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Interferenz/doc/Hinweise-Gitter.md

+# Hinweise für den Versuch "Interferenz"
+
+## Interferenz und Beugung am Doppel- und Einfachspalt
+
+Eine schematische Darstellung zur Erklärung von Interferenz und Beugung am Doppel- und Einfachspalt ist in **Abbildung 4** gezeigt: 
+
+<img src="../figures/BeugungInterferenz.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 4**: (Inteferenz am Doppelspalt und Beugung am Einfachspalt)
+
+---
+
+Die hier gemachten Ausführungen gelten für ein **ideales periodisches Gitter** mit perfekter Transmission in und perfekter Extinktion zwischen den Spalten. Neben diesem gibt es noch eine ganze Reihe weiterer Gittertypen. Einige Beispiele sind:
+
+- Reflexionsgitter mit sowohl ebenen als geneigten Furchen. Letztere (die sog. **Echelette-Gitter**) liefern die Hauptintensität in der ersten statt in der nullten Ordnung.
+- Bei sinusförmig schwankender Durchlässigkeit (sog. **Sinusgitter**) erhält man nur Maxima erster Ordnung. Solche Gitter lassen sich z.B. durch Photographie von Interferenzbildern erzeugen.
+- **Phasengitter** sind überall durchsichtig, aber ihr Brechungsindex ändert sich periodisch. Aufgrund der resultierenden Dichteunterschiede erhält man ein solches Gitter z.B. bei stehenden Schallwellen in Flüssigkeiten.
+- Schließlich seien neben den bisher genannten eindimensionalen noch zwei- und dreidimensionale Gitter erwähnt.
+
+### Interferenz am Doppelspalt
+
+Zur Erklärung der Interferenz am Doppelspalt (**Abbildung 4** oben) vernachlässigen wir zunächst die endliche Ausdehnung $b$ der Spalten (1) und (2), relativ zur Wellenlänge $\lambda$ des Lichts ($b\ll\lambda$) und interpretieren beide Spalten als Quellen zweier kohärenter [Elementarwellen](https://de.wikipedia.org/wiki/Huygenssches_Prinzip) $\psi^{(j)},\ j=1,\ 2$ die sich zu einer Gesamtwelle 
+$$
+\begin{equation*}
+\psi(\alpha) = \sum\limits_{j=1}^{2}\frac{\psi_{0}}{2}e^{ikx_{j}}
+\end{equation*}
+$$
+überlagern. Zur Vereinfachung der Notation formulieren wir die $\psi^{(j)}$ als ebene Wellen, vernachlässigen die für diese Diskussion irrelevante Zeitabhängigkeit, und wählen $\vec{x}$ entlang der Beobachtungsrichtung $\alpha$, so dass $\vec{k}\cdot\vec{x} = |\vec{k}|\ |\vec{x}| = k\ x$. Schließlich wählen wir den Ursprung des Koordinatensystems in der Mitte zwischen den Spalten. Wir erhalten so für die Amplitude von $\psi(\alpha)$ 
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+\psi(\alpha) &= \frac{\psi_{0}}{2}\left(e^{ik\,g/2\sin\alpha}+e^{-ik\,g/2\sin\alpha}\right) \\
+&\\
+&= \psi_{0}\cos(k\,g/2\sin\alpha). \\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+**Die Intensitätsverteilung hinter dem Doppelspalt ergibt sich aus dem Betragsquadrat der Amplitude**. Destruktive Interferenz der $\psi^{(j)}$ liegt unter der Bedingung
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&k\,g/2\sin\alpha = m\frac{\pi}{2};\qquad m\in\mathbb{N} \\
+&\\
+&\text{mit:}\\
+&\\
+&k=\frac{2\pi}{\lambda}\\
+&\\
+&g\sin\alpha = m\frac{\lambda}{2}
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+vor. 
+
+### Beugung am Einfachspalt
+
+Im Fall der Beugung am Einfachspalt (**Abbildung 4** unten) gehen wir von einer kontinuierlichen Verteilung kohärent überlagerter Elementarwellen 
+$$
+\begin{equation}
+\psi(\alpha) 
+   = \sum\limits_{j<b\sin\alpha/\Delta x} \psi_{0}\frac{\Delta x}{b\sin\alpha}\,e^{ikx_{j}}
+\end{equation}
+$$
+enlang der Spaltbreite $b$ aus. Diese konstruieren wir wie folgt:
+
+- Wir zerlegen die Wellenfront $\psi(\alpha)$ über der vollen Breite von $b$ in $n$ Teilwellen $\psi^{(j)},\ j=1,\ldots n$ der Amplitude $\psi_{0}^{(j)}/n$.
+
+- Alle $\psi^{(j)}$ entlang der gepunkteten Linie ($\dagger$) in **Abbildung 4** unten addieren sich mit ihrer festen Phase am Ort $x_{j}$. Dabei gilt $\Delta x = x_{j} - x_{j-1}$ und
+  ```math
+  \begin{equation*}
+  \sum\limits_{j=1}^{n} \Delta x n\,\Delta x= b\sin\alpha.
+  \end{equation*}
+  ```
+
+- Die Normierung lässt sich somit durch 
+
+  ```math
+  \begin{equation*}
+  \psi_{0}^{(j)}/n = \psi_{0} \frac{\Delta x}{b\sin\alpha}
+  \end{equation*}
+  ```
+
+  ausdrücken. 
+
+Im Grenzübergang $\Delta x\to0;\,n\to\infty$ geht die Summe aus Gleichung **(2)** in das Integral
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+   \psi(\alpha) &= \int\limits_{-b/2\sin\alpha}^{+b/2\sin\alpha} \psi_{0}\frac{\mathrm{d}x}{b\sin\alpha}\,e^{ikx} 
+= \left[\frac{\psi_{0}}{b\sin\alpha}\frac{e^{ikx}}{ik}
+\right]_{-b/2\sin\alpha}^{+b/2\sin\alpha} \\
+&\\
+&= \frac{\psi_{0}}{b/2\sin\alpha} \left(\frac{e^{ik\,b/2\sin\alpha} - 
+e^{-ik\,b/2\sin\alpha}}{2ik} \right) \\
+&\\
+&= \psi_{0}\cdot\underbrace{\frac{\sin(k\,b/2\sin\alpha)}{k\,b/2\sin\alpha}} = \psi_{0}\cdot\mathrm{si}(k\,b/2\sin\alpha)\\
+&\hphantom{= \psi_{0}\cdot\psi cccc}\equiv f_{S}
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+über. Der Term $f_{S}$ in Gleichung **(3)** wird auch als [Spaltfunktion](https://de.m.wikipedia.org/wiki/Sinc-Funktion) oder **Sinus cardinalis** $\mathrm{si(\ \cdot\ )}$ bezeichnet. Die vermeintliche Singularität bei $k\ b/2\sin\alpha=0$ ist hebbar, wie sich aus der Reihenentwicklung des Sinus ersehen lässt. Bei $\mathrm{si}(\ \cdot\ )$ handelt es sich um die [Fourier-Transformierte](https://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Transformation) der skalierten [Rechteckfunktion](https://de.m.wikipedia.org/wiki/Rechteckfunktion)
+$$
+\begin{equation*}
+\mathrm{rect}(y) = \left\{\begin{array}{ll}
+\frac{1}{b\sin\alpha}
+&-b/2\sin\alpha\leq y<b/2\sin\alpha\\ 0 & \text{sonst.}\end{array}\right.
+\end{equation*}
+$$
+Die Nullstellen von $\mathrm{si}(\ \cdot\ )$ liegen bei 
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&k\,b/2\sin\alpha = m\,\pi;\qquad m\in\mathbb{N} \\
+&\\
+&\text{mit:}\\
+&\\
+&k=\frac{2\pi}{\lambda}\\
+&\\
+&b\sin\alpha = m\,\lambda.
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+**Im Gegensatz zur Interferenz am Doppelspalt liegen die Intensitätsminima bei der Beugung am Einfachspalt nicht bei ganzzahligen Vielfachen von $\lambda/2$ sondern bei ganzzahligen Vielfachen von $\lambda$**.
+
+### Doppelspalt mit endlicher Spaltbreite
+
+Wir kehren nun wieder zur Interferenz am Doppelspalt zurück. Ist dabei $b$ im Verhältnis zu $\lambda$ nicht mehr venachlässigbar ($b\gtrsim\lambda$) hat das Interferenzbild hinter dem Spalt die Funktion $f_{S}$ als Einhüllende. 
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&\psi(\alpha) = \psi_{0}\cdot\underbrace{\frac{\sin(k\,b/2\sin\alpha)}{k\,b/2\sin\alpha}}\cdot\cos(k\,g/2\sin\alpha).\\
+&\hphantom{\psi(\alpha) = \psi_{0}\psi(\alpha)\psi}= f_{S}\\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+Die Interferenzbedingungen am Doppelspalt bleiben erhalten. Gleichzeitig gelten jedoch die Beugungsbedingungen am jeweiligen Einfachspalt. Das lässt sich wie folgt verstehen: Liegt unter $\alpha$ ein Beugungsminimum für jeden der einzelnen Spalte vor kommt es trotz potentiell konstruktiver Interferenz am Doppelspalt zus Auslöschung. 
+
+### Vom Doppelspalt zum Gitter
+
+Für $N$ (beleuchtete) Spalte nimmt $\psi(\alpha)$ die Form
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&\psi(\alpha) = \frac{\psi_{0}}{N}\cdot
+\underbrace{\frac{\sin(k\,b/2\sin\alpha)}{k\,b/2\sin\alpha}\vphantom{\frac{\sin(N\,k\,b/2\sin\alpha)}{k\,b/2\sin\alpha}}}\cdot
+\underbrace{\frac{\sin(N\,k\,g/2\sin\alpha)}{\sin(k\,g/2\sin\alpha)}}.\\
+&\hphantom{\psi(\alpha) = \psi_{0}\psi(\alpha)\psi\psi}= f_{S}
+\hphantom{\psi(\alpha) = \psi_{0}\psi}\equiv f_{G}\\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+an. Der Abstand der Gitterlinien $g$ wird dabei auch als **Gitterkonstante** und die Funktion $f_{G}$ als **Gitterinterferenzfunktion** bezeichnet. 
+
+Die Wahl $N=1$ führt auf $f_{G}\equiv 1$ und somit auf Gleichung **(3)** zurück. Die Wahl $N=2$ führt, wie man unter Anwendung der [Additionstheoreme für die Sinusfunktion](https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Produkte_der_Winkelfunktionen)
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+\sin(2x) = 2 \sin(x)\cos(x)
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+ersehen kann, auf Gleichung **(4)** zurück. Einige Beispiele für Intensitätsverteilungen hinter dem Gitter sind in **Abbildung 5** gezeigt:
+
+<img src="../figures/BeugungGitter.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 5**: (Intensitätsverteilungen hinter dem Gitter für verschiedene Werte von $b$, $g$, und $N$)
+
+---
+
+Die gestrichelten Linien in **Abbildung 5** zeigen jeweils die Einhüllenden ($f_{S}$) zu Gleichung **(5)**. 
+
+- Erhöht man $b$ reduzierte sich die Breite von $f_{S}$.
+
+- Erhöht man $g$ reduziert sich der Abstand zwischen den sich ausbildenden Maxima.
+
+- Erhöht man $N$ entstehen zwischen den sich ausbildenden Hauptmaxima $N-1$ Nebenminima und $N-2$ Nebenmaxima mit deutlich reduzierter Intensität. Die Hauptmaxima bilden sich an Stellen mit 
+  ```math
+  \begin{equation*}
+  \begin{split}
+  &\sin(N\,k\,g/2\sin\alpha)=\sin(k\,g/2\sin\alpha)=0\\
+  &\\
+  &\alpha = \arcsin\left(\frac{m\,\lambda}{g}\right);\quad m\in\mathbb{N_{0}}
+  \end{split}
+  \end{equation*}
+  ```
+
+  aus und haben die Höhe $N$, wobei $m$ der Ordnung des Maximums entspricht.   
+
+### Spektrales Auflösungsvermögen des Gitters
+
+Das **spektrale Auflösungvermögen $R$** ist definiert als
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&R=\frac{\lambda}{\delta \lambda},\\
+&\\
+&\text{mit:}\\
+&\\
+&\delta\lambda=\lambda'-\lambda;\qquad \lambda'>\lambda\, \text{(ObdA)}
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+wobei $\delta\lambda$ der Wellenlängendifferenz entspricht, die bei der Wellenlänge $\lambda$ mit Hilfe des Gitters noch getrennt dargestellt werden kann. 
+
+Es ist praktikabel $\lambda$ und $\lambda'$ als aufgelöst zu bezeichnen, wenn das Hauptmaximum der Ordnung $m$ zu $\lambda'$ in das erste Minimum neben dem Hauptmaximum gleicher Ordnung zu $\lambda$ fällt, d.h.:   
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&\text{Hauptmaximum der Ordnung }m \text{ f\"ur }\lambda\text{:}\\
+&\\
+&m\,\lambda;\quad m\in\mathbb{N}\\
+&\\
+&\text{Erstes Minimum daneben:}\\
+&\\
+&\lambda\left(m + \frac{1}{N}\right).\\
+&\\
+&\text{Hauptmaximum der Ordnung }m \text{ f\"ur }\lambda'\text{:}\\
+&\\
+&m\,\lambda'= m\,(\lambda+\delta\lambda).\\
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+Aus der zuvor formulierten Forderung folgt daraus: 
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&\lambda\left(m + \frac{1}{N}\right) = m(\lambda+\delta\lambda);\\
+&\\
+&\frac{\lambda}{N} = m\,\delta\lambda;\\
+&\\
+&\frac{\lambda}{\delta\lambda} = m\,N.\\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+Das spektrale Auflösungsvermögen nimmt also sowohl mit der betrachteten Ordnung $m$ des Hauptmaximums, als auch mit der Anzahl der beleuchteten Spalte $N$ linear zu. Es ist i.a. duch die Breite des Kohärenzspalts vor dem Gitter (siehe [Hinweise zum Gitterspektrometer](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/blob/main/Interferenz/doc/Hinweise-Gitterspektrometer.md)) begrenzt.
+
+# Navigation
+
+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/tree/main/Interferenz)
+

Interferenz/doc/Hinweise-Gitterspektrometer.md

+# Hinweise für den Versuch "Interferenz"
+
+## Gitterspektrometer
+
+Eine schematische Darstellung des [Gitterspektrometers](https://de.wikipedia.org/wiki/Gitterspektrometer), wie es Ihnen für den Versuch **Interferenz** zur Verfügung steht ist in **Abbildung 6** gezeigt: 
+
+<img src="../figures/Gitterspektrometer.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 6**: (Schematischer Aufbau des Gitterspektrometers, wie es Ihnen für den Versuch **Interferenz** zur Verfügung steht)
+
+---
+
+Es besteht aus einem Grundstativ, auf das der sog. **Prismentisch** monitiert ist, einem **Spaltrohr** (in der Mitte des Bildes) und einem **Fernrohr** (rechts im Bild). Links neben dem Spektrometer ist die Spektrallampe dargestellt. 
+
+Auf dem Prismentisch wird das Gitter montiert. Vor dem Spaltrohr befindet sich die Spektrallampe als Lichtquelle. In der Spektrallampe entsteht Licht durch stochastische Anregung von $\mathrm{Na}$- oder $\mathrm{Zn}$-Atomen, die beim Übergang in den Grundzustand Licht von charakteristischen Wellenlängen abstrahlen. Die Untersuchungen am Gitter erfordern [kohäerent](https://de.wikipedia.org/wiki/Koh%C3%A4renz_(Physik)) und parallel eingestrahltes Licht. Dies wird durch den Einsatz des Spaltrohrs erreicht, das als [Kollimator](https://de.wikipedia.org/wiki/Kollimator) Strahlen mit geringer räumlicher Divergenz erzeugt. Durch die Lebensdauer der angeregten Zustände ist für (näherungsweise) parallel auslaufende Strahlen bereits eine [Kohärenzlänge](https://de.wikipedia.org/wiki/Koh%C3%A4renzl%C3%A4nge) von bis zu $3\ \mathrm{m}$ garantiert. Die vom Gitter auslaufenden Strahlen werden mit einem Fernrohr beobachtet, das (in telekopischer Einstellung) auf Lichtstrahlen aus großer Entfernung fokussiert ist (siehe P1-Versuch [Geometrische Optik](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Geometrische_Optik)). Das Fernrohr ist mit einer feinen Winkelskala am Grundstativ drehbar monitert, so dass es als [Goniometer](https://de.wikipedia.org/wiki/Goniometer) fungieren kann.   
+
+Bei der Justierung des Spektrometers ist es wichtig Spaltrohr, Prismentisch und Fernrohr gut in einer Ebene und ohne gegenseitige Verdrehungen oder Verkantungen zu positionieren. Die Öffnung des Spalts am Spaltrohr sollte geeignet vorgenommen werden, Spalt und Gitterfurchen parallel zur Drehachse des Fernrohrs verlaufen und das Fernrohr auf das durch den parallelen Strahlengang erzeugte Bild des Spalts fokussiert sein. Eine detaillierte Anleitung zur Justierung des Spektrometers finden Sie in den [Datenblättern der verwendeten Apparatur](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/tree/main/Interferenz/doc/Leybold-Versuch-Gitterspektrometer.pdf). Eine Kurzanleitung in den [Hinweisen zur Versuchsdurchführung](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/tree/main/Interferenz/doc/Hinweise-Versuchsdurchfuehrung.md). 
+
+Sie verwenden das Gitterspektrometer zur Ausmessung der einiger Spektrallinien von $\mathrm{Na}$ und $\mathrm{Zn}$.  
+
+## Spektrallampen
+
+Die für diesen Versuch relevanten Linien des $\mathrm{Na}$-Spektrums haben die Wellenlängen: 
+
+- $\lambda_{\mathrm{D_{1}}} = 589.59\ \mathrm{nm}$ (gelb)
+- $\lambda_{\mathrm{D_{2}}} = 589.00\ \mathrm{nm}$ (gelb)
+
+Die Bezeichnungen der Linien mit $\mathrm{D}_{1}$ und $\mathrm{D}_{2}$ sind historisch. Die für diesen Versuch relevanten Linien des $\mathrm{Zn}$-Spektrums haben die Wellenlängen:
+
+- $\lambda_{1} = 636.23\ \mathrm{nm}$ (rot)
+- $\lambda_{2} = 481.05\ \mathrm{nm}$ (blaugrün)
+- $\lambda_{3} = 472.22\ \mathrm{nm}$ (blau)
+- $\lambda_{4} = 468.01\ \mathrm{nm}$ (violettblau)
+
+Die beobachteten Spektrallinien besitzen eine endliche spektrale Breite, die durch die folgenden Effekte bestimmt wird:
+
+### Natürliche Linienbreite
+
+Die normale Lebensdauer angeregter Atomzustände liegt im Bereich von $\tau\approx10\,\mathrm{ns}$. Daraus folgt eine natürliche [Linienbreite](https://de.wikipedia.org/wiki/Linienbreite) von 
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&\delta\nu = \frac{1}{2\pi\,\tau}; \\
+&\\
+&\delta\lambda = \frac{\lambda^{2}}{2\pi\,c\,\tau} \\
+&\hphantom{\Delta\lambda}=\frac{(589.3\,\mathrm{nm})^{2}}{2\pi\cdot2.99\times10^{8}\,\mathrm{m/s}\cdot 10\, \mathrm{nm}} = 1.8\times10^{-5}\,\mathrm{nm}
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+
+### Dopplerverbreiterung
+
+Da sich die strahlenden Atome bei einer Gasentladung nicht in Ruhe befinden, kommt es zusätzlich zur natürlichen Linienbreite zur [Dopplerverbreiterung](https://de.wikipedia.org/wiki/Dopplerverbreiterung): 
+$$
+\begin{equation*}
+\delta\lambda = \frac{\lambda}{c}\sqrt{\frac{8\, k_{B}\, T\, \ln(2)}{M}},
+\end{equation*}
+$$
+wobei $M$ der Teilchenmasse (in $\mathrm{kg}$) entspricht. Für $\langle\lambda\rangle=589.3\ \mathrm{nm}$ ergibt sich eine Dopplerverbreiterung von $1.5\times10^{-3}\ \mathrm{nm}$. 
+
+### Druckverbreiterung
+
+Zusätzlich beeinflussen Stöße der Atome untereinander die Lebensdauer angeregter Zustände und führen somit zur sog. Stoß- oder [Druckverbreiterung](https://de.wikipedia.org/wiki/Druckverbreiterung) der Linien. Dieser Effekt spielt wegen des niedrigen Druckes in den verwendeten Spektrallampen jedoch eine untergeordnete Rolle.
+
+## Spalt des Gitterspektrometers
+
+Das Gitter im Spektrometer wird im Idealfall mit köhärent und parallel eingestrahltem Licht beleuchtet. Dieser Zustand wäre z.B. durch eine perfekte Punktlichtquelle im Brennpunkt einer idealen Linse gegeben. Im realen Leben ist ein solcher Zustand nicht zu erreichen. Er wird angenähert, indem man das Bild der zwangsläufig räumlich ausgedehnten Gasentladung durch einen schmalen Spalt der Breite $d$, den **Kohärenzspalt** beschränkt. Dieser erzwingt die [Verdetsche Köhärenzbedingung](https://de.wikipedia.org/wiki/Verdetsche_Koh%C3%A4renzbedingung)
+$$
+\begin{equation}
+d\sin\epsilon\leq \lambda,
+\end{equation}
+$$
+wobei $\lambda$ der Wellenlänge des beobachteten Lichts und $\epsilon$ dem halben Öffnungswinkel des Lichtstrahls entsprechen.
+
+Der Winkel $\epsilon$ ist durch die Apparatur vorgegeben (siehe [Datenblatt](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/blob/main/Interferenz/Datenblatt.md)). Um Gleichung **(6)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/blob/main/Interferenz/doc/Hinweise-Gitter.md) voll ausnutzen zu können würde man $d$ so groß wie möglich wählen, um möglichst viele Gitterspalte zu beleuchten. Für die Breite des Spalts gibt es jedoch zwei begrenzende Randbedingungen: 
+
+- Ist $d$ zu groß geht die Kohärenzbedingung aus Gleichung **(1)** verloren. 
+- Für die Sichtbarkeit der zu beobachtenden Linien muss der Spalt eine gewisse Mindestbreite haben. Er wird aber auch mit $d$ ins Fernrohr abgebildet. Soll Gleichung **(6)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/blob/main/Interferenz/doc/Hinweise-Gitter.md) die Unterscheidung von Differenzen der Wellenlänge von $\delta\lambda$ zulassen, darf das Bild von $d$ im Fernrohr nicht breiter sein als die Trennung der Linien aufgrund von $\delta\lambda$ die sonst überlappen.
+
+# Navigation
+
+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/tree/main/Interferenz)
+

Interferenz/doc/Hinweise-Newtonringe.md

+# Hinweise für den Versuch "Interferenz"
+
+## Newtonsche Ringe
+
+Zur Vereinfachung der Diskussion betrachten wir eine symmetrische Linse, die auf einer ebenen Fläche aufliegt, wie in **Abbildung 1** skizziert: 
+
+<img src="../figures/NewtonRinge.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 1**: (Geometrische Anordnung zur Erklärung Newtonscher Ringe)
+
+---
+
+Die Auflagefläche (Grenzfläche g1) und die Linse sind in der Abbildung blau eingefärbt. Die Linse ist auf der Unterseite (Grenzfläche g2) mit dem Radius $R$ konvex und auf der Oberseite (Grenzfläche g3) plan (plankonvex). Die optischen Dichten sowohl der Linse als auch der Auflagefläche sind ungleich der optischen Dichte $n$ der Umgebung. 
+
+Scheint ein Lichtstrahl (der Wellenlänge $\lambda$) senkrecht von oben auf die Linse wird an jeder Grenzfläche ein Teil des Strahls reflektiert. Dabei kommt es zu Interferenzeffekten der an g1 und g2 reflektierten Strahlen, die zu dunklen Ringen in den Abständen $r_{k}$ vom Zentrum der Linse führen. Diesen Effekt bezeichnet man als [Newtonsche Ringe](https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsche_Ringe). 
+
+Newton beobachtete und beschrieb das nach ihm benannte Phänomen ertsmal 1666 in der Abhandlung *Of Colours*. Erste dokumentierte Beobachtungen gehen jedoch 1665 auf [Robert Hook](https://de.wikipedia.org/wiki/Robert_Hooke), in seinem Werk *Micrographia* zurück. Interessanterweise vertrat Newton Zeit seines Lebens die Theorie, dass es sich bei Licht um Teilchen handele (Korpuskulartheorie), er konnte dieses Phänomen also nicht als Eigenschaft des Lichts erklären.
+
+Wir diskutieren im Folgenden den Fall $n=1$, Für den Fall $n\neq 1$ ist in allen folgenden Gleichungen von Relevanz die Ersetzung 
+$$
+\begin{equation*}
+\lambda \to \frac{\lambda}{n}
+\end{equation*}
+$$
+vornzunehmen. Unter Berücksichtigung des Phasensprungs von $\lambda/2$ bei der Reflexion am optisch dichteren Medium beträgt der Gangunterschied der reflektierten Strahlen laut **Abbildung 1**
+$$
+\begin{equation}
+s=2d + \frac{\lambda}{2}.
+\end{equation}
+$$
+Ist dieser ein Vielfaches von $\lambda/2$ 
+$$
+\begin{equation}
+s=\frac{2\,k+1}{2}\lambda;\qquad k\in\mathbb{N}_{0}
+\end{equation}
+$$
+kommt es zur destruktiven Interferenz und somit zur Abschwächung oder Auslöschung der interferierenden Strahlen. Gleichsetzen der Gleichungen **(1)** und **(2)** führt auf die Beziehung: 
+$$
+\begin{equation}
+2d = k\,\lambda.
+\end{equation}
+$$
+Beim Halbkreis über dem Dreieck ABC in **Abbildung 1** handelt es sich um den [Thaleskreis](https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Thales) über der Strecke AC, das Dreick ABC ist also im Punkt B rechtwinklig und es gilt der [Höhensatz](https://de.wikipedia.org/wiki/H%C3%B6hensatz) am rechwinkligen Dreieck
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+& r_{k}^{2} = (2R-d)\,d = 2Rd - d^{2}\approx 2Rd; \\
+&\\
+&\text{mit:}\\
+&\\
+&d\ll R,\\
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+ woraus Gleichung **(3)** die folgende Form erhält 
+$$
+\begin{equation*}
+\frac{r_{k}^{2}}{R} = k\,\lambda.
+\end{equation*}
+$$
+
+## Autokollimation
+
+[Autokollimation](https://de.wikipedia.org/wiki/Autokollimation) ist u.a. ein einfaches und elegantes Verfahren zur Brennweitenbestimmung von Linsen. Das Verfahren ist in **Abbildung 2** skizziert: 
+
+<img src="../figures/Autokollimation.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 2**: (Prinzip der Autokollimation)
+
+---
+
+Ein möglichst selbstleuchtender Gegenstang G (mit Schirm), die Linse L deren Brennweite $f$ zu bestimmen ist, sowie ein Spiegel S werden entlang der optischen Achse des Systems montiert. S sollte ungefähr parallel zur Hauptebene von L ausgerichtet sein, damit der reflektierte Strahl L trifft. L wird so lange zwischen G und S verschoben, bis auf dem Schirm ein scharfes reelles Bild B von G entsteht. Sobald dies der Fall ist befindet sich der Schirm in der Brennebene im Abstand $f$ der Hauptebene von L. Als Spezialfall wird der Brennpunkt in sich selbst abgebildet. 
+
+Alle Punkte in der Brennebene werden durch L in parallel verlaufende Strahlen gebrochen (siehe **Abbildung 2** rechts). Durch S werden die parallel verlaufenden Strahlen auf L zurückgeworfen und hinter L wieder auf einen Punkt in der Brennebene vereint. B erscheint relativ zu G punktgespiegelt. Da alle Strahlen aus der Bennebene zwischen L und S parallel verlaufen, sind sowohl die genaue Ausrichtung von S, als auch der Abstand $\ell$ zwischen L und S unerheblich, solange L vom reflektierten Strahl getroffen wird. Es empfiehlt sich $\ell$ kein zu wählen. G sollte selbstleuchtend sein, damit B auch nach größeren Lichtwegen noch auf dem Schirm zu sehen ist. 
+
+## Brechungsindex der Linse
+
+Sind bei einer plankonvexen Linse $R$ und $f$ bekannt lässt sich daraus der Brechungsindex $n_{L}$ der Linse bestimmen. Die den folgenden Überlegungen zugrunde liegende geometrische Anordnung ist in **Abbildung 3** dargestellt:
+
+<img src="../figures/BrechungsindexGlas.png" width="1000" style="zoom:100%;"/>
+
+**Abbildung 3**: (Geometrische Anordnung zur Berechnung des Brechungsindex $n_{L}$ der Linse)
+
+---
+
+Aus dem Brennpunkt der Linse wird ein Lichtstrahl an der Grenzfläche g2 parallel zur optischen Achse der Linse hin gebrochen, die Grenzfläche g3 passiert er ungebrochen. Nach dem [Snelliusschen Brechungsgesetzt](https://de.wikipedia.org/wiki/Snelliussches_Brechungsgesetz) gilt
+$$
+n_{L}\sin\alpha = n\sin(\alpha+\beta).
+$$
+Unter Vernachlässigung der Dicke $d$ der Linse gilt 
+$$
+\begin{equation*}
+\sin\alpha=\frac{h}{R}; \qquad \sin\beta \approx \frac{h}{f} \\
+\end{equation*}
+$$
+ und unter der Kleinwinkelnäherung zusätzlich
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+\sin(\alpha+\beta)&= \sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha \\
+&\\
+&\approx\sin\alpha+\sin\beta  = \frac{h}{R} + \frac{h}{f}\\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+Aus Gleichung **(4)** und **(5)** ergibt sich daraus unter Verwendung von $n\approx1$ (für Luft)
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&n_{L} = \frac{R}{R} + \frac{R}{f} = 1+\frac{R}{f}\\
+&\\
+&R = (n_{L}-1)\,f.
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+
+# Navigation
+
+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/tree/main/Interferenz)
+

Interferenz/doc/Hinweise-Versuchsdurchführung.md

+# Hinweise für den Versuch "Interferenz"
+
+## Aufgabe 1: Newtonsche Ringe
+
+Machen Sie sich bevor Sie mit **Aufgabe 1** beginnen zunächst mit dem bereitgestellten Stereo-Zoom-Mikroskopen vertraut. Je besser Sie sich mit den bereitgestellten optischen Geräten zurechtfinden, desto besser und schneller können Sie die Versuche durchführen.
+
+### Aufgabe 1.1: Krümmungsradius $R$ einer ausgewählten Linse
+
+- Wählen Sie eine geeignete Linse aus. Positionieren Sie diese auf einen Objektträger auf dem verschiebbaren Objekttisch des Mikroskops.
+
+- Als Auflichtquelle dient eine einfarbige LED-Leuchte, deren Licht von vorn über einen um $45^{\circ}$ gedrehten halbdurchlässigen Strahlteiler eingekoppelt wird. 
+
+- Bestimmen Sie die Durchmesser $d_{k}=2r_{k}$ so vieler Newtonscher Ringe wie möglich. Verwenden Sie hierzu die Skala mit [Nonius](https://de.wikipedia.org/wiki/Nonius) auf dem Objekttisch und nicht die Skala des Fadenkreuzes, das in der Brennebene des Objektivs abgebildet wird. Schätzen Sie entsprechende Unsicherheiten $\Delta d_{k}$ ab. In manchen Fällen können Sie Newtonsche Ringe bis zur Ordnung $k=30$ beobachten!
+
+- Tragen Sie die ermittelten Werte $d_{k}$ gegen $k$ auf und bestimmen Sie durch Anpassung eines geeigneten Modells $R$ mit entsprechenden Unsicherheiten $\Delta R$. Ein solches Modell wäre z.B.  
+  ```math
+  \begin{equation}
+  d_{k} = \sqrt{4\,R\,\lambda}+C,
+  \end{equation}
+  ```
+
+  wobei $\lambda$ der Wellenlänge des verwendeten LED-Lichts und $C$ einem weiteren freien Parameter des Modells entsprechen.
+
+- **Führen Sie die Messung erst mit der gelben, dann mit der blauen LED-Leuchte durch.**
+
+### Aufgabe 1.2: Brechungsindex $n(\mathrm{H_{2}O})$ von Wasser
+
+- Fügen Sie einen Tropfen Wasser zwischen Linse und Objekträger und wiederholen Sie die Messung aus **Aufgabe 1.1** für eine LED-Leuchte, verwenden Sie aber eine Farbe, die Sie auch für **Aufgabe 1.1** verwendet haben! Durch die höhere optische Dichte $n(\mathrm{H_{2}O})$ von Wasser verändern sich die Abstände $d_{k}$.
+- Tragen Sie für Ihre Auswertung die Wertepaare $(d_{k}, k)$ in das gleiche Diagramm, wie für die entsprechende Farbe in **Aufgabe 1.1** ein. Fügen Sie eine entsprechende Anpassung an die Messwerte zu und bestimmen Sie $n(\mathrm{H_{2}O})$.
+- Beachten Sie, dass in einem Modell, wie in Gleichung **(1)** $\lambda$ und $R$ in beiden **Aufgaben 1.1** und **1.2** gleich anzunehmen sind! Für die zusätzliche Konstante $C$ ist dies nicht zwingend der Fall. Die genaueste Bestimmung erhalten Sie, wenn Sie eine gleichzeitige Anpassung an beide Messungen mit der gleichen Farbe der LED-Leuchte, mit Hilfe der Option [`MultiFit`](https://kafe2.readthedocs.io/en/latest/parts/beginners_guide.html#multifit) in kafe 2, wie z.B. [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Geometrische_Optik/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md) beschrieben vornehmen.  
+
+### Aufgabe 1.3: Brechungsindex $n_{L}$ der verwendeten Linse 
+
+- Schätzen Sie die Unsicherheit $\Delta f$ auf die Brennweite $f$ geeignet ab. 
+- Diskutieren Sie ob $\Delta R$ oder $\Delta f$ die Unsicherheit auf $\Delta n_{L}$ dominiert. 
+- Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit der optischen Dichte von Glas und ähnlichen Materialien und schätzen Sie ein, ob Ihnen das erzielte Ergebnis plausibel erscheint.  
+
+## Aufgabe 2: Messungen mit dem Gitterspektrometer
+
+### Aufgabe 2.1: Justierung der Apparatur
+
+Eine genaue Beschreibung der Justierung mit zahlreichen Illustrationen finden Sie in den [Datenblättern zur Apparatur](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/tree/main/Interferenz/doc/Leybold-Versuch-Gitterspektrometer.pdf). Eine Kurzform der Anleitung ist im Folgenden wiedergegeben:  
+
+- Einstellung der **Fernrohrs**:
+  - Stellen Sie die Brennweite des Fernrohres (durch Verschieben des Okulars) auf "unendlich". Sie erreichen dies, z.B. indem Sie einen weit entfernten Gegenstand scharf einstellen. 
+  - Bei richtiger Einstellung dürfen Kopfbewegungen zu keiner parallaktischen Verschiebung eines beobachteten Details und dem Fadenkreuz führen. 
+  - Normalsichtige beobachten mit entspanntem (d.h. auf "unendlich" gerichtetem) Auge. Kurzsichtige können Parallellicht nicht auf die Netzhaut fokussieren und benötigen (ohne Kontaktlinse oder Brille) eine etwas abweichende Einstellung.
+- Einstellung des **Spaltrohrs**:
+  - Beleuchten Sie den Spalt mit der $\mathrm{Na}$-Spektrallampe. Beobachten Sie den schmal eingestellten Spalt durch das Fernrohr. Stellen Sie ihn durch Verschieben des Spaltes scharf und bringen Sie ihn dann durch Schwenken des Fernrohres mit dem Fadenkreuz zur Deckung. 
+  - Stellen Sie den Spektrometertisch mit Teilkreis geeignet ein (Nullstellung) und arretieren Sie ihn. 
+- Einstellung der **Gitterposition**:
+  - Setzen Sie den Spiegel in den Gitterhalter ein (verwenden Sie hierzu einen weit geöffneten Spalt). Stellen Sie zwischen Spalt und Lampe einen Objektträger unter $45^{\circ}$ gegen die Achse aus Spalt- und Fernrohr auf, so dass von der Seite her über diesen "Strahlteiler" das vom Spiegel reflektierte Licht sichtbar wird, falls es durch den Spalt zurücktrifft. 
+  - Der Spiegel (und damit der Gitterhalter) ist also senkrecht zur Achse justiert. Justieren Sie ggf. am Rändelrand des Gitterhalters nach. Stellen Sie dann den Spalt wieder schmal ein. 
+  - Tauschen Sie schließlich den Spiegel gegen das Gitter aus.
+
+### Aufgabe 2.2: Bestimmung der Gitterkonstanten $g$ eines Gitters
+
+- Verwenden Sie das Gitter mit ${\approx}600\ \mathrm{mm^{-1}}$. Das Verhältnis zwischen Spaltbreite und Spaltabstand beträgt $b/g\approx0.9$. 
+
+- Die Breite des Gitters ist mit $36\ \mathrm{mm}$ genügend groß, so dass Sie den ganzen Querschnitt des Parallellichtbündels im Spektrometer ausnutzen können. 
+
+- Sie nutzen zur Messung das gelbe Licht der $\mathrm{Na}$-Spektrallampe. Legen Sie für Ihre Messungen die mittlere Wellenlänge $\langle \lambda\rangle=589,3\,\mathrm{nm}$ der Doppellinie des $\mathrm{Na}$-Spektrums zugrunde. Die Ausmessung des Abstands von $\delta\lambda\approx0.5\ \mathrm{nm}$ der beiden Linien ist **Aufgabe 2.3** vorbehalten.
+
+- Tragen Sie den Winkel aller beobachtbaren Maxima gegen die Ordnung der Maxima auf und passen Sie ein geeignetes Modell an. Ein solches Modell wäre z.B.
+  ```math
+  \begin{equation}
+  \sin\alpha = m\,\frac{\lambda}{g}+C,
+  \end{equation}
+  ```
+
+  wobei $C$ und $g$ freie Parameter der Anpassung sind. Nehmen Sie für $\lambda$ eine geeignete Unsicherheit $\Delta \lambda$ an. 
+
+### Aufgabe 2.3: Vermessung der $\mathrm{Na}$-D-Doppellinie
+
+- Verwenden Sie $g\pm\Delta g$, wie durch Ihre Messung aus **Aufgabe 2.2** vorgegeben. Pflanzen Sie $\Delta g$ für die Messung entsprechend fort.  
+- Es kann vorkommen, dass Sie die Breite $d$ des Spalts am Spaltrohr nochmal nachjustieren müssen, um die Auflösung der Doppellinie zu erhöhen (siehe [Hinweise zum Gitterspektrometer](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/blob/main/Interferenz/doc/Hinweise-Gitterspektrometer.md)). Dokumentieren Sie den Wert von $d$ für den Sie die beste Auflösung erhalten.
+
+### Aufgabe 2.4: Bestimmung der Gitterkonstanten $g'$ eines zweiten Gitters
+
+- Verwenden Sie das Gitter mit ${\approx}140\ \mathrm{mm^{-1}}$. Weitere Details der Gitterstruktur sind Ihnen nicht bekannt. Als Lichtquelle dient wieder die $\mathrm{Na}$-Spektrallampe.
+- Tragen Sie den Winkel aller beobachtbaren Maxima gegen die Ordnung der Maxima auf und passen Sie ein geeignetes Modell an. Gehen Sie dabei, wie in **Aufgabe 2.2** vor. 
+
+### Aufgabe 2.5: Linienspektrum der $\mathrm{Zn}$-Spektrallampe
+
+- Wählen sie ein geeignetes Gitter aus; begründen und dokumentieren Sie Ihre Wahl. 
+
+- Bestimmen Sie die Wellenlängen der vier deutlich erkennbaren Linien. Gehen Sie hierzu wie für **Aufgabe 2.2** vor. Verwenden Sie $g\pm\Delta g$, wie durch Ihre vorherige Messung vorgegeben. Pflanzen Sie $\Delta g$ für die Messung entsprechend fort. 
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+# Navigation
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+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/tree/main/Interferenz)
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