restructuring of files

Pendel/doc/Hinweise-Auswertung.md

@@ -22,9 +22,9 @@ mit den freien Parametern $\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \beta',\ \gamma'$. Die ange
 
 Tragen Sie, zur Bestimmung von $\ell_{r}$ die Messpunkte $(d_{i},D(d_{i}))$ mit 
 $$
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
 D(d_{i}) = T_{0}(d_{i})-T_{0}'(d_{i})
-\end{equation}
+\end{equation*}
 $$
 auf. Passen Sie an diese Datenreihe das Modell für $T_{0}'$ aus Gleichung **(1)** an. 
 

Pendel/doc/Hinweise-Gekoppelt.md

 # Hinweise für den Versuch Pendel
 
 
-## Aufgabe 3: Gekoppelte Pendel
+## Gekoppelte Pendel
 
 ### Bewegungsgleichungen gekoppelter Pendel
 
-Für diesen Versuch verwenden Sie zwei Pendel $P_{1}$ und $P_{2}$, die durch eine [Schraubenfeder](https://de.wikipedia.org/wiki/Feder_(Technik)) mit dem Direktionsmoment $D$ auf Höhe $\ell$ miteinander gekoppelt sind, wie in **Skizze 2** dargestellt: 
+Für diesen Versuch verwenden Sie zwei Pendel P1 und P2, die durch eine [Schraubenfeder](https://de.wikipedia.org/wiki/Feder_(Technik)) mit dem Direktionsmoment $D$ auf Höhe $\ell$ miteinander gekoppelt sind, wie in **Abbildung 2** gezeigt:
 
-<img src="../figures/GekoppeltePendelSkizze.png" width="500" style="zoom:100%;" />
+---
+
+<img src="../figures/GekoppeltePendelSkizze.png" width="1000" style="zoom:100%;" />
 
-**Skizze 2** (Schematische Skizze zweier gekoppelter Pendel $P_{1}$ und $P_{2}$)
+**Skizze 2** (Schematische Darstellung zweier gekoppelter Pendel P1 und P2)
 
 ---
 
@@ -41,7 +43,7 @@ $$
 \end{split}
 \end{equation}
 $$
-Das Gleichungssystem **(1)** ist gekoppelt, weil $\varphi_{1}$ in der Bewegungsgleichung zu $\varphi_{2}$ vorkommt und umgekehrt. Mit dem Lösungsansatz harmonischer Schwingungen:
+Das Gleichungssystem **(1)** ist gekoppelt, weil $\varphi_{1}$ in der Bewegungsgleichung zu $\varphi_{2}$ vorkommt und umgekehrt. Mit dem **Lösungsansatz harmonischer Schwingungen**:
 $$
 \begin{equation*}
 \varphi_{i} = \Phi_{i}\sin(\omega t+\phi)\qquad i=1,2
@@ -72,7 +74,7 @@ $$
 \end{split}
 \end{equation}
 $$
-Gleichung **(2)** entspricht einem Eigenwertproblem, dessen Lösung sich auf die Lösung des [charakteristischen Polynoms](https://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristisches_Polynom) zurückführen lässt, dass Sie aus der linearen Algebra kennen. Die Lösungen des charakteristischen Polynoms entsprechen den [Eigenmoden](https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenmode) der Anordnung, die in diesem Fall auch als **Fundamentalschwingungen** bezeichnet werden. 
+Gleichung **(2)** entspricht einem **Eigenwertproblem**, dessen Lösung sich auf die Lösung des [charakteristischen Polynoms](https://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristisches_Polynom) zurückführen lässt, dass Sie aus der linearen Algebra kennen. Die Lösungen des charakteristischen Polynoms entsprechen den [Eigenmoden](https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenmode) der Anordnung, die man in diesem Fall auch als **Fundamentalschwingungen** bezeichnet. 
 
 Man erhält das charakteristische Polynom aus 
 $$
@@ -104,12 +106,12 @@ $$
 \right).
 \end{equation*}
 $$
-### Lösungen der Bewegungsgleichungen
+### Lösungen
 
 Die physikalische Interpretation der Lösung von Gleichung **(2)** ist intuitiv: 
 
-- Im Fall der **Fundamentalschwingung mit $\boldsymbol{\omega_{1}}$** schwingen beide Pendel "in Phase", die koppelnde Schraubenfeder bleibt entspannt und das Direktionsmoment für beide Pendel enspricht effektiv $D_{\omega_{1}}=mgs$, so als wären $P_{1}$ und $P_{2}$ nicht gekoppelt. 
-- Im Fall der **Fundamentalschwingung mit $\boldsymbol{\omega_{2}}$** schwingen beide Pendel "gegenphasig", die koppelnde Feder bewirkt zusätzlich zum Schwerefeld $g$ ein maximales Hook'sches Direktionsmoment, das nach dem dritten Newtonschen Axiom ("actio gleich reactio") die Form $D_{\omega_{2}}=2\,k\,\ell^{2}$ hat.
+- Im Fall der **Fundamentalschwingung mit $\boldsymbol{\omega_{1}}$** schwingen beide Pendel in Phase, die koppelnde Schraubenfeder bleibt entspannt und das Direktionsmoment für beide Pendel entspricht effektiv $D_{\omega_{1}}=mgs$, so als wären P1 und P2 nicht gekoppelt. 
+- Im Fall der **Fundamentalschwingung mit $\boldsymbol{\omega_{2}}$** schwingen beide Pendel gegenphasig, die koppelnde Feder bewirkt zusätzlich zum Schwerefeld $g$ ein maximales Hook'sches Direktionsmoment, das nach dem dritten Newtonschen Axiom ("actio gleich reactio") die Form $D_{\omega_{2}}=2\,k\,\ell^{2}$ hat.
 
 Die allgemeine Lösung ist eine Superposition aus beiden [Eigenmoden](https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenmode):
 $$
@@ -140,25 +142,39 @@ $$
 \widetilde{\omega} = \frac{1}{2}(\omega_{2}-\omega_{1}).
 \end{equation}
 $$
-Dieser Verlauf ergibt sich aus einer geeigneten Anwendung der [trigonometrischen Additionstheoreme](https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Summen_zweier_trigonometrischer_Funktionen_(Identit%C3%A4ten)) auf Gleichung **(3)**. $A_{1/2}$ und $\phi_{1/2}$ sind durch die Randwerte des Problems festgelegt. Dem Phänomen der Schwebung werden Sie in mehreren P1 Versuchen begegnen. 
+Dieser Verlauf ergibt sich aus einer geeigneten Anwendung der [trigonometrischen Additionstheoreme](https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Summen_zweier_trigonometrischer_Funktionen_(Identit%C3%A4ten)) auf Gleichung **(3)**. $A_{1/2}$ und $\phi_{1/2}$ sind durch die Randwerte des Problems festgelegt.
 
-Wenn Sie z.B. zum Zeitpunkt $t=0$ $P_{1}$ in seiner Ruhelage festhalten und $P_{2}$ auslenken, wird die Schwingung mit der Zeit von $P_{2}$ nach $P_{1}$ übergehen, bis $P_{2}$ zum Stillstand kommt! Daraufhin wird die Schwingung mit $\overline{\omega}$ periodisch mit der Frequenz $\widetilde{\omega}$ zwischen $P_{1}$ und $P_{2}$ hin und her wandern.   
+Wenn Sie z.B. zum Zeitpunkt $t=0$ P1 in seiner Ruhelage festhalten und P2 auslenken, wird die Schwingung mit der Zeit von P2 nach P1 übergehen, bis P2 zum Stillstand kommt! Daraufhin wird die Schwingung mit $\overline{\omega}$ periodisch mit der Frequenz $\widetilde{\omega}$ zwischen P1 und P2 hin und her wandern.   
 
 ### Trägheitsmoment eines einzelnen Pendels
 
-Das Trägheitsmoment $\Theta_{P}$ eines einzelnen Pendels können Sie mit Hilfe des Satzes von Steiner, dem Trägheitsmoment $\Theta_{S}$ einer (um ihren Schwerpunkt rotierenden) Scheibe und dem Trägheitsmoment $\Theta_{\mathrm{Stab}}$ eines (um ein Ende rotierenden) dünnen Stabs abschätzen:
+Das Trägheitsmoment $\Theta_{\mathrm{P}}$ eines einzelnen Pendels können Sie mit Hilfe des Satzes von Steiner, dem Trägheitsmoment $\Theta_{\mathrm{S}}$ einer (um ihren Schwerpunkt rotierenden) Scheibe und dem Trägheitsmoment $\Theta_{\mathrm{Stab}}$ eines (um ein Ende rotierenden) dünnen Stabs abschätzen:
 $$
 \begin{equation*}
 \begin{split}
-&\Theta_{S} = \frac{1}{2}m_{S}\,r^{2}; \qquad
+&\Theta_{\mathrm{S}} = \frac{1}{2}m_{\mathrm{S}}\,r^{2}; \qquad
 \Theta_{\mathrm{Stab}}=\frac{1}{3}m_{\mathrm{Stab}}\,L_{\mathrm{Stab}}^{2}\\
 &\\
-&\Theta_{P} = \Theta_{\mathrm{Stab}}+\Theta_{S}+m_{S}\,L^{2}+m_{\kappa}\ell^{2},
+&\Theta_{\mathrm{P}} = \Theta_{\mathrm{Stab}}+\Theta_{\mathrm{S}}+m_{\mathrm{S}}\,L^{2}+m_{\kappa}\ell^{2},
 \end{split}
 \end{equation*}
 $$
-wobei $m_{S}$ der Masse der Scheibe, $L$ dem Abstand zwischen Aufhängung und dem Schwerpunkt der Scheibe, $r$ dem Radius der Scheide, $m_{\mathrm{Stab}}$ und $L_{\mathrm{Stab}}$ der Masse und Länge des Pendelstabs, $m_{\kappa}$ der Masse der Kopplung zur Befestigung der koppelnden Feder und $\ell$ dem Abstand zwischen den Kopplungen und der Aufhängung entsprechen. Bei einer solchen Abschätzung vernachlässigen Sie die Ausdehnung der Kopplung. 
+wobei $m_{\mathrm{S}}$ der Masse der Scheibe, $L$ dem Abstand zwischen Aufhängung und Schwerpunkt der Scheibe, $r$ dem Radius der Scheide, $m_{\mathrm{Stab}}$ und $L_{\mathrm{Stab}}$ der Masse und Länge des Pendelstabs, $m_{\kappa}$ der Masse der Kopplung zur Befestigung der koppelnden Feder und $\ell$ dem Abstand zwischen den Kopplungen und den Aufhängung der Pendel entsprechen. Bei einer solchen Abschätzung vernachlässigen Sie die Ausdehnung der Kopplung. 
+
+## Essentials
+
+Was Sie ab jetzt wissen sollten:
+
+- Sie sollten beschreiben können, wie Gleichung **(2)** zustande kommt und wie man sie löst.
+- Die **Frequenzen der Fundamentalschwingungen** zweier gekoppelter Pendel sollten Ihnen bekannt sein.
+- Die **Eigenmoden der Fundamentalschwingungen** sollten Ihnen anschaulich sein. 
+
+## Testfragen
+
+1. Durch welche Eigenschaft der Matrix in Gleichung **(2)** ist garantiert, dass dieses Problem immer zwei reelle Lösungen $\omega_{1}$ und $\omega_{2}$ besitzt? Um welche klasse von Eigenwertproblemen handelt es sich also?
+1. Wie kann man $\omega_{1}$ und $\omega_{2}$ aus $\overline{\omega}$ und $\widetilde{\omega}$ bestimmen?
+1. Kann im Fall des gekoppelten Pendels Entartung der Eigenwerte vorliegen?
 
 #  Navigation
 
-[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Pendel) | [Weiter](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Pendel/doc/Hinweise-Aufgabe-3-a.md)
+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Pendel)