Hinweise-Impedanz.md

Hinweise für den Versuch Elektrische Messverfahren

Impedanz

Bei zeitlich veränderlichen Strömen spricht man oft von einem Signal. Signale liegen i.a. als Wellen vor. Ein aufgrund seiner Einfachheit in der Elektrotechnik vorherrschend diskutiertes (zeitlich veränderliches) Signal ist das einer sinusförmigen Wechselspannung \begin{equation*} U(t) = U_{0}\sin(\omega\,t), \end{equation*} mit der Kreisfrequenz \omega. Im Fall zeitlich veränderlicher Signale ordnet man dem (ohmschen) Widerstand R den Begriff der (elektrischen) Impedanz \begin{equation*} Z = R + iX \end{equation*} über. Als komplexer Widerstand drückt Z zusätzlich zu R eine potentielle, ggf. frequenzabhängige Phasenverschiebung \varphi des Ausgangs- gegenüber dem Eingangssignal aus.

• Den Realteil Re(Z)=R bezeichnet man als Wirkwiderstand; dieser ist zum ohmschen Widerstand R im Fall des Gleichstroms äquivalent.
• Den Imaginärteil Im(Z)=X bezeichnet man als Blindwiderstand.
• Der Betrag der Impedanz |Z|\geq R wird als Scheinwiderstand bezeichnet.

Die Berechnung von Impedanzen in elektrischen Netzwerken erfolgt nach den Kirchhoffschen Regeln, wobei Blindwiderstände analog zu Wirkwiderständen behandelt werden. Die für die Impedanzberechnung relevanten passiven, linearen, elektrische Bauelemente sind

• der ohmsche Widerstand R;

• der (ideale) Kondensator, mit der Kapazität C und der Impedanz

  \begin{equation*}
  X_{C}=\frac{1}{i\omega\,C};
  \end{equation*}

• die (ideale) Spule, mit der Induktivität L und der Impedanz

  \begin{equation*}
  X_{L}=i\omega\,L.
  \end{equation*}

Als ideale Spule/idealen Kondensator bezeichnet man das entsprechende Bauteil, wenn es keinen Wirkwiderstand besitzt.

Wie man der jeweiligen Definition entnimmt handelt es sich bei X_{C} und X_{L} um reine Blindwiderstände, d.h. sowohl der ideale Kondensator, als auch die ideale Spule entziehen einem sich aufbauenden Signal zwar Energie. Diese wird aber im Fall des Kondensators als elektrische und im Fall der Spule als magnetische Feldenergie gespeichert und dem abklingenden Signal wieder zurückgegeben. Dies kann zu Zeitverzögerungen und Verzerrungen des Signals führen.

Die Berechnung elektrischer Netzwerke erfolgt am einfachsten in der komplexen Ebene für Z. Ein Beispiel für die Berechnung der Impedanz einer realen Spule mit Induktivität L und Wirkwiderstand R_{L} mit Hilfe eines Zeigerdiagramms in der komplexen Ebene für Z_{L} ist in Abbildung 1 gezeigt:

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Abbildung 1: (Zeigerdiagramm zur Berechnung der Impedanz Z_{L} einer realen Spule mit Induktivität L und Wirkwiderstand R_{L} in der komplexen Ebene)

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Ohne Beschränkung der Allgemeinheit empfiehlt es sich die Phase des Signals relativ zum Spannungsabfall am ohmschen Widerstand, in diesem Beispiel R_{L}, zu wählen. Damit gilt: \begin{equation*} \begin{split} &U(t) = Z_{L}\,I(t); \\ &\\ &Z_{L} = R_{L} + iX_{L};\\ &\\ &|Z_{L}| = \sqrt{R_{L}^{2}+X_{L}^{2}};\qquad \varphi=\arctan\left(\frac{X_{L}}{R_{L}}\right). \end{split} \end{equation*} |Z_{L}| bestimmt die Größe des Stroms, \varphi die Phasenlage relativ zu U(t).

Ein realer Schaltkreis enthält immer effektive Widerstände, Induktivitäten und Kapazitäten. Für andere, als sinusförmige Signale kommt es zu einer frequenzabhängigen Verzerrung des Eingangssignals. Um die Form des Ausgangssignals aus dem Eingangssignal und dem Schaltkreis ableiten zu können bedarf es in solchen fällen einer Fourier-Entwicklung des Eingangssignals, woraus sich Z_{\omega} und \varphi_{\omega} bestimmen lassen.

Messung der Impedanz einer realen Spule

Gehen Sie zur Messung der Impedanz einer realen Spule mit dem Oszilloskop z.B., wie in Abbildung 2 gezeigt, vor:

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Abbildung 2: (Messung der Impedanz einer realen Spule mit dem Oszilloskop)

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• Sowohl der Spannungsgenerator als auch das Ozilloskop liegen mit einem Eingang auf Masse. Achten Sie darauf, das beide Geräte mit dem gleichen Anschluss auf Masse liegen, da Sie die Geräte sonst über Masse kurzschließen.
• Messen Sie den Spannungsabfall über einem geeignet gewählten, bekannten Vorwiderstand R_{V} auf CH1 des Oszilloskops.
• Messen Sie den Spannungsabfall über R_{V}+X_{L} auf CH2 des Oszilloskops.
• Bestimmen Sie die Phase \varphi zwischen U_{\mathrm{CH2}}(t) und U_{\mathrm{CH1}}(t).

Sie erhalten |Z_{\mathrm{ges}}|,\ R_{L},\ X_{L} dann aus \begin{equation*} \begin{split} &I_{0} = \frac{U_{\mathrm{CH1,0}}}{R_{V}}; \quad |Z_{\mathrm{ges}}| = \frac{U_{\mathrm{CH2,0}}}{U_{\mathrm{CH1,0}}}\,R_{V}; \\ &\\ &R_{L} = |Z_{\mathrm{ges}}|\cos\varphi-R_{V};\quad X_{L}=|Z_{\mathrm{ges}}|\sin\varphi, \\ \end{split} \end{equation*} wobei U_{\mathrm{CH1,0}} und U_{\mathrm{CH2,0}} jeweils den maximalen Amplituden der gemessenen Spannungen entsprechen.

Essentials

Was Sie ab jetzt wissen sollten:

• Bei zeitlich veränderlichen Signalen betrachtet man nicht den Widerstand R, sondern die Impedanz Z eines Schaltkreises. Z ist eine Verallgemeinerung von R für zeitlich veränderliche Signale.
• Die wichtigsten passiven, linearen, elektrischen Bauelemente in einem elektrischen Schaltkreis sind der (ohmsche) Widerstand (R), die ideale Spule (mit X_{L}) und der ideale Kondensator (mit X_{C}). Die Definitionen von X_{L} und X_{C} für ein sinusförmiges Signal sollten Ihnen geläufig sein.
• Die Impedanz aus diesen Bauelementen berechnet man nach den Kirchhoffschen Regeln in der komplexen Ebene von Z. Auf diese Weise lassen sich |Z| und \varphi berechnen.

Testfragen

1. Wie sieht das Zeigerdiagramm in der komplexen Ebene von Z für einen elektrischen Schaltkreis aus ohmschem Widerstand R, Kondensator (mit Kapazität C) und Spule (mit Induktivität L) aus?
2. Kommt es in einem elektrischen Schaltkreis aus idealer Spule und idealem Kondensator, aber ohne ohmschen Widerstand zur Signaldämpfung oder nicht?

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