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Geometrische_Optik/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md

-# Hinweise für den Versuch Geometrische Optik
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-## Aufgabe 2: Vermessung eines Zweilinsensystems $L$ [2/5]
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-### Bestimmung von $H_{1}$, $H_{2}$ und $f$
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-Wir beschreiben zunächst die Bestimmung von $f$, sowie der Lagen von $H_{1}$ ($h_{x}$) und $H_{2}$ ($h_{x}'$). 
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-Da die Lage von $H_{1}$ nicht als bekannt vorausgesetzt werden kann bestimmen wir den Abstand von $G$ relativ zu einem **frei gewählten Bezugspunkt** $X$ (Marker $X$ in [Skizze 3](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Geometrische_Optik/figures/AbbeVerfahren.png)), dessen Position auf der optischen Achse wir gleichzeitig als Nullpunkt festlegen. In [Skizze 3](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Geometrische_Optik/figures/AbbeVerfahren.png) haben wir $X$ beliebig zwischen $L_{1}$ und $L_{2}$ gewählt. Für den Versuch sollten Sie $X$ vielleicht am besten exakt zwischen $L_{1}$ und $L_{2}$, in der Mitte des Messingzylinders wählen. Die Abstände von $G$ und $B$ zu $X$ bezeichnen wir als
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-$$
-\begin{equation}
-\begin{split}
-&\overline{GX}:\quad x\hphantom{^{\prime}} = g+h_{x}, \\
-&\overline{XB}:\quad x' = b+h'_{x},
-\end{split}
-\end{equation}
-$$
-wobei $h_{x}$ und $h'_{x}$ die unbekannten Abstände von $X$ zu $H_{1}$ und $H_{2}$ bezeichnen (siehe [Skizze 3](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Geometrische_Optik/figures/AbbeVerfahren.png)). Nach der Linsengleichung besteht zwischen $g$, $b$, $f$ die Beziehung: 
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-$$
-\begin{equation}
-\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}.
-\end{equation}
-$$
-Mit dem Abbildungsmaßstab $\beta$ (Gleichung **(2)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Geometrische_Optik/doc/Hinweise-Aufgabe-2.md)) lässt sich Gleichung **(2)** wie folgt umformen: 
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-$$
-\begin{equation}
-\begin{split}
-&\frac{1}{f} = \frac{1}{g}\left(1+\frac{1}{\beta}\right); \qquad
-\frac{1}{f} = \frac{1}{b}\left(\beta+1\vphantom{\frac{1}{\beta}}\right). \\
-\end{split}
-\end{equation}
-$$
-Unter Verwendung der Gleichungen **(1)** und **(3)** lässt sich somit der folgende funktionale Zusammenhang zwischen $x$ ($x'$), $f$ und $h_{x}$ ($h'_{x}$) herstellen: 
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-$$
-\begin{equation}
-\begin{split}
-&x(\beta; f, h_{x}) = f\left(1+\frac{1}{\beta}\right)+h_{x}; \\
-&\\
-&x'(\beta; f, h_{x}') = f\left(\beta+1\vphantom{\frac{1}{\beta}}\right)+h'_{x}; \\
-\end{split}
-\end{equation}
-$$
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-# Navigation
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- [Zurück](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Geometrische_Optik/doc/Hinweise-Aufgabe-2.md) | [Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Geometrische_Optik) | [Weiter](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Geometrische_Optik/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md)

Geometrische_Optik/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md

-# Hinweise für den Versuch Geometrische Optik
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-## Aufgabe 2: Vermessung eines Zweilinsensystems $L$ [3/5]
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-### Bestimmung von $H_{1}$, $H_{2}$ und $f$
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-Die Bestimmung von $f$, $h_{x}$ und $h_{x}'$ läuft nun wie folgt ab: 
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-- Sie variieren den Abstand $x$. Dabei variieren Sie effektiv $g$, während $h_{x}$ durch die feste Wahl von $X$ immer gleich bleibt. Beachten Sie die Lage des Nullpunkts in $X$, demnach ist $x$ mit negativem und $x'$ mit positivem Vorzeichen zu messen.
-- Justieren Sie zu jedem gewählten Wert von $x$ den Abstand des Schirms $x'$, so dass $B$ wieder scharf darauf abgebildet wird. Beachten Sie die Unsicherheiten auf $x$ und $x'$.  
-- Bestimmen Sie den Abbildungsmaßstab $\beta$ zu jedem Wertepaar, bestehend aus $x$ und $x'$. Berechnen Sie die Unsicherheiten auf $\beta$ in jedem Punkt aus den Unsicherheiten auf $G$ und $B$, mittels linearer Fehlerfortpflanzung. 
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-Zwar sind $g$ und $b$ nicht bekannt, $\beta$ kann aber aus $G$ und $B$ bestimmt werden. Dazu können Sie zwei mögliche Wege der Auswertung beschreiten: 
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-#### Methode 1:
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-Trägt man $x(f, h_{x})$ als Funktion von $(1+1/\beta)$ und $x^\prime(f, h^\prime_{x})$ als Funktion von $(\beta+1)$ auf sollte sich jeweils ein linearer Zusammenhang ergeben, aus dem sich $f$ als Steigung und $h_{x}$ ($h'_{x}$) als Achsenabschnitt ablesen lassen. Durch Anpassung zweier unabhängiger Modelle nach Gleichung (**(4)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Geometrische_Optik/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)) erhalten Sie jeweils einen Wert für $h_x$ und $h^\prime_x$ und zwei unabhängige Werte für $f$. Die Werte für $f$ sollten innerhalb ihrer Unsicherheiten übereinstimmen.  
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-#### Methode 2:
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-Mit Hilfe der `MultiFit`-Funktion aus dem Programm-Paket *kafe2* können Sie $f$, $h_x$ und $h_x^\prime$ **gleichzeitig** anpassen. Sie nutzen dabei den Vorteil, dass beide Messreihen zur Bestimmung des gemeinsamen Parameters $f$ beitragen können. Ein Beispiel für die Nutzung finden Sie in der offiziellen Dokumentation des Programmpakets *kafe2* [hier](https://kafe2.readthedocs.io/en/latest/parts/beginners_guide.html#multifit). Eine lauffähige Adaption mit weiteren Erklärungen finden im `tools`-Verzeichnis dieses Repositories [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/tools/kafe2_example_MultiFit.ipynb).
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-Zur Implementierung eines geeigneten Objekts der `MultiFit`-Klasse sollten Sie, wie oben beschrieben, zwei `XYFit`-Objekte zu den Modellen $x(f, \beta, h_x)$ und $x^\prime(f, \beta, h^\prime_x)$ aus Gleichung (**(4)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Geometrische_Optik/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)) definieren. Geben Sie für jedes `XYFit`-Objekt auch die Unsicherheiten auf $\beta$ individuell an. Da es sich für jede Messung um neu aufgenommene Messpunkte handelt sind die Unsicherheiten zu verschiedenen `XYFit`-Objekten (im Gegensatz zum oben verlinkten Beispiel einer Strom-Spannungs Kennlinie) **nicht korreliert**. 
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-Sowohl $h_x$ als auch $h_x^\prime$ können sowohl positive als auch negative Werte annehmen, je nachdem ob sich die entsprechende Hauptebene links oder rechts von $X$ befindet. Aus $h_x$ und $h_x^\prime$ lässt sich der Abstand der Hauptebenen $a=h_x^\prime-h_x$ bestimmen, der von der Wahl von $X$ unabhängig ist. Die Angabe von $a$ ist Bestandteil der Aufgabenstellung! Sie können $a$ auch direkt in Ihrem Modell implementieren, indem Sie z.B.  $h_x^\prime$ als $h_x^\prime=a+h_x$ ausdrücken. 
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Geometrische_Optik/doc/Hinweise-Aufgabe-2-c.md

-# Hinweise für den Versuch Geometrische Optik
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-## Aufgabe 2: Vermessung eines Zweilinsensystems $L$ [4/5]
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-### Bestimmung von $f_{1}$ und $f_{2}$
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-- Tragen Sie zur Lösung dieser Aufgabe die Kehrwerte der ermittelten Werte von $f$ als Funktion von $d$ auf. 
-- Passen Sie das Modell einer Geraden an, aus dem Sie $f_{1}$ und $f_{2}$ aus Steigung und Achsenabschnitt bestimmen können. Bestimmen Sie die Unsicherheiten auf $f_{1}$ und $f_{2}$ aus linearer Fehlerfortpflanzung. 
-- Alternativ können Sie (Gleichung **(1)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Geometrische_Optik/doc/Hinweise-Aufgabe-2.md)) als Modell für die Anpassung verwenden und $f_{1}$ und $f_{2}$ mit dentsprechenden Unsicherheiten direkt aus der Anpassung bestimmen.
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-#### Bonusaufgabe:
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-Als weitere Alternative können Sie wieder die `MultiFit`-Funktion aus dem Programm-Paket *kafe2* zur **gleichzeitigen** Bestimmung von $f$, $f_{1}$ und $f_{2}$ verwenden. Zur Beschreibung dieser Methode gehen wir, zur Vereinfachung, davon aus, dass Sie $X$ exakt zwischen $L_{1}$ und $L_{2}$ gewählt haben. In diesem Fall liegen die Scheitelpunkte der Linsen bei $\pm d/2$ und Sie können $h_{x}$ und $h_{x}'$ aus (Gleichung **(3)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Geometrische_Optik/doc/Hinweise-Aufgabe-2.md)), wie folgt bestimmen:
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-\begin{equation}
-\begin{split}
--\frac{d}{2}-h_{x} = h_{1} = -\frac{f\,d}{f_{1}}\qquad &\longrightarrow \qquad h_{x} = \hphantom{-}\frac{f\,d}{f_{1}}-\frac{d}{2};\\
-\frac{d}{2}-h_{x}' = h_{2} = \hphantom{-}\frac{f\,d}{f_{2}} \qquad &\longrightarrow \qquad h_{x}' =  -\frac{f\,d}{f_{2}} + \frac{d}{2}. \\
-\end{split}
-\end{equation}
-$$
-Wenn Sie $h_{x}$ und $h_{x}'$ in Ihrem Modell aus (Gleichung **(4)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Geometrische_Optik/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md)) entsprechend einsetzen 
-$$
-\begin{equation}
-\begin{split}
-&x(\beta; f, f_{1}, d) = f\left(1+\frac{1}{\beta}\right)+d\left(\frac{f}{f_{1}}-\frac{1}{2}\right); \\
-&\\
-&x'(\beta; f, f_{2}, d) = f\left(\beta+1\vphantom{\frac{1}{\beta}}\right)-d\left(\frac{f}{f_{2}}- \frac{1}{2}\right), \\
-\end{split}
-\end{equation}
-$$
-können Sie aus der Anpassung $f_{1}$, $f_{2}$ und $f$ gemeinsam bestimmen. Gehen Sie bei der Definition des Modells mit Hilfe der `MultiFit`-Funktion nun wie folgt vor: 
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-- Sie haben Messungen für 5 verschiedene Linsenabstände $d^{j}\hspace{0.05cm}j=1\ldots5$ vorgenommen. Durch die Variation von $d$ ergeben sich 5 verschiedene Brennweiten $f^{j}$ des Zweilinsensystems, die Brennweiten $f_{1}$ und $f_{2}$ der einzelnen Linsen sind zu bestimmen und bleiben in allen Fällen gleich.  
-- Sie definieren für jeden festen Wert von $d^{j}$ jeweils zwei `XYFit`-Objekte zu den Modellen aus Gleichung **(2)**. Ein solches Objekt basiert jeweils auf 5 Messpunkten $\bigl(x_{i}^{(\prime )\hspace{0.05cm}j},\hspace{0.05cm}\beta^{j}\bigr)$. Zusammenfassend erhalten Sie daraus $2\times5=10$ `XYFit`-Objekte basierend auf insgesamt 50 Messpunkten $\bigl(x_{i}^{(\prime )\hspace{0.05cm}j},\hspace{0.05cm}\beta_{i}^{j}\bigr)$ **zur gleichzeitigen Bestimmung von 7 Parametern**. Beachten Sie, dass Sie zusätzlich zu $f_{1}$ und $f_{2}$ fünf verschiedene Werte $f^{j}$ bestimmen. 
-- Fügen Sie als weiteres Modell (Gleichung **(1)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Geometrische_Optik/doc/Hinweise-Aufgabe-2.md)) zur `MultiFit`-Instanz zu, wobei die $d^{j}$ weiteren Messungen entsprechen und die $f^{j}$ aus zuvor definierten `XYFit`-Objekten zu gegebenem $d^{j}$ bestimmt werden.  
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-Hierbei handelt es isch um eine recht anspruchsvole Anpassung deren Gelingen nicht garantiert ist. **Diese Methode zur Bestimmung von $f$, $f_{1}$ und $f_{2}$ ist ersetzt die oben beschriebene Methode.**
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