Aeromechanik/Aeromechanik.ipynb

+%% Cell type:markdown id:885c7767-e912-4e31-b5d6-3a3443ffa58e tags:
+
+# Fakultät für Physik
+
+## Physikalisches Praktikum P1 für Studierende der Physik
+
+Versuch P1-111, 112, 113 (Stand: **Oktober 2024**)
+
+[Raum F1-10](https://labs.physik.kit.edu/img/Klassische-Praktika/Lageplan_P1P2.png)
+
+
+
+# Aeromechanik
+
+%% Cell type:markdown id:6e7cb4cc-36a4-4f60-832b-5a0d9b171b22 tags:
+
+Name: __________________ Vorname: __________________ E-Mail: __________________
+
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&\\
+&\\
+\end{split}
+\end{equation*}
+
+Name: __________________ Vorname: __________________ E-Mail: __________________
+
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&\\
+&\\
+&\\
+\end{split}
+\end{equation*}
+
+Gruppennummer: _____
+
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&\\
+&\\
+&\\
+\end{split}
+\end{equation*}
+
+
+Betreuer: __________________
+
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&\\
+&\\
+&\\
+\end{split}
+\end{equation*}
+
+Versuch durchgeführt am: __________________
+
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+
+---
+
+**Beanstandungen zu Protokoll Version _____:**
+
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&\\
+&\\
+&\\
+&\\
+&\\
+&\\
+&\\
+&\\
+&\\
+&\\
+\end{split}
+%\text{\vspace{10cm}}
+\end{equation*}
+
+<br>
+Testiert am: __________________ Testat: __________________
+
+%% Cell type:markdown id:4b5836a8-619b-4c6c-a566-bba7a4313f32 tags:
+
+# Durchführung
+
+%% Cell type:markdown id:2c2f4772-ce8f-40a6-9005-78e10fc4f8a9 tags:
+
+**Detaillierte Hinweise zur Durchführung der Versuche finden Sie in der Datei [Aeromechanik_Hinweise.ipynb](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/Aeromechanik_Hinweise.ipynb)**
+
+%% Cell type:markdown id:adf238e6-5a0e-449a-acda-37a9eab56166 tags:
+
+## Aufgabe 1: Bernoulli-Gleichung
+
+**Die folgenden Versuche führen Sie im Zusammenhang mit der Vorbesprechung mit allen anderen Gruppen gemeinsam durch.**
+
+%% Cell type:markdown id:6cd00192-0e55-438a-b5e4-700e5693291f tags:
+
+### Aufgabe 1.1: Statischer und dynamischer Druck
+
+Bestimmen Sie den statischen und den dynamischen Druck im Luftstrom einer Düse bei Drehzahlen des Motors zur Erzeugung des Luftstroms von $f=2600\,\mathrm{U/min}$:
+
+ * Mit einer **Rohrsonde**.
+ * Mit einer **Scheibensonde**.
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:a5d840ee-01d0-4562-b389-1067c622cb40 tags:
+
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**
+
+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:6d254739-c320-4fa8-9dbb-955dcb6f6e76 tags:
+
+**L Ö S U N G**
+
+*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:1cf505e9-5042-4c59-a5c7-aa32907791b5 tags:
+
+**D I S K U S S I O N**
+
+*Fügen Sie eine abschließende Diskussion und Bewertung Ihrer Lösung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:20887c3e-9c2e-4cf2-918e-c6091ec8f900 tags:
+
+### Aufgabe 1.2: Venturirohr
+
+Beobachten und skizzieren Sie den **Verlauf des statischen Drucks** längs des Luftstroms im Venturirohr.
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:af58cd68-314f-4e94-b2c7-2d40c3e273df tags:
+
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**
+
+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:2c6e6dd8-bcfa-407c-b07e-3bb7dcf8f358 tags:
+
+**L Ö S U N G**
+
+*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:40bfc482-5af2-4420-b5d0-1e6e92aa1607 tags:
+
+**D I S K U S S I O N**
+
+*Fügen Sie eine abschließende Diskussion und Bewertung Ihrer Lösung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:97b7053b-f7c8-471f-bd76-01bb183198e0 tags:
+
+### Aufgabe 1.3: Aerodynamisches Paradoxon
+
+Lassen Sie Druckluft axial zentrisch zwischen zwei eng aneinanderliegenden Kreisscheiben einströmen, so dass sie radial nach außen entweicht und erklären Sie Ihre Beobachtung.
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:670ccfe4-8177-45ed-8d09-569b54a0d59a tags:
+
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**
+
+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:ec115e19-aff5-44ec-9746-f04f9246c1e2 tags:
+
+**L Ö S U N G**
+
+*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:3526d1b3-4db3-4608-b3a8-69055dc80e2f tags:
+
+**D I S K U S S I O N**
+
+*Fügen Sie eine abschließende Diskussion und Bewertung Ihrer Lösung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
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+---
+
+%% Cell type:markdown id:de3d08da-7ff9-4dae-ab9c-dd6fe791e95b tags:
+
+## Aufgabe 2: Charakterisierung des Luftstroms
+
+%% Cell type:markdown id:656420b1-cae2-44bf-b08a-7847276f8fc8 tags:
+
+### Aufgabe 2.1: Geschwindigkeitfeld
+
+Charakterisieren Sie das **Geschwindigkeitsfeld $v(r)$ des Luftstroms** für eine Drehzahl des Motors zur Erzeugung des Luftstrahls von $f=2600\,\mathrm{U/min}$.
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:d5211a23-2dcd-407a-a3ca-d75749655539 tags:
+
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**
+
+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:c292d9ca-11e7-4e75-a687-067d52dc23bb tags:
+
+**L Ö S U N G**
+
+*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*
+
+---
+
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+
+**D I S K U S S I O N**
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+*Fügen Sie eine abschließende Diskussion und Bewertung Ihrer Lösung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
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+---
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+%% Cell type:markdown id:d3dda936-f113-45ca-87bf-3bfe51644ad7 tags:
+
+### Aufgabe 2.2: Kalibration des Motors zur Erzeugung des Luftstroms
+
+Bestimmen Sie einen Zusammenhang zwischen Drehzahl des Motors zur Erzeugung des Luftstrahls und $v(d, r)$.
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:f6773107-d596-42d5-9194-37bb5b22be41 tags:
+
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**
+
+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+
+---
+
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+
+**L Ö S U N G**
+
+*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:a798bf66-7008-4eb9-993e-6868389f0d13 tags:
+
+**D I S K U S S I O N**
+
+*Fügen Sie eine abschließende Diskussion und Bewertung Ihrer Lösung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:feca48b4-4bfe-4fef-a577-27dc1f8fe1ac tags:
+
+## Aufgabe 3: Strömungswiderstand
+
+%% Cell type:markdown id:81728adc-faef-411b-94e7-1f0efdcee00f tags:
+
+### Aufgabe 3.1: Abhängigkeit von der Stirnfläche
+
+Messen Sie bei konstanter Strömungsgeschwindigkeit $v_{s}$ (entsprechend $f=2600\,\mathrm{U/min}$) den **Strömungswiderstand $F_{W}$ von drei Kreisscheiben** mit unterschiedlichen Radien $r_{i}$ und überprüfen Sie die Abhängigkeit von $F_{W}$ von der Fläche der Kreisscheiben.
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:77d2cb91-0b79-4856-984e-558bf978671e tags:
+
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**
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+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:1bfc8093-d438-45b4-a19b-46c9bfb383fb tags:
+
+**L Ö S U N G**
+
+*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*
+
+---
+
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+**D I S K U S S I O N**
+
+*Fügen Sie eine abschließende Diskussion und Bewertung Ihrer Lösung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+
+---
+
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+
+### Aufgabe 3.2: Abhängigkeit von der Geschwindigkeit des Luftstroms
+
+Messen Sie für **eine oder zwei Kreisscheiben Ihrer Wahl** $F_{W}$ in Abhängigkeit von $v_{s}$.
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:19764f8d-6370-41f5-aaed-e1433d41d7ea tags:
+
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**
+
+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+
+---
+
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+**L Ö S U N G**
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+*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*
+
+---
+
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+
+**D I S K U S S I O N**
+
+*Fügen Sie eine abschließende Diskussion und Bewertung Ihrer Lösung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:44dd4e62-90df-4b5d-83f5-7564c1b22df9 tags:
+
+### Aufgabe 3.3: Abhängigkeit von der Körperform
+
+Messen Sie nun bei konstanter Strömungsgeschwindigkeit $v_{s}$ (entsprechend $f=2600\,\mathrm{U/min}$) den **Strömungswiderstand $F_{W}$ von mindestens 2 der folgenden Körper**, die am Versuch ausliegen:
+
+ * Kugel,
+ * Halbkugel (die Messung ist hier in zwei Richtungen möglich!),
+ * Stromlinienkörper.
+
+Sie können sich die Richtung, in der Sie den ausgewählten Körper umströmen lassen aussuchen.
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:a8110650-83de-4c28-95a5-fb692aabdd33 tags:
+
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**
+
+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+
+---
+
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+
+**L Ö S U N G**
+
+*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:a9faea00-ce2c-4f89-a521-6d1d2cac448c tags:
+
+**D I S K U S S I O N**
+
+*Fügen Sie eine abschließende Diskussion und Bewertung Ihrer Lösung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:3dcd6b88-bae9-44d4-b6e3-b1da4ddc7176 tags:
+
+## Aufgabe 4: Auftrieb
+
+%% Cell type:markdown id:de3b3aae-7e7c-44c9-abdd-8c0c43c8c7f0 tags:
+
+### Aufgabe 4.1: Polardiagramm
+
+ * Messen Sie bei konstanter Strömungsgeschwindigkeit $v_{s}$ (entsprechend $f=2600\,\mathrm{U/min}$) den **Auftrieb und den Strömungswiderstand eines am Versuch ausliegenden Tragflügelmodells** als Funktion des Anstellwinkels $\alpha$ und bestimmen Sie daraus das **Polardiagramm**.
+ * Bestimmen Sie die größte **Gleitzahl $E_{\mathrm{max}}$ und den dazugehörigen optimalen Anstellwinkel $\alpha_{\mathrm{max}}$**.
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:ee0aad16-80d6-4e5a-a1dc-a584c817720e tags:
+
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**
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+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
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+
+**L Ö S U N G**
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+*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*
+
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+**D I S K U S S I O N**
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+*Fügen Sie eine abschließende Diskussion und Bewertung Ihrer Lösung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
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+
+### Aufgabe 4.2: Druckprofil
+
+Messen Sie bei konstanter Strömungsgeschwindigkeit $v_{s}$ (entsprechend $f=2600\,\mathrm{U/min}$) den Druck an den Messstellen des am Versuch ausliegenden Tragflächenmodells für die Anstellwinkel $\alpha_{i}=-20^{\circ},\,0^{\circ},\,+20^{\circ}$.
+
+---
+
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+
+**V E R S U C H S B E S C H R E I B U N G**
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+*Fügen Sie Ihre Versuchsbeschreibung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+
+---
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+**L Ö S U N G**
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+*Fügen Sie numerische Berechnungen zur Lösung dieser Aufgabe hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument. Um Code-Fragmente und Skripte in [Python](https://www.python.org/), sowie ggf. bildliche Darstellungen direkt ins [Jupyter notebook](https://jupyter.org/) einzubinden verwandeln Sie diese Zelle in eine Code-Zelle. Fügen Sie ggf. weitere Code-Zellen zu.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:49e74e25-8555-4430-81e0-61bd0d31e112 tags:
+
+**D I S K U S S I O N**
+
+*Fügen Sie eine abschließende Diskussion und Bewertung Ihrer Lösung hier ein. Löschen Sie hierzu diesen kursiv gestellten Text aus dem Dokument.*
+
+---
+
+%% Cell type:markdown id:f32d0de1-eef2-41cb-aeb0-3bdb30213988 tags:
+
+# Beurteilung
+
+%% Cell type:markdown id:af348773-3ad3-4a87-a1db-0ccc611f883d tags:
+
+ * Nach Abschluss des Versuchs haben Sie die Möglichkeit diesen Versuch individuell zu beurteilen.
+ * **Folgen Sie zur Beurteilung dieses Versuchs diesem [Link](https://www.empirio.de/s/tYVstb2b5V)**.
+ * Beachten Sie, dass jede:r Studierende nur einmal pro Versuch eine Beurteilung abgeben kann.
+ * Wir empfehlen die Beurteilung nach der Besprechung Ihrer Versuchsauswertung mit Ihrem:r Tutor:in auszufüllen.

Aeromechanik/Datenblatt.md

+# Technische Daten und Inventar für den Versuch Aeromechanik:
+
+Für den Versuch stehen Ihnen die folgenden Geräte und Apparaturen zur Verfügung:
+
+- Ein Motor zur Erzeugung eines laminaren Luftstroms (LS) mit stufenloser Drehzahleinstellung. 
+  - Die maximale Drehzahl liegt bei $f\approx 2800\ \mathrm{U/min}$. 
+  - Die Einlaufzeit des Motors liegt bei ca. $2\ \mathrm{min}$.
+  - Die Einstellzeit bei Drehzahländerungen liegt bei ca. $20\ \mathrm{s}$.
+- Eine Venturidüse mit acht festmontierten U-Rohr-Manometern.
+- Eine spezielle Platte mit Distanzstiften und Messbohrungen zur Demonstration des aerodynamischen Paradoxons.
+- Eine Düse zum Aufstecken mit einem Druchmesse von $d= 100\ \mathrm{mm}$ mit anschraubbarer Messstrecke der Länge $\ell=500\ \mathrm{mm}$ für einen passenden
+  Messwagen. 
+- Auf den Messwagen ist ein Sektorkraftmesser von bis zu $0.6\ \mathrm{N}$ mit Auftriebswaage aufsteckbar.
+- Ein Feinmanometer (mit gefärbter Petroleumfüllung, mit einem Messbereich von $p=0\ldots 310\ \mathrm{Pa}$ und einer Skala zum Ablesen der Windgeschwindigkeit. Die Manometerröhre ist beidseitig über Schläuche anschließbar. 
+- Eine Scheibensonde. 
+- Eine Rohrsonde.
+- Eine Torsions-Federwaage jeweils mit einem Messbereich von $0.8\ \mathrm{N}$ und $1.6\ \mathrm{N}$.
+- Kreisscheiben mit den Durchmessern $d=40,\ 56,\ 80\ \mathrm{mm}$. 
+- Verschiedene Widerstandskörper: 
+  - eine Halbkugel, 
+  - eine Vollkugel, 
+  - ein tropfenförmiger Stromlinienkörper. 
+  - Der (größte) Durchmesser beträgt jeweils $d=56\ \mathrm{mm}$.
+- Eine Stellfläche für ein Modellauto.
+- Ein Tragflächenmodell mit Bohrungen (siehe Skizze [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/figures/wing_profile.png)). 
+

Aeromechanik/README.md

@@ -4,13 +4,48 @@
 
 ## Physikalisches Praktikum P1 für Studierende der Physik
 
-Versuch P1-23, 24, 25 (Stand: Oktober 2023)
+Versuch P1-111, 112, 113 (Stand: **Oktober 2024**)
 
-[Raum F1-10](https://labs.physik.kit.edu/img/Praktikum/Lageplan_P1.png)
+[Raum F1-10](https://labs.physik.kit.edu/img/Klassische-Praktika/Lageplan_P1P2.png)
 
 
 
 # Aeromechanik
 
-In Bearbeitung
+## Motivation
 
+Im Rahmen dieses Versuch beschäftigen Sie sich mit den Grundlagen der [**Strömungsmechanik**](https://de.wikipedia.org/wiki/Str%C3%B6mungsmechanik) zur Beschreibung des Verhaltens strömdender Fluide. Als Fluide gelten Flüssigkeiten (im engeren Sinne), Gase und Plasmen. Sie komplettieren damit Ihr Rüstzeug zur Beschreibung von Massepunkten (im Rahmen der Punktmechanik), sowie ausgedehnten starren und elastisch verformbaren Körpern. Als Fluid dient uns Luft, womit wir uns im Bereich der **Aeromechnik** befinden. Die fundamentalten Gleichungen zur Beschreibung von Strömungen sind die nach [Leonhard Euler](https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler) benannten [**Euler-Gleichungen**](https://de.wikipedia.org/wiki/Euler-Gleichungen_(Str%C3%B6mungsmechanik)). Obwohl diese aus der Newtonschen Punktmechanik abgeleiteten werden begegnen Sie hier erstmals in Ihrem Studium Feldgleichungen, die keine Massepunkte, sondern ein Strömungsfeld $\vec{v}(\vec{r},t)$ als Ganzes beschreiben. Die Lösung dieser Gleichungen ist i.a. selbst unter einfachsten Bedingungen nicht analystisch geschlossen möglich und muss mit Hilfe numerischer Methoden erfolgen. Für den praktischen Gebrauch leitet man durch Richtungsintegration aus den Euler-Gleichungen die [**Bernoulli-Gleichung**](https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Gleichung) ab. [Leonhard Euler](https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler) und [Daniel Bernoulli](https://de.wikipedia.org/wiki/Daniel_Bernoulli) waren Zeitgenossen, die gemeinsam an der Beschreibung von Strömungen arbeiteten. In diesem Versuch betrachten Sie Luft als inkomressibles Fluid ohne innere Reibung. Für die in diesem Versuch verwendeten Strömungsgeschwindigkeiten sind diese Annahmen sehr gut erfüllt. Unter Berücksichtigung von Reibung gehen die Euler-Gleichungen in die [**Navier-Stokes-Gleichungen**](https://de.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes-Gleichungen) über. Im Rahmen dieses Versuchs messen den Luftwiderstand frei umströmter Gegenstände und den Auftrieb von Tragflächen. Schließlich machen Sie sich am Exeriment mit den Mechanismen vertraut, die ein Flugzeug fliegen lassen. 
+
+## Lehrziele
+
+Wir listen im Folgenden die wichtigsten **Lehrziele** auf, die wir Ihnen mit dem Versuch **Aeromechanik** vermitteln möchten: 
+
+- Sie beschäftigen sich qualitativ und quantitativ mit verschiedenen **Phänomenen der Strömungslehre**. Als Fluid dient Ihnen Luft.
+- Sie machen sich mit dem Wechselspiel des **dynamischen** und **statischen Drucks** vertraut. Dieses ist nicht immer intuitiv. Es führt zu Paradoxa der Aeromechanik und zu so überraschenden Phänomenen, wie dem des Fliegens!  
+- Sie führen Luftwiderstandmessungen und Messungen des Auftriebs von Tragflächen durch und bestimmen ein Polardiagramm. 
+
+## Versuchsaufbau
+
+Typische Aufbauten für den Versuch **Aeromechanik** sind in **Abbildung 1** gezeigt:
+
+---
+
+<img src="./figures/Aeromechanik.jpg" width="1000" style="zoom:100%;" />
+
+**Abbildung 2**: (Typische Aufbauten für den Versuch **Aeromechanik**)
+
+---
+
+Für diesen Vresuch steht Ihnen ein Motor mit Düse zur Erzeugung eines laminaren Luftstroms, verschiedene Testobjekte und Drucksonden, sowie eine Zeissschiene zur Monatge verschiedener Messanordungen zur Verfügung. Der Druck wird hydrostatisch gemessen. Je nach Aufgabe fügen Sie verschiedene Objekte in den Luftstrahl ein und messen verschiedene Drücke, den Strömungswiderstand oder den Auftrieb. 
+
+## Wichtige Hinweise
+
+- Der Betrieb des Motors mit Düse ist auf die Dauer relativ geräuschintensiv. Es kann sich lohnen Oropax zur Hand zu haben.
+
+# Navigation
+
+- [Aeromechanik.iypnb](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/Aeromechanik.ipynb): Aufgabenstellung und Vorlage für Ihr Protokoll.
+- [Aeromechanik_Hinweise.ipynb](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/Aeromechanik_Hinweise.ipynb): Hinweise zu den Aufgaben.
+- [Datenblatt.md](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/Datenblatt.md): Technische Details zu den Versuchsaufbauten.
+- [doc](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Aeromechanik/doc): Dokumente zur Vorbereitung auf den Versuch.
+- [figures](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Aeromechanik/figures): Bilder, die für die Dokumentation des Versuchs verwendet wurden.

Aeromechanik/doc/Hinweise-Druck.md

+# Hinweise für den Versuch Aeromechnik
+
+## Fluide
+
+Im Rahmen dieses Versuchs untersuchen Sie die Eigenschaften von **Luftströmungen**. Dabei lernen Sie Gesetzmäßigkeiten der Stömungslehre kennen, die für alle [Fluide](https://de.wikipedia.org/wiki/Fluid) gelten. Der Begriff Fluid bezeichnet Stoffe die fließen. Ein Stoff fließt, wenn er sich unter dem Einfluss von [Scherkräften](https://de.wikipedia.org/wiki/Scherkraft) kontinuierlich [verformt](https://de.wikipedia.org/wiki/Verformung). Dazu zählen 
+
+- Flüssigkeiten, 
+- Gase und 
+- Plasmen. 
+
+Der [Schubmodul](https://de.wikipedia.org/wiki/Schubmodul) (siehe Versuch [Elastizität](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Elastizitaet?ref_type=heads)) **idealer Fluide** (ohne innere Reibung) ist Null. In diesem Versuch machen Sie Experimente mit Luft. Wir betrachten die Luft als **inkompressibel**. Das Flüssigkeiten, wie z.B. Wasser, inkompressibel sind wirkt nachvollziehnbar. Luft kann jedoch bis zu Strömungsgeschwindigkeiten in der Größenordnung der Schallgeschwindigkeit (von $v_{s}=343.2\ \mathrm{m/s}$ unter Normbedingungen) ebenfalls als inkompressibel angenommen werden. 
+
+In den folgenden Ausführungen werden wir zum leichteren Verständnis, je nach Zusammenhang von einer Flüssigkeit oder von Luft, als einem Gas, augehen. Alle Gesetzmäßigkeiten sind jedoch **auf alle Fluide anwendbar**.
+
+## Kontinuitätsgleichung
+
+Wir betrachten den Strom einer inkompressiblen Flüssigkeit durch ein sich verjüngendes Rohr, wie in **Abbildung 1** gezeigt:
+
+---
+
+<img src="../figures/Massenerhaltung.png" width="1000" style="zoom:100%;" />
+
+**Abbildung 1**: (Stationärer Strom einer inkompressiblen Flüssigkeit (von links nach rechts) durch ein sich verjüngendes Rohr. Zusätzlich eingezeichnet sind die Massenelemente $\mathrm{d}m_{1}$ und $\mathrm{d}m_{2}$ und die Geschwindigkeiten an den Punkten $\vec{r}$ und $\vec{r}'$)
+
+---
+
+Für zwei gleichgroße Massenelemente $\mathrm{d}m_{1}=\mathrm{d}m_{2}=\mathrm{d}m$ gilt:
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+\mathrm{d}m &= \rho\,\mathrm{d}V \\
+&= \rho\,A_{1}\,\mathrm{d}x_{1} \\
+&= \rho\,A_{2}\,\mathrm{d}x_{2}, \\
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+d.h. wenn sich die Flüssigkeit mit dem Massenfluss 
+$$
+\begin{equation*}
+\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}
+\end{equation*}
+$$
+durch das Rohr bewegt verhalten sich die Fließgeschwindigkeiten der Massenelemente wie
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = \rho\,A_{1}\,v_{1} =
+\rho\,A_{2}\,v_{2}; \\
+&\\
+&\frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{A_{1}}{A_{2}};\\
+&\\
+&\text{mit:} \\
+&\\
+&v_{1}\equiv\frac{\mathrm{d}x_{1}}{\mathrm{d}t};
+\qquad
+v_{2}\equiv\frac{\mathrm{d}x_{2}}{\mathrm{d}t}, \\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+Gleichung **(1)** bezeichnet man als **Kontinuitätsgleichung**. Sie folgt aus dem Prinzip der **Massenerhaltung**.  
+
+## Strömungsgleichungen
+
+### Geschwindigkeitsfeld
+
+In der Punktmechanik betrachtet man einzelne Massenpunkte im Raum. Bei Flüssigkeiten wie hier betrachtet man stattdessen die Geschwindigkeit $\vec{v}(\vec{r},t)$ gedachter Massenelemente $\mathrm{d}m$ an festen Punkten $(\vec{r},t)$ in Raum und Zeit. Die Strömung der Flüssigkeit kann auf diese Weise als ganze durch das **Vektorfeld** $\vec{v}(\vec{r},t)$ beschrieben werden, wodurch die Betrachtung einzelner Massenpunkte entfällt. 
+
+Hängt $\vec{v}(\vec{r})$ nicht explizit von $t$ ab, spricht man von einer **stationären Strömung**. Die Massenelemente $\mathrm{d}m$ können in diesem Fall immer noch Beschleunigungen auf ihrem Weg durch das Feld erfahren, indem sie sich z.B. vom Punkt $\vec{r}$ an einen Punkt $\vec{r}'=\vec{r}+\mathrm{d}\vec{r}$ mit $\vec{v}(\vec{r}')\neq\vec{v}(\vec{r})$ bewegen. Für die Beschleunigung gilt dann
+$$
+\begin{equation*}
+\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial\vec{v}}{\partial\vec{r}} = \left(\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\right)\vec{v}(\vec{r}).
+\end{equation*}
+$$
+Eine solche Situation ist z.B. in **Abbildung 1** gegeben. Kommt für eine nicht-stationäre Strömung noch eine explizite Abhängigkeit von $t$ hinzu ergibt sich die Beschleunigung allgemein zu: 
+$$
+\begin{equation*}
+\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + \left(\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\right)\vec{v}(\vec{r}).
+\end{equation*}
+$$
+Ein Massenelement in einer Flüssigkeit wird beschleunigt, wenn sich die Geschwindigkeit des Feldes $\vec{v}(\vec{r},t)$ am Ort $\vec{r}$ mit der Zeit ändert, oder wenn es an einen Ort $\vec{r}'$ mit $\vec{v}(\vec{r},t)\neq\vec{v}(\vec{r}',t)$ verschoben wird. 
+
+### Euler-Gleichungen
+
+Zur Herleitung der Euler-Gleichungen betrachten wir die Kräfte, die auf ein Massenelement $\mathrm{d}m$ in einer Flüssigkeit wirken. Dabei berücksichtigen wir die Gewichtskraft
+$$
+\begin{equation*}
+\vec{F}_{g} = -\vec{g}\,\mathrm{d}m = -\rho\,\vec{g}\,\mathrm{d}V
+\end{equation*}
+$$
+und die Kraft aufgrund eines Drucks $p_{s}$
+$$
+\begin{equation*}
+\vec{F}_{s} = -\vec{\nabla}p_{s}\,\mathrm{d}V.
+\end{equation*}
+$$
+Das Vorzeichen ergibt sich daraus, dass die Änderung des Bewegungszustands vom hohen zum niedrigen Druck (also entgegen dem Gradienten des Drucks) erfolgt. Aus dem [**Newtonschen Aktionsprinzip**](https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsche_Gesetze) erhalten wir daraus
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&\underbrace{\left(\frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + \left(\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\right)\vec{v}\right)}\mathrm{d}m = 
+\vec{F}_{g} + \vec{F}_{s}; \\
+&\hphantom{cccccc}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\\
+&\\
+&\left(\frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + \left(\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\right)\vec{v}\right)\mathrm{d}V = 
+-\vec{g}\,\mathrm{d}V - \frac{1}{\rho}\vec{\nabla}p_{s}\,\mathrm{d}V; \\
+&\\
+&\frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + \left(\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\right)\vec{v} = -\vec{g} - \frac{1}{\rho}\vec{\nabla}p_{s}. \\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+Dabei handelt es sich um eine **Gleichung zur Beschreibung einer inkompressiblen Flüssigkeit ohne innere Reibung**, die nach [Leonard Euler](https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler) benannt ist.
+
+### Bernoulli-Gleichung
+
+Die Bernoulli-Gleichung für den Fall einer **stationären Strömung** folgt aus Gleichung **(2)** , durch Richtungsintegration entlang einer Kontour $\mathcal{C}$, die den Richtungsvektoren $\hat{v}(\vec{r})$ folgt:
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&\int\limits_{\mathcal{C}}\left(\rho\,\left(\vec{v}\cdot\vec{\partial}_{r}\right)\vec{v} + 
+\rho\,\vec{g} + 
+\vec{\partial}_{r}p_{s}\right)\,\mathrm{d}\vec{r} = const.; \\
+&\\
+&\int\limits_{\mathcal{C}}\rho\,v\,\frac{\partial v}{\partial r}\,\mathrm{d}r + \int\limits_{\mathcal{C}}\rho\,g\,\mathrm{d}h
++ \int\limits_{\mathcal{C}} \frac{\partial p_{s}}{\partial r}\,\mathrm{d}r = const.; \\
+&\\
+&\int\limits_{\mathcal{C}}\rho\,v\,\mathrm{d}v + \int\limits_{\mathcal{C}}\rho\,g\,\mathrm{d}h
++ \int\limits_{\mathcal{C}} \mathrm{d}p_{s}=const.;\\
+&\\
+&\text{mit:}\\
+&\\
+&\hat{z}\cdot\mathrm{d}\vec{r}\equiv\mathrm{d}h \\
+&\\
+&\text{ergibt:}\\
+&\\
+&\underbrace{\frac{1}{2}\,\rho\,v^{2}} + 
+\underbrace{
+\vphantom{\frac{1}{2}\,\rho\,v^{2}}\rho\,g\,h} + p_{s} = const.;\\
+&\equiv p_{d}
+\hphantom{ccc}\equiv p_{g}\\
+&\\
+&\text{mit:}\\
+&\\
+&E_{\mathrm{kin}} = \frac{1}{2}\,\rho\,v^{2}\,\mathrm{d}V; \\
+&\\
+&E_{\mathrm{pot}} = \,\rho\,g\,h\,\mathrm{d}V; \\
+&\\
+&E_{\mathrm{p}} = p_{s}\,\mathrm{d}V, \\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+wobei $E_{\mathrm{kin}}$ der kinetischen, $E_{\mathrm{pot}}$ der potentiellen und $E_{\mathrm{p}}$ der Druckenergie des Volumenelements $\mathrm{d}V$ entsprechen. Man kann diese nach [Daniel Bernoulli](https://de.wikipedia.org/wiki/Daniel_Bernoulli) benannte Gleichung also auch als Ausdruck der Energieerhaltung für das Massenelement $\mathrm{d}m$ im Volumenelement $\mathrm{d}V$ verstehen. 
+
+Gleichung **(3)** setzt Größen jeweils der Einheit Druck in Beziehung zueinander: 
+
+- $p_{s}$ ist der **hydrostatische Druck**.
+- $p_{g}$ ist ein Spezialfall eines hydrostatischen Drucks der durch das Schwerefeld der Erde erzeugt und auch als **Schweredruck** bezeichnet wird. 
+- $p_{d}$ wird als **dynamischer Druck** oder Staudruck bezeichnet. 
+
+Wir bezeichnen die Kontour $\mathcal{C}$ als **Stromlinie**. Entlang einer Stromlinie ist der Gesamtdruck $p_{0}=p_{s}+p_{g}+p_{d}$ konstant. Gleichung **(3)** gilt zunächst nur für den Druckverlauf entlang einer Stromlinie.
+
+Mikroskopisch betrachtet kommt der dynamische Druck dadurch zustande, dass es zum Impulsübertrag 
+$$
+\begin{equation*}
+\mathrm{d}\vec{p} = \frac{\mathrm{d}\left(m\,\vec{v}\right)}{\mathrm{d}t}
+\end{equation*}
+$$
+kommt, sobald das Massenelement $\mathrm{d}m$ im Feld $\vec{v}(\vec{r})$ beschleunigt wird. Der dynamische Druck wirkt in der Richtung von $\mathrm{d}\vec{p}$ und ist damit im Gegensatz zum [allseitig wirkenden hydrostatischen Druck](https://de.wikipedia.org/wiki/Hydrostatischer_Druck) gerichtet!   
+
+## Essentials
+
+Was Sie ab jetzt wissen sollten:
+
+- Neben dem allseitig wirkenden **hydrostatischen Druck $p_{s}$** gibt es in strömenden Flüssigkeiten einen gerichteten **dynamischen Druck $p_{d}$**.  
+- Es gilt $p_{s}+p_{d}=const.$, d.h. $p_{s}$ nimmt in dem Maße ab, in dem $p_{d}$ zunimmt! Den Schweredruck können Sie in den meisten Fällen vernachlässigen.
+
+## Testfragen
+
+1. Wir stellen uns vor, dass in **Abbildung 1** ein Stempel auf der linken Seite von links nach rechts *gedrückt* wird, um $p_{s}$ zu erzeugen. Wo ist $p_{s}$ höher, im linken oder im rechten Teil des Rohrs?
+2. Wir stellen uns jetzt vor, dass im gleichen Bild ein Stempel auf der rechten Seite von links nach rechts *gezogen* wird. Wo ist $p_{s}$ höher, im linken oder im rechten Teil des Rohrs? 
+4. Was ist in Gleichung **(3)** die Bedeutung von $h$? Wo liegt also der Ursprung des implizit gewählten Koordinatensystems? 
+
+# Navigation
+
+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Aeromechanik)
+

Aeromechanik/doc/Hinweise-Paradoxon.md

+# Hinweise für den Versuch Aeromechnik
+
+## Aeromechanisches Paradoxon
+
+Beim **aerodynamischen Paradoxon** handelt es sich um das folgende Phänomen: 
+
+Man setzt an eine Platte P einen Stempel S mit einer Rohröffnung in der Mitte der Stempelfläche $A_{S}$ an. Presst man Luft mit der Geschwindigkeit $v$ durch die Öffnung, strömt diese radial zwischen S und P nach außen ab. Entgegen der naiven Erwartung wird P durch die ausströmende Luft nicht vom Stempel abgestoßen, sondern angedrückt! 
+
+Eine Skizze zur Erklärung dieses Phänomens ist in **Abbildung 1** gezeigt:
+
+---
+
+<img src="../figures/Paradoxon.png" width="650" style="zoom:100%;" />
+
+**Abbildung 1**: (Skizze zur Veranschaulichung des Paradoxons der Aerodynamik)
+
+---
+
+Die Luft strömt von oben durch die Rohröffnung aus und wird radial über $A_{S}$ nach außen gepresst. Wir gehen davon aus, dass die Luft inkompressibel und reibungsfrei ist, so dass $\vec{v}$ nur seine Richtung ändert, während der Betrag $v=|\vec{v}|$ jeweils gleich bleibt. Aus der Bernoulli-Gleichung folgt damit:
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&p_{0} = \frac{1}{2}\,\rho\,v^{2} + p_{s};\\
+&\\
+&p_{s} = p_{0} - \frac{1}{2}\,\rho\,v^{2}.\\
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+$p_{s}$ wirkt allseitig, also auch nach oben auf S. Für den Fall $v=0$ gilt 
+$$
+\begin{equation*}
+p_{0} = p_{s}
+\end{equation*}
+$$
+und es kommt zu keiner resultierenden Kraft zwischen S und P aufgrund eines Unter- oder Überdrucks. Für $v\gt0$ wird S mit der Kraft
+$$
+\begin{equation}
+F = - \frac{1}{2}\,\rho\,v^{2}A_{S}
+\end{equation}
+$$
+auf P gedrückt. Selbst für ein inkompressibles und reibungsfreies Gas kann der maximale Druck, den man so auf P so ausüben kann den Atmosphärendruck $p_{0}$ nicht übersteigen. In diesem Fall gilt 
+$$
+\begin{equation*}
+p_{s}=0;\qquad v_{0}=\sqrt{\frac{2p_{0}}{\rho}}.
+\end{equation*}
+$$
+Die Gaspartikel können nicht weiter beschleunigt werden und erreichen die Grenzgeschwindigkeit $v_{0}$. Für die Dichte von Luft gilt: 
+$$
+\begin{equation*}
+\rho=1.22\ \mathrm{N/m^{3}};\qquad p_{0}=1013\ \mathrm{hPa};\qquad \vartheta=15^{\circ}\mathrm{C},
+\end{equation*}
+$$
+woaus lässt sich $v_{0}$ berechnen lässt:
+$$
+\begin{equation*}
+v_{0} = \sqrt{\frac{2\,p_{0}}{\rho}} = \sqrt{\frac{2\cdot1013\times10^{2}\, \mathrm{N/m^{2}}}{1.225\ \mathrm{kg/m^{3}}}} =1.3\times10^{6} \ \mathrm{m/s}.
+\end{equation*}
+$$
+Anwendung findet das beschriebene Phänomen, dass auch als [Bernoulli-Effekt](https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Gleichung#Hydrodynamisches_Paradoxon) gekannt ist, bei [Strahlpumpen](https://de.wikipedia.org/wiki/Strahlpumpe), beim [Bunsenbrenner](https://de.wikipedia.org/wiki/Bunsenbrenner) oder als [Kamineffekt](https://de.wikipedia.org/wiki/Kamineffekt) in Schornsteinen. Vielen ist der Effekt in Form des folgenden Experiments bekannt, das man überall leicht selbst durchführen kann: 
+
+Hängt man zwei Papierbögen jeweils über zwei Bleistifte und pustet Luft zwischen diese Papierbögen, dann entfernen diese sich nicht voneinander. Stattdessen bewegen Sie sich aufeinander zu.
+
+# Navigation
+
+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Aeromechanik)

Aeromechanik/doc/Hinweise-Tragflaeche.md

+# Hinweise für den Versuch Aeromechnik
+
+## Druck senkrecht zu gekrümmten Stromlinien
+
+Die Diskussion der Bernouli-Gleichung [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-Druck.md) berücksichtigt nur den Druckgradienten *entlang* einer Stromlinie im Geschwindigkeitsfeld $\vec{v}(\vec{r})$. Die Bernoulli-Gleichung gilt, im Fall von gekrümmten Stromlinien, jedoch auch für Druckgradienten senkrecht zur Stromlinie, wie in **Abbildung 1** gezeigt:
+
+---
+
+<img src="../figures/GekruemmteLinien.png" width="1000" style="zoom:100%;" />
+
+**Abbildung 1**: ((a) Druck- und Kraftverhältnisse in der Umgebung einer kreisförmigen Stromlinie und (b) gekrümmte Stromlinien einer, einen Zylinder umströmenden idealen Flüssigkeit. Die Strömung verläuft von links nach rechts. Das Bild der umströmten Kugel stamm aus dem Artikel [*Hydrodynamics of highly visvous flow past a compound particle: Analytical solution*, Fluids 2016 1 (4)](https://www.mdpi.com/2311-5521/1/4/36))
+
+---
+
+Beschreibt eine Stromlinie eine kreisförmige Bahn wirkt auf die Massenelemente $\mathrm{d}m$ zu jedem Zeitpunkt eine Zentripetalkraft $\vec{F}_{z}$ in Richtung des Zentrums der Bahn, wie in **Abbildung 1a** gezeigt. Diese Kraft wird durch einen Druckgradienten $\vec{\nabla}p_{s}$ in radialer Richtung erzeugt. Dieser weist in radiale Richtung, weil $\vec{F}_{z}$ in Richtung des niedrigeren Drucks wirkt.  
+
+In einem flüssigkeitsumströmten Zylinder, wie in **Abbildung 1b** gezeigt, verlaufen die Stromlinien in der Umgebung des Körpers gekrümmt. Auf der Symmetrieachse vor und hinter dem Zylinder krümmen sie sich nach oben (unten). Es besteht ein Überdruck, der in der Abbildung durch ein $+$ dargestellt ist. An den oberen (unteren) Kanten des Zylinders krümmen sich die Stromlinien nach unten (oben). Der Druck muss also mit zunehmendem Abstand vom Zylinder zunehmen. Da in hinreichend großer Entfernung Normdruck vorherrscht, muss am Zylinder selbst ein Unterdruck bestehen, der in der Abbildung durch ein $-$ dargestellt ist. 
+
+Daraus zeigt sich, dass die Strömungsgeschwindigkeit $\vec{v}$ entlang einer Stromlinie nicht konstant ist. Die Flüssigkeit staut sich vor dem Zylinder auf, woraufhin $\vec{v}$ abnimmt. Beim Umströmen des Zylinders nimmt $\vec{v}$ zu, woraufhin sich die Flüssigkeit auf der Rückseite des Zylinders wieder staut und $\vec{v}$ erneut abnimmt. 
+
+### Funktionaler Zusammenhang
+
+Zur Diskussion des funktionalen Zusammenhangs betrachten wir die Radialkomponente einer stationären, kreisförmigen Strömung mit festem Radius $r=const.$ und fester Winkelgeschwindigkeit $\omega=const.$ 
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&\vec{r} = \left(
+\begin{array}{c}
+r\,\cos\varphi\\
+r\,\sin\varphi\\
+z \\
+\end{array}
+\right);\qquad 
+\vec{v} = \left(
+\begin{array}{c}
+-r\,\omega\sin\varphi\\
+\hphantom{-}r\,\omega\cos\varphi\\
+z \\
+\end{array}
+\right);\qquad
+\vec{a} = \left(
+\begin{array}{c}
+-r\,\omega^{2}\sin\varphi\\
+-r\,\omega^{2}\cos\varphi\\
+z \\
+\end{array}
+\right);\\
+&\\
+&v_{r}\equiv0;\qquad v_{\varphi}=\omega\,r\equiv v.\\
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+In dieser Formulierung nimmt die Radialkomponente der Euler-Gleichung die folgende Form an: 
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+&\underbrace{
+\vphantom{\frac{\partial v_{r}}{\partial \varphi}} v_{r}\,\frac{\partial v_{r}}{\partial r}} + 
+\underbrace{\frac{v_{\varphi}}{r}\,\frac{\partial v_{r}}{\partial \varphi}} + 
+\underbrace{
+\vphantom{\frac{\partial v_{r}}{\partial \varphi}}
+v_{z}\,\frac{\partial v_{r}}{\partial z}} - \frac{v^{2}_{\varphi}}{r} = -g -\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial p_{s}}{\partial r}\\
+&\hphantom{c}=0\hphantom{cccccc}=0\hphantom{cccccc}=0\\
+&\\
+&\text{mit:}\\
+&\\
+&v_{r}\equiv0.\\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+Die Herleitung erfolgt analog zu Gleichung **(2)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-Druck.md) unter Anwendung des **Newtonschen Aktionsprinzips**. Dabei ist bei allen Ableitungen des Orts nach der Zeit auch die zeitliche Veränderung der Koordinaten $\hat{r}$ und $\hat{\varphi}$ selbst zu berücksichtigen, woraus sich der Term
+$$
+\begin{equation*}
+-\frac{v^{2}_{\varphi}}{r}
+\end{equation*}
+$$
+auf der linken Seite von Gleichung **(1)** ergibt. In dem von uns betrachteten Fall mit $v_{r}\equiv0$, ist nur dieser Term von Null verschiedenen und Gleichung **(1)** nimmt, unter weiterer Vernachlässigung des Schweredrucks, die Form 
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&\rho\,\frac{v^{2}}{r} = \frac{\partial p_{s}}{\partial r};\\
+&\\
+&\text{mit:}\\
+&\\
+&v_{\varphi}=v
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+an, wobei $v_{\varphi}$ gerade die Geschwindigkeit $v$ der Strömung ist. 
+
+**Für eine im Kreis strömende Flüssigkeit nimmt der Druck nach außen hin zu.** Diese Druckzunahme ist erforderlich, um die Zentripetalbeschleunigung der Massenelemente $\mathrm{d}m$ zu bewirken.  
+
+Dieser Umstand lässt sich experimentell leicht veranschaulichen: Rühren Sie Wasser in einem großen Becherlglas um, steigt der Wasserspiegel nach außen hin an. Der hydrostatische Druck ist also außen größer, als innen. Zudem können Sie beobachten, dass Luftblasen sich zum niedrigeren Druck hin, ins Zentrum des Wirbels bewegen. In einer ruhenden Flüssigkeit bewegen sich Luftblasen ebenfalls in Richtung des niedrigeren Drucks, nämlich nach oben. 
+
+Wie bei der Diskussion der Bernoulli-Gleichung *entlang* beliebiger Stromlinien [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-Druck.md), lässt sich auch Gleichung **(1)** anschaulich und wengier formell erklären: Ein Massenelement $\mathrm{d}m$ auf einer Kreisbahn erfährt die Zentripetalkraft 
+$$
+\begin{equation*}
+\vec{F}_{z} = -\mathrm{d}m\,\frac{v^{2}}{r}\,\hat{r}.
+\end{equation*}
+$$
+Diese folgt aus dem Druckgradienten
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&\vec{F}_{z} = -\mathrm{d}m\,\frac{v^{2}}{r}\,\hat{r}= -\frac{\partial p_{s}}{\partial r}\,\hat{r}\,\mathrm{d}V;\\
+&\\
+&\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}V}\,\frac{v^{2}}{r} = \rho\,\frac{v^{2}}{r} = \frac{\partial p_{s}}{\partial r}.
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+
+## Polardiagramm und Gleitzahl
+
+Für **Aufgabe 4** sollen Sie das [**Polardiagramm**](https://de.wikipedia.org/wiki/Polardiagramm_(Str%C3%B6mungslehre)) einer am Versuchsplatz ausliegenden Tragfläche für verschiedene Anstellwinkel $\alpha$ bestimmen. Hierzu tragen Sie für feste Anstellwinkel $\alpha$ die Auftriebskraft $F_{A}$ (auf der $y$-Achse) gegen den Strömungswiderstand $F_{W}$ (auf der $x$-Achse) auf. Die Darstellung eines daraus resultierenden beispielhaften Diagramms ist in **Abbildung 2** gezeigt:
+
+---
+
+<img src="../figures/Polardiagramm.png" width="650" style="zoom:100%;" />
+
+**Abbildung 2**: (Schematische Darstellung eines Polardiagramms der Strömungslehre)
+
+---
+
+Im Diagramm ist der [**Auftriebskoeffizient**](https://de.wikipedia.org/wiki/Auftriebsbeiwert) oder **Auftriebsbeiwert**
+$$
+\begin{equation*}
+c_{A} \equiv \frac{F_{A}}{p_{d}\,A}
+\end{equation*}
+$$
+analog zum Widerstandskoeffizienten (siehe Gleichung **(1)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-cW.md)) definiert. Da, wie ebenfalls [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-cW.md?ref_type) erwähnt, als Referenzfläche die Tragfläche $A$ verwendet wird ist die Auftragung $c_{A}(c_{W})$ zur Auftragung $F_{A}(F_{W})$ äquivalent. Die aufgetragenen Punkte sind durch Kreise dargestellt. Die Ursprungsgeraden durch die Punkte bezeichnet man als **Polstrahlen**. Das Verhältnis
+$$
+\begin{equation*}
+E\equiv\frac{c_{A}}{c_{W}},
+\end{equation*}
+$$
+d.h. der jeweilige Kehrwert der Steigung eines in **Abbildung 2** eingezeichneten Polstrahls bezeichnet man als [**Gleitzahl**](https://de.wikipedia.org/wiki/Gleitzahl_(Flugzeug)). Der Winkel mit der höchsten Gleitzahl wird als **Gleitwinkel** bezeichnet.  
+
+# Navigation
+
+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Aeromechanik)

Aeromechanik/doc/Hinweise-Venturi.md

+# Hinweise für den Versuch Aeromechnik
+
+## Druckmessung
+
+Der hydrostatische Druck $p_{s}$ lässt sich am anschaulichsten im Gleichgewichtszustand mit dem Schweredruck $p_{g}$ in einem Messrohr M messen, wie in **Abbildung 1** gezeigt:
+
+---
+
+<img src="../figures/Messrohr.png" width="400" style="zoom:100%;" />
+
+**Abbildung 1**: (Schematische Darstellung eines Messrohrs zur Messung des hydrostatischen Drucks)
+
+---
+
+Er führt aufgrund seiner Allseitigkeit zu einer senkrecht nach oben wirkenden Kraft $\vec{F}_{s}$, die die Flüssigkeit im Punkt $r$ nach oben drückt. Mit zunehmender Höhe $h$ der Flüssigkeitssäule wirkt $\vec{F}_{s}$ die Gewichtskraft $\vec{F}_{g}$ entgegen. Im Gleichgewichtszustand gilt:
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&\vec{F}_{g} + \vec{F}_{s}= 0;
+\qquad p_{s} = \rho\,g\,h,\\
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+wobei jeweils $g$ die Gravitationskonstante und $\rho$ die Dichte der Flüssigkeit ist. Die Höhe $h$ der Flüssigkeitssäule ist also ein direktes Maß für $p_{s}(r)$. In einer strömenden Flüssigkeit tritt neben dem hydrostatischen auch der dynamische Druck auf und es gilt (unter Vernachlässigung von $p_{g}$): 
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+p_{0} = &\underbrace{\frac{1}{2}\,\rho\,v^{2}} + p_{s} = const.;\\
+&\hphantom{,}=p_{d}\\
+\end{split}
+\end{equation}
+$$
+Es gibt mehrere Anordnungen zur Messung verschiedener Drücke, wie in **Abbildung 2** gezeigt:
+
+---
+
+<img src="../figures/Druckmessung.png" width="1000" style="zoom:100%;" />
+
+**Abbildung 2**: (Anordnungen zur Messung des (a) gesamten, (b) hydrostatischen und (c) dynamischen Drucks)
+
+---
+
+- In **Abbildung 2a** ist das [**Pitotrohr**](https://de.wikipedia.org/wiki/Pitotrohr) zur Messung des Gesamtdrucks $p_{0}$ gezeigt. Die offene Spitze des Rohr, die der Strömungsrichtung der Flüssigkeit entgegen gerichtet ist bezeichnet man als [Staupunkt](https://de.wikipedia.org/wiki/Staupunktstr%C3%B6mung#Staupunkt).
+- In **Abbildung 2b** ist die [**statische Sonde**](https://de.wikipedia.org/wiki/Statische_Sonde) zur Messung von $p_{s}$ gezeigt.
+- In **Abbildung 2c** ist das [**Prantlrohr**](https://de.wikipedia.org/wiki/Prandtlsonde) zur Messung von $p_{d}$ gezeigt. Hier strömt die Flüssigkeit in die Öffnung am Staupunkt ein, wie beim Pitotrohr. Senkrecht dazu in der Nähe des Staupunkts befindet sich eine zweite Öffnung die $p_{s}$ aufnimmt. Aufgrund der Anordnung ist die angezeigte Höhe $\propto p_{0}-p_{s}$.  
+
+## Das Ventirusche Rohr 
+
+Der Verlauf von $p_{s}$ lässt sich am anschaulichsten durch die Höhe von Flüssigkeitssäulen in einer Reihe von Messrohren M veranschaulichen, wie in **Abbildung 3** gezeigt:
+
+---
+
+<img src="../figures/Venturi.png" width="1000" style="zoom:100%;" />
+
+**Abbildung 3**: (Verlauf des hydrostatischen Drucks $p_{s}$ (a) in einem Rohr R und (b) in einem Venturischen Rohr V. Die Strömungsrichtung der Flüssigkeit verläuft von links nach rechts. Der Druck wird durch die Höhen $h_{i}$ der Flüssigkeitssäulen in den Messrohren M1 bis M5 veranschaulicht. Die gestrichelten Linien entsprechen der Erwartung unter Berücksichtigung innerer Reigungseffekte)
+
+---
+
+Die Höhen $h_{i}$ der Flüssigkeitssäulen sind durch horizontale Linien markiert. Die gestrichelten Linien entsprechen der Erwartung unter Berücksichtigung innerer Reibungseffekte in der Flüssigkeit. Da wir von einer inkompressiblen Flüssigkeit ausgehen ist $p_{s}$ überall in R gleich. Aus Gleichung **(1)** folgt, dass $\vec{v}(\vec{r})=\vec{v}$ ebenfalls überall in R gleich ist. 
+
+In **Abbildung 3b** ist das Ventirusche Rohr V gezeigt, dessen Querschnitt sich entlang der Strömung verjüngt und wieder weitet. Nach Gleichung **(1)** [hier](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Aeromechanik/doc/Hinweise-Druck.md), führt die Verjüngung des Querschnitts $A_{r^{\prime}}$ im Ort $r^{\prime}$, für eine inkompressible Flüssigkeit, zur Erhöhung der Geschwindigkeit $v(r^{\prime})$ gemäß
+$$
+\begin{equation}
+v(r') = v(r)\,\frac{A_{r}}{A_{r'}};
+\end{equation}
+$$
+Nach Gleichung **(1)** folgt, dass $p_{s}(r)$ entsprechend ab- und wieder zunehmen muss. 
+
+Die durch den Druck ausgeübte Kraft $\vec{F}_{s}$ leistet zunächst die Arbeit, um die Massenelemente $\mathrm{d}m$ der Flüssigkeit auf die Geschwindigkeit $v(r')$ zu beschleunigen. Weitet sich das Rohr wieder geben die $\mathrm{d}m$ einen Teil ihrer kinetischen Energie wieder an die übrigen Massenelemente in V ab, wodurch sich $p_{s}$ wieder erhöht. 
+
+Im Resultat beobachtet man in einer Anordnung, wie in **Abbildung 3b** einen Abfall von $p_{s}$ zur Verjüngung von $A$ hin und einen erneuten Anstieg, sobald $A$ wieder zunimmt. 
+
+## Essentials
+
+Was Sie ab jetzt wissen sollten:
+
+- In einer in einem Rohr strömenden inkompressiblen Flüssigkeit nimmt $p_{s}$ ab, wenn wenn die Fläche des durchströmten Querschnitts des Rohrs abnimmt und zu, wenn sie zunimmt. 
+- Sie sollten mit den **unterschiedlichen Drücken $p_{0}$, $p_{s}$ und $p_{d}$ in einer strömenden Flüssigkeit** vertraut sein.  
+- Sie sollten sich über die unterschiedlichen **Funktionsweisen der Sonden zur Messung der verschiedenen Drücke** im Klaren sein.
+
+## Testfragen
+
+1. Welche Höhen $h_{i}$ erwarten Sie für eine ruhende Flüssigkeit in **Abbildung 2a**? 
+2. Entsteht in **Abbildung 2a** ein von der Höhe der Flüssigkeit abhängiges Druckprofil in R (begründen Sie Ihre Antwort)?
+3. Warum darf man den Schweredruck in Gleichung **(1)** ignorieren?
+
+# Navigation
+
+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Aeromechanik)

Aeromechanik/doc/Hinweise-cW.md

+# Hinweise für den Versuch Aeromechnik
+
+## Strömungswiderstand
+
+Als  Strömungswiderstand bezeichnet man die Kraft $\vec{F}_{W}$, die ein Fluid einem umströmten Gegenstand entgegensetzt. Eine grob skizzierte Messanordnung ist in **Abbildung 1** gezeigt:
+
+---
+
+<img src="../figures/Stroemungswiderstand.png" width="450" style="zoom:100%;" />
+
+**Abbildung 1**: (Skizze zur Veranschaulichung des Strömungswiderstands einer kreisförmigen Scheibe auf einem Messwagen)
+
+---
+
+Da die Strömung einen dynamischen Druck
+$$
+\begin{equation*}
+p_{d} = \frac{1}{2}\,\rho\,v^{2};
+\end{equation*}
+$$
+(in Strömungsrichtung) bewirkt, liegt es nahe, dass 
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{split}
+&F_{W} \propto p_{d}\,A\propto \rho\,v^{2}A; \\
+&\\
+&F_{W} = c_{W}\,\frac{1}{2}\,\rho\,v^{2}\,A,
+\end{split}
+\end{equation*}
+$$
+wobei $A$ der Stirnfläche des umströmten Gegenstands senkrecht zu $\vec{v}$ entspricht. **In der Luftfahrt wird abweichend die Tragfläche selbst als Referenzfläche $A$ verwendet.**
+
+Die Proportionalitätskonstante 
+$$
+\begin{equation}
+c_{W}\equiv\frac{F_{W}}{p_{d}\,A}
+\end{equation}
+$$
+wird als [**Widerstandskoeffizient**](https://de.wikipedia.org/wiki/Str%C3%B6mungswiderstandskoeffizient) oder **Widerstandsbeiwert** bezeichnet. Dieser bringt zum Ausdruck, wie groß der effektive, kraftausübende Impulsübertrag der Fluidpartikel am umströmten Gegenstand ist und hängt von der Form des umströmten Körpers ab. Einige Beispiele für $c_{W}$-Werte sind in der folgenen Tabelle zusammengestellt (Quelle [Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Str%C3%B6mungswiderstandskoeffizient#cw-Werte_von_typischen_K%C3%B6rperformen))
+
+| $c_{W}$    | Form                                    |
+| ---------- | --------------------------------------- |
+| 1.11       | Runde Scheibe                           |
+| 0.45       | Kugel                                   |
+| 0.34       | Konvexe Halbkugel                       |
+| 1.33       | Konkave Halbkugel                       |
+| 0.04       | Strominienförmiger Körper (Tropfenform) |
+| 0.53… 0.69 | Mountenbike (auftrecht von vorn)        |
+| 0.78       | Mensch                                  |
+
+Bekannte $c_{W}$-Werte für einige Auto- und Motorradtypen können Sie [hier](https://de.wikipedia.org/wiki/Portal:Auto_und_Motorrad/Luftwiderstandsbeiwert#Luftwiderstandsbeiwerte_von_Kraftfahrzeugen) finden. Das Produkt 
+$$
+\begin{equation*}
+f_{W}=c_{W}\,A
+\end{equation*}
+$$
+bezeichnet man als **Widerstandsfläche**.
+
+# Navigation
+
+[Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Aeromechanik)
+