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Ideales_und_reales_Gas/doc/Hinweise-Clement-Desormes.md

+# Hinweise für den Versuch: "Ideales und reales Gas" 
+
+## Messung des Adiabatenexponenten nach der Methode von [Clément-Desormes](https://de.wikipedia.org/wiki/Experiment_von_Cl%C3%A9ment-Desormes)
+
+### Relevante Zustandgleichungen idealer Gase
+
+Für die Zustandsänderungen idealer Gase gilt die **ideale Gasgleichung**
+$$
+\begin{equation}
+pV=n\,R\,T,
+\end{equation}
+$$
+wobei $R$ der idealen Gaskonstanten und $p$ dem Druck, $V$ dem Volumen, $T$ der Temperatur und $n$ der Stoffmenge des betrachteten Gases entsprechen.  
+
+Zustandsänderungen von Gasen, die ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung ($\delta Q=0$) stattfinden, bezeichnet man als [adiabatisch](https://de.wikipedia.org/wiki/Adiabatische_Zustands%C3%A4nderung). Sie können mit Hilfe der **Adiabatengleichungen**
+$$
+\begin{equation}
+p\,V^{\kappa} = const.;\quad T\,V^{\kappa-1} = const.
+\end{equation}
+$$
+beschrieben werden. Beide Gleichungen sind von Relevanz für die Bestimmung des Adiabatenexponenten $\kappa$ nach Clément-Desormes.  
+
+### Messverfahren
+
+Eine Skizze zur Beschreibung des Verfahrens zur Bestimmung von $\kappa$ ist in **Abbildung 2** links gezeigt: 
+
+<img src="../figures/Clement-Desormes.png" width="1000" style="zoom:60%;" />
+
+**Abbildung 1**: ((Links: Apparatur zur Bestimmung von $\kappa$ nach dem Verfahren von Clement-Desormes. Rechts: Phasendiagramm zum Messverfahren. Entlang der gestrichtelten Linien findet Stoffaustausch statt ($n\neq const.$))
+
+---
+
+Im Zentrum der Apparatur steht ein Kolben K in den mit einer geeigneten Pumpe mit nicht allzu hohem Überdruck zusätzliches Arbeitsgas (in unserem Fall Luft) gepumpt werden kann. Ein Flüssigkeitsmanometer dient zur Bestimmung des Drucks in K. Über ein Ventil kann der Überdruck in K abgelassen werden. 
+
+Aus dem Anfangszustand $\left(\begin{array}{ccc}p_{0}& V_{0} & T_{0}\end{array}\right)$ gehen Sie wie folgt vor:
+
+- **Zustand (1)**: Erzeugen Sie mit dem Handblasebalg einen (nicht allzu großen) Überdruck in K. Warten Sie daraufhin einige Minuten lang den Temperaturausgleich duch **isochore Abkühlung** ab (gestrichelte Linie von (3) nach (1) in **Abbildung 2** rechts). Dabei fällt der Überdruck wieder leicht ab. Das System hat nun den Zustand
+
+  ```math
+  \begin{equation*}
+  \left(\begin{array}{ccc}p_{1} & V_{0} & T_{0}\end{array}\right),
+  \end{equation*}
+  ```
+
+  mit $p_{1}\equiv p_{0}+\Delta p_{1}$ und $´p_{1}>p_{0}´$.
+
+- **Zustand (2)**: Öffnen Sie das Ventil der Flasche (für ${\approx}3\ \mathrm{s}$) und schließen Sie es unmittelbar wieder, so dass es zu einem Druckausgleich mit der Umgebung durch **adiabatische Expansion** kommen kann (durchgezogene Linie von (1) nach (2) in **Abbildung 2** rechts). Das System hat daraufhin den Zustand 
+
+  ```math
+  \begin{equation*}
+  \left(\begin{array}{ccc}p_{0} & V_{0}+\Delta V & T_{1} \end{array}\right),
+  \end{equation*}
+  ```
+
+  mit $T_{1} = T_{0} - \Delta T$ und $´T_{1}<T_{0}´$. 
+
+- **Zustand (3)**: Nach schließen des Ventils ist $V_{0}$ in der Flasche wieder fest vorgegeben (gestrichelte Linie von (2) nach (3) in **Abbildung 2** rechts). Das System hat somit den Zustand 
+
+  ```math
+  \begin{equation*}
+  \left(\begin{array}{ccc}p_{0} & V_{0} & T_{1} \end{array}\right).
+  \end{equation*}
+  ```
+
+- **Zustand (4)**: Durch Temperaturausgleich (nach einer Wartezeit von ${\approx}10\,\mathrm{s}$) stellt sich aufgrund **isochorer Erwärmung** erneut ein Überdruck ein (duchgezogene Linie von (3) nach (4) in **Abbildung 2** rechts). Das System hat daraufhin den Zustand 
+
+  ```math
+  \begin{equation*}
+  \left(\begin{array}{ccc}p_{2} & V_{0} & T_{0} \end{array}\right),
+  \end{equation*}
+  ```
+  
+  mit $p_{2}\equiv p_{0}+\Delta p_{2}$ und $´p_{1}>p_{2}>p_{0}´$.
+
+Aus **(4)** kehrt die Apparatur durch Belüftung wieder in den **(3)** zurück. **(1)** ist der Zustand mit dem die Messung beginnt; **(3)** dient dazu das Volumen $V_{0}$ wieder durch äußere Randbedingungen vorzugeben. Beachten Sie, das in beiden Fällen die Stoffmenge $n$ des betrachteten Arbeitsgases nicht konstant ist (gestrichelte Linien in **Abbildung 2** rechts). Für die Bestimmung von $\kappa$ interessant sind die Änderungen von **(1) nach (2)** und von **(3) nach (4)**.  
+
+### Übergang von (1) nach (2)
+
+Für die **adiabatische Expansion** beim Übergang von **(1) nach (2)** gilt (nach den Gleichungen **(2)**): 
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&\left(p_{0}+\Delta p_{1}\right)\,V_{0}^{\kappa} = p_{0}\,\left(V_{0}+\Delta V\right)^{\kappa}\\
+&\\
+&T_{0}\,V_{0}^{\kappa-1} = \left(T_{0}-\Delta T\right)\,\left(V_{0}+\Delta V\right)^{\kappa-1}.\\
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+Für kleine Volumenänderungen $\Delta V\ll V_{0}$ gilt die Näherung  
+
+$$
+\begin{equation*}
+\left(V_{0}+\Delta V\right)^{\kappa}\approx V_{0}^{\kappa}\left(1+\kappa\frac{\Delta V}{V_{0}}\right),
+\end{equation*}
+$$
+woraus nach einigen Umformungen
+
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&\frac{\Delta p_{1}}{p_{0}} = \kappa \frac{\Delta V}{V_{0}}\\
+&\\
+&\frac{\Delta T}{T_{0}}\approx\frac{\Delta T}{T_{0}-\Delta T} = \left(\kappa-1\right)\frac{\Delta V}{V_{0}}\\
+&\\
+&\frac{\Delta T}{T_{0}} = \frac{\kappa-1}{\kappa}\frac{\Delta p_{1}}{p_{0}}\\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+folgt.
+
+### Übergang von (3) nach (4):
+
+Für die **isochore Erwärmung** beim Übergang von **(3) nach (4)** gilt (nach Gleichung **(1)**):
+
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&\frac{T_{0}-\Delta T}{T_{0}} = \frac{p_{0}}{p_{0}+\Delta p_{2}};\\
+&\\
+&\frac{\Delta T}{T_{0}} = 1-\frac{p_{0}}{p_{0}+\Delta p_{2}}
+\approx \frac{\Delta p_{2}}{p_{0}},\\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+wobei der Quotient auf der rechten Seite von Gleichung **(4) unten** für $\Delta p_{2}\ll p_{0}$ durch eine geometrischen Reihe genähert wurde. 
+
+### Berechnung von $\kappa$ 
+
+Gleichsetzen der Gleichungen **(3)** und **(4)** führt auf:
+
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&\frac{\kappa-1}{\kappa}\Delta p_{1} = \Delta p_{2}; \\
+&\kappa = \frac{\Delta p_{1}}{\Delta p_{1} - \Delta p_{2}}
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+Für die Manometerkuppen im Flüssigkeitsmanometer gilt: 
+
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+& p(\Delta h_{i}) = p_{0} + \rho\,g\,\Delta h_{i};\\
+&\\
+&\Delta p_{i} = p(\Delta h_{i}) - p_{0} = \rho\,g\,\Delta h_{i}
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+wobei $\rho$ der Dichte der Manometerflüssigkeit und $g$ der Erdbeschleunigung entsprechen, woraus sich direkt die finale Bestimmungsgleichung für $\kappa$ ergibt: 
+$$
+\begin{equation*}
+\kappa = \frac{\Delta h_{1}}{\Delta h_{1}- \Delta h_{2}}
+\end{equation*}
+$$
+
+# Navigation
+
+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/tree/main/Ideales_und_reales_Gas)
+
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Ideales_und_reales_Gas/doc/Hinweise-Dampfdruckkurve.md

+# Hinweise für den Versuch: "Ideales und reales Gas" 
+
+## Phasendiagramme und Dampfdruckkurve
+
+Übergänge der einzelnen Phasen 
+
+- fest, 
+- flüssig und 
+- gasförmig 
+
+eines Stoffes werden mit Hilfe von [Phasendiagrammen](https://de.wikipedia.org/wiki/Phasendiagramm) dargestellt. In einem abgeschlossenen Volumen $V$ gibt es, für eine gegebene Temperatur $T$, jeweils nur einen bestimmten Druck $p(T)$, bei dem zwischen zwei Phasen eines Stoffes ein thermodynamisches Gleichgewicht herrscht. Ein thermodynamisches Gleichgewicht zwischen allen drei Phasen eines Stoffs existiert nur an einem einzigen Punkt im Phasendiagramm, dem **Tripelpunkt**. 
+
+Das Phasendiagramm für den Übergang von "flüssig" zu "gasförmig" heißt Dampfdruckkurve. Für einen Carnot-Prozess gilt allgemein:
+
+$$
+\begin{equation*}
+\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{d}T} = -\frac{Q}{T}
+\end{equation*}
+$$
+Mit $\mathrm{d}W = \left(V_{\mathrm{fl}}-V_{\mathrm{gas}}\right)\,\mathrm{d}p$, mit den Volumina $V_{\mathrm{fl}}$ und $V_{\mathrm{gas}}$, die ein gegebener Stoff in flüssigem und gasförmigen Zustand einnimmt, wird daraus die [Clausius-Clapeyron-Gleichung](https://de.wikipedia.org/wiki/Clausius-Clapeyron-Gleichung): 
+
+$$
+\begin{equation}
+\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} = \frac{Q}{T\,\left(V_{\mathrm{gas}} - V_{\mathrm{fl}}\right)}.
+\end{equation}
+$$
+Diesem Zusammenhang nach benötigt man die Wärme $Q$, um bei der Temperatur $T$ eine Flüssigkeit mit $V_{\mathrm{fl}}$ in ein Gas mit $V_{\mathrm{gas}}$ zu überführen. 
+
+Für die weiteren Betrachtungen machen wir die Annahme 
+
+$$
+\begin{equation*}
+V_{\mathrm{fl}}<<V_{\mathrm{gas}}
+\end{equation*}
+$$
+ und betrachten den Dampf als ideales Gas mit 
+
+$$
+\begin{equation*}
+V_{\mathrm{gas}} = \frac{n\,R\,T}{p},
+\end{equation*}
+$$
+womit Gleichung **(1)**, nach Separation der Variablen, die folgende Form annimmt: 
+
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&\frac{\mathrm{d}p}{p} = \frac{Q}{n\,R}\,\frac{\mathrm{d}T}{T^{2}} \\
+&\\
+&p(T) = p_{0}\exp\left(-\frac{Q}{n\,R\,T}\right). \\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+Bei Gleichung **(2)** handelt es sich um die zu erwartende funktionale Form der Dampfdruckkurve.
+

Ideales_und_reales_Gas/doc/Hinweise-Gasthermometer.md

+# Hinweise für den Versuch: "Ideales und reales Gas" 
+
+##  Messung des absoluten Nullpunkts mit Hilfe eines Gasthermometers
+
+Der grundsätzliche Aufbau des Gasthermometers und die im weiteren Verlauf verwendeten Bezeichnungen sind in **Abbildung 1** dargestellt: 
+
+<img src="../figures/Gasthermometer.png" width="750" style="zoom:60%;" />
+
+**Abbildung 1**: (Prinzipieller Aufbau eines Gasthermometers und im Text verwendete Bezeichnungen)
+
+---
+
+Ein Glaskolben (K) befindet sich in einem [Wärmebad](https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%A4rmebad) (W) und ist mit einem zweifach geschwungenen U-Rohr verbunden. Das untere U bildet ein flexibler Gummischlauch. Dieser trennt das Rohr in einen (RL) linken und (RR) rechten Schenkel. RR ist beweglich montiert. In K ist das Volumen $V$ des Arbeitsgases eingeschlossen. Das Rohr wird durch eine Flüssigkeit (i.a. Quecksilber, $\mathrm{Hg}$) dicht abgeschlossen. Der Volumenanteil $\delta V$ im der Rohrzuleitung RZ ist klein gegen $V$. Für den Druck $p$ in K gilt 
+$$
+\begin{equation*}
+p(\Delta h) = p_{\mathrm{norm}} + \rho(\mathrm{Hg})\,g\,\Delta h, 
+\end{equation*}
+$$
+wobei $p_{\mathrm{norm}}$ dem Umgebungsdruck, $\rho(\mathrm{Hg})$ der Dichte von $\mathrm{Hg}$ und $g$ der Erdbeschleunigung entsprechen.  
+
+Die Temperaturmessung beruht auf der [idealen Gasgleichung](https://de.wikipedia.org/wiki/Thermische_Zustandsgleichung_idealer_Gase) 
+$$
+\begin{equation*}
+p(V, T) = \frac{n\,R\,T}{V},
+\end{equation*}
+$$
+wobei $T$ der Temperatur (in $\mathrm{K}$), $n$ der Stoffmenge und $R$ der idealen [Gaskonstanten](https://de.wikipedia.org/wiki/Gaskonstante) entsprechen. Für Messungen auf der $\mathrm{K}$-Skala werden wir die Variable $T$ verwenden, für Messungen auf der Celsius-Skala die Variable $\vartheta$. 
+
+Das Thermometer wird nach dem Prinzip der Druckmessung bei $V=const.,\ n=const.$ betrieben. In diesem Fall gilt $p\propto \vartheta$ mit 
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&\left.p(\vartheta)\right|_{V=const.} = p_{0}\left(1+\gamma\,\vartheta\right);\\
+&\\
+&\text{mit:}\\
+&\\
+&p_{0}=p(\vartheta=0^{\circ}\mathrm{C}).\\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+Die Steigung $\gamma$ wird als [Volumenausdehnungskoeffizient](https://de.wikipedia.org/wiki/Ausdehnungskoeffizient) bezeichnet. Laut Gleichung **(1)** verschwindet der Gasdruck $p(\vartheta_{0})$ bei einer Temperatur von 
+$$
+\begin{equation*}
+\vartheta_{0}=-1/\gamma.
+\end{equation*}
+$$
+Diese Temperatur bezeichnet man als **absoluten Nullpunkt**.
+
+Zur Messung von $\gamma$ tauchen Sie K vollständig in ein [Wärmebad](https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%A4rmebad) ein, dass Sie mit destilliertem Wasser herstellen. Wenn Sie den Druck bei der Siede- ($T_{s}$) und Schmelztemperatur von Wasser messen erhalten Sie, ohne ein weiteres Thermometer benutzen zu müssen, eine Abschätzung aus der Beziehung 
+$$
+\begin{equation*}
+\gamma = \frac{p(\vartheta_{s}) - p_{0}}{p_{0}\,\vartheta_{s}}.
+\end{equation*}
+$$
+Sowohl bei der Siede- als auch bei der Schmelztemperatur wird Wärme in [latente Wärme](https://de.wikipedia.org/wiki/Latente_W%C3%A4rme) umgewandelt, so dass $\vartheta=const.$ gilt. 
+
+Diese Art der Messung setzt den linearen Zusammenhang $p(\vartheta)$ aus Gleichung **(1)** voraus. 
+
+# Navigation
+
+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/tree/main/Ideales_und_reales_Gas)
+
+
+

Ideales_und_reales_Gas/doc/Hinweise-Ruechardt.md

+# Hinweise für den Versuch: "Ideales und reales Gas" 
+
+## Messung des Adiabatenexponent nach der Methode von [Rüchardt](https://de.wikipedia.org/wiki/R%C3%BCchardt-Experiment)
+
+### Prinzip der Messung
+
+Bei dieser Methode schwingt ein Pfropfen auf einem Luftpolster, das durch den Schwingungsvorgang in nahezu adiabatische Kompression und Expansion versetzt wird. Nach der Adiabatengleichung gilt in diesem Fall: 
+
+$$
+\begin{equation*}
+p\,V^{\kappa} = const.
+\end{equation*}
+$$
+Für differentielle Druck- und Volumenänderungen ergibt sich daraus:
+
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V} = -const.\,\kappa\,V^{-\kappa-1} \\
+&\hphantom{\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}V}}= -\kappa\frac{p}{V}; \\
+&\\
+&\mathrm{d}p = -\kappa\frac{p}{V}\,\mathrm{d}V. \\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+Aus der Multiplikation von Gleichung **(1)** mit dem Rohrinnenquerschnitt $A$ ergibt sich die Kraft auf den Pfropfen und eine lineare Schwingungsgleichung für die Bewegung des Pfropfens:
+
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&\mathrm{d}F = -\kappa\frac{p}{V}A^{2}\,\mathrm{d}x; \\
+&\\
+&m\,\ddot{x} = -\kappa\frac{p}{V}A^{2}\,x,
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+wobei $m$ der Masse des Pfropfens entspricht. An dieser Stelle wird die Näherung vorgenommen, dass sich $p$ und $V$ durch die Bewegung des Pfropfens aus seiner Ruhelage nur geringfügig ändern ($p\approx const.,\ V\approx const.$). Aus Gleichung **(2)** lässt sich die Periode 
+
+$$
+\begin{equation}
+t = 2\pi\sqrt{\frac{m\,V}{\kappa\,p\,A^{2}}}
+\end{equation}
+$$
+der Schwingung ableiten, woraus sich $\kappa$ bestimmen lässt:
+
+$$
+\begin{equation*}
+\kappa = \left(\frac{2\pi}{t}\right)^{2}\frac{m\,V}{p\,A^{2}}.
+\end{equation*}
+$$
+Beachten Sie, dass die etwas unintuitive Bezeichnung $t$ für die Periode, um Verwechslungen mit der Temperatur zur vermeiden.
+
+# Navigation
+
+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/tree/main/Ideales_und_reales_Gas)
+
+
+

Ideales_und_reales_Gas/doc/Hinweise-Versuchsdurchfuehrung.md

+# Hinweise für den Versuch: "Ideales und reales Gas" 
+
+##  Aufgabe 1: Messung des absoluten Nullpunkts mit Hilfe eines Gasthermometers
+
+### Hinweise zur Durchführung
+
+- Die Annahme $\vartheta=const.$ bei der Side- und Schmelztemperatur setzt ein **thermisches Gleichgewicht** voraus, das insbesondere bei Eiswasser nicht immer gegeben ist.
+
+- Schieben Sie das Becherglas vorsichtig von unten kommend so hoch wie möglich über K. Füllen Sie es dann mit einem Gemisch aus möglichst _fein_ zerstoßenem Eis und Wasser, so dass K möglichst ganz bedeckt ist. Rühren Sie die Mischung vorsichtig durch, so dass eine möglichst homogene Temperaturverteilung im Bereich $\vartheta=0^{\circ}\mathrm{C}$ im Wärmebad entsteht. 
+
+- Die Luft in K beginnt daraufhin abzukühlen, worauf in K ein Unterdruck relativ zur Umgegung entsteht. Justieren Sie, während dieses Vorgangs RR bis zum Anschlag nach unten **um zu verhindern, dass $\mathrm{Hg}$ in K eingesogen wird**. 
+
+- Nach ${\approx}15\ \mathrm{min}$ sollte die Luft in K die Temperatur des Wärmebads angenommen haben. Regeln Sie die Höhe der $\mathrm{Hg}$-Kuppe in RL so ein, dass sie gerade die Spitze S berührt. Sie erreichen dies, indem Sie RR langsam nach oben verschieben. Aus der Höhendifferenz $\Delta h$ der beiden Quecksilberkuppen können Sie $p_{0}$ bestimmen. Um den Druck in $\mathrm{mbar}$ zu erhalten verwenden Sie die Umrechnung
+  ```math
+  \begin{equation*}
+  1\,\mathrm{mm\,Hg} = 1,33322\,\mathrm{mbar}
+  \end{equation*}
+  ```
+
+- Bringen Sie dannn das Wasser in W auf Siedetemperatur $\vartheta_{s}$. Beachten Sie dabei die folgenden Punkte: 
+
+  - $\vartheta_{s}$ ist selbst druckabhängig. Eine Dampfdruckkurve für Wasser, ebenso wie ein Barometer zur Bestimmung des Umgebungsdrucks liegen in den Versuchsräumen aus.
+  - Achten Sie auch beim Heizen darauf, dass K immer vollständig mit Wasser bedeckt ist. 
+  - Bevor Sie $p(\vartheta_{s})$ wie oben bestimmen, sollte das Wasser einige Minuten lang sieden, um sicher zu stellen, dass die W im thermischen Gleichgewicht befindet.
+
+### Hinweise zur Auswertung
+
+- Wenn Sie $\gamma$ genauer bestimmen wollen, sollten Sie sich zu einigen zusätzlichen Effekten Gedanken machen, die Ihre Messung verfälschen können:
+
+  - K hat selbst eine thermische Ausdehnung;
+  - K verformt sich unter Druck;
+  - Luft ist kein ideales Gas;
+  - Ein Teil des Gases befindet sich (bei Raumtemperatur) in RZ, außerhalb von K.
+
+  Alle Effekte bis auf die thermische Ausdehnung von K sind tatsächlich sehr klein, so dass Sie sie in Ihrer Auswertung vernachlässigen können. Sie sollten Sie aber dennoch diskutieren. 
+
+- Geben Sie in einer Tabelle an, ob eine entsprechende Variationen $\gamma$ vergößert oder verkleinert. 
+
+#### Korrektur auf die thermische Ausdehnung von K
+
+Einen Korrekturterm für die thermische Ausdehnung von K erhalten Sie aus der folgenden Überlegung: Bei $\vartheta_{s}$ hat sich das von K vorgegebene Volumen $V_{\mathrm{K}}$ um den Faktor 
+$$
+\begin{equation*}
+\frac{V_{\mathrm{K}}^{\prime}}{V_{\mathrm{K}}} = 1+\vartheta_{s}\gamma_{\mathrm{K}}
+\end{equation*}
+$$
+ausgedehnt, wobei Sie für Glas den kubischen Ausdehnungskoeffizient 
+$$
+\begin{equation*}
+\gamma_{K}=(0.9\pm0.1)\times10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}
+\end{equation*}
+$$
+annehmen können. Nach der idealen Gasgleichung ($pV=const.$) ist $p(\vartheta_{s})$ um den entsprechenden Faktor zu verringern. Aus Gleichung **(1)** hier ergibt sich damit
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&p(\vartheta_{s}) = \frac{p_{0} + \gamma\,p_{0}\,\vartheta_{s}}{1+T_{s}\gamma_{\mathrm{K}}}; \\
+&\\
+&\gamma^{(1)} = \frac{\left(1+T_{s}\gamma_{\mathrm{K}}\right)\,p(\vartheta_{s})-p_{0}}{p_{0}\,\vartheta_{s}}; \\
+&\hphantom{\gamma^{(0)}} = \underbrace{\frac{p(\vartheta_{s})-p_{0}}{p_{0}\,\vartheta_{s}}} + \underbrace{\frac{p(\vartheta_{s})}{p_{0}}\,\frac{T_{s}}{\vartheta_{s}}\,\gamma_{\mathrm{K}}} \\
+& \hphantom{ccccccccccc} \gamma^{(0)}
+\hphantom{ccccccccccc}\delta\gamma\\
+&\\
+&\text{mit:}\\
+&\\
+&T_{s} = \vartheta_{s}+\frac{1}{\gamma}.\\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+Es ergibt sich also ein additiver Korrekturterm $\delta\gamma$ zur ursprünglichen Abschätzung $\gamma^{(0)}$. 
+
+Es zeigt sich, dass Sie die Berechnung von $\delta\gamma$ bereits einen Wert für $T_{s}$ (und damit für $\gamma$) voraussetzt. Sie können Gleichung **(1)** nach $\gamma$ auflösen und die Korrektur exakt berechnen. Ein in der Praxis oft angewandtes Vorgehen besteht jedoch darin iterativ vorzugehen. Hierzu bestimmen Sie $\gamma^{(0)}$ zunächst ohne Korrektur und verwenden diesen Wert zur Bestimmung von $\delta\gamma$. 
+
+## Aufgabe 2: Messung des Adiabatenexponenten $\kappa$ 
+
+### Aufgabe 2.1: Messung nach der Methode von  [Clément-Desormes](https://de.wikipedia.org/wiki/Experiment_von_Cl%C3%A9ment-Desormes)
+
+- Erzeugen Sie mit dem Handblasebalg nicht zu viel Überdruck $\Delta p_{1}$, da sonst beim Druckausgleich im Übergang von Zustand **(1) nach (2)** Flüssigkeit vom Flüssigkeitsmanometer in K eindringen kann. 
+- Achten Sie darauf, dass sich ein Gleichgewichtszustand einstellt bevor Sie das Manometer ablesen.  
+- Ein Schwachpunkt dieser Messung besteht in der Trägheit der Manometerflüssigkeit, die beim Übergang von **(2) nach (3)** in Schwingung versetzt wird. Dies beeinflusst den Druck beim Schließen des Ventils und damit direkt die Bestimmung von $\Delta p_{2}$. Versuchen Sie mit dem Schließen des Ventils den Nulldurchgang der Schwingung abzupassen. Dies wird einfacher, wenn Sie beim Schließen des Ventils so weit wie möglich das Abklingen der Schwingung abwarten. 
+- Führen Sie eine Messreihe mit mindestens 10 Einzelmessungen (Stichprobenlänge 10) durch und bestimmen Sie Messwert und Unsicherheit aus Mittelwert und Varianz der Stichprobe.  
+
+### Aufgabe 2.2: Messung nach der Methode von [Rüchardt](https://de.wikipedia.org/wiki/R%C3%BCchardt-Experiment) 
+
+#### Originalmethode nach Rüchardt:
+
+- **Diese Messung führen Sie nur für Luft durch.**  
+- In diesem Fall erzeugen Sie die Schwingung mit Hilfe einer Stahlkugel als Pfropfen, deren Durchmesser exakt mit dem Innendurchmesser eines Glasrohrs übereinstimmt, so dass sie das Glasrohr nahezu luftdicht verschließt. Das Glasrohr wird mit Hilfe eines durchbohrten Stopfens ebenfalls möglichst luftdicht auf eine der bereitgestellten $10\ \mathrm{l}$-Flaschen aufgesetzt. Bei dieser Anordnung schwingt die Kugel auf einem Luftpolster mit großem Volumen $V$ während $A$ klein ist, $t$ ist daher groß genug, so dass Sie die Schwingung gut beobachten und $t$ gut bestimmen können.  Nehmen Sie für das Volumen dieses Luftkissens $V=10.58\ \mathrm{l}\pm0.3\%$ an.
+- Bei Glasrohr und Stahlkugel handelt es sich um **Präzisionsanfertigungen, die mit größter Sorgfalt zu behandeln sind!** Damit die Kugel das Glasrohr luftdicht abschließen, sich aber gleichzeitig möglichst reibungsfrei darin bewegen kann müssen die folgenden Bedingungen so gut wie möglich erfüllt sein: 
+
+  - Das Glasrohr muss möglichst genau senkrecht stehen.
+  - Sowohl das Glasrohr, als auch die Stahlkugel müssen äußerst sauber sein. 
+  - Alle Stopfen müssen luftdicht abschließen.
+- Reinigen Sie Kugel und Rohrinnenfläche sorgfältig mit einem Lederlappen. **Berühren Sie die Kugel nach Möglichkeit niemals mit bloßen Fingern.** Sollte dies dennoch geschehen, wiederholen Sie den Reinigungsvorgang.
+
+- Setzen Sie das Glasrohr so ein, dass der durchbohrte Stopfen möglichst luftdicht abschließt. 
+- Lassen Sie die Kugel aus dem Lederlappen behutsam ins Glasrohr gleiten und bestimmen Sie $t$ aus möglichst vielen, mindestens aber 5 Schwingungen. 
+- Wiederholen Sie diesen Vorgang mehrfach, um ein Maß für die Streuung zu erhalten. Um die Kugel nach Beendigung einer Messreihe aus dem Rohr zu entnehmen, kippen Sie die Flasche –so lange die Kugel sich noch in der Glasröhre befindet– vorsichtig um und lassen Sie die Kugel in die bereitstehende Plastikschale gleiten.
+
+#### Methode mit dem Kolbenprober
+
+- **Diese Messung führen Sie für Luft und für das Edelgas Argon durch.**  
+
+- In diesem Fall ersetzt der Kolbenprober das Glasrohr und die Kugel; $V$ und $t$ sind deutlich kleiner, als bei der originalen Anordnung von Rüchardt , so dass $t$ elektronisch, mit Hilfe eines angebrachten Magneten, einer Induktionsspule um den Kolbenprober und eines Frequenzzählers bestimmt wird. 
+
+- Indem Sie die Induktionsspule verschieben können Sie die Werte von $V$ selbst bestimmen. Messen Sie $t$ für Werte zwischen $V=30-80\ \mathrm{ml}$. Die Bestimmung von $\kappa$ erfolgt dann durch geeignete Anpassung des Zusammenhangs aus Gleichung **(3)** hier an die gemessenen Wertepaare 
+
+  ```math
+  \left(\begin{array}{cc}V_{i} & t_{i}\end{array}\right).
+  ```
+
+- **Führen Sie diese Messung erst mit Luft und dann mit dem Edelgas Argon durch** und überprüfen Sie, ob $\kappa$ mit der Erwartung
+
+  ```math
+  \begin{equation*}
+  \kappa = \frac{f+2}{f}
+  \end{equation*}
+  ```
+
+  aus der [kinetischen Gastheorie](https://de.wikipedia.org/wiki/Kinetische_Gastheorie) übereinstimmt, wobei $f$ der Anzahl der [Freiheitsgrade](https://de.wikipedia.org/wiki/Freiheitsgrad) des untersuchten Gases entspricht. Je nach Gas erwarten Sie die folgenden Werte für $f$:
+
+  - Edelgas: $f=3$
+  - $\mathrm{O_{2}}$, $\mathrm{N_{2}}$: $f=5$
+  - $\mathrm{CO_{2}}$: $f=7$
+
+## Aufgabe 3: Dampfdruckkurve von n-Hexan
+
+Bei diesem Versuch beobachten Sie den Phasenübergang zwischen "flüssig" und "gasförmig" von n-Hexan. 
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+- In einem Glaskolben befinden sich (in erster Näherung) nur die Flüssigkeit und der Dampf von $1\,\mathrm{mol}$ n-Hexan. Der Dampfdruck wird mit einem direkt verbundenen Quecksilbermanometer gemessen, dessen Stand Sie mit einem [Kathetometer](https://de.wikipedia.org/wiki/Kathetometer) ablesen können.
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+- Tauchen Sie den Kolben mit dem n-Hexan in ein Wärmebad, dessen Temperatur Sie so langsam verändern müssen, dass die Flüssigkeit und der Dampf an jedem Messpunkt im Gleichgewicht sind. Stellen Sie das Fernrohrokular des Kathetometers auf das Fadenkreuz ein. Während der Messung darf am Fernrohr selbst daraufhin nichts mehr verändert werden. 
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+- Zur Messung des Dampfdrucks bei Raumtemperatur visieren Sie die beiden
+  Quecksilberkuppen nacheinander an und lesen die jeweilige Höhendifferenz an der Kathetometerskala ab. **Den Fokus auf die Kuppen müssen Sie dabei durch Verschieben des ganzen Gestells erreichen.** Für die weiteren Druckmessungen genügt es, wenn Sie nur noch eine der beiden Kuppen anvisieren.
+- Achten Sie darauf, dass zu Beginn des Experiments kein flüssiges n-Hexan außerhalb des Wärmebads niedergeschlagen ist, was Ihre Messung verfälschen würde. Rühren Sie während des Versuches das Wärmebad langsam um, so dass Sie eine möglichst homogene Temperaturverteilung erhalten.
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+- Nehmen Sie zunächst die Dampfdruckkurve bei langsam sinkender Temperatur auf. Geben Sie hierzu fein zerstoßene Eisstückchen ins Wärmebad. Nehmen Sie dann die Dampfdruckkurve bei langsam steigender Temperatur auf. Gießen Sie hierzu dem Wärmebad destilliertes Wasser zu.
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+- Bestimmen Sie dann durch geeignete Anpassung des Zusammenhangs aus Gleichung **(2)** hier hier $Q_{\mathrm{M}}$. Wenn Sie für beide Messreihen vergleichbare Werte für $Q_{\mathrm{M}}$ erhalten können Sie davon ausgehen, dass Sie den Gleichgewichtszustand zwischen "flüssig" und "gasförmig" erfolgreich präpariert haben. 
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+# Navigation
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+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p2-praktikum/students/-/tree/main/Ideales_und_reales_Gas)