Hinweise-Aufgabe-2-c.md



Hinweise für den Versuch Kreisel

Aufgabe 2: Kardanisch gelagerter Kreisel [4/4]

Hinweise zur Durchführung

Aufgabe 2.4
Die Trägheitsmomente 
 $\theta_{x}'$ 
,  $\theta_{y}'$ 
 und  $\theta_{z}'$ 
 lassen sich aus den Messungen der Aufgaben 2.2 und 2.3 auf zweierlei Art und Weise bestimmen:

Zum einen, indem an alle Messungen als unabhängig betrachtet und die gesuchten Größen daraus Schritt für Schritt extrahiert (Methode-1).
Zum anderen, indem man, mit Hilfe der Multifit Methode aus kafe2, ein gemeinsames zugrundeliegendes Modell gleichzeitig an alle Messungen anpasst (Methode-2).

Methode-2 ist zwar technisch anspruchsvoller, es ist jedoch die bessere Methode, weil sie es erlaubt, alle Messpunkte gleichzeitig für die Bestimmung von drei gesuchten Parametern zu nutzen. Nach Methode-1 kann man immer nur einen Bruchteil der aufgezeichneten Messpunkte zur Bestimmung einzelner Parameter nutzen, deren individuelle statistische Unsicherheiten dadurch größer sind.

Methode-1

Schritt-1:
Hierbei nutzen Sie zunächst die Messung von 
 $\omega_{N}$ 
 als Funktion von  $\omega$ 
 zur Berechnung von  $\theta_{x}'$ 
 nach Gleichung ((1) hier)
 $\begin{equation} \omega_{N} = \omega\,\frac{\theta_{z}^{\prime}}{\sqrt{\theta_{x}^{\prime}\,\theta_{y}^{\prime}}}. \end{equation}$ 
Dabei nutzen Sie die Messung einmal mit und einmal ohne Zusatzgewichte, um die Ambiguität zwischen \theta_{x}'
, \theta_{y}'
 und \theta_{z}'
 in der Steigung der jeweiligen Ursprungsgeraden aufzuheben.
Zunächst bestimmen Sie die Steigungen 
m_{1}
 und m_{2} mit und ohne Zusatzgewichte:

\begin{equation*}
\begin{split}
&\omega_{N} = m_{i}\,\omega; \\
&\\
&m_{1} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{\theta_{x}'\,\theta_{y}'}}; \qquad 
m_{2} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{(\theta_{x}'+\theta_{\mathrm{Zylinder}})\,\theta_{y}'}}; \\
&\\
&\text{mit dem bekannten Tr\"agheitsmoment:} \\
&\\
&\theta_{\mathrm{Zylinder}} = 2\,\left(\frac{1}{2}m\,r^{2}+m\,\ell^{2}\right),
\end{split}
\end{equation*}

wobei m
 der Masse und und r
 dem Radius der jeweils baugleichen Zusatzgewichte und \ell
 dem Abstand der Schwerpunkte der Zusatzgewichte von der Symmetrieachse des Kreisels entsprechen.
Aus dem Quotienten

\begin{equation*}
\begin{split}
&\frac{m_{1}}{m_{2}}=\sqrt{\frac{\theta_{x}'}{\theta_{x}'+\theta_{\mathrm{Zylinder}}}}; \\
&\\
&\theta_{x}' = \frac{\theta_{\mathrm{Zylinder}}}{\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}-1} \\
\end{split}
\end{equation*}

lässt sich \theta_{x}'
 bestimmen.

Schritt-2:
Das Trägheitsmoment 
\theta_{z}'
 lässt sich aus der Messung aus Aufgabe 2.3 nach Gleichung ((3) hier) bestimmen:

\begin{equation}
\Omega = \frac{M\,g\,s}{\theta_{z}'}\,\frac{1}{\omega} = \kappa \,\frac{1}{\omega},
\end{equation}

wobei M
 der Masse und und s
 dem Abstand des Schwerpunkts des Stabs vom Schwerpunkt des Kreisels und g
 der Erdbeschleunigung entsprechen. Sie können zur Bestimmung von \kappa
 die Präzessionsfrequenz \Omega
 gegen 1/\omega
 auftragen und \kappa
 als Steigung einer Geraden bestimmen. Besser ist jedoch der Auftrag von \Omega
 gegen \omega
 und die direkte Anpassung der Hyperbelgleichung aus Gleichung (2). Letzteres Vorgehen belässt die Grundannahme normalverteilter Unsicherheiten \Delta\omega_{i}
 auf die Messwerte \omega_{i}
 entlang der x
-Achse unverzerrt.
Aus 
\kappa
 erhalten Sie \theta_{z}' aus der Gleichung:

\begin{equation*}
\theta_{z}' = \frac{M\,g\,d}{\kappa}.
\end{equation*}


Schritt-3:
Mit dem Wissen um 
\theta_{x}'
 und \theta_{z}'
 können Sie nun \theta_{y}'
 am einfachsten aus der zuvor bestimmten Steigung m_{1} bestimmen:

\begin{equation*}
\begin{split}
& m_{1} = \frac{\theta_{z}'}{\sqrt{\theta_{x}'\,\theta_{y}'}}; \qquad
\theta_{y}' = \frac{\theta_{z}^{\prime\,2}}{m_{1}^{2}\,\theta_{x}'}. \\
\end{split}
\end{equation*}

Beachten Sie, bei einer Berechnung der Trägheitsmomente auf diese Weise die Fortpflanzung der Unsicherheiten einschließlich der Bestimmung systematischer Unsicherheiten!

Methode-2:
Für die Bestimmung von 
\theta_{x}'
, \theta_{y}'
 und \theta_{z}'
 nach Methode-2 übergeben Sie die Datenpunkte aus den Aufgaben 2.2 und 2.3 geeignet an die Mutifit-Funktion aus kafe2 und definieren die Modelle direkt nach Gleichung ((1) hier) und Gleichung ((3) hier).
Nach erfolgreicher Implementierung erhalten Sie die Zentralwerte und Unsicherheiten auf 
\theta_{x}'
, \theta_{y}'
 und \theta_{z}'
 aus der Anpassung.

Bestimmung der Masse des Rotors
Die Masse des Rotors können Sie aus der Annahme abschätzen, dass dieser in erster Näherung einem flachen Zylinder entspricht. Daraus besteht der folgende Zusammenhang

\begin{equation*}
\theta_{z}' = \frac{1}{2}M_{\mathrm{Rotor}}\left(\frac{d}{2}\right)^{2},
\end{equation*}

wobei M_{\mathrm{Rotor}}
 der Masse und d
 dem Durchmesser des Rotors entsprechen. aus der Kenntnis von \theta_{z}'
 und d
 lässt sich so M_{\mathrm{Rotor}}
 abschätzen.

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