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Hinweise für den Versuch Resonanz

Aufgabe 2: Erzwungene Schwingung [1/2]

Mechanische Schwingung
Im Fall der angeregten oder erzwungenen Schwingung wird eine Schwingung mit der Amplitude \Phi und Frequenz \Omega von außen vorgegeben. Gleichung ((4) hier) nimmt somit die folgende Form an:

\begin{equation}
\Theta\,\ddot{\varphi} + \delta\,\dot{\varphi} + D\,\varphi = \Phi \,e^{i\Omega\,t}.
\end{equation}

Gleichung (1) wird durch eine Linearkombination aus der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung ((4) hier) und einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung (1) gelöst. Für die spezielle Lösung liegt es nahe davon auszugehen, dass sich nach hinreichend langer Zeit eine Schwingung ebenfalls mit der Frequenz \Omega einstellen wird. Wir verwenden daher einen Lösungsansatz der Form:

\begin{equation*}
\varphi(t) = \tilde{\varphi}_{0}\,e^{i\Omega\,t}
\end{equation*}

Einsetzen in Gleichung (1) führt auf eine Sekundärgleichung aus der sich \tilde{\varphi}_{0} bestimmen lässt:

\begin{equation}
\begin{split}
&\left(-\Omega^{2} + i\frac{\delta\,\Omega}{\Theta} + \frac{D}{\Theta}\right)\,\tilde{\varphi}_{0} = \frac{\Phi}{\Theta};\\
&\\
&\tilde{\varphi}_{0} = \frac{\Phi/\Theta}{\left(\omega_{0}^{2}-\Omega^{2}\right) + 2i\,\lambda\,\Omega}.\\
\end{split}
\end{equation}

Tatsächlich kann man also allgemein ein \tilde{\varphi}_{0} finden, womit sich Gleichung (1) lösen lässt. Die Größe

\begin{equation*}
\tilde{\varphi}_{0} \equiv \varphi_{0}\,e^{i\phi}
\end{equation*}

ist jedoch komplexwertig, d.h. zusätzlich zur Amplitude \varphi_{0} stellt sich auch eine feste Phase \phi relativ zur anregenden Schwingung ein. Beide lassen sich aus Gleichung (2) leicht bestimmen:

\begin{equation}
\begin{split}
&\varphi_{0} = \frac{\Phi/\Theta}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\Omega^{2}\right)^{2}+\left(2\,\lambda\,\Omega\right)^{2}}};
&\\
&\\
&\phi = \arctan\left(-\frac{2\,\lambda\,\Omega}{\omega_{0}^{2}-\Omega^{2}}\right).
\end{split}
\end{equation}

Nach einem Einschwingvorgang, der sich durch die Lösung von Gleichung ((4) hier) ergibt stellt sich also eine Schwingung mit der Frequenz \Omega, der konstanten Amplitude \varphi_{0} und der festen Phase \phi relativ zur anregenden Schwingung ein.
Wir diskutieren drei Spezialfälle:


\boldsymbol{\Omega\ll\omega_{0}}: In diesem Fall gilt \phi\to0,\hspace{0.05cm}\varphi_{0}\to\Phi/D;

\boldsymbol{\Omega=\omega_{0}}: In diesem Fall gilt \phi=-\pi/2, \varphi_{0} ist umso größer, je kleiner \lambda ist;

\boldsymbol{\Omega\gg\omega_{0}}: In diesem Fall gilt \phi\to-\pi,\hspace{0.05cm}\varphi_{0}\propto1/\omega_{0}^{2}.

Das Maximum von \varphi_{0} befindet sich nicht exakt bei \Omega_{\mathrm{res}}=\omega_{0} sondern leicht unterhalb von \omega_{0} bei

\begin{equation*}
\Omega_{\mathrm{res}} = \sqrt{\omega_{0}^{2}-2\lambda^{2}} = \sqrt{\omega^{2}-\lambda^{2}\vphantom{\omega_{0}^{2}}}
\end{equation*}

Bestimmt man die Breite \Delta\Omega des Peaks der Resonanzkurve von \varphi_{0}(\Omega) in den Punkten in denen \varphi_{0}(\Omega_{\mathrm{res}}) jeweils auf den Wert \varphi_{0}(\Omega_{\mathrm{res}})/\sqrt{2} abgefallen ist, so gilt:

\begin{equation}
\Delta\Omega\approx2\lambda \approx \frac{\Omega_{\mathrm{res}}}{Q},
\end{equation}

wobei Q dem Gütefaktor von Gleichung ((8) hier) entspricht. Die Dämpfung \lambda der Schwingung hat also Einfluss auf die Breite der Resonanzkurve. Daraus leitet sich die zweite gebräuchliche Definition von Q als

\begin{equation*}
Q\equiv\left.\frac{\Delta\Omega}{\Omega}\right|_{\Omega_{\mathrm{res}}}
\end{equation*}

ab.

Elektrische Schwingung
Für elektrische Schwingkreise bei denen eine Spule (mit Induktivität L), ein Kondensator (mit Kapazität C) und ein Widerstand R in Serie geschaltet sind, wie in Skizze 2 dargestellt
 
ergibt sich die inhomogene Schwingungsgleichung aus den Kirchhoffschen Regeln:

\begin{equation*}
\begin{split}
&L\,\dot{I} + R\,I + \frac{1}{C}\int I\,\mathrm{d}t = U(t);
&\\
&\\
&L\,\ddot{I} + R\,\dot{I} + \frac{1}{C}I = \dot{U}(t)
\end{split}
\end{equation*}

Die Lösung erfolgt analog zum oben beschriebenen mechanischen Fall mit den Ersetzungen:

\begin{equation*}
\begin{split}
L\hspace{0.10cm} &\equiv \Theta \vphantom{\frac{1}{C}}\\
R\hspace{0.10cm} &\equiv \delta \vphantom{\frac{1}{C}}\\
\frac{1}{C} &\equiv D. \\
\end{split}
\end{equation*}

Daraus ergeben sich die folgenden abgeleiteten Größen:

\begin{equation*}
\begin{split}
\omega_{0} &= \sqrt{\frac{1}{L\,C}} \\
&\\
\lambda\hphantom{_{0}} &= \frac{R}{2\,L} \\
&\\
\omega\hphantom{_{0}} &=\sqrt{\omega_{0}^{2} - \lambda^{2}\vphantom{\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}}} = \sqrt{\frac{1}{L\,C}-\left(\frac{R}{2\,L}\right)^{2}} \\
&\\
I_{0} &= \frac{U_{0}/L}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\Omega^{2}\right)^{2}+\left(2\,\lambda\,\Omega\right)^{2}}} = \frac{U_{0}}{\sqrt{\left(\frac{1}{C\,\Omega}-L\,\Omega\right)^{2}+R^{2}}} = \frac{U_{0}}{Z};
&\\
&\\
\phi\hphantom{_{0}} &= \arctan\left(-\frac{2\,\lambda\,\Omega}{\omega_{0}^{2}-\Omega^{2}}\right) = \arctan\left(-\frac{\frac{1}{C\,\Omega}-L\,\Omega}{R}\right),
\\
\end{split}
\end{equation*}

wobei Z der Impedanz der Schaltung aus Skizze 2 entspricht. Im Resonanzfall \Omega_{\mathrm{res}} gilt:


Z(\Omega_{\mathrm{res}}) ist minimal;

I_{0}(\Omega_{\mathrm{res}}) ist maximal;

\phi\to0.


Gütefaktor
Für den Gütefaktor Q gilt:

\begin{equation*}
Q = \frac{\Omega_{\mathrm{res}}}{2\,\lambda} \approx \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}. 
\end{equation*}

Wie im mechanischen Fall auch (siehe Gleichung (4)), beeinflusst der Grad der Dämpfung die Breite der Resonanzkurve. Bestimmt man die Breite \Delta\Omega aus den jeweiligen Stellen für I_{0}(\Omega_{\mathrm{res}})/\sqrt{2} erhält man:

\Delta\Omega \approx 2\,\lambda = \frac{R}{L}.

Den Kehrwert von Q bezeichnet man auch als Verlustfaktor des Schwingkreises. Je geringer die Dämpfung, desto größer ist Q und desto schmaler ist die Resonanzkurve.

Spannungsüberhöhung
Für die Spannungen an Kondensator und Spule gilt:

\begin{equation*}
\begin{split}
&|U_{L}(\omega_{0})| = |L\,\dot{I}| = \omega_{0}\frac{L}{R}U_{0} = Q\,U_{0} \\
&\\
&|U_{C}(\omega_{0})| = \left|L\,\int I\,\mathrm{d}t\right| = \frac{1}{\omega_{0}\,C\,R}\,U_{0} = Q\,U_{0}. \\
\end{split}
\end{equation*}

Da im Schwingkreis Q\gg1 sein kann, können |U_{L}| und |U_{C}| die Amplitude der Erregerspannung U_{0} deutlich übersteigen. Man spricht in diesem Fall von einer Spannungsüberhöhung im Resonanzfall.

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