@@ -12,9 +12,9 @@ Der Strahlengang eines Systems L aus zwei Linsen L1 und L2 (mit den Brennweiten
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Ein solches System kann wie eine einzige **dicke Linse L** mit den Hauptebenen $H_{1}$ und $H_{2}$ und der Brennweite $f$ behandelt werden. Alle für die weitere Diskussion relevanten Variablenbezeichnungen können **Abbildung 3** entnommen werden.
Ein solches System kann wie eine einzige **dicke Linse L** mit den Hauptebenen $H_{1}$ und $H_{2}$ und der Brennweite $f$ behandelt werden. Alle für die weitere Diskussion relevanten Variablenbezeichnungen können **Abbildung 1** entnommen werden.
Für $f$ gilt die Formel von [Allvar Gullstrand](https://de.wikipedia.org/wiki/Allvar_Gullstrand)(auch als **Gullstrand-Formel** bezeichnet):
Für $f$ gilt die Formel von **[Allvar Gullstrand](https://de.wikipedia.org/wiki/Allvar_Gullstrand) (Gullstrand-Formel)**:
wobei $d$ der Abstand zwischen L1 und L2 (gemessen von den jeweiligen Scheiteln von L1 und L2) ist.
Die Konstruktion erfolgt dabei wie folgt (unter Verwendung der Angaben aus **Abbildung 1**):
Die Konstruktion erfolgt dabei (unter Verwendung der Angaben aus **Abbildung 1**) wie folgt:
- Strahl 1 verläuft, parallel zur optischen Achse, von G bis $H_{1}$ (obere durchgezogene Linie, links).
...
...
@@ -41,7 +41,7 @@ $$
\end{equation}
$$
Dies entspricht der Konstruktion eines Bildes B für eine einzelne, dicke Linse mit der Brennweite $f$.
Dies entspricht der **Konstruktion eines Bildes B für eine einzelne, dicke Linse** mit der Brennweite $f$.
Sind $f_{1}$ und $f_{2}$ bekannt lassen sich die Lagen von $H_{1}$ und $H_{2}$ aus
...
...
@@ -58,7 +58,7 @@ Für diesen Versuch sind $f_{1}$ und $f_{2}$ und damit auch die Lagen von $H_{1}
Wir beschreiben zunächst die Bestimmung von $f$, sowie der Lagen von $H_{1}\ (h_{x})$ und $H_{2}\ (h_{x}')$.
Da die Lage von $H_{1}$ nicht als bekannt vorausgesetzt werden kann bestimmen wir den Abstand von G relativ zu einem **frei gewählten Bezugspunkt** X (Marker X in [Skizze 3](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Geometrische_Optik/figures/AbbeVerfahren.png)), dessen Position auf der optischen Achse wir gleichzeitig als Nullpunkt festlegen. In **Abbildung 1** haben wir X beliebig zwischen L1 und L2 gewählt. Für den Versuch sollten Sie X exakt zwischen L1 und L2, in der Mitte des Messingzylinders wählen. Die Abstände von G und B zu X bezeichnen wir als
Da die Lage von $H_{1}$ nicht als bekannt vorausgesetzt werden kann bestimmen wir den Abstand von G relativ zu einem **frei gewählten Bezugspunkt X** (Marker X in **Abbildung 1**), dessen Position auf der optischen Achse wir gleichzeitig als Nullpunkt unseres Koordinatensystems festlegen. In **Abbildung 1** haben wir X beliebig zwischen L1 und L2 gewählt. Für den Versuch empfiehlt es sich X zur Vereinfachung der Auswertung in der Mitte des Messingzylinders, exakt zwischen L1 und L2 zu wählen. Die Abstände von G und B zu X bezeichnen wir als
$$
\begin{equation}
...
...
@@ -68,7 +68,7 @@ $$
\end{split}
\end{equation}
$$
wobei $h_{x}$ und $h'_{x}$ die unbekannten Abstände von X zu $H_{1}$ und $H_{2}$ bezeichnen (siehe **Abbildung 1**). Nach der Linsengleichung besteht zwischen $g,\ b,\ f$ die Beziehung:
wobei $h_{x}$ und $h'_{x}$ die unbekannten Abstände von X zu $H_{1}$ bzw. $H_{2}$ bezeichnen (siehe **Abbildung 1**). Nach der Linsengleichung besteht zwischen $g,\ b,\ f$ die Beziehung:
$$
\begin{equation}
...
...
@@ -97,23 +97,25 @@ $$
\end{equation}
$$
Die Bestimmung von $f,\ h_{x},\ h_{x}'$ läuft nun wie folgt ab:
**Die Bestimmung von $f,\ h_{x},\ h_{x}'$ läuft nun wie folgt ab:**
-Sie variieren den Abstand $x$. Dabei variieren Sie effektiv $g$, während $h_{x}$ durch die feste Wahl von X immer gleich bleibt. Beachten Sie die Lage des Nullpunkts in X, demnach ist $x$ mit negativem und $x'$ mit positivem Vorzeichen zu messen.
- Justieren Sie zu jedem gewählten Wert von $x$ den Abstand des Schirms $x'$, so dass B wieder scharf darauf abgebildet wird. Beachten Sie die Unsicherheiten auf $x$ und $x'$.
- Bestimmen Sie den Abbildungsmaßstab $\beta$ zu jedem Wertepaar, bestehend aus $x$ und $x'$. Berechnen Sie die Unsicherheiten auf $\beta$ in jedem Punkt aus den Unsicherheiten auf $G$ und $B$, mittels linearer Fehlerfortpflanzung.
-**Variieren Sie den Abstand $x$.** Dabei variieren Sie effektiv $g$, während $h_{x}$ durch die feste Wahl von X immer gleich bleibt. Beachten Sie die Lage des Nullpunkts in X, demnach ist $x$ mit negativem und $x'$ mit positivem Vorzeichen zu messen.
-**Justieren Sie zu jedem gewählten Wert von $x$ den Abstand des Schirms $x'$, so dass B wieder scharf darauf abgebildet wird.** Beachten Sie die Unsicherheiten auf $x$ und $x'$.
-**Bestimmen Sie den Abbildungsmaßstab $\beta$ zu jedem Wertepaar, bestehend aus $x$ und $x'$.** Berechnen Sie die Unsicherheiten auf $\beta$ in jedem Punkt aus den Unsicherheiten auf $G$ und $B$, mittels linearer Fehlerfortpflanzung.
Zwar sind $g$ und $b$ nicht bekannt, $\beta$ kann aber aus $G$ und $B$ bestimmt werden. Dazu können Sie zwei mögliche Wege der Auswertung beschreiten:
### Methode 1:
Trägt man $x(f, h_{x})$ als Funktion von $(1+1/\beta)$ und $x^\prime(f, h^\prime_{x})$ als Funktion von $(\beta+1)$ auf sollte sich jeweils ein linearer Zusammenhang ergeben, aus dem sich $f$ als Steigung und $h_{x}\ (h'_{x})$ als Achsenabschnitt ablesen lassen. Durch Anpassung zweier unabhängiger Modelle nach Gleichung **(7)** erhalten Sie jeweils einen Wert für $h_x$ und $h^\prime_x$ und zwei unabhängige Werte für $f$. Die Werte für $f$ sollten innerhalb ihrer Unsicherheiten übereinstimmen.
- Trägt man $x(\beta; f, h_{x})$ als Funktion von $(1+1/\beta)$ und/oder $x^\prime(\beta; f, h^\prime_{x})$ als Funktion von $(\beta+1)$ auf sollte sich jeweils ein **linearer Zusammenhang** ergeben, aus dem sich $f$ als Steigung und $h_{x}\ (h'_{x})$ als Achsenabschnitt ablesen lassen.
- Durch **Anpassung zweier entsprechender Modelle nach Gleichung (7)** erhalten Sie jeweils einen Wert für $h_x$ und $h^\prime_x$ und zwei unabhängige Werte für $f$.
- Die Werte für $f$ sollten innerhalb ihrer Unsicherheiten **übereinstimmen**.
### Methode 2:
Mit Hilfe der `MultiFit`-Funktion aus dem Programm-Paket *kafe2* können Sie $f,\ h_{x},\ h_{x}^\prime$ **gleichzeitig** anpassen. Sie nutzen dabei den Vorteil, dass beide Messreihen zur Bestimmung des gemeinsamen Parameters $f$ beitragen können. Ein Beispiel für die Nutzung finden Sie in der offiziellen Dokumentation des Programmpakets *kafe2*[hier](https://kafe2.readthedocs.io/en/latest/parts/beginners_guide.html#multifit). Eine lauffähige Adaption mit weiteren Erklärungen finden im `tools`-Verzeichnis dieses Repositories [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/tools/kafe2_example_MultiFit.ipynb).
Zur Implementierung eines geeigneten Objekts der `MultiFit`-Klasse sollten Sie, wie oben beschrieben, zwei `XYFit`-Objekte zu den Modellen aus Gleichung **(7)** definieren. Geben Sie für jedes `XYFit`-Objekt auch die Unsicherheiten auf $\beta$ individuell an. Da es sich für jede Messung um neu aufgenommene Messpunkte handelt sind die Unsicherheiten zu verschiedenen `XYFit`-Objekten (im Gegensatz zum oben verlinkten Beispiel einer Strom-Spannungs Kennlinie) **nicht korreliert**.
-Mit Hilfe der **`MultiFit`-Funktion aus dem Programm-Paket *kafe2* können Sie $f,\ h_{x},\ h_{x}^\prime$ gleichzeitig anpassen**. Sie nutzen dabei den Vorteil, dass beide Messreihen zur Bestimmung des gemeinsamen Parameters $f$ beitragen können.
- Ein Beispiel für die Nutzung finden Sie in der offiziellen Dokumentation des Programmpakets *kafe2*[hier](https://kafe2.readthedocs.io/en/latest/parts/beginners_guide.html#multifit). Eine lauffähige Adaption mit weiteren Erklärungen finden im **`tools`-Verzeichnis des *students*-Repositories [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/tools/kafe2_example_MultiFit.ipynb)**.
-Zur Implementierung eines geeigneten Objekts der `MultiFit`-Klasse sollten Sie, wie im oben verlinkten Beispiel beschrieben, zwei `XYFit`-Objekte zu den Modellen aus Gleichung **(7)** definieren.
Sowohl $h_{x}$ als auch $h_x^{\prime}$ können sowohl positive als auch negative Werte annehmen, je nachdem ob sich die entsprechende Hauptebene links oder rechts von X befindet. Aus $h_{x}$ und $h_{x}^{\prime}$ lässt sich der Abstand der Hauptebenen
$$
...
...
@@ -121,28 +123,31 @@ $$
a=h_x^\prime-h_x
\end{equation*}
$$
bestimmen, der von der Wahl von X unabhängig ist. Die Angabe von $a$ ist Bestandteil der Aufgabenstellung! Sie können $a$ auch direkt in Ihrem Modell implementieren, indem Sie z.B. $h_x^\prime$ als $h_x^\prime=a+h_x$ ausdrücken.
bestimmen, der von der Wahl von X unabhängig ist. **Die Angabe von $a$ ist Bestandteil der Aufgabenstellung!** Sie können $a$ auch direkt in Ihrem Modell implementieren, indem Sie z.B. $h_x^\prime$ als $h_x^\prime=a+h_x$ ausdrücken.
## Bestimmung von $f_{1},\ f_{2}$
### Bestimmung von $f_{1},\ f_{2}$
Für diese Aufgabe nutzen Sie Gleichung **(1)**. Gehen Sie dabei wie folgt vor:
- Tragen Sie zur Lösung dieser Aufgabe die Kehrwerte der ermittelten Werte von $f$ als Funktion von $d$ auf.
- Passen Sie das Modell einer Geraden an, aus dem Sie $f_{1}$ und $f_{2}$ aus Steigung und Achsenabschnitt bestimmen können. Bestimmen Sie die Unsicherheiten auf $f_{1}$ und $f_{2}$ aus linearer Fehlerfortpflanzung.
- Alternativ können Sie Gleichung **(1)** als Modell für die Anpassung verwenden und $f_{1}$ und $f_{2}$ mit entsprechenden Unsicherheiten direkt aus der Anpassung bestimmen.
- Tragen Sie die Kehrwerte der ermittelten Werte von $f$ als Funktion von $d$ auf. **Achten darauf die Unsicherheiten $\Delta f$ auf $\Delta(1/f)$ zu propagieren.** Diese sind dadurch nicht mehr normal verteilt!
- Passen Sie das **Modell einer Geraden** an, aus dem Sie $f_{1}$ und $f_{2}$ aus der Steigung und dem Achsenabschnitt bestimmen können. Bestimmen Sie die Unsicherheiten auf $f_{1}$ und $f_{2}$ mit Hilfe **linearer Fehlerfortpflanzung**.
- Alternativ können Sie Gleichung **(1)** als Modell für die Anpassung verwenden und $f_{1}$ und $f_{2}$ mit entsprechenden Unsicherheiten direkt aus der Anpassung bestimmen. Eine Schwierigkeit dabei besteht darin, dass die Parameter, an denen Sie interessiert sind (die *parameters of interest*, POIs) als Kehrwerte und Kehrwert des Produkts in Gleichung **(1)** auftreten und die Gleichung zur Parameterabschätzung damit **hochgradig nicht-linear in den POIs** ist.
## Essentials
Was Sie ab jetzt wissen sollten:
- Die **Begriffe der paraxialen Optik** sollten Ihnen geläufig sei.
- Sie sollten Gleichung **(1)** kennen und verstehen und **Abbildung 1** frei zeichnen können.
- Der **Ablauf des Bessel-Verfahrens** sollte Ihnen klar sein.
-**Abbildung 1** ist sicher eine Skizze, die Sie zum Verständnis in Reichweite Ihres Protokolls vorhalten sollten.
- Sie sollten das "geniale Moment" die Unkenntnis von $b,\ g$ durch die Kenntnis von $B/G$ zu ersetzen gut verstanden haben.
- Gleichung **(1)** sollte Ihnen geläufig sein.
- Sie sollten die vielen substantiellen Schwierigkeiten bei der Bearbeitung dieser doch eher Grundlegenden Fragestellungen erkannt haben.
## Testfragen
1.Wie ist B relativ zu G orientiert?
1.Was passiert, wenn Sie $a$ zu groß wählen?
1. Was passiert für die Fälle $a=4\,f$ und $a<4\,f$?
1.Worin bestehen die größten Unsicherheiten in der Bestimmung von $f$ bei diesem Verfahren?
1.Auf welches sind Ihre **primären Messgrößen** für die Bestimmung von $H_{1},\ H_{2},\ f,\ f_{1},\ f_{2}$? Auf diese Größen müssen Sie selbst Unsicherheiten abschätzen. Für welche **abgeleiteten Größen** müssen Sie bei der gesamten Prozedur die abgeschätzten Unsicherheiten fortpflanzen?
1.Auf welche Unsicherheiten müssen Sie vermutlich am meisten achten, d.h. welche Messungen sollten **so akkurat wie nur irgend möglich durchführen**?
1. Wieviele Freiheitsgrade erwarten Sie für Ihre Anpassungen?
1.Beurteilen Sie die Anwendbarkeit einer $\chi^{2}$-Anpassung. Was wäre die Alternative? Können Sie ggf. experimentell etwas zu tun, um die Anwendbarkeit einer $\chi^{2}$-Anpassung besser rechtfertigen zu können.
