diff --git a/Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md b/Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md index ba3f0ad453dac3761e7d5c9cd3c929667f8ea222..616d41c0abdc01b10bc24189e2cbeb5d0d22c290 100644 --- a/Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md +++ b/Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md @@ -45,66 +45,6 @@ Falls ein Modell wirklich Probleme bei der Beschreibung von Messpunkten hat kann Bei der Verwendung der Programmpakte *kafe2* und *PhyPraKit* wird zu jeder Parameteranpassung der $\chi^{2}$-Wert mit ausgegeben, was Ihnen eine Aussage über die Güte der Anpassung ([*goodness-of-fit*](https://en.wikipedia.org/wiki/Goodness_of_fit)) erlaubt. Sie sollten diesen Wert bei jeder Parameteranpassung mit beachten und diskutieren. -### Lineare Fehlerfortpflanzung nach Gauß - -Als lineare [Fehlerfortpflanzung](https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfortpflanzung) bezeichnet man den Vorgang, bei dem die Unsicherheit $\Delta\hat{\theta}$ auf einen bestimmten Wert $\hat{\theta}$ eines Parameters $\theta$, z.B. im Rahmen einer Abbildung -$$ -\begin{equation*} -X\to Y: \quad \theta\to f(\theta) -\end{equation*} -$$ -als Unsicherheit $\Delta f(\hat{\theta})$ auf einen Funktionswert $f(\hat{\theta})$ übertragen wird. Handelt es sich bei $f(\theta)$ um eine in $\theta$ stetig differenzierbare Abbildung, innerhalb der reellen Zahlen, erhält man $\Delta f(\hat{\theta})$ z.B. durch Entwicklung der [Taylorreihe](https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe): -$$ -\begin{equation*} -\begin{split} -&f(\theta) = f(\hat{\theta}) + \underbrace{\frac{\partial f}{\partial\theta}(\hat{\theta})\,\Delta\hat{\theta}}+\ldots\\ -&\hphantom{f(\theta) = f(\hat{\theta}) +,}\equiv\Delta f(\hat{\theta}) -\end{split} -\end{equation*} -$$ -Dem Umstand, dass die Taylorreihe bereits nach dem ersten Term abbricht tragen wir durch das Attribut *lineare* Fehlerfortpflanzung Rechnung. - -Liegen Unsicherheiten auf mehrere Parameter $\{\hat{\theta}_{j}:\hspace{0.05cm}j=1\ldots n\}$ vor, muss in $n$ Dimensionen gerechnet werden: -$$ -\begin{equation} -\begin{split} -&\Delta f(\boldsymbol{\theta}) = -\left(\begin{array}{cccc} \partial_{\theta_{0}}f & \partial_{\theta_{1}}f & \ldots & \partial_{\theta_{n}}f -\end{array}\right)\cdot -\underbrace{ -\left(\begin{array}{cccc} -\sigma_{1}^{2} & \sigma_{12} & \ldots & \sigma_{1n} \\ -\sigma_{21} & \sigma_{2}^{2} & \ldots & \sigma_{2n}f \\ -\vdots & & \ddots & \vdots \\ -\sigma_{n1} & \sigma_{n2} & \ldots & \sigma_{n}^{2} \\ -\end{array}\right)} -\cdot -\left(\begin{array}{c} \partial_{\theta_{0}}f \\\partial_{\theta_{1}}f \\ \vdots \\ \partial_{\theta_{n}}f -\end{array}\right).\\ -&\hphantom{\Delta f(\boldsymbol{\theta}) =\left(\begin{array}{cccc} \Delta\theta_{0} & \Delta\theta_{1} & \Delta\theta_{1} & \Delta\theta_{1} & \ldots & \Delta\theta -\end{array}\right)}\equiv \Sigma\\ -\end{split} -\end{equation} -$$ -Dabei entspricht $\boldsymbol{\theta}=\{\theta_{j}\}$ und $\Sigma$ der [Kovarianzmatrix](https://de.wikipedia.org/wiki/Kovarianzmatrix) des Problems, die die Unsicherheiten und [linearen Korrelationen](https://de.wikipedia.org/wiki/Korrelation) der $\{\hat{\theta}_{j}\}$ abbildet. - -Gebräuchlicher ist Gleichung **(1)** in der Gestalt -$$ -\begin{equation} -\begin{split} -&\Delta f(\boldsymbol{\theta}) = \sum\limits_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial f(\boldsymbol{\theta})}{\partial\theta_{j}}\,\Delta\hat{\theta}_{j}\right)^{2}, \\ -&\text{mit:}\\ -&\\ -&\Delta\hat{\theta}_{j}^{2} = \sigma_{j}^{2},\\ -\end{split} -\end{equation} -$$ -die dem Spezialfall entspricht, dass die $\{\theta_{j}\}$ alle paarweise unabhängig sind, wofür $\Sigma$ die Form einer [Diagonalmatrix](https://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalmatrix) annimmt. - -Schwierigkeiten bei der linearen Fehlerfortpflanzung bestehen darin, dass die $\{\theta_{j}\}$ i.a. nicht unabhängig und die Korrelationen zwischen den $\{\theta_{j}\}$ nicht bekannt sind. Auch kann es nicht-triviale Korrelationen zwischen den $\{\theta_{j}\}$ geben, für die $\sigma_{ij}=0$ gilt. - -Bei der Anwendung von Gleichung **(2)** sollten Sie sicherstellen (und entsprechend argumentieren), warum Sie annehmen (können), dass die $\{\theta_{j}\}$ paarweise unabhängig sind. Wenn Sie die Möglichkeit haben, einen Parameter $\theta_{j}\pm\Delta \theta_{j}$ direkt und ohne weitere Fehlerfortpflanzung aus einer Parameteranpassung zu bestimmen sollten Sie dieses Vorgehen der linearen Fehlerfortpflanzung nach Möglichkeit vorziehen. - # Navigation [Zurück](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md) | [Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Vorversuch) | [Weiter](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-c.md) diff --git a/Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-c.md b/Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-c.md index 0d3d586330df8adeedaf3eec7d8fee229df6b9a3..8b8401289e7dea53f5fe49c702702a735663f167 100644 --- a/Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-c.md +++ b/Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-c.md @@ -2,6 +2,66 @@ ## Aufgabe 2: Mathematisches Pendel +### Lineare Fehlerfortpflanzung nach Gauß + +Als lineare [Fehlerfortpflanzung](https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfortpflanzung) bezeichnet man den Vorgang, bei dem die Unsicherheit $\Delta\hat{\theta}$ auf einen bestimmten Wert $\hat{\theta}$ eines Parameters $\theta$, z.B. im Rahmen einer Abbildung +$$ +\begin{equation*} +X\to Y: \quad \theta\to f(\theta) +\end{equation*} +$$ +als Unsicherheit $\Delta f(\hat{\theta})$ auf den Funktionswert $f(\hat{\theta})$ übertragen wird. Handelt es sich bei $f(\theta)$ um eine in $\theta$ stetig differenzierbare Abbildung, innerhalb der reellen Zahlen, erhält man $\Delta f(\hat{\theta})$ z.B. durch Entwicklung der [Taylorreihe](https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe): +$$ +\begin{equation*} +\begin{split} +&f(\theta) = f(\hat{\theta}) + \underbrace{\frac{\partial f}{\partial\theta}(\hat{\theta})\,\Delta\hat{\theta}}+\ldots\\ +&\hphantom{f(\theta) = f(\hat{\theta}) +,}\equiv\Delta f(\hat{\theta}) +\end{split} +\end{equation*} +$$ +Dem Umstand, dass die Taylorreihe bereits nach dem ersten Term abbricht tragen wir durch das Attribut *lineare* Fehlerfortpflanzung Rechnung. + +Liegen Unsicherheiten auf mehrere Parameter $\{\hat{\theta}_{j}:\hspace{0.05cm}j=1\ldots n\}$ vor, muss in $n$ Dimensionen gerechnet werden: +$$ +\begin{equation} +\begin{split} +&\Delta f(\boldsymbol{\theta}) = +\left(\begin{array}{cccc} \partial_{\theta_{0}}f & \partial_{\theta_{1}}f & \ldots & \partial_{\theta_{n}}f +\end{array}\right)\cdot +\underbrace{ +\left(\begin{array}{cccc} +\sigma_{1}^{2} & \sigma_{12} & \ldots & \sigma_{1n} \\ +\sigma_{21} & \sigma_{2}^{2} & \ldots & \sigma_{2n}f \\ +\vdots & & \ddots & \vdots \\ +\sigma_{n1} & \sigma_{n2} & \ldots & \sigma_{n}^{2} \\ +\end{array}\right)} +\cdot +\left(\begin{array}{c} \partial_{\theta_{0}}f \\\partial_{\theta_{1}}f \\ \vdots \\ \partial_{\theta_{n}}f +\end{array}\right).\\ +&\hphantom{\Delta f(\boldsymbol{\theta}) =\left(\begin{array}{cccc} \Delta\theta_{0} & \Delta\theta_{1} & \Delta\theta_{1} & \Delta\theta_{1} & \ldots & \Delta\theta +\end{array}\right)}\equiv \Sigma\\ +\end{split} +\end{equation} +$$ +Dabei entspricht $\boldsymbol{\theta}=\{\theta_{j}\}$ und $\Sigma$ der [Kovarianzmatrix](https://de.wikipedia.org/wiki/Kovarianzmatrix) des Problems, die die Unsicherheiten und [linearen Korrelationen](https://de.wikipedia.org/wiki/Korrelation) der $\{\hat{\theta}_{j}\}$ abbildet. + +Gebräuchlicher ist Gleichung **(1)** in der Gestalt +$$ +\begin{equation} +\begin{split} +&\Delta f(\boldsymbol{\theta}) = \sum\limits_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial f(\boldsymbol{\theta})}{\partial\theta_{j}}\,\Delta\hat{\theta}_{j}\right)^{2}, \\ +&\text{mit:}\\ +&\\ +&\Delta\hat{\theta}_{j}^{2} = \sigma_{j}^{2},\\ +\end{split} +\end{equation} +$$ +die dem Spezialfall entspricht, dass die $\{\theta_{j}\}$ alle paarweise unabhängig sind, wofür $\Sigma$ die Form einer [Diagonalmatrix](https://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalmatrix) annimmt. + +Schwierigkeiten bei der linearen Fehlerfortpflanzung bestehen darin, dass die $\{\theta_{j}\}$ i.a. nicht unabhängig und die Korrelationen zwischen den $\{\theta_{j}\}$ nicht bekannt sind. Auch kann es nicht-triviale Korrelationen zwischen den $\{\theta_{j}\}$ geben, für die $\sigma_{ij}=0$ gilt. + +Bei der Anwendung von Gleichung **(2)** sollten Sie sicherstellen (und entsprechend argumentieren), warum Sie annehmen (können), dass die $\{\theta_{j}\}$ paarweise unabhängig sind. Wenn Sie die Möglichkeit haben, einen Parameter $\theta_{j}\pm\Delta \theta_{j}$ direkt und ohne weitere Fehlerfortpflanzung aus einer Parameteranpassung zu bestimmen sollten Sie dieses Vorgehen der linearen Fehlerfortpflanzung nach Möglichkeit vorziehen. + ## Hinweise zur Durchführung Die zusätzlichen Angaben der Parameter, die Sie zur Lösung dieser Aufgabe benötigen, finden Sie in den Dateien [`parameters_Aufgabe_2.py`](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Vorversuch/params/parameters_Aufgabe_2.py) oder [Datenblatt.md](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Vorversuch/Datenblatt.md).