" * Stellen Sie die [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Gekoppelt-Auswertung.md) definierten Größen $\\omega_{1}\\pm\\Delta\\omega_{1},\\ \\omega_{1}'\\Delta\\omega_{1}',\\ \\omega_{2}\\Delta\\omega_{2},\\ \\omega_{2}'\\Delta\\omega_{2}'$ geeignet in einem Diagramm dar.\n",
" * Überprüfen Sie die Korrektheit der Gleichungen **(5)** und **(6)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Gekoppelt.md). \n",
"\n",
"**Ein Beispiel dafür, wie Sie die den $p$-Wert aus der $\\chi^{2}(x,2)$-Funktion bestimmnen können finden Sie [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/tools/chi2.ipynb).**\n",
"**Ein Beispiel dafür, wie Sie die den $p$-Wert aus der $\\chi^{2}(x,2)$-Funktion bestimmnen können finden Sie [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/tools/manualDAQ.ipynb).**\n",
**Beachten Sie, dass der Radius $r$ der Kugel kein Bestandteil der Angaben im [Datenblatt](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/Datenblatt.md) zum Versuch ist. Sie müssen $r$ also während Ihrer Messungen bestimmen.**
Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:
* Messen $T_{0}(\varphi_{0})$ fortlaufend, beginnend bei $\varphi_{0}\gtrsim60^{\circ}$. Aufgrund der Dämpfung des Pendels verringert sich $\varphi_{0}$ mit der Zeit von selbst. Gehen Sie dabei wie folgt vor:
***Bestimmen Sie $T_{0}(\varphi_{0})$** aus einer geeigneten Anzahl an fortlaufenden Perioden.
* Wählen Sie z.B. 3–5 Perioden pro Messpunkt. Schätzen Sie **entsprechende Unsicherheiten** $\Delta T_{0}$ ab!
* Warten Sie dann bis $\varphi_{0}$ um etwa $5^{\circ}$ abgenommen hat und bestimmen Sie einen neuen Wert von $T_{0}(\varphi_{0})$.
* Schätzen Sie geeignete Unsicherheiten $\Delta\varphi_{0}$ ab.
* Nehmen Sie auf diese Weise eine **Messreihe mit 12 Punkten** auf.
***Protokollieren** Sie:
* Alle aufgenommenen **Wertepaare $(\varphi_{0}, T_{0})$** mit entsprechenden Unsicherheiten auf $\Delta\varphi_{0}$ und $\Delta T_{0}$!
* Stellen Sie die Datenpunkte in geeigneter Weise graphisch dar.
* Passen Sie ein **geeignetes Modell basierend auf Gleichung (5) [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Faden.md)** an die Daten an und überprüfen Sie die Anwendbarkeit mit Hilfe des $\chi^{2}$-Werts der Anpassung.
**Ein Beispiel für die effiziente, manuelle Aufnahme von Messpunkten ins Jupyter-notebook finden Sie [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/tools/manualDAQ.ipynb).**
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Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Faden](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Faden.md).
Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:
* Wählen Sie für die Bestimmung von $g$ einen **geeigneten Winkel $\varphi_{0}$**.
* Lassen Sie das Pendel los und **messen Sie fortlaufend**.
* Bestimmen Sie die **Zeitpunkte $t_{i}$ nach jeweils 2 Perioden** der Schwingung.
* Bestimmen Sie auf diese Weise mindestens **10 Messpunkte $(i, t_{i})$**.
* Schätzen Sie eine geeignete Unsicherheit $\Delta t_{i}$ ab.
***Protokollieren** Sie:
* Beschreiben Sie Ihr Vorgehen.
* Alle **Messpunkte $(i, t_{i})$** mit entsprechenden Unsicherheiten $\Delta t_{i}$.
* Tragen Sie $t_{i}$ gegen $2\,i$ auf und passen Sie ein **geeigentes Modell** basierend auf Gleichung **(4)**[hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Faden.md) an dei Daten an.
* Erlauben Sie in Ihrem Modell **ggf. zusätzliche Freiheitsgrade**, wie z.B. einen *Offset* $\delta$ für die Zeitmessung mit der Messautomatik.
* Beurteilen Sie die Anwendbarkeit des Modells mit Hilfe des $\chi^{2}$-Werts aus der Anpassung.
* Bestimmen $g\pm\Delta g$ aus der Anpassung.
* Beurteilen Sie ggf. die **Signifikanz von $\delta$ und weiterer zusätzlicher Freiheitsgrade** in Ihrem Modell.
* Beurteilen Sie die **Übereinstimmung der Messung** von $g\pm\Delta g$ mit Ihrer Erwartung.
* Diskutieren Sie den Einfluss der Dämpfung.
* Diskutieren Sie den Einfluss der endlichen Ausdehnung der Kugel, den Sie relativ zum mathematischen Pendel erwarten.
* Diskutieren Sie den Einfluss der Kleinwinkelnäherung, den Sie aus Gleichung **(5)**[hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Faden.md) erwarten.
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Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Faden](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Faden.md).
Bearbeiten Sie im Rahmen Ihrer Erläuterungen zur Funktionsweise des Reversionspendels die folgenden Aufgaben:
* Berechnen Sie aus dem einfachen Modell eines dünnen Stabs mit den Abmessungen des im Praktikum verwendeten Pendels **konkrete Werte für $\Theta$, $s$ und $\ell_{r}$**.
* Das Pendel im Praktikum besteht nicht nur aus einem dünnen Stab. Es besitzt Halterungen, um K und K' zu fixieren. Wie groß sind, Ihrer Erwartung nach, die **Abweichungen dieses *realen* Pendels von der oben gemachten, vereinfachenden Annahme eines dünnen Stabs**, für die berechneten Werte?
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Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in der Datei [Hinweise-Reversion](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Reversion.md).
* Zur Messung wird eine **Lichtschranke zur Zeiterfassung** benutzt. Beachten Sie, dass eine Messung nur bei offener Schranke, d.h. wenn die Leuchtdiode an der Schranke rot leuchtet, gestartet werden kann.
* Justieren Sie die Lichtschranke sorgfältig, so dass die Messautomatik wirklich die **Nulldurchgänge der Schwingung** zählt.
* Sie können als **relative Unsicherheit für die Zeitmessung $\Delta t/t=\pm 0.2\%$** wählen.
* Achten Sie darauf, dass das Pendel während der Schwingung nicht anstößt.
#### Aufnahme der Messpunkte zur Bestimmung von $\ell_{r}$
Gehen Sie bei der Aufnahme der Messpunkte wie folgt vor:
***Verschieben Sie K'** in einem Intervall um den in **Aufgabe 2.1** abgeschätzten Wert von $\ell_{r}$ und messen Sie $d$, als den Abstand zwischen K und K'. Schätzen Sie eine geeignete Unsicherheit $\Delta d$ ab.
* Bestimmen Sie für, so ermittelte, feste Werte von $d$ die **Periode $T_{0}$** für das Pendel auf dem Auflagepunkt $A$ (siehe **Abbildung 1a**[hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Reversion.md)).
* Drehen Sie dann das Pendel um und bestimmen Sie für den gleichen Wert von $d$ die **Periode $T_{0}^{\prime}$** für das Pendel auf dem Auflagepunkt A' (siehe **Abbildung 1b**[hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Reversion.md)).
* Beschränken Sie sich auf kleine Auslenkungen des Pendels, so dass die Kleinwinkelnäherung anwendbar ist (siehe **Aufgabe 1**).
* Nehmen Sie auf diese Weise **10-12 Messpunkte für verschiedene Werte von $d$** im Bereich des nach **Aufgabe 2.1** von Ihnen erwarteten Werts von $\ell_{r}\pm5\,\mathrm{cm}$, jeweils in Schritten von nicht mehr als $1\,\mathrm{cm}$.
* In der näheren Umgebung des von Ihnen erwarteten Werts von $\ell_{r}$ können Sie die Messpunkte etwas dichter setzen.
***Protokollieren** Sie:
* Beschreiben Sie Ihr vorgehen, ggf. mit Skizze.
* Die **Werte $(d,T_{0}, T_{0}^{\prime})$** mit entsprechenden Unsicherheiten $\Delta d$, $\Delta T_{0}$ und $\Delta T_{0}^{\prime}$.
* Stellen Sie die Datenpunkte $(d_{i},T_{0}(d_{i}))$ und $(d_{i},T_{0}'(d_{i}))$ mit entsprechenden Unsicherheiten im gleichen Diagramm dar.
* Passen Sie jeweils die **Modelle für $T_{0}$ und $T_{0}'$ aus Gleichung (1) [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Auswertung.md)** an die entsprechenden Datenpunkte beider Messreihen an. Die angepassten Kurven sollten einen Schnittpunkt aufweisen.
* Überprüfen Sie die Anwendbarkeit der Modelle aus Gleichungen **(1)**[hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Auswertung.md) mit Hilfe der jeweiligen $\chi^{2}$-Werte der Anpassungen.
* Stellen Sie, zur Bestimmung von $\ell_{r}$ die Messpunkte $(d_{i},D(d_{i}))$ mit $D(d_{i}) = T_{0}(d_{i})-T_{0}'(d_{i})$ in einem gesonderten Diagramm dar. Vergessen Sie nicht die Unsicherheiten auf $D(d_{i})$ entsprechend fortzupflanzen.
* Passen Sie an diese Datenreihe das **Modell für $T_{0}'$ aus Gleichung (1) [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Auswertung.md)** an.
* Überprüfen Sie die Anwendbarkeit des Modells mit Hilfe des $\chi^{2}$-Werts der Anpassung.
* Fügen Sie Ihrem Protokoll die **Kovarianzmatrix der Anpassung** für die Parameter $\alpha,\,\beta,\,\gamma$ bei.
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Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in den Dateien [Hinweise-Reversion](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Reversion.md) und [Hinweise-Reversion-Auswertung](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Reversion-Auswertung.md).
Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:
* Stellen Sie für die zwei baugleichen Pendel P1 und P2 durch Verschieben einer der Pendelscheiben **gleiche Perioden $T_{0}$** her.
* Bestimmen Sie hierzu für jedes Pendel einzelne Werte $T_{0}^{(i)}$ jeweils aus mindestens 2 Perioden.
* Nehmen Sie **mindestens 5 Messwerte** auf und bestimmen Sie $T_{0}$ und $\Delta T_{0}$ aus Stichprobenmittel und Stichprobenvarianz.
***Koppeln Sie die Pendel** mit Hilfe einer Schraubenfeder (mit der Federkonstanten $k$) in jeweils gleichem Abstand $\ell$ von den Aufhängepunkten der Pendel.
* Achten Sie beim Koppeln der Pendel darauf, dass die koppelnde Schraubenfeder nicht unter Spannung steht. Koppeln Sie beide Pendel auf gleicher Höhe $\ell$.
* Führen Sie dann das folgende Messprogramm durch:
* Bestimmen Sie die **Perioden $T_{1}$ und $T_{2}$ der Fundamentalschwingungen** (bei denen keine Schwebung auftritt).
* Gehen Sie hierzu vor, wie bei der Bestimmung der Perioden $T_{0}$.
* Wiederholen Sie die Messungen bei verändertem Abstand $\ell'$.
***Protokollieren** Sie:
* Beschreiben Sie Ihr Vorgehen, jeweils mit Skizzen!
* Die Werte für $T_{0}^{(i)}$ zur Bestimmung von $T_{0}$ für P1 und P2.
* Die ermittelten **Werte $T_{0}\pm\Delta T_{0}$ für P1 und P2**.
* Fügen Sie Ihrem Protokoll eine Aussage über die **Übereinstimmung beider Perioden** zu.
* Die Werte $T_{1,2}^{(i)}$ zur Bestimmung von $T_{1,2}$, jeweils für $\ell$ und $\ell'$.
* Die ermittelten **Werte von $T_{1,2}\pm\Delta T_{1,2}$**, jeweils für $\ell$ und $\ell'$.
* Diskutieren Sie Ihre Ergebnisse für $T_{0},\ T_{1}(\ell),\ T_{2}(\ell),\ T_{1}(\ell'),\ T_{2}(\ell')$.
* Bestimmen Sie für $\ell$ und $\ell'$ aus $T_{1,2}\pm\Delta T_{1,2}$ jeweils die Werte für $\omega_{1,2}\pm\omega_{1,2}$.
* Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells eines physikalischen Pendels aus $\omega_{1}\pm\omega_{1}$ das **Trägheitsmoment $\Theta$** und vergleichen Sie das Ergebnis mit Ihrer Erwartung aus den geometrischen Abmessungen und Massen der Pendel.
* Berechnen Sie aus $\omega_{2}$ die **Federkonstante $k$** der koppelnden Feder.
* Verwenden Sie für die Bestimmung sowohl von $\Theta$, also auch von $k$ **alle zur Verfügung stehenden Daten** aus den Messreihen für $\ell$ und $\ell'$.
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Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in den Dateien [Hinweise-Gekoppelt](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Gekoppelt.md).
Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:
* Hängen Sie die Feder hierzu senkrecht auf.
* Führen Sie zwei alternative Bestimmung von $k$ durch.
* Mit Hilfe des **Hook'schen Gesetzes**:
* Versehen Sie hierzu die Feder mit verschiedenen bekannten Massen $m_{i}$.
* Unter Verwendung der koppelnden Feder als **Federpendel**.
* Belasten Sie hierzu die Feder mit einer bekannten Masse Ihrer Wahl.
* Versetzen Sie die Feder in senkrechte Schwingung und bestimmen Sie die Periode $T_{0}$ der Schwingung.
* Gehen Sie hierzu wie für **Aufgabe 3.1** vor
***Protokollieren** Sie:
* Beschreiben Sie Ihr Vorgehen, jeweils mit Skizzen!
* Die **Wertepaare $(m_{i}, \mathrm{d}z_{i})$** mit entsprechenden Unsicherheiten $\Delta m_{i}$ und $\Delta(\mathrm{d}z)$.
* Für die Unsicherheiten auf die $m_{i}$ können Sie $\Delta m_{i}=\pm 0.5\,\mathrm{g}$ annehmen.
* Stellen Sie die Messwerte $(m_{i}, \mathrm{d}z_{i})$ geeignet dar, und passen Sie ein **geeignetes Modell** an.
* Beurteilen Sie die Anwendbarkeit dieses Modells mit Hilfe des $\chi^{2}$-Werts der Anpassung.
***Den Wert $k_{\mathrm{H}}\pm\Delta k_{\mathrm{H}}$** aus der Anpassung.
***Die Periode $T_{\mathrm{PF},0}\pm\Delta T_{\mathrm{PF},0}$** des Federpendels.
* Den aus $T_{\mathrm{PF},0}$ ermittelten **Wert $k_{\mathrm{FP}}\pm\Delta k_{\mathrm{FP}}$**.
* Vergleichen Sie alle hier und in im Rahmen von **Aufgabe 3.1** bestimmten Werte für $k$ innerhalb Ihrer Unsicherheiten und beurteilen Sie, welches die genaueste Methode zur Bestimmung von $k$ ist.
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Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in den Dateien [Hinweise-Gekoppelt](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Gekoppelt.md).
Gehen Sie zur Bearbeitung dieser Aufgabe wie folgt vor:
* Achten Sie bei der Bestimmung von $\overline{T}$ und $\widetilde{T}$ darauf, dass Sie einen der Abstände für $\ell$ wie in **Aufgabe 3.1** wählen.
* Lenken Sie P1 (unter kleinem Winkel $\varphi_{0}$) aus und halten Sie P2 ruhig.
* Lassen Sie dann P1 los und versetzen Sie die gekoppelten Pendel so in Schwebung.
* Bestimmen Sie $\overline{T}$ und $\widetilde{T}$, wie in **Aufgabe 3.1**.
* Sie können $\widetilde{T}$ als die Zeitspanne bestimmen, in der P2 wieder zur Ruhe kommt.
***Protokollieren** Sie:
* Beschreiben Sie Ihr Vorgehen, jeweils mit Skizzen!
* Die **Werte $\overline{T}^{(i)}$ und $\widetilde{T}^{(i)}$** zur Bestimmung von $\overline{T}$ und $\widetilde{T}$.
* Die **Werte $\overline{T}\pm\Delta\overline{T}$ und $\widetilde{T}\pm\Delta\widetilde{T}$**.
* Bestimmen Sie aus den Perioden jeweils die Kreisfrequenzen $\overline{\omega}$ und $\widetilde{\omega}$.
* Stellen Sie die [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Gekoppelt-Auswertung.md) definierten Größen $\omega_{1}\pm\Delta\omega_{1},\ \omega_{1}'\Delta\omega_{1}',\ \omega_{2}\Delta\omega_{2},\ \omega_{2}'\Delta\omega_{2}'$ geeignet in einem Diagramm dar.
* Überprüfen Sie die Korrektheit der Gleichungen **(5)** und **(6)**[hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Gekoppelt.md).
**Ein Beispiel dafür, wie Sie die den $p$-Wert aus der $\chi^{2}(x,2)$-Funktion bestimmnen können finden Sie [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/tools/chi2.ipynb).**
**Ein Beispiel dafür, wie Sie die den $p$-Wert aus der $\chi^{2}(x,2)$-Funktion bestimmnen können finden Sie [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/tools/manualDAQ.ipynb).**
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Weitere Details zur Vorbereitung auf diese Aufgabe finden Sie in den Dateien [Hinweise-Gekoppelt](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Gekoppelt.md) und [Hinweise-Gekoppelt-Auswertung](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Pendel/doc/Hinweise-Gekoppelt-Auswertung.md).
