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Roger Wolf authoredRoger Wolf authored
Hinweise für den Versuch Pendel
Auswertung der Messungen mit den gekoppelten Pendeln
Definieren Sie zur Überprüfung der Gleichungen (5) und (6) hier die folgenden Größen: \begin{equation*} \omega_{1}^{\prime}\equiv\overline{\omega}-\widetilde{\omega};\quad \omega_{2}^{\prime}\equiv\overline{\omega}+\widetilde{\omega}. \end{equation*} Berechnen Sie \Delta\omega_{1}^{\prime} und \Delta\omega_{2}^{\prime} mit Hilfe linearer Fehlerfortpflanzung. Die konkreten Werte \begin{equation*} \hat{\omega}_{1}^{\prime}\pm\Delta\hat{\omega}_{1}^{\prime};\quad \hat{\omega}_{2}^{\prime}\pm\Delta\hat{\omega}_{2}^{\prime} \end{equation*} können Sie innerhalb Ihrer Unsicherheiten mit den Werten \begin{equation*} \hat{\omega}_{1}\pm\Delta\hat{\omega}_{1};\quad \hat{\omega}_{2}\pm\Delta\hat{\omega}_{2} \end{equation*} aus Aufgabe 3.1 vergleichen. Eine mögliche Teststatistik wäre: \begin{equation} \begin{split} &z=\sum\limits_{i=1,2} \delta_{i}^{2};\\ &\\ &\text{mit:}\\ &\\ &\delta_{i} = \frac{\omega_{i}^{\prime}-\omega_{i}}{\sqrt{\Delta\omega_{i}^{\prime\,2}+\Delta\omega_{i}^{2}}}.\\ \end{split} \end{equation} Sowohl die \delta_{i}, als auch z sind für die Betrachtungen interessant.
- An \delta_{i} erinnern Sie sich womöglich als den pull zwischen \omega_{i}^{\prime} und \omega_{i}.
- Die Größe z haben Sie womöglich als die \chi^{2}-Teststatistik (mit n_{\mathrm{dof}}=2 Freiheitsgraden) erkannt.
Falls alle Messungen der \omega_{i}^{\prime}, \omega_{i} einer Normalverteilung folgen und Sie die Unsicherheiten \Delta\omega_{i}^{\prime}, \Delta\omega_{i} so abgeschätzt haben, dass Sie der Standardabweichung der jeweiligen Normalverteilung entsprechen, sollten die \delta_{i} einer Standardnormalverteilung \begin{equation*} \varphi(\delta,0,1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{\delta^{2}}{2}} \end{equation*} folgen.
Die Teststatistik z sollte einer \chi^{2}-Verteilung mit n_{\mathrm{dof}}=2 folgen. Einen p-Wert dafür den Wert \hat{z} zu beobachten erhalten Sie aus dem Integral \begin{equation*} p_{\hat{z}} = \int\limits_{\hat{t}}^{\infty}\chi^{2}(z, n_{\mathrm{dof}}=2)\,\mathrm{d}z. \end{equation*} Um den p-Wert anschaulich zu verstehen stellen wir uns die folgende Situation vor (d.h. wir legen das folgende statistische Modell zugrunde):
- Die Werte \hat{\omega}_{i}^{\prime}, \hat{\omega}_{i} sind tatsächlich wahr!
- Wir führen eine große Zahl identischer Messreihen durch.
- Für jede einzelne Messreihe streuen die gemessenen Ergebnisse gemäß einer Normalverteilung um die Werte \hat{\omega}_{i}^{\prime}, \hat{\omega}_{i} mit den Standardabweichungen \Delta\hat{\omega}_{i}^{\prime}, \Delta\hat{\omega}_{i}.
Wenn wir für jede einzelne Messreihe aus unseren Ergebnissen die Teststatistik z berechnen folgt z der \chi^{2}(z, 2)-Verteilung. \chi^{2}(x, 2) ist auf 1 normiert und somit eine Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung. p beziffert also die Wahrscheinlichkeit einen Wert z\geq\hat{z} zu erhalten, wenn alle oben getroffenen Annahmen wirklich wahr sind. Anhand des p-Werts können Sie nun beurteilen, wie wahrscheinlich der Ausgang Ihrer Messreihe ist, falls alle gemachten Annahmen und Schlussfolgerungen richtig sind.