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Hinweise-Spule.md 6.33 KiB
Hinweise für den Versuch Ferromagnetische Hysterese
Impedanz der Spule
Die Induktivität
L
und der ohmsche Widerstand R_{L}
einer realen Spule lassen sich aus deren Impedanz bestimmen. (siehe Aufgabe 2 des Versuchs Elektrische Messverfahren zur Bestimmung der Impedanz einer Spule).
Schaltbilder für die Messung der Impedanz der Spule mit und ohne Eisenkern sind in Abbildung 1 gezeigt:
Abbildung 1: (Schaltbilder für die Bestimmung der Impedanz einer Spule (a) ohne und (b) mit Eisenkern.
R_{S}
in Abbildung (b) dient zur Messbereichserweiterung)
Für die Impedanz des Schaltkreises aus Abbildung 1a gilt
\begin{equation*}
\begin{split}
&Z = R_{\mathrm{ges}}+iX_{L} = R_{\mathrm{ges}}+i\omega\,L;\\
&\\
&\text{mit:}\\
&\\
&R_{\mathrm{ges}}=R+R_{L},
\end{split}
\end{equation*}
wobei \omega
der Kreisfrequenz der Wechselspannung entspricht. Für den Scheinwiderstand der Spule |Z_{L}|
gilt:
\begin{equation*}
|Z_{L}| = \frac{U_{L,0}}{I_{0}}=\frac{U_{L,0}}{U_{R,0}}\,R;\qquad \text{mit: }U_{R,0} = R\,I_{0},
\end{equation*}
wobei U_{L,0}
und U_{R,0}
den Scheitelspannungen jeweils über Spule und Widerstand (R
) und I_{0}
dem Scheitelstrom entsprechen. Aufgrund von L
sind die Spannungen U_{L}(t)
und U_{R}(t)
um die Phase
\begin{equation*}
\Delta\varphi = \omega\,\Delta t
\end{equation*}
verschoben, wobei \Delta t
der Zeitdifferenz der jeweiligen Nulldurchgänge der beiden Spannungen entspricht.
Aus der Messung von
U_{L,0}
, U_{R,0}
und \Delta t
lassen sich bei gegebenem \omega
die Größen L
und R_{L}
, wie folgt berechnen:
\begin{equation*}
\begin{split}
&L = \frac{U_{L,0}}{U_{R,0}}\,\frac{R}{\omega}\,\sin(\omega\Delta t);\\
&\\
&R_{L} = \frac{U_{L,0}}{U_{R,0}}\,R\,\cos(\omega\Delta t).
\end{split}
\end{equation*}
Der zusätzliche Widerstand in Abbildung 1b dient zur Messbereichserweiterung des Oszilloskops, das einen Innenwiderstand von r_{i}=1\ \mathrm{M\Omega}
besitzt. Die am Oszilloskop für U_{L}(t)
abgelesene Spannung ist also \times10
zu nehmen.
Induktivität der Spule
Die Induktivität ist definiert als
\begin{equation*}
U_{L} = -L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}.
\end{equation*}
Gleichzeitig gilt für die induzierte Spannung U_{i}
an einer Spule bestehend aus N
Windungen das Farradaysche Induktionsgesetz:
\begin{equation}
\begin{split}
&U_{i} = N\,\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t};\\
&\\
&\text{mit:}\\
&\\
&\Phi = \int\limits_{\mathcal{C}_{A}}\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{A}
\end{split}
\end{equation}
wobei \Phi
dem magnetischen Fluss durch eine Leiterschleife mit der Querfläche A
und Umrandung \mathcal{C}_{A}
entspricht. Aus dem Ampèreschen Gesetz folgt für den Betrag der magnetischen Flussdichte B=|\vec{B}|
einer Spule der Länge \ell
mit N
Windungen, unter Vernachlässigung des \vec{B}
-Feldes außerhalb der Spule
\begin{equation}
B = \mu_{r}\mu_{0}\frac{N\,I}{\ell}.
\end{equation}
Das \vec{B}
-Feld außerhalb der Spule kann i.a. nur für \ell\gg\sqrt{A}
vernachlässigt werden.
Für eine Spule im Wechselstromkreis ändert sich nur
I
während alle anderen Größen in den Gleichung (1) und (2) konstant bleiben. Daher ergibt sich für Gleichung (1)
\begin{equation*}
U_{i} = N^{2}\mu_{0}\,\frac{A}{\ell}\,\dot{I}.
\end{equation*}
U_{i}
ist der an der Spule anliegenden Spannung U_{L}
entgegen gerichtet. Daher ergibt sich für die Induktivität
\begin{equation*}
L = N^{2}\,\frac{\mu_{0}\,\mu_{r}\,A}{\ell}.
\end{equation*}
Für eine mit Luft gefüllte Spule gilt \mu_{r}\approx 1
, andernfalls ist \mu_{r}
des Materials im Kern der Spule zu berücksichtigen.
Für
\mu_{r}\gg1
kann das Magnetfeld im äußeren der Spule auch für kürzere Spulen vernachlässigt werden, da die Feldlinien vom Kern eingeschlossen werden und die Flussdichte im Kern um ein Vielfaches größer ist, als außerhalb der Spule. Für Spulen mit
\begin{equation*}
\ell\gtrsim0.6\,r,
\end{equation*}
wobei r
dem (mittleren) Windungsradius entspricht gilt für eine luftgefüllte Spule die Näherungsformel
\begin{equation*}
L \approx N^{2}\,\frac{\mu_{0}\,\,A}{\ell+0.91r}.
\end{equation*}
Ohmscher Widerstand der Spule
Der ohmsche Widerstand der Spule berechnet sich aus dem spezifischen Widerstand für Kupfer
\rho_{\mathrm{Cu}}=1.78\times10^{-8}\ \mathrm{\Omega\ m}
nach der Gleichung:
\begin{equation*}
R_{L} =\rho\,\frac{l}{A},
\end{equation*}
wobei A
der Querfläche und l
der Länge des Drahts entsprechen.
Effektiver Strom
In einem Wechselstromkreis ist der über eine Periode
T
fließende Strom
\begin{equation*}
I(t)=0.
\end{equation*}
Der effektive Strom berechnet sich aus
\begin{equation*}
\begin{split}
&I_{\mathrm{eff}} = \sqrt{\langle I^{2}(t)\rangle} \\
&\\
&\text{mit:}\\
&\\
&\langle I^{2}(t)\rangle = \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}I^{2}(t)\,\mathrm{d}t.\\
\end{split}
\end{equation*}
Für einen harmonischen Wechselstrom der Amplitude I_{0}
ergibt sich
\begin{equation*}
\begin{split}
&I(t) = I_{0}\,\sin(\omega\,t) \\
&\\
&I_{\mathrm{eff}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} I_{0}^{2}\,\sin^{2}(\omega\,t)\,\mathrm{}dt} =
I_{0}\,\sqrt{\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} \frac{1}{2}\Bigl(1-\cos(2\,\omega\,t)\Bigr)\,\mathrm{d}t} \\
&\hphantom{I_{\mathrm{eff}}} =
I_{0}\,\sqrt{\frac{1}{2\,T} \left[t-\frac{1}{2\,\omega}\sin(2\,\omega\,t)\right]_{0}^{T}\,\mathrm{d}t} = \frac{I_{0}}{\sqrt{2}}.\\
\end{split}
\end{equation*}
Das Messgerät, dass Sie für den Versuch benutzen ist ein True RMS Multimeter, d.h. es mittelt I^{2}(t)
über die volle Periode, so dass der angegebene Wert auch für nicht harmonische Wechselströme erwartungstreu ist.
Die effektive Leistung P_{\mathrm{eff}} ergibt sich aus der über
T
gemittelten abfallenden Leistung über den Widerstand R
aus
\begin{equation*}
P_{\mathrm{eff}} = R\,I_{\mathrm{eff}}^2
\end{equation*}