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Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md

@@ -14,7 +14,7 @@ z = \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{||\Omega(\{\theta_{j}\}-r_{i}||_{2}^{2}}{\Delta r
 $$
 entspricht. Die Optimierungsaufgabe besteht darin, den kleinsten Wert von $z$ im Raum der Parameter $\{\theta_{j}\}$ zu finden. Diese Methode wird als "Methode der kleinsten Quadrate" oder $\chi^{2}$-Methode bezeichnet. Der Name leitet sich aus der folgenden Tatsache ab: 
 
-Interpretieren wir die $\{r_{i}\}$ als [Zufallsvariablen](https://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable), die nach einer allgemeinen [Wahrscheinlichkeitsdichte](https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion) verteilt sind, dann ist $z$, als Funktion von Zufallsvariablen, ebenfalls eine Zufallsvariable. Man bezeichnet $z$ allgemein als [Schätzfunktion](https://de.wikipedia.org/wiki/Sch%C3%A4tzfunktion), die wiederum selbst nach einer Wahrscheinlichkeitsdichte, der [Stichprobenverteilung](https://de.wikipedia.org/wiki/Sch%C3%A4tzfunktion#Stichprobenverteilung), verteilt ist. Im allgemeinen ist es nicht möglich für die Stichprobenverteilung eine mathematisch geschlossene Form anzugeben. Sind die $\{r_{i}\}$ aber *normalverteilt*, dann folgt die Zufallsvariable $z$ der [$\chi^{2}(z, n_{\mathrm{dof}})$-Verteilung](https://de.wikipedia.org/wiki/Chi-Quadrat-Verteilung)  für $n_{\mathrm{dof}}$ Freiheitsgrade, mit $n_{\mathrm{dof}}\equiv n-k$. Der Begriff [Freiheitsgrad](https://de.wikipedia.org/wiki/Anzahl_der_Freiheitsgrade_(Statistik)) leitet sich aus der folgenden beispielhaften Vorstellung ab: 
+Interpretieren wir die $\{r_{i}\}$ als [Zufallsvariablen](https://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable), die nach einer allgemeinen [Wahrscheinlichkeitsdichte](https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion) verteilt sind, dann ist $z$, das eine Funktion von Zufallsvariablen ist, ebenfalls eine Zufallsvariable. Man bezeichnet $z$ allgemein als [Schätzfunktion](https://de.wikipedia.org/wiki/Sch%C3%A4tzfunktion). Diese ist wiederum selbst nach einer Wahrscheinlichkeitsdichte, der [Stichprobenverteilung](https://de.wikipedia.org/wiki/Sch%C3%A4tzfunktion#Stichprobenverteilung), verteilt. Im allgemeinen ist es nicht möglich für die Stichprobenverteilung eine mathematisch geschlossene Form anzugeben. Sind die $\{r_{i}\}$ aber *normalverteilt*, dann folgt die Zufallsvariable $z$ der [$\chi^{2}(z, n_{\mathrm{dof}})$-Verteilung](https://de.wikipedia.org/wiki/Chi-Quadrat-Verteilung)  für $n_{\mathrm{dof}}$ Freiheitsgrade, mit $n_{\mathrm{dof}}\equiv n-k$. Der Begriff [Freiheitsgrad](https://de.wikipedia.org/wiki/Anzahl_der_Freiheitsgrade_(Statistik)) leitet sich aus der folgenden beispielhaften Vorstellung ab: 
 
 In der $xy$-Ebene wird eine Gerade durch zwei Datenpunkte $(x_{1}, y_{1})$ und $(x_{2}, y_{2})$ bestimmt. Das mathematische Modell zur Beschreibung einer Geraden, $\Omega(a_{0}, a_{1}, x): a_{1}\hspace{0.05cm}x+a_{0}=0$, besitzt zwei Parameter $a_{0}$ und $a_{1}$. Durch die Punkte $(x_{1}, y_{1})$ und $(x_{2}, y_{2})$ sind $a_{0}$ und $a_{1}$ eindeutig bestimmt und es besteht keine Freiheit die Parameter zu variieren. Ein Modell, das genauso viele Parameter besitzt, wie Messpunkte zur Anpassung zur Verfügung stehen, bezeichnet man als *saturiert*. Sobald ein weiterer Punkt $(x_{3}, y_{3})$ hinzukommt ist nicht mehr garantiert, dass $\Omega$ durch geeignete Wahl der Parameter $a_{0}$ und $a_{1}$ jeden Punkt exakt berührt und das Minimum von $z$ wird nicht mehr trivial gefunden. Das Modell hat einen Freiheitsgrad, aus dem ein nicht-triviales Minimum abgeleitet werden kann.  
 

Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md

@@ -25,7 +25,7 @@ Den Wert $\hat{z}$ bezeichnet man als **$\boldsymbol{\chi^{2}}$-Wert**. Die Auss
 
 Dies lässt sich wie folgt verstehen: Der $\chi^{2}$-Wert ist ein Maß für die mittlere Entfernung zwischen $\Omega$ und den $\{r_{i}\}$. Große Werte weisen auf eine schlechte, kleine Werte auf eine gute Übereinstimmung zwischen $\Omega$ und den $\{r_{i}\}$, innerhalb der Streuung ([Varianz](https://de.wikipedia.org/wiki/Varianz_(Stochastik))) der $\{r_{i}\}$, hin. 
 
-Gehen wir davon aus, dass die $\{r_{i}\}$ im Fall wiederholter Messungen *normalverteilt* sind und ihre [Erwartungswerte](https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert) wirklich durch $\Omega$ beschrieben werden können, dann folgt $\hat{z}$ der $\chi^{2}(z, n_{\mathrm{dof}})$-Verteilung, deren Erwartungswert $E[\hspace{0.05cm}z\hspace{0.05cm}]=n_{\mathrm{dof}}$ ist. Ein Wert von $\hat{z}^{2}/n_{\mathrm{ndof}}\lesssim1$ deutet darauf hin, dass der Verlauf der Modellvorhersage im Mittel innerhalb der Varianzen der $\{r_{i}\}$ liegt. Um diesen Umstand anschaulicher zu machen, wird der $\chi^{2}$-Wert oft zusätzlich in einen ***p*-Wert** übersetzt. 
+Gehen wir davon aus, dass die $\{r_{i}\}$ im Fall wiederholter Messungen *normalverteilt* sind und ihre [Erwartungswerte](https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert) wirklich durch $\Omega$ beschrieben werden können, dann folgt $\hat{z}$ der $\chi^{2}(z, n_{\mathrm{dof}})$-Verteilung, deren Erwartungswert $E[\hspace{0.05cm}z\hspace{0.05cm}]=n_{\mathrm{dof}}$ ist. Ein Wert von $\hat{z}/n_{\mathrm{ndof}}\lesssim1$ deutet darauf hin, dass der Verlauf der Modellvorhersage im Mittel innerhalb der Varianzen der $\{r_{i}\}$ liegt. Um diesen Umstand anschaulicher zu machen, wird der $\chi^{2}$-Wert oft zusätzlich in einen ***p*-Wert** übersetzt. 
 
 Der *p*-Wert ist das Integral 
 $$
@@ -35,7 +35,7 @@ p = \int\limits_{\hat{z}}^{\infty}\chi^{2}(z, n_{\mathrm{ndof}})\,\mathrm{dz}.
 $$
 Unter der Annahme, dass die Erwartungswerte der $\{r_{i}\}$ tatsächlich $\Omega$ folgen, entspricht er der Wahrscheinlichkeit einen Wert von $z\geq\hat{z}$ und damit eine schlechtere Übereinstimmung des Modells mit den $\{r_{i}\}$ zu erhalten, als durch $\hat{z}$ beobachtet. Der *p*-Wert ist selbst wieder eine Zufallsvariable, die, wenn die zu ihrer Berechnung gemachten Annahmen erfüllt sind, in ihrem Wertebereich (zwischen 0 und 1) gleichverteilt ist. 
 
-**Wir geben ein Beispiel:** Sie nehmen die Anpassung eines Modells $\Omega$ mit $k=5$ Parametern an $n=15$ Messpunkte $\{r_{i}\}$ vor, d.h. $n_{\mathrm{dof}}=10$. Nach Anpassung erhalten Sie einen $\chi^{2}$-Wert von 20, d.h. $\hat{z}^{2}/n_{\mathrm{dof}}=2$. Unter der Annahme, das die $\{r_{i}\}$ normalverteilt sind und ihre Erwartungswerte wirklich $\Omega$ folgen ist ein Ausgang des Experiments mit einem $\chi^{2}$-Wert $\geq20$ mit einer Wahrscheinlichkeit von 3% zu erwarten. Es bleibt Ihnen überlassen, basierend auf dieser Abschätzung die Aussage, dass die Erwartungswerte der $\{r_{i}\}$ tatsächlich $\Omega$ folgen zu verwerfen oder nicht. 
+**Wir geben ein Beispiel:** Sie nehmen die Anpassung eines Modells $\Omega$ mit $k=5$ Parametern an $n=15$ Messpunkte $\{r_{i}\}$ vor, d.h. $n_{\mathrm{dof}}=10$. Nach Anpassung erhalten Sie einen $\chi^{2}$-Wert von 20, d.h. $\hat{z}/n_{\mathrm{dof}}=2$. Unter der Annahme, das die $\{r_{i}\}$ normalverteilt sind und ihre Erwartungswerte wirklich $\Omega$ folgen ist ein Ausgang des Experiments mit einem $\chi^{2}$-Wert $\geq20$ mit einer Wahrscheinlichkeit von 3% zu erwarten. Es bleibt Ihnen überlassen, basierend auf dieser Abschätzung die Aussage, dass die Erwartungswerte der $\{r_{i}\}$ tatsächlich $\Omega$ folgen zu verwerfen oder nicht. 
 
 Um für die Beziehung zwischen $\chi^{2}$-Wert und *p*-Wert ein Gefühl zu bekommen können Sie dieses und ein paar weitere Beispiele mit dieser [Web-Anwendung der University of Illinois](http://courses.atlas.illinois.edu/spring2016/STAT/STAT200/pchisq.html) überprüfen. 
 

Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-c.md

@@ -93,37 +93,12 @@ Wenn Sie das Modell *an die Daten anpassen* möchten führen Sie das Skript *run
 %run /opt/conda/bin/run_phyFit.py foo.yaml 
 ```
 
-Die Größe $\hat{\chi}^{2}/n_{\mathrm{dof}}$ und die Werte und Unsicherheiten der angepassten Parameter $\hat{A}$, $\hat{\omega}$ und $\hat{\phi}$ sind Ausgaben der Anpassung. Gehen Sie bei der Bearbeitung dieses Aufgabenteils wie folgt vor: 
+Die Größe $\hat{z}/n_{\mathrm{dof}}$ und die Werte und Unsicherheiten der angepassten Parameter $\hat{A}$, $\hat{\omega}$ und $\hat{\phi}$ sind Ausgaben der Anpassung. Gehen Sie bei der Bearbeitung dieses Aufgabenteils wie folgt vor: 
 
 - Ermitteln Sie $g^{(2.2)}\pm\Delta g_{\Delta T}^{(2.2)}$ mit Hilfe der Anpassung und vergleichen Sie Ihr Ergebnis im Rahmen seiner Unsicherheiten zu $g_{\mathrm{exp}}\pm\Delta g_{\mathrm{exp}}$. 
 - Diskutieren und erklären Sie alle Beobachtungen, die Sie dabei machen. Wie kommt es, dass $\Delta g_{\Delta T}^{(2.2)}$ so viel kleiner ist, als $\Delta g_{\Delta T}^{(2.1)}$ und wie steht es um den Vergleich mit $g_{\mathrm{exp}}$?
 
-###  Aufgabe 2.3: Zweite Erweiterung der Methodik
-
-Sie können $g\pm\Delta g$ auch direkt als Modellparameter bestimmen. Unter Verwendung von *PhyPraKit* könnte der Funktionsblock für ein entsprechend verändertes Modell so aussehen: 
-
-```yaml
-model_label: "HARMONIC_G"
-model_function: |
-  def model(t, A=0.8, g=9.8, phi=0):
-      return x0*np.cos(np.sqrt(g/0.6285)*t+phi)
-```
-
-Dabei handelt es sich bei der Zahl `0.6385` um die Länge $\ell$ des Pendels (siehe [Datenblatt.md](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Vorversuch/Datenblatt.md)), die wir als **äußeren Parameter** bestimmt haben und als solchen ins Modell einbringen. 
-
-Aus dieser Modifikation ergeben sich tiefere Einsichten in die Diskussion der berücksichtigten Unsicherheiten:
-
-Die Größe $\ell$ hat selbst eine Unsicherheit $\Delta\ell$, die wir in der Bestimmung von $\Delta g$ berücksichtigen sollten. Da $\ell$, als *von außen eingebrachter* Parameter, nicht immanent, d.h. nicht aus der Anpassung selbst, bestimmt werden kann, müssen wir $\Delta\ell$ ebenfalls von außen in die Bestimmung von $g$ einbringen.  Am einfachsten erreichen wir dies, indem wir $\ell$ um $\pm\Delta\ell$ variieren und die Anpassung erneut (insgesamt also $3\times$) durchführen. Die Unsicherheit $\Delta\ell$ wird entsprechend auf $g$ propagiert und führt so zu einer Unsicherheit $\Delta g_{\Delta\ell}^{(2.2)}$ unter Variation von $\ell$ um den Betrag $\pm\Delta\ell$. 
-
-Die Unsicherheit $\Delta g_{\Delta\ell}$, die sich aus der ungenügenden Kenntnis von $\ell$ ergibt bezeichnet man in diesem Zusammenhang als epistemische, oder **systematische Unsicherheit**. In der Physik sind systematische Unsicherheiten i.d.R. mit *systematischen Variationen* verbunden. Im Gegensatz dazu bezeichnet man $\Delta g_{\Delta T}$, das die Unsicherheiten der Datenpunkte, an die das Modell angepasst wurde und damit die eigentliche Messung repräsentiert, als **statistische Unsicherheit** der Messung.
-
-Nach der Anpassung an die Daten können Sie $g^{(2.3)}$ direkt als Ausgabewert der Anpassung ablesen. Es handelt sich lediglich um eine Umparametrisierung des Modells aus Aufgabe 2.1 für die Sie die folgenden Eigenschaften feststellen sollten: 
-
-- Der Wert von $g^{(2.3)}$ ist der gleiche, wie für $g^{(2.2)}$ aus Aufgabe 2.2;
-- Der Wert von $\Delta g_{\Delta T}^{(2.3)}$ ist der gleiche, wie für $\Delta g_{\Delta T}^{(2.2)}$ aus Aufgabe 2.2;
-- Der Wert von $\chi^{2}/n_{\mathrm{dof}}$ für die Güte der Anpassung ist der gleiche, wie aus Aufgabe 2.2.
-
 # Navigation
 
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Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-3.md

@@ -66,7 +66,7 @@ Der Übergang zu dieser vermeintlich wahrheitsgetreueren Beschreibung der Realit
 
   - Wie verändert sich die Ausgabe von $n_{\mathrm{dof}}$ und warum?
 
-  - Wie verändert sich die Ausgabe von $\hat{\chi^{2}}/n_{\mathrm{dof}}$?
+  - Wie verändert sich die Ausgabe von $\hat{z}/n_{\mathrm{dof}}$?
 
   - Ist das zugrundeliegende Modell mit den Daten kompatibel?