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Pendel/doc/Hinweise-Gekoppelt.md

@@ -5,7 +5,7 @@
 
 ### Bewegungsgleichungen gekoppelter Pendel
 
-Für diesen Versuch verwenden Sie zwei Pendel P1 und P2, die durch eine [Schraubenfeder](https://de.wikipedia.org/wiki/Feder_(Technik)) mit dem Direktionsmoment $D$ auf Höhe $\ell$ miteinander gekoppelt sind, wie in **Abbildung 2** gezeigt:
+Für diesen Versuch verwenden Sie zwei Pendel P1 und P2, die durch eine [Schraubenfeder](https://de.wikipedia.org/wiki/Feder_(Technik)) mit der Federkonstanten $k$ auf Höhe $\ell$ miteinander gekoppelt sind, wie in **Abbildung 2** gezeigt:
 
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@@ -15,21 +15,31 @@ Für diesen Versuch verwenden Sie zwei Pendel P1 und P2, die durch eine [Schraub
 
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-Zur Vereinfachung der Diskussion gehen wir davon aus, dass beide Pendel das gleiche Trägheitsmoment $\Theta$ besitzen und vernachlässigen Dämpfungseffekte. Die Auslenkung jedes einzelnen Pendels sei $\varphi_{1/2}$. Für die Bewegung jeweils eines der Pendel gilt die Bewegungsgleichung: 
+Lenkt man P1 relativ zu P2 um den Winkel $\Delta\varphi$ aus ergeben sich in der Kleinwinkelnäherung aus $k$ und $\ell$ die folgenden Zusammenhänge für die rücktreibende Kraft $F_{r}$ und das rücktreibende Drehmoment $M_{r}$ der Feder:
+$$
+\begin{equation}
+\begin{split}
+F_{r}=-k\,\ell\,\Delta\varphi;\quad M_{r}=F_{r}\,\ell = &-\underbrace{k\,\ell^{2}}\,\Delta\varphi.\\
+&\hphantom{cc}\equiv D
+\end{split}
+\end{equation}
+$$ {=}
+Die Richtungen von $F_{r}$ und $M_{r}$ hängen vom Vorzeichen von $\Delta\varphi$ ab. Man bezeichnet $D$ als das [Direktionsmoment](https://de.wikipedia.org/wiki/Direktionsmoment). 
 
+Zur Vereinfachung der Diskussion gehen wir davon aus, dass beide Pendel das gleiche Trägheitsmoment $\Theta$ besitzen und vernachlässigen Dämpfungseffekte. Die Auslenkung jedes einzelnen Pendels sei $\varphi_{1/2}$. Für die Bewegung jeweils eines Pendels gilt die Bewegungsgleichung: 
 $$
 \begin{equation*}
 \Theta\,\ddot{\varphi}_{i} + mgs\,\varphi_{i} =0\qquad i=1,2.
 \end{equation*}
 $$
 
-Hinzu kommt ein Drehmoment $M_{1/2}$ aufgrund der Kopplung durch die Feder, für das in der Kleinwinkelnäherung der folgende Zusammenhang gilt:
+Hinzu kommt das jeweilige Drehmoment $M_{1/2}$ aufgrund der Kopplung durch die Feder:
 $$
 \begin{equation*}
 \begin{split}
-&M_{1} = -k\ell^{2}\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right);\\
+&M_{1} = -D\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right);\\
 &\\
-&M_{2} = -k\ell^{2}\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right).\\
+&M_{2} = -D\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right).\\
 \end{split}
 \end{equation*}
 $$
@@ -37,13 +47,13 @@ Hieraus folgen die Bewegungsgleichungen der beiden [gekoppelten Pendel](https://
 $$
 \begin{equation}
 \begin{split}
-&\Theta\,\ddot{\varphi}_{1} + mgs\,\varphi_{1} - k\ell^{2}\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right) = 0;\\
+&\Theta\,\ddot{\varphi}_{1} + mgs\,\varphi_{1} - D\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right) = 0;\\
 &\\
-&\Theta\,\ddot{\varphi}_{2} + mgs\,\varphi_{2} + k\ell^{2}\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right) = 0\\
+&\Theta\,\ddot{\varphi}_{2} + mgs\,\varphi_{2} + D\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right) = 0\\
 \end{split}
 \end{equation}
 $$
-Das Gleichungssystem **(1)** ist gekoppelt, weil $\varphi_{1}$ in der Bewegungsgleichung zu $\varphi_{2}$ vorkommt und umgekehrt. Mit dem **Lösungsansatz harmonischer Schwingungen**:
+Das Gleichungssystem **(2)** ist gekoppelt, weil $\varphi_{1}$ in der Bewegungsgleichung zu $\varphi_{2}$ vorkommt und umgekehrt. Mit dem **Lösungsansatz harmonischer Schwingungen**:
 $$
 \begin{equation*}
 \varphi_{i} = \Phi_{i}\sin(\omega t+\phi)\qquad i=1,2
@@ -56,8 +66,8 @@ $$
 &\underbrace{
 \left(
 \begin{array}{cc}
-\left(\frac{mgs}{\Theta} + \frac{k\ell^{2}}{\Theta}\right) -\omega^{2} & -\frac{k\,\ell^{2}}{\Theta} \\ 
--\frac{k\,\ell^{2}}{\Theta} &\left(\frac{mgs}{\Theta} + \frac{k\ell^{2}}{\Theta}\right) -\omega^{2} \\ 
+\left(\frac{mgs}{\Theta} + \frac{D}{\Theta}\right) -\omega^{2} & -\frac{D}{\Theta} \\ 
+-\frac{D}{\Theta} &\left(\frac{mgs}{\Theta} + \frac{D}{\Theta}\right) -\omega^{2} \\ 
 \end{array}
 \right)}
 \left(\begin{array}{c}
@@ -70,11 +80,11 @@ $$
 0 \vphantom{\left(\frac{mgs}{\Theta} + \frac{k\ell^{2}}{\Theta}\right)}\\
 \end{array}
 \right).\\
-&\hphantom{\left(\frac{mgs}{\Theta} + \frac{k\ell^{2}}{\Theta}\right) +\,}\equiv B\\
+&\hphantom{ccccccccccccccccc}\equiv B\\
 \end{split}
 \end{equation}
 $$
-Gleichung **(2)** entspricht einem **Eigenwertproblem**, dessen Lösung sich auf die Lösung des [charakteristischen Polynoms](https://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristisches_Polynom) zurückführen lässt, dass Sie aus der linearen Algebra kennen. Die Lösungen des charakteristischen Polynoms entsprechen den [Eigenmoden](https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenmode) der Anordnung, die man in diesem Fall auch als **Fundamentalschwingungen** bezeichnet. 
+Gleichung **(3)** entspricht einem **Eigenwertproblem**, dessen Lösung sich auf die Lösung des [charakteristischen Polynoms](https://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristisches_Polynom) zurückführen lässt, dass Sie aus der linearen Algebra kennen. Die Lösungen des charakteristischen Polynoms entsprechen den [Eigenmoden](https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenmode) der Anordnung, die man in diesem Fall auch als **Fundamentalschwingungen** bezeichnet. 
 
 Man erhält das charakteristische Polynom aus 
 $$
@@ -86,7 +96,7 @@ mit den Lösungen
 $$
 \begin{equation*}
 \omega_{1}^{2} = \frac{mgs}{\Theta},\qquad
-\omega_{2}^{2} = \frac{mgs}{\Theta}+2\frac{k\,\ell^{2}}{\Theta}.
+\omega_{2}^{2} = \frac{mgs}{\Theta}+2\frac{D}{\Theta}.
 \end{equation*}
 $$
 Die Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten sind:
@@ -108,10 +118,10 @@ $$
 $$
 ### Lösungen
 
-Die physikalische Interpretation der Lösung von Gleichung **(2)** ist intuitiv: 
+Die physikalische Interpretation der Lösung von Gleichung **(3)** ist intuitiv: 
 
 - Im Fall der **Fundamentalschwingung mit $\boldsymbol{\omega_{1}}$** schwingen beide Pendel in Phase, die koppelnde Schraubenfeder bleibt entspannt und das Direktionsmoment für beide Pendel entspricht effektiv $D_{\omega_{1}}=mgs$, so als wären P1 und P2 nicht gekoppelt. 
-- Im Fall der **Fundamentalschwingung mit $\boldsymbol{\omega_{2}}$** schwingen beide Pendel gegenphasig, die koppelnde Feder bewirkt zusätzlich zum Schwerefeld $g$ ein maximales Hook'sches Direktionsmoment, das nach dem dritten Newtonschen Axiom ("actio gleich reactio") die Form $D_{\omega_{2}}=2\,k\,\ell^{2}$ hat.
+- Im Fall der **Fundamentalschwingung mit $\boldsymbol{\omega_{2}}$** schwingen beide Pendel gegenphasig, die koppelnde Feder bewirkt *zusätzlich* zum Schwerefeld $g$ ein maximales Hook'sches Direktionsmoment, das nach dem dritten Newtonschen Axiom ("actio gleich reactio") die Form $D_{\omega_{2}}=2\,D$ hat. der Faktor 2 rührt daher, dass beide Pendel mit ihren Auslenkungen zu $D_{\omega_{2}}$ beitragen.
 
 Die allgemeine Lösung ist eine Superposition aus beiden [Eigenmoden](https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenmode):
 $$
@@ -132,19 +142,19 @@ A_{2} \left(\begin{array}{c}
 $$
 Anschaulich beschreibt diese allgemeine Lösung eine [Schwebung](https://de.wikipedia.org/wiki/Schwebung) mit der Frequenz 
 $$
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
 \overline{\omega} = \frac{1}{2}(\omega_{1}+\omega_{2})
-\end{equation}
+\end{equation*}
 $$
 und einer Amplitudenmodulation mit der Frequenz
 $$
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
 \widetilde{\omega} = \frac{1}{2}(\omega_{2}-\omega_{1}).
-\end{equation}
+\end{equation*}
 $$
-Dieser Verlauf ergibt sich aus einer geeigneten Anwendung der [trigonometrischen Additionstheoreme](https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Summen_zweier_trigonometrischer_Funktionen_(Identit%C3%A4ten)) auf Gleichung **(3)**. $A_{1/2}$ und $\phi_{1/2}$ sind durch die Randwerte des Problems festgelegt.
+Dieser Verlauf ergibt sich aus einer geeigneten Anwendung der [trigonometrischen Additionstheoreme](https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Summen_zweier_trigonometrischer_Funktionen_(Identit%C3%A4ten)) auf Gleichung **(4)**. Die Konstanten der Integration $A_{1/2}$ und $\phi_{1/2}$ sind durch die Randwerte des Problems festgelegt.
 
-Wenn Sie z.B. zum Zeitpunkt $t=0$ P1 in seiner Ruhelage festhalten und P2 auslenken, wird die Schwingung mit der Zeit von P2 nach P1 übergehen, bis P2 zum Stillstand kommt! Daraufhin wird die Schwingung mit $\overline{\omega}$ periodisch mit der Frequenz $\widetilde{\omega}$ zwischen P1 und P2 hin und her wandern.   
+Wenn Sie z.B. zum Zeitpunkt $t=0$ P1 in seiner Ruhelage festhalten und P2 auslenken, wird die Schwingung mit der Zeit von P2 nach P1 übergehen, bis P2 vollständig zum Stillstand kommt! Daraufhin wird die Schwingung mit $\overline{\omega}$ periodisch mit der Frequenz $\widetilde{\omega}$ zwischen P1 und P2 hin und her wandern.   
 
 ### Trägheitsmoment eines einzelnen Pendels
 
@@ -161,19 +171,47 @@ $$
 $$
 wobei $m_{\mathrm{S}}$ der Masse der Scheibe, $L$ dem Abstand zwischen Aufhängung und Schwerpunkt der Scheibe, $r$ dem Radius der Scheide, $m_{\mathrm{Stab}}$ und $L_{\mathrm{Stab}}$ der Masse und Länge des Pendelstabs, $m_{\kappa}$ der Masse der Kopplung zur Befestigung der koppelnden Feder und $\ell$ dem Abstand zwischen den Kopplungen und den Aufhängung der Pendel entsprechen. Bei einer solchen Abschätzung vernachlässigen Sie die Ausdehnung der Kopplung. 
 
+### Bestimmung der Federkonstanten $k$
+
+Das Hooksche Gesetzt elastisch verformbarer Körper lautet:
+$$
+\begin{equation*}
+\mathrm{d}F = k\,\mathrm{d}z.
+\end{equation*}
+$$
+Danach lässt sich die Federkonstante $k$ aus der Auslenkung $\mathrm{d}z$ der Feder bestimmen, wenn man Sie mit verschiedenen bekannten Massen $m_{i}$ belastet:
+$$
+\begin{equation}
+m_{i}\,g -k\,\mathrm{d}z_{i} = 0.
+\end{equation}
+$$
+Alternativ lässt sich $k$ aus der Verwendung der Feder als Fedependel bestimmen. Hierzu hängt man die Feder senkrecht auf, belastet Sie mit einem einzelnen Gewicht $m$ und bestimmt die Periode
+$$
+\begin{equation}
+T_{0}^{2} = 4\pi^{2}\frac{\,m}{k}.
+\end{equation}
+$$
+Das Direktionsmoment $D$ ergibt sich aus dem in Gleichung **(1)** festgestellten Zusammenhang
+$$
+\begin{equation*}
+D=k\,\ell^{2}.
+\end{equation*}
+$$
+
 ## Essentials
 
 Was Sie ab jetzt wissen sollten:
 
 - Sie sollten beschreiben können, wie Gleichung **(2)** zustande kommt und wie man sie löst.
 - Die **Frequenzen der Fundamentalschwingungen** zweier gekoppelter Pendel sollten Ihnen bekannt sein.
-- Die **Eigenmoden der Fundamentalschwingungen** sollten Ihnen anschaulich sein. 
+- Die **Eigenmoden der Fundamentalschwingungen** sollten Ihnen anschaulich klar sein. 
 
 ## Testfragen
 
-1. Durch welche Eigenschaft der Matrix in Gleichung **(2)** ist garantiert, dass dieses Problem immer zwei reelle Lösungen $\omega_{1}$ und $\omega_{2}$ besitzt? Um welche klasse von Eigenwertproblemen handelt es sich also?
+1. Durch welche Eigenschaft der Matrix in Gleichung **(3)** ist garantiert, dass dieses Problem immer zwei reelle Lösungen $\omega_{1}$ und $\omega_{2}$ besitzt? Um welche Klasse von Eigenwertproblemen handelt es sich also?
 1. Wie kann man $\omega_{1}$ und $\omega_{2}$ aus $\overline{\omega}$ und $\widetilde{\omega}$ bestimmen?
 1. Kann im Fall des gekoppelten Pendels Entartung der Eigenwerte vorliegen?
+1. Ist bei der Bestimmung von $k$ aus den Gleichungen **(5)** oder **(6)** nicht das Eigengewicht der Feder zu berücksichtigen?
 
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