## Aufgabe 2: Vermessung eines Zweilinsensystems $L$ [1/5]
## Strahlengang eines Zweilinsensystems
### Strahlengang eines Zweilinsensystems
Der Strahlengang eines Systems L aus zwei Linsen L1 und L2 (mit den Brennweiten $f_{1}$ und $f_{2}$) ist in **Abbildung 1** gezeigt:
Mit Hilfe des in **Skizze 3** eingezeichneten Strahlengangs kann ein System aus zwei Linsen $L_{1}$ und $L_{2}$ (mit den Brennweiten $f_{1}$ und $f_{2}$) wie eine einzige dicke Linse $L$ mit den Hauptebenen $H_{1}$ und $H_{2}$ und der Brennweite $f$ behandelt werden. Alle für die weitere Diskussion relevanten Variablenbezeichnungen können **Skizze 3** entnommen werden.
**Skizze 3** (Strahlengang eines Zweilinsensystems $L$)
**Abbildung 1** (Strahlengang eines Systems L aus zwei Linsen L1 und L2)
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Für $f$ gilt die Formel von [Allvar Gullstrand](https://de.wikipedia.org/wiki/Allvar_Gullstrand)(auch als Gullstrand-Formel bezeichnet):
Ein solches System kann wie eine einzige **dicke Linse L** mit den Hauptebenen $H_{1}$ und $H_{2}$ und der Brennweite $f$ behandelt werden. Alle für die weitere Diskussion relevanten Variablenbezeichnungen können **Abbildung 3** entnommen werden.
Für $f$ gilt die Formel von [Allvar Gullstrand](https://de.wikipedia.org/wiki/Allvar_Gullstrand)(auch als **Gullstrand-Formel** bezeichnet):
wobei $d$ der Abstand zwischen $L_{1}$ und $L_{2}$ (gemessen von den jeweiligen Scheiteln von $L_{1}$ und $L_{2}$) ist.
wobei $d$ der Abstand zwischen L1 und L2 (gemessen von den jeweiligen Scheiteln von L1 und L2) ist.
Die Konstruktion erfolgt dabei wie folgt (Angaben in **Skizze 3**):
Die Konstruktion erfolgt dabei wie folgt (unter Verwendung der Angaben aus **Abbildung 1**):
- Strahl 1 verläuft, parallel zur optischen Achse, von $G$ bis $H_{1}$ (obere durchgezogene Linie, links).
- Strahl 1 verläuft, parallel zur optischen Achse, von G bis $H_{1}$ (obere durchgezogene Linie, links).
- Strahl 2 verläuft von $G$, durch den linken Brennpunkt von $L$, bis $H_{1}$ (untere durchgezogene Linie, links).
- Strahl 2 verläuft von G, durch den linken Brennpunkt von L, bis $H_{1}$ (untere durchgezogene Linie, links).
- Von $H_{1}$ nach $H_{2}$ werden beide Strahlen parallel verschoben (gestrichelte Linien zwischen $H_{1}$ und $H_{2}$).
- Von $H_{2}$ aus wird Strahl 1 durch den rechten Brennpunkt von $L$ und Strahl 2 parallel zur optischen Achse verlängert. Dort, wo die Strahlen 1 und 2 sich kreuzen entsteht $B$.
- Von $H_{2}$ aus wird Strahl 1 durch den rechten Brennpunkt von L und Strahl 2 parallel zur optischen Achse verlängert. Dort, wo die Strahlen 1 und 2 sich kreuzen entsteht B.
- Für den Abbildungsmaßstab gilt die Beziehung:
```math
\begin{equation}
\beta = \frac{B}{G} = \frac{b}{g}
\end{equation}
```
Dies entspricht der Konstruktion eines Bildes $B$ für eine einzelne, dicke Linse mit der Brennweite $f$.
$$
\begin{equation}
\beta = \frac{B}{G} = \frac{b}{g}
\end{equation}
$$
Dies entspricht der Konstruktion eines Bildes B für eine einzelne, dicke Linse mit der Brennweite $f$.
Sind $f_{1}$ und $f_{2}$ bekannt lassen sich die Lagen von $H_{1}$ und $H_{2}$ aus
berechnen, wobei $h_{1}$ und $h_{2}$ von den Scheiteln der Linsen aus zu messen sind.
Für diesen Versuch sind $f_{1}$ und $f_{2}$ und damit auch die Lagen von $H_{1}$ und $H_{2}$ zunächst unbekannt. Die Größen $f$, $f_{1}$, $f_{2}$, sowie die Lagen von $H_{1}$ und $H_{2}$ lassen sich jedoch mit Hilfe des [Abbe-Verfahrens](https://de.wikipedia.org/wiki/Abbe-Verfahren) ermitteln.
Für diesen Versuch sind $f_{1}$ und $f_{2}$ und damit auch die Lagen von $H_{1}$ und $H_{2}$ zunächst unbekannt. Die Größen $f,\ f_{1},\ f_{2}$, sowie die Lagen von $H_{1}$ und $H_{2}$ lassen sich jedoch mit Hilfe des [Abbe-Verfahrens](https://de.wikipedia.org/wiki/Abbe-Verfahren) ermitteln.
## Bestimmung von $H_{1},\ H_{2},\ f$
Wir beschreiben zunächst die Bestimmung von $f$, sowie der Lagen von $H_{1}\ (h_{x})$ und $H_{2}\ (h_{x}')$.
Da die Lage von $H_{1}$ nicht als bekannt vorausgesetzt werden kann bestimmen wir den Abstand von G relativ zu einem **frei gewählten Bezugspunkt** X (Marker X in [Skizze 3](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Geometrische_Optik/figures/AbbeVerfahren.png)), dessen Position auf der optischen Achse wir gleichzeitig als Nullpunkt festlegen. In **Abbildung 1** haben wir X beliebig zwischen L1 und L2 gewählt. Für den Versuch sollten Sie X exakt zwischen L1 und L2, in der Mitte des Messingzylinders wählen. Die Abstände von G und B zu X bezeichnen wir als
wobei $h_{x}$ und $h'_{x}$ die unbekannten Abstände von X zu $H_{1}$ und $H_{2}$ bezeichnen (siehe **Abbildung 1**). Nach der Linsengleichung besteht zwischen $g,\ b,\ f$ die Beziehung:
$$
\begin{equation}
\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}.
\end{equation}
$$
Mit dem Abbildungsmaßstab $\beta$ (siehe Gleichung **(2)**) lässt sich Gleichung **(5)** wie folgt umformen:
Unter Verwendung der Gleichungen **(4)** und **(6)** lässt sich somit der folgende funktionale Zusammenhang zwischen $x\ (x')$, $f$ und $h_{x}\ (h'_{x})$ herstellen:
Die Bestimmung von $f,\ h_{x},\ h_{x}'$ läuft nun wie folgt ab:
- Sie variieren den Abstand $x$. Dabei variieren Sie effektiv $g$, während $h_{x}$ durch die feste Wahl von X immer gleich bleibt. Beachten Sie die Lage des Nullpunkts in X, demnach ist $x$ mit negativem und $x'$ mit positivem Vorzeichen zu messen.
- Justieren Sie zu jedem gewählten Wert von $x$ den Abstand des Schirms $x'$, so dass B wieder scharf darauf abgebildet wird. Beachten Sie die Unsicherheiten auf $x$ und $x'$.
- Bestimmen Sie den Abbildungsmaßstab $\beta$ zu jedem Wertepaar, bestehend aus $x$ und $x'$. Berechnen Sie die Unsicherheiten auf $\beta$ in jedem Punkt aus den Unsicherheiten auf $G$ und $B$, mittels linearer Fehlerfortpflanzung.
Zwar sind $g$ und $b$ nicht bekannt, $\beta$ kann aber aus $G$ und $B$ bestimmt werden. Dazu können Sie zwei mögliche Wege der Auswertung beschreiten:
### Methode 1:
Trägt man $x(f, h_{x})$ als Funktion von $(1+1/\beta)$ und $x^\prime(f, h^\prime_{x})$ als Funktion von $(\beta+1)$ auf sollte sich jeweils ein linearer Zusammenhang ergeben, aus dem sich $f$ als Steigung und $h_{x}\ (h'_{x})$ als Achsenabschnitt ablesen lassen. Durch Anpassung zweier unabhängiger Modelle nach Gleichung **(7)** erhalten Sie jeweils einen Wert für $h_x$ und $h^\prime_x$ und zwei unabhängige Werte für $f$. Die Werte für $f$ sollten innerhalb ihrer Unsicherheiten übereinstimmen.
### Methode 2:
Mit Hilfe der `MultiFit`-Funktion aus dem Programm-Paket *kafe2* können Sie $f,\ h_{x},\ h_{x}^\prime$ **gleichzeitig** anpassen. Sie nutzen dabei den Vorteil, dass beide Messreihen zur Bestimmung des gemeinsamen Parameters $f$ beitragen können. Ein Beispiel für die Nutzung finden Sie in der offiziellen Dokumentation des Programmpakets *kafe2*[hier](https://kafe2.readthedocs.io/en/latest/parts/beginners_guide.html#multifit). Eine lauffähige Adaption mit weiteren Erklärungen finden im `tools`-Verzeichnis dieses Repositories [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/tools/kafe2_example_MultiFit.ipynb).
Zur Implementierung eines geeigneten Objekts der `MultiFit`-Klasse sollten Sie, wie oben beschrieben, zwei `XYFit`-Objekte zu den Modellen aus Gleichung **(7)** definieren. Geben Sie für jedes `XYFit`-Objekt auch die Unsicherheiten auf $\beta$ individuell an. Da es sich für jede Messung um neu aufgenommene Messpunkte handelt sind die Unsicherheiten zu verschiedenen `XYFit`-Objekten (im Gegensatz zum oben verlinkten Beispiel einer Strom-Spannungs Kennlinie) **nicht korreliert**.
Sowohl $h_{x}$ als auch $h_x^{\prime}$ können sowohl positive als auch negative Werte annehmen, je nachdem ob sich die entsprechende Hauptebene links oder rechts von X befindet. Aus $h_{x}$ und $h_{x}^{\prime}$ lässt sich der Abstand der Hauptebenen
$$
\begin{equation*}
a=h_x^\prime-h_x
\end{equation*}
$$
bestimmen, der von der Wahl von X unabhängig ist. Die Angabe von $a$ ist Bestandteil der Aufgabenstellung! Sie können $a$ auch direkt in Ihrem Modell implementieren, indem Sie z.B. $h_x^\prime$ als $h_x^\prime=a+h_x$ ausdrücken.
### Bestimmung von $f_{1},\ f_{2}$
- Tragen Sie zur Lösung dieser Aufgabe die Kehrwerte der ermittelten Werte von $f$ als Funktion von $d$ auf.
- Passen Sie das Modell einer Geraden an, aus dem Sie $f_{1}$ und $f_{2}$ aus Steigung und Achsenabschnitt bestimmen können. Bestimmen Sie die Unsicherheiten auf $f_{1}$ und $f_{2}$ aus linearer Fehlerfortpflanzung.
- Alternativ können Sie Gleichung **(1)** als Modell für die Anpassung verwenden und $f_{1}$ und $f_{2}$ mit entsprechenden Unsicherheiten direkt aus der Anpassung bestimmen.
## Essentials
Was Sie ab jetzt wissen sollten:
- Die **Begriffe der paraxialen Optik** sollten Ihnen geläufig sei.
- Sie sollten Gleichung **(1)** kennen und verstehen und **Abbildung 1** frei zeichnen können.
- Der **Ablauf des Bessel-Verfahrens** sollte Ihnen klar sein.
## Testfragen
1. Wie ist B relativ zu G orientiert?
1. Was passiert, wenn Sie $a$ zu groß wählen?
1. Was passiert für die Fälle $a=4\,f$ und $a<4\,f$?
1. Worin bestehen die größten Unsicherheiten in der Bestimmung von $f$ bei diesem Verfahren?
