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Pendel/doc/Hinweise-Gekoppelt-Auswertung.md

 # Hinweise für den Versuch Pendel
 
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-## Aufgabe 3: Gekoppelte Pendel
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-### Hinweise zur Durchführung
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-#### Aufgabe 3.1 Justierung der einzelnen Pendel
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-- Bestimmen Sie einzelne Werte $T_{0}^{(i)}$ jeweils aus mindestens 2 Perioden. 
-- Nehmen Sie mindestens 5 Messwerte auf und bestimmen Sie $T_{0}$ und $\Delta T_{0}$ aus dem Stichprobenmittel und der Stichprobenvarianz.  
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-#### Aufgabe 3.2: Gekoppelte Pendel
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-- Achten Sie beim Koppeln der Pendel darauf, dass die koppelnde Schraubenfeder nicht unter Spannung steht. Koppeln Sie beide Pendel auf gleicher Höhe $\ell$. 
-- Gehen Sie dann bei der Bestimmung von $T_{1}$ und $T_{2}$ für die Abstände $\ell$ und $\ell'$ so, wie für **Aufgabe 3.1** vor. 
-- Bauen Sie zur alternativen Bestimmung von $D$ die koppelnde Feder aus der Anordnung der gekoppelten Pendel aus und hängen Sie sie senkrecht auf.
-- Gehen Sie zur Bestimmung von $D$ dann, wie in den folgenden Unterpunkten beschrieben, vor.
--  Vergleichen Sie alle von Ihnen bestimmten Werte für $D$ innerhalb Ihrer Unsicherheiten. Beurteilen und begründen Sie, welches die genaueste Methode zur Bestimmung von $D$ ist. 
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-##### Bestimmung von $k$ nach Hook
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-- Das Hook'sche Gesetz lautet: 
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-  ```math
-  \begin{equation*}
-  \mathrm{d}F = k\,\mathrm{d}z.
-  \end{equation*}
-  ```
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-- Versehen Sie das untere Ende der Feder mit verschiedenen bekannten Gewichten $m_{i}$ und stellen Sie die Auslenkung $\mathrm{d}z_{i}$ der Feder als Funktion von $m_{i}$ dar. 
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-- Innerhalb der [Elastizitätsgrenze](https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizit%C3%A4tsgrenze) der Feder sollte sich ein linearer Zusammenhang mit der Steigung $k$ einstellen. $D$ berechnet sich aus dem Produkt mit $\ell^{2}$.   
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-##### Bestimmung von $k$ aus der Periode des Federpendels
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-- Hängen Sie ein Gewicht $m_{i}$ an die Feder an, lenken Sie die Feder aus der sich einstellenden Ruhelage aus und bestimmen Sie $T_{0}(m_{i})$, woraus sich $k$ nach der Gleichung
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-  ```math
-  \begin{equation}
-  T_{0}^{2}(m_{i}) = \frac{4\pi^{2}\,m_{i}}{k}
-  \end{equation}
-  ```
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-  ableiten lässt. 
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-- Wenn Sie $T_{0}^{2}$ als Funktion von $m_{i}$ für verschiedene Massen bestimmen, können Sie $k$ aus einer Anpassung von Gleichung **(1)** an Ihre Messwerte bestimmen.
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-- Den zusätzlichen Effekt von $g$ brauchen Sie nicht zu berücksichtigen, weil dieser in der neuen Ruhelage der Feder durch die Federkraft ausgeglichen wird. 
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-#### Aufgabe 3.3: Schwebung
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-- Bestimmen Sie $\widetilde{\omega}$ am besten indem Sie $P_{1}$ (mit kleinem Winkel $\varphi_{0}$) auslenken und $P_{2}$ ruhig halten. Sie können dann $\widetilde{T}$ gut bestimmen, wenn $P_{2}$ wieder zur Ruhe kommt. 
-- Aus der Bestimmung von $\overline{\omega}$ und $\widetilde{\omega}$ und den zuvor bestimmten Werten $\omega_{1}$ und $\omega_{2}$ sollten Sie die Gleichungen (**(4)** und **(5)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Pendel/doc//Hinweise-Aufgabe-3.md)) innerhalb der von Ihnen abgeschätzten Unsicherheiten bestätigen können. Achten Sie daher bei der Bestimmung von $\overline{T}$ und $\widetilde{T}$ darauf, dass Sie einen der Abstände für $\ell$ wie in **Aufgabe 3.2** wählen.
-- Gehen Sie zur Bestimmung von $\overline{T}$ und $\widetilde{T}$ so, wie für **Aufgabe 3.1** vor.
+## Auswertung der Messungen mit den gekoppelten Pendeln
+
+Definieren Sie zur Überprüfung der Gleichungen **(5)** und **(6)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Gekoppelt.md) die folgenden Größen:
+$$
+\begin{equation*}
+\omega_{1}^{\prime}\equiv\frac{\overline{\omega}-\widetilde{\omega}}{2};\quad 
+\omega_{2}^{\prime}\equiv\frac{\overline{\omega}+\widetilde{\omega}}{2}.
+\end{equation*}
+$$
+Berechnen Sie $\Delta\omega_{1}^{\prime}$ und $\Delta\omega_{2}^{\prime}$ mit Hilfe linearer Fehlerfortpflanzung. Die konkreten Werte 
+$$
+\begin{equation*}
+\hat{\omega}_{1}^{\prime}\pm\Delta\hat{\omega}_{1}^{\prime};\quad
+\hat{\omega}_{2}^{\prime}\pm\Delta\hat{\omega}_{2}^{\prime}
+\end{equation*}
+$$
+können Sie innerhalb Ihrer Unsicherheiten mit den Werten
+$$
+\begin{equation*}
+\hat{\omega}_{1}\pm\Delta\hat{\omega}_{1};\quad
+\hat{\omega}_{2}\pm\Delta\hat{\omega}_{2}
+\end{equation*}
+$$
+aus **Aufgabe 3.1** vergleichen. Eine mögliche Teststatistik wäre: 
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&t=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1,2} t_{i}^{2};\\
+&\\
+&\text{mit:}\\
+&\\
+&t_{i} = \frac{\omega_{i}^{\prime}-\omega_{i}}{\sqrt{\Delta\omega_{i}^{\prime\,2}+\Delta\omega_{i}^{2}}}.\\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+Sowohl die $t_{i}$, als auch $t$ sind für die Betrachtungen interessant. 
+
+- An $t_{i}$ erinnern Sie sich womöglich als den ***pull* zwischen $\omega_{i}^{\prime}$ und $\omega_{i}$**.
+- Die Größe $t$ haben Sie womöglich als die **$\chi^{2}$-Teststatistik** (mit $n_{\mathrm{dof}}=2$ Freiheitsgraden) erkannt. 
+
+Falls alle Messungen der $\omega_{i}^{\prime}, \omega_{i}$ einer Normalverteilung folgen und Sie die Unsicherheiten $\Delta\omega_{i}^{\prime}, \Delta\omega_{i}$ so abgeschätzt haben, dass Sie der Standardabweichung der jeweiligen Normalverteilung entsprechen, sollten die $t_{i}$ einer Standardnormalverteilung 
+$$
+\begin{equation*}
+\varphi(x,0,1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{x^{2}}{2}}
+\end{equation*}
+$$
+folgen. 
+
+Die Teststatistik $t$ sollte einer $\chi^{2}$-Verteilung mit $n_{\mathrm{dof}}=2$ folgen. Einen $p$-Wert dafür den Wert $\hat{t}$ zu beobachten erhalten Sie aus dem Integral
+$$
+\begin{equation*}
+p_{\hat{t}} = \int\limits_{\hat{t}}^{\infty}\chi^{2}(x, n_{\mathrm{dof}}=2)\,\mathrm{d}x.
+\end{equation*}
+$$
+Um den $p$-Wert anschaulich zu verstehen stellen wir uns die folgende Situation vor (d.h. wir legen das folgende **statistische Modell** zugrunde): 
+
+- Die Werte $\hat{\omega}_{i}^{\prime}, \hat{\omega}_{i}$ sind tatsächlich wahr! 
+- Wir führen eine große Zahl identischer Messreihen durch.
+- Für jede einzelne Messreihe streuen die gemessenen Ergebnisse gemäß einer Normalverteilung um die Werte $\hat{\omega}_{i}^{\prime}, \hat{\omega}_{i}$ mit den Standardabweichungen $\Delta\hat{\omega}_{i}^{\prime}, \Delta\hat{\omega}_{i}$. 
+
+Wenn wir für jede einzelne Messreihe aus unseren Ergebnissen die Teststatistik $t$ berechnen folgt $t$ der $\chi^{2}(x, 2)$-Verteilung. $\chi^{2}(x, 2)$ ist auf 1 normiert und somit eine Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung. $p$ beziffert also die Wahrscheinlichkeit einen Wert $t\geq\hat{t}$ zu erhalten, wenn alle oben getroffenen Annahmen wirklich wahr sind. Anhand des $p$-Werts können Sie nun beurteilen, wie wahrscheinlich der Ausgang Ihrer Messreihe ist, falls alle gemachten Annahmen und Schlussfolgerungen richtig sind.  
 
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Pendel/doc/Hinweise-Gekoppelt.md

@@ -142,15 +142,15 @@ A_{2} \left(\begin{array}{c}
 $$
 Anschaulich beschreibt diese allgemeine Lösung eine [Schwebung](https://de.wikipedia.org/wiki/Schwebung) mit der Frequenz 
 $$
-\begin{equation*}
+\begin{equation}
 \overline{\omega} = \frac{1}{2}(\omega_{1}+\omega_{2})
-\end{equation*}
+\end{equation}
 $$
 und einer Amplitudenmodulation mit der Frequenz
 $$
-\begin{equation*}
+\begin{equation}
 \widetilde{\omega} = \frac{1}{2}(\omega_{2}-\omega_{1}).
-\end{equation*}
+\end{equation}
 $$
 Dieser Verlauf ergibt sich aus einer geeigneten Anwendung der [trigonometrischen Additionstheoreme](https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Summen_zweier_trigonometrischer_Funktionen_(Identit%C3%A4ten)) auf Gleichung **(4)**. Die Konstanten der Integration $A_{1/2}$ und $\phi_{1/2}$ sind durch die Randwerte des Problems festgelegt.
 
@@ -163,7 +163,7 @@ $$
 \begin{equation*}
 \begin{split}
 &\Theta_{\mathrm{S}} = \frac{1}{2}m_{\mathrm{S}}\,r^{2}; \qquad
-\Theta_{\mathrm{Stab}}=\frac{1}{3}m_{\mathrm{Stab}}\,L_{\mathrm{Stab}}^{2}\\
+\Theta_{\mathrm{Stab}}=\frac{1}{3}m_{\mathrm{Stab}}\,L_{\mathrm{Stab}}^{2};\\
 &\\
 &\Theta_{\mathrm{P}} = \Theta_{\mathrm{Stab}}+\Theta_{\mathrm{S}}+m_{\mathrm{S}}\,L^{2}+m_{\kappa}\ell^{2},
 \end{split}
@@ -211,7 +211,7 @@ Was Sie ab jetzt wissen sollten:
 1. Durch welche Eigenschaft der Matrix in Gleichung **(3)** ist garantiert, dass dieses Problem immer zwei reelle Lösungen $\omega_{1}$ und $\omega_{2}$ besitzt? Um welche Klasse von Eigenwertproblemen handelt es sich also?
 1. Wie kann man $\omega_{1}$ und $\omega_{2}$ aus $\overline{\omega}$ und $\widetilde{\omega}$ bestimmen?
 1. Kann im Fall des gekoppelten Pendels Entartung der Eigenwerte vorliegen?
-1. Ist bei der Bestimmung von $k$ aus den Gleichungen **(5)** oder **(6)** nicht das Eigengewicht der Feder zu berücksichtigen?
+1. Ist bei der Bestimmung von $k$ aus den Gleichungen **(7)** oder **(8)** nicht das Eigengewicht der Feder zu berücksichtigen?
 
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