jacobischen_Funktionen). Die Periode lässt sich in diesem Fall durch eine Reihenentwicklung annähern, deren erste Korrektur wie folgt aussieht:
+$$
+\begin{equation}
+T_{0}(\varphi_{0}) = T_{0}\left(1+\frac{1}{2}\sin\left(\varphi_{0}/2\right)\right).
+\end{equation}
+$$
+### Hinweise zur Durchführung
+
+- Die Messung von $T_{0}$ (resp. $T_{0}(\varphi_{0})$) erfolgt über eine fest montierte Lichtschranke. Bestimmen Sie $T_{0}$ über eine geeignete Anzahl an Perioden. Geben Sie entsprechende Unsicherheiten an.
+- Messen Sie zur Überprüfung des funktionalen Zusammenhangs von $T_{0}(\varphi_{0})$, bei großen Winkelauslenkungen am besten fortlaufend, beginnend bei $\varphi_{0}\gtrsim60^{\circ}$. Aufgrund der Dämpfung des Pendels verringert sich $\varphi_{0}$ mit der Zeit von selbst. Gehen Sie dabei wie folgt vor:
+  - Bestimmen Sie $T_{0}(\varphi_{0})$ aus einer geeigneten Anzahl an fortlaufenden Perioden. 
+  - Warten Sie dann bis $\varphi_{0}$ um etwa $5^{\circ}$ abgenommen hat und bestimmen Sie einen neuen Wert von $T_{0}(\varphi_{0})$. 
+  - So erhalten Sie eine Messreihe von mindestens 6 Punkten. Stellen Sie die Messreihe in geeigneter Weise graphisch dar und vergleichen Sie die Abhängigkeit mit der Erwartung aus Gleichung **(4)**.
+
+- **Die Kugel des Fadenpendels kann Verletzungen verursachen!** Halten Sie daher Abstand, solange die Kugel weit ausschwingt. Lassen Sie die Kugel niemals in den Draht der Aufhängung "hineinfallen", da der Draht ansonsten Gefahr läuft zu reißen.
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+# Navigation
+
+[Main](https://git.scc.kit.edu/etp-lehre/p1-for-students/-/tree/main/Pendel)
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Pendel/doc/Hinweise-Aufgabe-2.md

+# Hinweise für den Versuch Pendel
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+## Aufgabe 2: Reversionspendel
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+### Eigenschaften des Reversionspendels
+
+Beim [Reversionspendel](https://de.wikipedia.org/wiki/Reversionspendel) handelt es sich um ein Pendel, das in der [Gravimetrie](https://de.wikipedia.org/wiki/Gravimetrie), d.h. zur (lokalen) Messung der Erdbeschleunigung $g$ verwendet wird. Grundsätzlich lässt sich $g$ aus der Periode $T_{0}$ des [physikalischen Pendels](https://de.wikipedia.org/wiki/Physikalisches_Pendel), wie folgt berechnen:
+$$
+T_{0} = 2\pi\sqrt{\frac{\Theta}{m\,g\,s}};\qquad g = \frac{4\pi^{2}}{T_{0}^{2}}\frac{\Theta}{m\,s}.
+$$
+Dabei entspricht $s$ dem Abstand zwischen der Aufhängung $A$ und dem Schwerpunkt $S$, $\Theta$ dem Trägheitsmoment und $m$ der Masse des Pendels. Die Schwierigkeit bei der Verwendung von Gleichung **(1)** besteht darin $\Theta$ und $s$ *exakt* zu bestimmen. 
+
+Das Reversionspendel ist eine Konstruktion, um diese Schwierigkeit experimentell zu umgehen. Es besteht aus einem Pendelstab $P$, einem ($K$) festen und einem ($K'$) beweglichen Auflagekeil, wie in **Skizze 1** dargestellt:
+
+<img src="../figures/ReversionspendelSkizze.png" width="500" style="zoom:100%;" />
+
+**Skizze 1** (Schematischer Aufbau eines Reversionspendels)
+
+---
+
+Für die weitere Diskussion gehen wir von der folgenden vereinfachten Konstruktion aus: 
+
+- Das Pendel liegt mit $K$ im Punkt $A$ auf (**Skizze 1**, links). 
+- $K'$ kann entlang von $P$ verschoben werden. Dabei ändern sich sowohl $\Theta$, als auch $d$; 
+- Die Abmessungen von $K$ und $K'$ sind der Art, dass ihre jeweiligen Schwerpunkte in den Auflagepunkten angenommen und ihre Trägheitsmomente vernachlässigt werden können. 
+- Dreht man das Pendel um $180^{\circ}$ liegt es mit $K'$ im Punkt $A'$ auf (**Skizze 1**, rechts).   
+
+Für die folgende Diskussion gehen wir davon aus, dass das Pendel mit $K$ im Punkt $A$ gelagert ist (**Skizze 1**, links). 
+
+Die [reduzierte Länge](https://de.wikipedia.org/wiki/Physikalisches_Pendel) $\ell_{r}$ des physikalischen Pendels entspricht der Länge, die ein hypothetisches [mathematisches Pendel](https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Pendel) mit der gleichen Periode $T_{0}$ hätte:
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&T_{0}=2\pi\sqrt{\frac{\ell_{r}}{g}};\qquad T_{0} = 2\pi\sqrt{\frac{\Theta}{m\,g\,s}}\\
+&\\
+&\ell_{r}\equiv\frac{\Theta}{m\,s}\qquad(\text{reduzierte L\"ange}).\\
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+Die Schwingung des physikalischen Pendels ist also zur Schwingung eines mathematischen Pendels der Länge $\ell_{r}$ äquivalent. 
+
+### Spezialfall: Langer dünner Stab
+
+Für einen dünnen Stab der Länge $\ell$, der um einen seiner Endpunkte schwingt gilt für $\Theta$ und $s$:
+$$
+\begin{equation*}
+\Theta = \frac{1}{3}m\,\ell^{2}; \qquad s = \frac{1}{2}\ell.
+\end{equation*}
+$$
+ Daraus ergeben sich für $\ell_{r}$ und $T_{0}$: 
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&\ell_{r} = \frac{\frac{1}{3}m\,\ell^{2}}{\frac{1}{2}\ell\,m} = \frac{2}{3}\ell; \\
+&\\
+&T_{0} =2\pi\sqrt{\frac{\ell_{r}}{g}}=2\pi\sqrt{\frac{2\,\ell}{3\,g}} 
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+Positioniert man $K'$ im Abstand $d=\ell_{r}$ zu $A$ besitzt das Reversionspendel zwei bemerkenswerte Eigenschaften: 
+
+- Eine zusätzliche Masse $m'$ in der Position $d=\ell_{r}$ ändert $T_{0}$ nicht. In diesem Fall ändern sich $\Theta$ und $s$ wie folgt:
+
+  ```math
+  \begin{equation*}
+  \begin{split}
+  &\Theta\to\Theta' = \frac{1}{3}m\,\ell^{2} + m'\left(\frac{2}{3}\ell\right)^{2};
+  &\\
+  &\\
+  &s\,\,\to s'\, = \frac{\frac{1}{2}\ell\,m+\frac{2}{3}\ell\,m'}{m+m'}
+  &\\
+  &\\
+  &T_{0} = 2\pi\sqrt{\frac{\Theta'}{(m+m')\,g\,s'}} = 2\pi\sqrt{\frac{(\frac{1}{2}m\ell+\frac{2}{3}m'\ell)\frac{2}{3}\ell}{(\frac{1}{2}\ell\,m+\frac{2}{3}\ell\,m')g}} = 2\pi\sqrt{\frac{2\,\ell}{3\,g}}.
+  \end{split}
+  \end{equation*}
+  ```
+
+  Der Vergleich mit Gleichung **(2)** zeigt, dass $T_{0}$ unverändert bleibt. 
+
+- Dreht man das Pendel um $180^{\circ}$ um, schwingt es mit der **gleichen Periode $T_{0}$**. Beachten Sie hierzu **Skizze 1**, rechts. In gedrehtem Zustand befindet sich 1/3 des Stabs oberhalb der Aufhängung. Für das Direktionsmoment gilt daher:
+
+  ```math
+  \begin{equation*}
+  D' = \frac{1}{6}\ell\,m\,g.
+  \end{equation*}
+  ```
+
+  Für das Trägheitsmoment gilt nach dem [Satz von Steiner](https://de.wikipedia.org/wiki/Steinerscher_Satz):
+
+  ```math
+  \begin{equation*}
+  \Theta' = \frac{1}{12}m\ell^{2}+m\left(\frac{1}{6}\ell\right)^{2} = \frac{1}{9}m\,\ell^{2}.
+  \end{equation*}
+  ```
+
+  Daraus ergibt sich für $T_{0}$:
+
+  ```math
+  \begin{equation*}
+  T_{0} = 2\pi\sqrt{\frac{\Theta'}{D'}}=2\pi\sqrt{\frac{\frac{1}{9}m\,\ell^{2}}{\frac{1}{6}\ell\,m\,g}} = 2\pi\sqrt{\frac{2\,\ell}{3\,g}}.
+  \end{equation*}
+  ```
+
+  Der Vergleich mit Gleichung **(2)** zeigt, dass $T_{0}$ unverändert bleibt. 
+
+**Beide Eigenschaften gelten für das Reversionspendel allgemein.** Unabhängig von der exakten Form des Pendels lässt sich die Position $d=\ell_{r}$ zwischen $K$ und $K'$ also z.B. dadurch auffinden, dass $T_{0}$ in der Aufhängung in $A$ und $A'$ den gleichen Betrag hat. Hat man $d=\ell_{r}$ sicher aufgefunden lässt sich $g$, ohne Kenntnis von $\Theta$ oder $s$,  aus der Gleichung
+$$
+\begin{equation*}
+g = \frac{4\pi^{2}}{T_{0}^{2}}\ell_{r} = \frac{4\pi^{2}}{T_{0}^{2}}d
+\end{equation*}
+$$
+bestimmen.
+
+### Hinweise zur Durchführung
+
+#### Aufgabe 1.1: Funktionsweise
+
+Bearbeitung Sie zur Lösung dieser Aufgabe die folgenden Punkte und beantworten Sie die entsprechenden Fragen: 
+
+- Berechnen Sie aus dem einfachen Modell eines dünnen Stabs mit den Abmessungen für das Pendel im Praktikum $\Theta$, $s$ und $\ell_{r}$. 
+- Das Pendel im Praktikum besteht nicht nur aus einem dünnen Stab. Es besitzt Halterungen, um $K$ und $K'$ zu fixieren. Wie groß sind die Abweichungen dieses reellen Pendels von der vereinfachenden Annahme eines dünnen Stabs Ihrer Erwartung nach, für die berechneten Werte? 
+
+#### Aufgabe 1.2: Bestimmung von $g$
+
+Gehen Sie für die Bestimmung von $\ell_{r}$ wie folgt vor: 
+
+- Verschieben Sie $K'$ in einem Intervall um den in Aufgabe 1.1 berechneten Wert von $\ell_{r}$ und bestimmen Sie $d$, als den Abstand zwischen $K$ und $K'$. 
+
+- Bestimmen Sie für feste Werte von $d$ sowohl die Periode $T_{0}$ für das Pendel auf dem Auflagepunkt $A$ (**Skizze 1**, links), als auch die Periode $T_{0}'$ für das Pendel auf dem Auflagepunkt $A'$ (**Skizze 1**, rechts). Beschränken Sie sich auf kleine Auslenkungen des Pendels, so dass die Kleinwinkelnäherung anwendbar ist.
+
+- Zur Messung wird eine Lichtschranke mit Zeiterfassungsgerät benutzt. Beachten Sie, dass eine Messung nur bei offener Schranke, d.h. wenn die Leuchtdiode an der Schranke rot leuchtet, gestartet werden kann. Wählen Sie als relative Unsicherheit für die Zeitmessung $\Delta t/t=\pm 0,2\%$. Hinzu zu rechnen ist noch eine weitere von der Messzeit unabhängige Unsicherheit aus der Digitalisierung, die Sie aus einer Messreihe bestimmen können, bei der Sie nur die einstellbare Anzahl der Schwingungen für die Zeitmessung an der Messautomatik verändern. Die Lichtschranke muss hierzu sorgfältig justiert werden, so dass das Schalten nahe beim Nulldurchgang erfolgt.
+
+- Führen Sie auf diese Weise eine Messreihe für etwa 10 verschiedene Werte von $d$ durch. 
+
+- Tragen Sie die Werte von $T_{0}(d)$ und $T_{0}'(d)$ als Funktion von $d$ in das gleiche Diagramm ein. 
+
+- Zur Bestimmung von $\ell_{r}$ aus einer Anpassung an die Daten, tragen Sie die Differenz $\Delta T_{0} = T_{0}-T_{0}'$ als Funktion von $d$ in ein weiteres Diagramm ein und bestimmen Sie den Schnittpunkt mit der $x$-Achse ($\Delta T_{0}(d)=0$) aus einer Anpassung an die Daten. Bestimmen Sie auf diese Weise $\ell_{r}$ und $T_{0}(\ell_{r})$ und berechnen Sie daraus $g$.
+
+- Wählen Sie ein einfaches Modell, aus dem Sie $\Delta T_{0}(d)=0$ leicht aus der Anpassung bestimmen können. Für eine lineare Anpassung ($\Delta T_{0}\propto d$) ist das Vorgehen klar. Für eine quadratische Anpassung ($\Delta T_{0}\propto d^{2}$) empfiehlt sich die Parametrisierung
+
+  ```math
+  \begin{equation*}
+  \Delta T(d) = \alpha\left(\beta-d\right)^{2}+\gamma, 
+  \end{equation*}
+  ```
+
+  wobei $\alpha,\beta,\gamma$ freie Parameter der Anpassung sind. So können Sie den Schnittpunkt mit der $x$-Achse als $\beta$ und die entsprechende Unsicherheit darauf als $\Delta\beta$ direkt aus der Anpassung ablesen. Überprüfen Sie die Anwendbarkeit eines solchen Modells mit Hilfe eines *goodness-of-fit* Parameters, wie dem $\chi^{2}$- oder $p$-Wert. 
+
+# Navigation
+
+[Main](https://git.scc.kit.edu/etp-lehre/p1-for-students/-/tree/main/Pendel)

Pendel/doc/Hinweise-Aufgabe-3.md

+# Hinweise für den Versuch Pendel
+
+
+## Aufgabe 3: Gekoppelte Pendel
+
+### Bewegungsgleichungen gekoppelter Pendel
+
+Für diesen Versuch verwenden Sie zwei Pendel $P_{1}$ und $P_{2}$, die durch eine [Schraubenfeder](https://de.wikipedia.org/wiki/Feder_(Technik)) mit dem Direktionsmoment $D$ auf Höhe $\ell$ miteinander gekoppelt sind, wie in **Skizze 2** dargestellt 
+
+<img src="../figures/GekoppeltePendelSkizze.png" width="500" style="zoom:100%;" />
+
+**Skizze 1** (Gekoppelte Pendel)
+
+---
+
+Zur Vereinfachung der Diskussion gehen wir davon aus, dass beide Pendel das gleiche Trägheitsmoment $\Theta$ besitzen. Die Auslenkung jedes einzelnen Pendels sei $\varphi_{1/2}$. Für die Bewegung jeweils eines der Pendel gilt die Bewegungsgleichung: 
+
+$$
+\begin{equation*}
+\Theta\,\ddot{\varphi}_{i} + mgs\,\varphi_{i} =0\qquad i=1,2.
+\end{equation*}
+$$
+
+Hinzu kommt eine rückstellendes Drehmoment $M_{1/2}$ aufgrund der Kopplung durch die Feder, für das in der Kleinwinkelnäherung der folgende Zusammenhang gilt:
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&M_{1} = -k\ell^{2}\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right);\\
+&\\
+&M_{2} = -k\ell^{2}\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right),\\
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+woraus die Bewegungsgleichungen der beiden [gekoppelten Pendel](https://de.wikipedia.org/wiki/Gekoppelte_Pendel) folgt: 
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&\Theta\,\ddot{\varphi}_{1} + mgs\,\varphi_{1} - k\ell^{2}\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right) = 0;\\
+&\\
+&\Theta\,\ddot{\varphi}_{2} + mgs\,\varphi_{2} + k\ell^{2}\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right) = 0\\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+Mit dem Lösungsansatz harmonischer Schwingungen:
+$$
+\begin{equation*}
+\varphi_{i} = \Phi_{i}\sin(\omega t+\phi)\qquad i=1,2
+\end{equation*}
+$$
+ergibt sich ein sekundäres Gleichungssystem für $\omega$, das in Matrixschreibweise die folgende Form annimmt: 
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&\underbrace{
+\left(
+\begin{array}{cc}
+\left(\frac{mgs}{\Theta} + \frac{k\ell^{2}}{\Theta}\right) -\omega^{2} & -\frac{k\,\ell^{2}}{\Theta} \\ 
+-\frac{k\,\ell^{2}}{\Theta} &\left(\frac{mgs}{\Theta} + \frac{k\ell^{2}}{\Theta}\right) -\omega^{2} \\ 
+\end{array}
+\right)}
+\left(\begin{array}{c}
+\Phi_{1} \vphantom{\left(\frac{mgs}{\Theta} + \frac{k\ell^{2}}{\Theta}\right)} \\ 
+\Phi_{2} \vphantom{\left(\frac{mgs}{\Theta} + \frac{k\ell^{2}}{\Theta}\right)}\\
+\end{array}
+\right) = 
+\left(\begin{array}{c}
+0 \vphantom{\left(\frac{mgs}{\Theta} + \frac{k\ell^{2}}{\Theta}\right)} \\ 
+0 \vphantom{\left(\frac{mgs}{\Theta} + \frac{k\ell^{2}}{\Theta}\right)}\\
+\end{array}
+\right).\\
+&\hphantom{\left(\frac{mgs}{\Theta} + \frac{k\ell^{2}}{\Theta}\right) +\,}\equiv B\\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+Gleichung **(2)** entspricht einem Eigenwertproblem, dessen Lösung sich auf die Lösung des [charakteristischen Polynoms](https://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristisches_Polynom) zurückführen lässt, dass Sie aus der linearen Algebra kennen. Die Lösungen des charakteristischen Polynoms entsprechen den Eigenmoden der Anordnung die in diesem Fall auch als **Fundamentalschwingungen** bezeichnet werden. 
+
+Das charakteristische Polynom erhält man aus 
+$$
+\begin{equation*}
+\det\left(B\right)=0,
+\end{equation*}
+$$
+Mit den Lösungen:
+$$
+\begin{equation*}
+\omega_{1}^{2} = \frac{mgs}{\Theta},\qquad
+\omega_{2}^{2} = \frac{mgs}{\Theta}+2\frac{k\,\ell^{2}}{\Theta}.
+\end{equation*}
+$$
+Die Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten sind:
+$$
+\begin{equation*}
+\hat{v}_{1} = 
+\left(\begin{array}{c}
+\hphantom{-}1\hphantom{-} \\ 
+\hphantom{-}1\hphantom{-} \\
+\end{array}
+\right);\qquad
+\hat{v}_{2} = 
+\left(\begin{array}{c}
+\hphantom{-}1\hphantom{-} \\ 
+-1\hphantom{-} \\
+\end{array}
+\right).
+\end{equation*}
+$$
+### Lösungen der Bewegungsgleichungen
+
+Die Lösung von Gleichung **(2)** lässt sich intuitiv physikalisch interpretieren: 
+
+- Im Fall der **Fundamentalschwingung mit $\boldsymbol{\omega_{1}}$** schwingen beide Pendel in Phase, die koppelnde Schraubenfeder bleibt entspannt und das Direktionsmoment für beide Pendel ist effektiv $D_{\mathrm{eff}}=mgs$, so als wären $P_{1}$ und $P_{2}$ nicht gekoppelt. 
+- Im Fall der **Fundamentalschwingung mit $\boldsymbol{\omega_{2}}$** schwingen beide Pendel gegenphasig, die koppelnde Feder bewirkt zusätzlich zum Schwerefeld $g$ ein maximales Hook'sches Direktionsmoment, das nach dem dritten Newtonschen Axiom ("actio gleich reactio") die Form $|D_{K}|=2\,k\,\ell^{2}$ hat.
+
+Die allgemeine Lösung ist eine Superposition aus beiden [Eigenmoden](https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenmode):
+$$
+\begin{equation*}
+\vec{\varphi}(t) = A_{1} \left(\begin{array}{c}
+\hphantom{-}1\hphantom{-} \\ 
+\hphantom{-}1\hphantom{-} \\
+\end{array}
+\right)
+\sin(\omega_{1}t+\phi_{1}) + 
+A_{2} \left(\begin{array}{c}
+\hphantom{-}1\hphantom{-} \\ 
+-1\hphantom{-} \\
+\end{array}
+\right)
+\sin(\omega_{2}t+\phi_{2}).
+\end{equation*}
+$$
+Anschaulich beschreibt diese allgemeine Lösung eine [Schwebung](https://de.wikipedia.org/wiki/Schwebung) mit der Frequenz 
+$$
+\begin{equation}
+\overline{\omega} = \frac{1}{2}(\omega_{1}+\omega_{2})
+\end{equation}
+$$
+und einer Amplitudenmodulation mit der Frequenz
+$$
+\begin{equation}
+\widetilde{\omega} = \frac{1}{2}(\omega_{2}-\omega_{1}).
+\end{equation}
+$$
+Dieser Verlauf ergibt sich allgemein aus der Anwendung der [trigonometrischen Additionstheoreme](https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Summen_zweier_trigonometrischer_Funktionen_(Identit%C3%A4ten)). $A_{1/2}$ und $\phi_{1/2}$ werden durch die Randwerte des Problems bestimmt. Wenn Sie z.B. zum Zeitpunkt $t=0$ $P_{1}$ in seiner Ruhelage festhalten und $P_{2}$ auslenken, wird die Schwingung mit der Zeit von $P_{2}$ nach $P_{1}$ übergehen, bis $P_{2}$ zum Stillstand kommt(!), und daraufhin periodisch mit der Frequenz $\widetilde{\omega}$ zwischen $P_{1}$ und $P_{2}$ hin und her wandern.   
+
+### Trägheitsmoment eines einzelnen Pendels
+
+Das Trägheitsmoment $\Theta_{P}$ eines einzelnen Pendels können Sie mit Hilfe des Satzes von Steiner, dem Trägheitsmoment $\Theta_{S}$ einer (um ihren Schwerpunkt rotierenden) Scheibe und dem Trägheitsmoment $\Theta_{\mathrm{Stab}}$ eines (um ein Ende rotierenden) dünnen Stabs abschätzen:
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&\Theta_{S} = \frac{1}{2}m_{S}\,r^{2}; \qquad
+\Theta_{\mathrm{Stab}}=\frac{1}{3}m_{\mathrm{Stab}}\,L_{\mathrm{Stab}}^{2}\\
+&\\
+&\Theta_{P} = \Theta_{\mathrm{Stab}}+\Theta_{S}+m_{S}\,L^{2}+m_{\kappa}\ell^{2},
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+wobei $m_{S}$ der Masse der Scheibe, $L$ dem Abstand zwischen Aufhängung und dem Schwerpunkt der Scheibe, $r$ dem Radius der Scheide, $m_{\mathrm{Stab}}$ und $L_{\mathrm{Stab}}$ der Masse und der Länge des Pendelstabs, $m_{\kappa}$ der Masse der Kopplung zur Befestigung der koppelnden Feder und $\ell$ dem Abstand zwischen Kopplung und Aufhängung entsprechen. Bei einer solchen Abschätzung vernachlässigen Sie die Ausdehnung der Kopplung. 
+
+
+### Hinweise zur Durchführung
+
+#### Aufgabe 3.2: Gekoppelte Pendel
+
+Gehen Sie bei der alternativen Bestimmung von $D$ wie folgt vor: 
+
+##### Bestimmung von $k$ nach Hook
+
+- Das Hook'sche Gesetz lautet: 
+
+  ```math
+  \begin{equation}
+  \mathrm{d}F = k\,\mathrm{d}z.
+  \end{equation}
+  ```
+
+- Bauen Sie die koppelnde Feder aus dem gekoppelten Pendel aus und hängen Sie sie senkrecht auf. 
+
+- Versehen Sie das untere Ende der Feder mit verschiedenen bekannten Gewichten $m_{i}$ und stellen Sie die Auslenkung $\mathrm{d}z_{i}$ der Feder als Funktion von $m_{i}$ dar. 
+
+- Innerhalb der [Elastizitätsgrenze](https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizit%C3%A4tsgrenze) der Feder sollte sich ein linearer Zusammenhang mit der Steigung $k$ einstellen. $D$ berechnet sich aus dem Produkt mit $\ell^{2}$.   
+
+##### Bestimmung von $k$ aus der Periode des Federpendels
+
+- Bauen Sie die koppelnde Feder aus dem gekoppelten Pendel aus und hängen Sie sie senkrecht auf. 
+
+- Hängen Sie ein Gewicht $m_{i}$ an, lenken Sie die Feder aus der sich einstellenden Ruhelage aus und bestimmen Sie die Periode $T_{0}(m_{i})$ der Schwingung, woraus sich $k$ nach der Gleichung
+
+  ```math
+  \begin{equation}
+  T_{0}^{2}(m_{i}) = \frac{4\pi^{2}\,m_{i}}{k}
+  \end{equation}
+  ```
+
+  ableiten lässt. 
+
+- Wenn Sie $T_{0}^{2}$ als Funktion von $m_{i}$ für verschiedene Massen bestimmen, können Sie $k$ aus einer Anpassung von Gleichung **(4)** an Ihre Messwerte bestimmen.
+
+- Den zusätzlichen Effekt von $g$ brauchen Sie nicht zu berücksichtigen, weil dieser in der neuen Ruhelage der Feder durch die rückstellende Federkraft ausgeglichen wird. 
+
+#### Aufgabe 3.3: Schwebung
+
+- Bestimmen Sie $\widetilde{\omega}$ am besten indem Sie $P_{1}$ (mit kleinem Winkel $\varphi$) auslenken und $P_{2}$ ruhig halten. Sie können dann $\widetilde{T}$ bestimmen, wenn $P_{2}$ wieder zur Ruhe kommt. 
+- Aus der Bestimmung von $\overline{\omega}$ und $\widetilde{\omega}$ sollten Sie die Gleichungen **(3)** und **(4)** innerhalb der von Ihnen abgeschätzten Unsicherheiten bestätigen können. Achten Sie daher bei der Bestimmung von $\overline{T}$ und $\widetilde{T}$ darauf, dass die einen der Abstände für $\ell$ wie in Aufgabe 3.2 wählen.  
+
+#  Navigation
+
+[Main](https://git.scc.kit.edu/etp-lehre/p1-for-students/-/tree/main/Pendel)