Hinweise-Aufgabe-1.md



Hinweise für den Versuch Resonanz

Aufgabe 1: Freie Schwingung [1/2]

Mechanische Schwingung ohne äußere Dämpfung
Überall, wo einer Bewegung entlang einer Koordinate x eine (hook'sche) Kraft F=-K\hspace{0.05cm}x entgegenwirkt kommt es zu mechanischen Schwingungen.

\begin{equation}
m\,\ddot{x}+K\,x=0.
\end{equation}

Gleichung (1) ist eine allgemeine Schwingungsgleichung. Es handelt sich um eine gewöhnliche homogene Differentialgleichung 2. Ordnung in der Zeit t. Sie wird durch harmonische Schwingungen der Form

\begin{equation*}
x(t) = x_{0}\cos(\omega_{0}\,t+\phi)
\end{equation*}

allgemein gelöst. Mit der Amplitude x_{0} und der Phase \phi besitzt die Lösung zwei Freiheitsgrade. Einsetzen von x(t) in Gleichung (1) führt auf eine Sekundärgleichung für \omega_{0}

\begin{equation*}
\begin{split}
&\underbrace{\left(-m\,\omega_{0}^{2}+K\right)}\,x_{0}\cos(\omega_{0}\,t+\phi)=0 \\
& -m\,\omega_{0}^{2}+K=0; \\
&\\
&\omega_{0} = \sqrt{\frac{K}{m}},\\
\end{split}
\end{equation*}

die notwendig erfüllt sein muss, wenn Gleichung (1) allgemein erfüllt sein soll. Das System schwingt also mit der Eigenfrequenz \omega_{0}, die durch die Werte von m und K vorgegeben ist.

Pohlsches Rad
Für das Pohlsche Rad gilt zusätzlich zur Kräftefreiheit Momentenfreiheit:

\begin{equation}
\Theta\,\ddot{\varphi} + D\,\varphi = 0,
\end{equation}

wobei \varphi dem Drehwinkel, \Theta dem Trägheitsmoment (in \mathrm{kg\hspace{0.05cm}m^{2}}) und D dem Direktionsmoment (in \mathrm{N\hspace{0.05cm}m}) entsprechen. Für die ungedämpfte Schwingung folgt analog zu Gleichung (1):

\begin{equation}
\omega_{0} = \sqrt{\frac{D}{\Theta}}
\end{equation}


Linear gedämpfte Schwingung
Ist im Fall einer gedämpften Schwingung, der Dämpfungsterm \propto\dot{\varphi} (auch Stokes'sche Reibung genannt), dann nimmt Gleichung (2) die folgende Form an:

\begin{equation}
\Theta\,\ddot{\varphi} + \delta\,\dot{\varphi} + D\,\varphi = 0.
\end{equation}

Zur Lösung bietet sich der folgende Ansatz an:

\begin{equation*}
\varphi(t) = \varphi_{0}\,e^{k\,t}
\end{equation*}

Einsetzen in Gleichung (4) führt auf die entsprechende Sekundärgleichung für k

\begin{equation*}
\Theta\,k^{2} + \delta\,k + D = 0\\
\end{equation*}

mit den allgemeinen Lösungen

\begin{equation}
\begin{split}
k_{\pm} &= \frac{-\delta\pm\sqrt{\delta^{2}-4\,\Theta\,D}}{2\,\Theta} = -\underbrace{\frac{\delta}{2\,\Theta}\vphantom{\sqrt{\left(\frac{\delta}{2\,\Theta}\right)^{2}-\omega_{0}^{2}}}}\pm\sqrt{\left(\frac{\delta}{2\,\Theta}\right)^{2}-\omega_{0}^{2}}\\
&\hphantom{k_{\pm}= \frac{i\lambda\pm\sqrt{4\,\Theta\,D-\lambda^{2}}}{2\,\Theta} = } \equiv\lambda \\
&=-\lambda\pm\sqrt{\lambda^{2}-\omega_{0}^{2}}.
\end{split}
\end{equation}

Man unterscheidet drei Fälle:
\boldsymbol{\lambda\lt\omega_{0}}: In diesem Fall ist der Wurzelterm in Gleichung (5) imaginär, das System wird durch eine Schwingung mit der Frequenz \omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}} mit einer exponentiellen Einhüllenden für die Amplitude beschrieben (schwache Dämpfung, Schwingfall):

\begin{equation}
\begin{split}
\varphi(t) &=\varphi_{0}\,e^{-\lambda\,t}\sin(\omega\,t+\phi).
\end{split}
\end{equation}

Beachten Sie, dass das System in diesem Fall nicht mehr mit der Eigenfrequenz \omega_{0} sondern mit der reduzierten Eigenfrequenz \omega schwingt.
\boldsymbol{\lambda\gt\omega_{0}}: In diesem Fall ist der Wurzelterm in Gleichung (5) reell, das System ist stark gedämpft. Es kehrt mit einem exponentiellen Verlauf in seine Ruhelage zurück und schwingt nicht. Das System erreicht seine Ruhelage erst bei t\to\infty (aperiodischer Fall, Kriechfall).
\boldsymbol{\lambda=\omega_{0}}: In diesem Fall ist der Wurzelterm gleich 0. Das System verhält sich, wie im aperiodischen Fall, aber mit minimaler Dämpfung. Diesen Fall bezeichnet man als aperiodischen Grenzfall.
Der aperiodische Grenzfall ist für Messinstrumente von Interesse, weil sich die Anzeige in diesem Fall am schnellsten ohne Überschwingen auf neue Messwerte einstellt. Der Kehrwert von \lambda wird als Relaxationszeit bezeichnet.

Dämpfungsverhältnis
Das Dämpfungsverhältnis entspricht der relativen Abnahme der Amplitude nach Durchlaufen einer Periode T=2\pi/\omega der Schwingung:

\begin{equation}
\begin{split}
&\kappa =\frac{\varphi_{j}}{\varphi_{j-1}} = e^{-\lambda\,T}; \qquad
\lambda = -\frac{\ln\kappa}{T}; \\
&\\\text{mit:}\\
&\varphi_{j}(t) = \varphi(t+j\,T).\\
\end{split}
\end{equation}

Die Amplitude \varphi_{j} nimmt nach n Perioden den Wert \varphi_{j+n}=\varphi_{j}\kappa^{n} an.
Je nach Größe von \lambda empfiehlt es sich in der Praxis \kappa aus einem der beiden folgenden Verhältnisse und einer geeigneten Anzahl an n Perioden zu bestimmen:

\begin{equation*}
\begin{split}
&\kappa = \frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\frac{\varphi_{j}}{\varphi_{j-1}}\qquad\text{(große Dämpfung)} \\
&\\
&\kappa = \sqrt[n]{\frac{\varphi_{0}}{\varphi_{n}}}\qquad\text{(kleine Dämpfung)} \\
\end{split}
\end{equation*}


Gütefaktor
Für den Gütefaktor Q sind zwei unterschiedliche Definition gebräuchlich, die für hinreichend große Werte von Q näherungsweise äquivalent sind (siehe Hinweise-Aufgabe-2.md). Wir verwenden hier die Definition

\begin{equation}
\begin{split}
&Q\equiv\frac{\omega\times\text{Gespeicherte Energie}}{\text{Verlustleistung}}\\
&\\
&\text{Gespeicherte Energie:} \\
&\\
&E_{\mathrm{kin}} = \frac{1}{2}\Theta\,\omega^{2}\\
&\\
&\text{Verlustleistung:} \\
&\\
&P_{\delta} = \frac{1}{2}\delta\,\omega^{2};\qquad \delta=2\,\lambda\,\Theta\\
&\\
&Q=\omega\,\frac{\Theta\,\omega^{2}}{2\,\lambda\,\Theta\,\omega^{2}} = \frac{\omega}{2\,\lambda}
\end{split}
\end{equation}


Wirbelstrombremse
Für den vorliegenden Versuch wird das Pohlsche Rad durch eine Wirbelstrombremse zusätzlich gedämpft. Dadurch kann die Dämpfung des Rades ohne direkten Kontakt, genau kontrolliert werden.
Wird eine mit der Winkelgeschwindigkeit \vec{\omega} rotierende Leiterscheibe, wie in Skizze 1 dargestellt, von einem Magnetfeld \vec{B} durchsetzt, erfahren die quasi-freien Elektronen des Leiters, als bewegte Ladungen mit der Geschwindigkeit \vec{v}_{e}=\vec{r}_{e}\times\vec{\omega}, eine Lorentz-Kraft \vec{F}_{\mathrm{L}} senkrecht zu  \vec{v}_{e} und \vec{\omega}.

Skizze 1 (Prinzip einer Wirbelstrombremse)

In der Praxis wird

\begin{equation*}
|\vec{B}| \propto I_{\mathrm{B}}
\end{equation*}

variabel mit Hilfe einer von einem Strom I_{\mathrm{B}} durchflossenen Spule erzeugt. Da \vec{F}_{\mathrm{L}} immer senkrecht zu \vec{v}_{e} wirkt werden die Elektronen auf eine Kreisbahn innerhalb der Leiterscheibe gelenkt (der die Bewegung der Elektronen mit der rotierenden Leiterscheibe zusätzlich zuzurechnen ist) und es kommt zu einem Kreisstrom (Wirbelstrom) I. Die genaue Berechnung von I erfordert die Lösung der Maxwell-Geilchungen. Über die Lenzsche Regel lässt sich jedoch argumentieren, dass


\begin{equation*}
I\propto I_{\mathrm{B}}.
\end{equation*}

Über I nimmt die Leiterscheibe die elektrische Leistung

\begin{equation*}
P_{\delta}=R\,I^{2}\propto I_{\mathrm{B}}^{2}
\end{equation*}

auf, die aus der Kreisbewegung der Scheibe gespeist und in Wärme umgewandelt wird. Die Kreisbewegung wird dabei gedämpft. Daraus lässt sich

\begin{equation*}
\lambda(I_{\mathrm{B}})\propto P_{\delta}\propto I_{\mathrm{B}}^{2}
\end{equation*}

argumentieren.
Da \lambda auch in der Berechnung von \omega auftaucht sollte auch hier eine Abhängigkeit von I_{\mathrm{B}} bestehen. So lange \lambda dem Betrag nach klein gegen \omega_{0} ist gilt jedoch

\begin{equation*}
\omega = \sqrt{\omega_{0}^{2}-\lambda^{2}}\approx\omega_{0}\left(1-\frac{\lambda^{2}}{2\,\omega_{0}^{2}}\right)\approx \omega_{0}.
\end{equation*}


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