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Hinweise für den Versuch Transistor und Operationsverstärker

Diskussion der Emitterschaltung
Der Name Transistor geht auf den englischen Begriff transfer resistor zurück, was auf die Eigenschaft verweist, dass r_{\mathrm{C}} abhängig von I_{\mathrm{B}} variiert:

Für U_{\mathrm{BE}}=U_{\mathrm{B}}+ U_{D}\lesssim 0 befindet sich der Transistor auf dem Ausgangstor im Sperrbetrieb (r_{\mathrm{C}}\gg0).
Für U_{\mathrm{BE}}=U_{\mathrm{B}}+ U_{D}\gtrsim 0 befindet sich der Transistor auf dem Ausgangstor im Sättigungssbetrieb (r_{\mathrm{C}}\approx0).
Für U_{\mathrm{BE}}\approx 0 fällt r_{\mathrm{C}} von seinem Maximalwert auf Null ab und hängt dabei stark von I_{\mathrm{B}} ab. In diesem Betrieb erfolgt die Verwendung des Transistors als Verstärker.

Der Betrieb eines Transistors als Verstärker erfolgt in der in Abbildung 3 hier gezeigten Emitterschaltung. Zwei Eigenschaften des Transistors machen i.a. eine weitere Beschaltung erforderlich:


Der npn-Transistor verstärkt nur Spannungen von U_{\mathrm{B}}\gtrsim -U_{D} und damit nur Signale fester (im Fall des npn-Transistors positiver) Polarität. Für bipolare Signale ist es daher notwendig dem Eingangssignal einen geeigneten offset zu geben. Der optimale Arbeitspunkt für die Verstärkung eines symmetrisch-bipolaren Signals ist für einen Steuerstrom I_{\mathrm{B}} erreicht, für den r_{\mathrm{C}} auf die Hälfte des Maximalwerts abgenommen hat.


Der Halbleitertransistor gehört zu den Heißleitern, deren ohmscher Widerstand mit zunehmender Temperatur nicht zu-, sondern abnimmt. I_{\mathrm{C}} führt zur Erwärmung des Transistors wodurch sich r_{\mathrm{B}} und r_{\mathrm{C}} verringern, woraufhin sich wiederum I_{\mathrm{B}} und I_{\mathrm{C}} erhöhen, was zu einem weiteren Anstieg der Temperatur führt. Der Betrieb hängt stark von der Temperatur des Transistors ab und zu starke Erwärmung kann den Transistor sogar zerstören. Es erweist sich daher als notwendig die maximal notwendige Stromverstärkung \beta kontrolliert zu drosseln. Dies erreicht man z.B. mit Hilfe der stromgegengekoppelten Emitterschaltung.


Stromgegengekoppelte Emitterschaltung
Die stromgegengekoppelte Emitterschaltung ist in Abbildung 1 gezeigt:

  
Abbildung 1: (Stromgegengekoppelte Emitterschaltung)


Die Kopplung von VCC an B über R_{V} dient dazu, dem Eingangssignal für die Verstärkung einen geeigneten offset zu verleihen.

R_{\mathrm{C}} begrenzt den Stromfluss durch C.
Die Koppelkondensatoren C_{e} und C_{a} dienen dazu das Signal von verbliebenen Gleichstromanteilen abzukoppeln.

Das entscheidende Bauteil zu Stromgegenkopplung ist R_{\mathrm{E}}. Über R_{\mathrm{E}} fällt nun zusätzlich die Spannung

\begin{equation*}
U_{R_{\mathrm{E}}} = I_{\mathrm{C}}\,R_{\mathrm{E}}
\end{equation*}

ab. Nach den Kirchhoffschen Regeln gilt:

\begin{equation*}
U_{\mathrm{B}} = U_{\mathrm{BE}} - U_{D}+U_{R_{\mathrm{E}}}.
\end{equation*}

Da U_{\mathrm{B}}=U_{e} fixiert und U_{D} durch Gleichung (1) hier fest vorgegeben ist, nimmt U_{\mathrm{BE}} in dem Maße ab, in dem U_{R_{\mathrm{E}}} zunimmt, was wiederum die Reduktion von I_{\mathrm{C}} zur Folge hat. Die zusätzliche Beschaltung durch R_{\mathrm{E}} wirkt also der Erhöhung von I_{\mathrm{C}} entgegen.

Dynamische Kenngrößen
Im diesem Abschnitt interessieren wir uns für die folgenden Kenngrößen der Schaltung:

Eingangsimpedanz Z_{e};
Ausgangsimpedanz Z_{a};
Spannungsverstärkung v_{U},

die man auch als die dynamischen Kenngrößen der Schaltung bezeichnet.

Berechnung
Abbildung 2 hier zeigt, dass die Kennlinien der Transistorkenngrößen r_{\mathrm{B}} und r_{\mathrm{}C} nur über einen geringen Bereich des gewählten Arbeitspunkts als linear angenomen werden können. Zur Berechnung der dynamischen Kenngrößen verwenden wir daher das statische Kleinsignalmodell:
Wir ersetzen die BC-Diode durch eine reale Stromquelle mit dem Innenwiderstand r_{\mathrm{C}} und einen in Reihe geschalteten Innenwiderstand r_{\mathrm{B}} für die BE-Diode, wie in Abbildung 2 gezeigt. In beiden Fällen handelt es sich um lineare Bauelemente.


Abbildung 2: (Ersatzschaltbild eines Transistors in der Kleinsignalnäherung)

Zu sehen ist ein Netzwerk mit einer Spannungsquelle für u_{e} und einer Stromquelle für i_{\mathrm{B}}. Solche Netzwerke berechnet man unter Verwendung des Kirchhoffschen Superpositionsprinzips:
In einem Netzwerk mit mehreren Strom- oder Spannungsqellen berechnen sich alle gesamten Ströme und alle gesamten Spannungen aus der Summe der Ströme und Spannungen jeder einzelnen Quelle, wenn man die jeweils anderen Quellen (bis auf ihre Innenwiderstände) ignoriert.
In Abbildung 2 setzt sich z.B. u_{a} also aus zwei Anteilen zusammen, die zu addieren sind:

Ein Anteil aus dem allein auf u_{e} basierenden Schaltkreis, wofür die Quelle von i_{\mathrm{B}} unterbrochen wird.
Ein Anteil aus dem allein auf i_{\mathrm{B}} basierenden Schaltkreis, wofür die Quelle von u_{e} kurzgeschlossen wird.

Sie kennen das Superpositionsprinzip sicher für den Fall von mehreren Spannungsquellen in einem Schaltkreis. Für den hier auftretenden Fall einer zusätzlichen Stromquelle mag es Ihnen zunächst ungewohnt erscheinen.
Das Superpositionsprinzip erlaubt es uns für alle folgenden Berechnungen VCC, das nicht direkt zum Signal selbst beiträgt, kurzzuschließen. Damit wird gleichzeitig R_{V} leitend überbrückt und kann aus allen weiteren Betrachtungen ausgeklammert werden.
Den Umstand, dass wir ab jetzt nur noch Signaländerungen relativ zum offset des Arbeitspunkts betrachten kennzeichnet man oft durch einem neuen Variabensatz in Kleinbuchstaben:

\begin{equation}
\begin{split}
&U_{e}\to u_{e}; \\
&\\
&I_{\mathrm{B}}\to i_{\mathrm{B}}; \\
&\\
&U_{a}\to u_{a}; \\
&\\
&I_{\mathrm{C}}\to \beta\,i_{\mathrm{B}}
\end{split}
\end{equation}

Das für die Berechnungen relevante Ersatzschaltbild der stromgegengekoppelten Emitterschaltung ist in Abbildung 3 gezeigt:


Abbildung 3: (Ersatzschaltbild für die stromgegengekoppelte Emitterschaltung in der Kleinsignalnäherung)

Die Erstatzschaltung für u_{e}, bei unterbrochener Quelle für i_{\mathrm{B}}, ist in Abbildung 4 gezeigt:


Abbildung 4: (Ersatzschaltbild für u_{e} bei unterbrochener Quelle für i_{\mathrm{B}}. In Abbildung (b) ist das Schaltbild aus Abbildung (a) weiter standardisiert dargestellt. Der gestrichelte Kasten verbildlicht die Definition von R_{2})

Aus diesem Netzwerk lassen sich die folgenden Zusammenhänge ableiten:

\begin{equation}
\begin{split}
&R_{2}\equiv R_{\mathrm{E}}\parallel \left(r_{\mathrm{C}}+R_{\mathrm{C}}\right); \\
&\\
&i_{\mathrm{B}} = \frac{u_{e}}{r_{\mathrm{B}}+R_{2}}; \\
&\\
&i_{1}= \frac{i_{\mathrm{B}}\,R_{2}}{r_{\mathrm{C}}+R_{\mathrm{C}}};\\
&\\
&u_{a} = i_{1}\,R_{\mathrm{C}} = \frac{i_{\mathrm{B}}\,R_{2}\,R_{\mathrm{C}}}{r_{\mathrm{C}}+R_{\mathrm{C}}} = \frac{u_{e}\,R_{2}\,R_{\mathrm{C}}}{\left(r_{\mathrm{B}}+R_{2}\right)\left(r_{\mathrm{C}}+R_{\mathrm{C}}\right)}.\\
\end{split}
\end{equation}

Die Erstatzschaltung für i_{\mathrm{B}} nach Kurzschluss der Quelle für u_{e} ist in Abbildung 5 gezeigt:


Abbildung 5: (Ersatzschaltbild für i_{\mathrm{B}} nach Kurzschluss der Quelle für u_{e}. In Abbildung (b) ist das Schaltbild aus Abbildung (a) weiter standardisiert dargestellt. Der gestrichelte Kasten verbildlicht die Definition von R_{1})

Aus diesem Netzwerk lassen sich die folgenden Zusammenhänge ableiten:

\begin{equation}
\begin{split}
&R_{1}\equiv r_{\mathrm{B}}\parallel R_{\mathrm{E}}; \\
&\\
&R_{\mathrm{ges}} = \left(\frac{1}{r_{\mathrm{C}}} + \frac{1}{R_{1}+R_{\mathrm{C}}}\right)^{-1} = \frac{r_{\mathrm{C}}\,\left(R_{1}+R_{\mathrm{C}}\right)}{R_{1}+R_{\mathrm{C}}+r_{\mathrm{C}}}; \\
&\\
&i_{2} = \frac{\beta\,i_{\mathrm{B}}\,R_{\mathrm{ges}}}{R_{1}+R_{\mathrm{C}}} = \frac{\beta\, i_{\mathrm{B}}\,r_{\mathrm{C}}}{R_{1}+R_{\mathrm{C}}+r_{\mathrm{C}}}; \\
&\\
&u = \beta\, i_{\mathrm{B}}\,R_{\mathrm{ges}}; 
\qquad u_{1} = -\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{\mathrm{C}}}\,u \\
&\\
&\\
&i_{\mathrm{B}}^{\prime\prime}=  - \frac{u_{1}}{r_{\mathrm{B}}} = -\frac{\beta\, i_{\mathrm{B}}\,R_{\mathrm{ges}}}{r_{\mathrm{B}}}\,\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{\mathrm{C}}} = -\frac{\beta\, i_{\mathrm{B}}\,r_{\mathrm{C}}\,R_{1}}{r_{\mathrm{B}}\,\left(R_{1}+R_{\mathrm{C}}+r_{\mathrm{C}}\right)};\\
&\\
&u_{a}^{\prime\prime} = -i_{2}\,R_{\mathrm{C}} = -\frac{\beta\, i_{\mathrm{B}}\,r_{\mathrm{C}}\,R_{\mathrm{C}}}{R_{1}+R_{\mathrm{C}}+r_{\mathrm{C}}}. \\
\end{split}
\end{equation}

Wir fassen die Ausdrücke für u_{a} und i_{\mathrm{B}} aus den Gleichungen (2) und (3) nach de Superpositionsprinzip zusammen und erhalten:

\begin{equation}
\begin{split}
&R_{1}\equiv r_{\mathrm{B}}\parallel R_{\mathrm{E}}; \qquad
R_{2}\equiv R_{\mathrm{E}}\parallel \left(r_{\mathrm{C}}+R_{\mathrm{C}}\right);\\
&\\
&\\
&i_{\mathrm{B}} = \frac{u_{e}}{r_{\mathrm{B}}+R_{2}}
-\frac{\beta\, i_{\mathrm{B}}\,r_{\mathrm{C}}\,R_{1}}{r_{\mathrm{B}}\,\left(R_{1}+R_{\mathrm{C}}+r_{\mathrm{C}}\right)}; \\
&\\
&u_{a} = \frac{u_{e}\,R_{2}\,R_{\mathrm{C}}}{\left(r_{\mathrm{B}}+R_{2}\right)\left(r_{\mathrm{C}}+R_{\mathrm{C}}\right)} 
-\frac{\beta\, i_{\mathrm{B}}\,r_{\mathrm{C}}\,R_{\mathrm{C}}}{R_{1}+R_{\mathrm{C}}+r_{\mathrm{C}}}. \\
\end{split}
\end{equation}

Wir machen für alle weiteren Berechnungen die folgenden Annahmen:


\beta\gg0;

r_{\mathrm{C}}\gg r_{\mathrm{B}},\ R_{\mathrm{C}},\ R_{\mathrm{E}}, d.h. r_{\mathrm{C}} ist viel größer, als alle anderen Widerstände im Netzwerk;

r_{\mathrm{B}}\ll r_{\mathrm{C}},\ R_{\mathrm{C}},\ R_{\mathrm{E}}, d.h. r_{\mathrm{B}} ist viel kleiner, als alle anderen Widerstände im Netzwerk.

Damit vereinfachen sich die Gleichungen (4) zu:

\begin{equation*}
\begin{split}
&R_{1}\to r_{\mathrm{B}};\qquad R_{2}\to R_{\mathrm{E}};\\
&\\
&0 = \frac{u_{e}}{R_{\mathrm{E}}} - \beta\,i_{\mathrm{B}}; \\
&\\
&u_{a} = -\beta\, i_{\mathrm{B}}\,R_{\mathrm{C}} = - \frac{u_{e}}{R_{\mathrm{E}}}\,R_{\mathrm{C}}; \\
&\\
&v_{U} = \frac{u_{a}}{u_{e}} = -\frac{R_{\mathrm{C}}}{R_{\mathrm{E}}}.\\
\\
\end{split}
\end{equation*}

Für kleine Signale hängt v_{U} nicht mehr von den Materialeigenschaften des Transistors ab. Stattdessen hängt v_{U} nur von der äußeren Beschaltung durch R_{\mathrm{C}} und R_{\mathrm{E}} ab. Das Vorzeichen weist darauf hin, dass u_{a} in dieser Schaltung zu u_{e} invertiert ist (e^{i\pi}=-1).
Für Z_{e} und Z_{a} folgt aus den Gleichungen (4)

\begin{equation*}
\begin{split}
&i_{\mathrm{B}} = \underbrace{\frac{u_{e}}{r_{\mathrm{B}}+R_{2}}}
-\underbrace{\frac{\beta\, i_{\mathrm{B}}\,r_{\mathrm{C}}\,R_{1}}{r_{\mathrm{B}}\,\left(R_{1}+R_{\mathrm{C}}+r_{\mathrm{C}}\right)}};\\
&\hphantom{ccc}=\frac{u_{e}}{r_{\mathrm{B}}+R_{\mathrm{E}}}
\hphantom{ccccccc}=\beta\,i_{\mathrm{B}} \\
&\\
&Z_{e} = \frac{u_{e}}{i_{\mathrm{B}}} = \left(1+\beta\right)\,\left(R_{\mathrm{E}}+r_{\mathrm{B}}\right);\\
&\\
&\\
&\\
&u_{a} = \underbrace{\frac{u_{e}\,R_{2}\,R_{\mathrm{C}}}{\left(r_{\mathrm{B}}+R_{2}\right)\left(r_{\mathrm{C}}+R_{\mathrm{C}}\right)}} 
-\underbrace{\frac{\beta\, i_{\mathrm{B}}\,r_{\mathrm{C}}\,R_{\mathrm{C}}}{R_{1}+R_{\mathrm{C}}+r_{\mathrm{C}}}}; \\
&\hphantom{ccccccccc}
=\frac{u_{e}\,R_{\mathrm{C}}}{r_{\mathrm{C}}+R_{\mathrm{C}}}
\hphantom{cccccc}=\beta\,i_{\mathrm{B}}\,\left(r_{\mathrm{C}}\parallel R_{\mathrm{C}}\right)\\
&\\
&Z_{a} = \frac{u_{a}}{\beta\,i_{\mathrm{B}}} = r_{\mathrm{C}}\parallel R_{\mathrm{C}} \\
\end{split}
\end{equation*}


Messung von Z_{e} und Z_{a}

Methoden zur Messung von Z_{a} aktiver Schaltelemente (wie Spannungsquellen) haben wir im Versuch Elektrische Messverfahren hier eingeführt. In diesem Fall bietet sich die Bestimmung unter fester Last an.
Zur Messung von Z_{e} können Sie, wie in Abbildung 6 gezeigt, eine Variation des gleichen Verfahrens anwenden:


Abbildung 3: (Ersatzschaltbild zur Bestimmung von Z_{e} der stromgegengekoppelten Emitterschaltung aus Abbildung 1. In Abbildung (a) ist das Ersatzschaltbild gezeigt. Der gestrichelte Kasten in Abbildung (b) umschließt die Schaltung, die als Blackbox durch Z_{e} ersetzt wird)

An der Basisklemme wird ein bekannter Messwiderstand R_{M} zugeschaltet, über den die abfallende Spannung U_{M} gemessen wird. Aus der Messung von U_{e} und U_{M}, sowie aus der Kenntnis von R_{M} lässt sich Z_{e} wie folgt bestimmen:

\begin{equation*}
\begin{split}
&U_{e} = I\, (R_{M}+Z_{e});\qquad U_{M}=I\, R_{M}\\
&\\
&U_{e} = U_{M}\left(1+\frac{Z_{e}}{R_{M}}\right);\\
&\\
&Z_{e} = R_{M}\left(\frac{U_{e}}{U_{M}}-1\right).
\end{split}
\end{equation*}


Essentials
Was Sie ab jetzt wissen sollten:

In der stromgegengekoppelten Emitterschaltung wirkt der Spannungsabfall über R_{\mathrm{E}} der Verstärkung durch den Transistor entgegen.
Durch diese Beschaltung hängt die Verstärkung nicht mehr von den Eigenschaften des Transistors, sondern nur noch von R_{\mathrm{C}} und R_{\mathrm{E}} ab.


Testfragen

In der Anleitung wird erwähnt, dass zum optimalen Betrieb des bipolaren Transistors für ein symmetrisch bipolares Signal, r_{\mathrm{C}} die Hälfte des maximalen Werts annehmen sollte. Warum würde man einen solchen Arbeitspunkt für ein solches Signal als optimal ansehen?
Welche maximale Spannung u_{a} kann man mit Hilfe der Emitterschaltung für ein symmetrisch bipolares Signal erhalten?
Wo kommt die Energie zur Verstärkung von U_{\mathrm{e}} her?
Worin bestehen Gleichheiten und Unterschiede bei der Beschaltung zur Messung von Z_{e} und Z_{a} bei fester Last?


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