From b4ae70c6bb372599af747eff07a301386a39af69 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Roger Wolf <roger.wolf@kit.edu>
Date: Fri, 27 Oct 2023 23:36:24 +0200
Subject: [PATCH] doge out represetation issues

---
 Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md | 43 --------------------------
 Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md | 43 ++++++++++++++++++++++++++
 2 files changed, 43 insertions(+), 43 deletions(-)

diff --git a/Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md b/Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md
index 010263e..5675d52 100644
--- a/Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md
+++ b/Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-a.md
@@ -33,49 +33,6 @@ an.
 
 Die Optimierungsaufgabe für Gleichung **(2)** kann grundsätzlich analytisch geschlossen gelöst werden, solange $\Omega$ nur *linear* von den Parametern $\{\theta_{j}\}$ abhängt. Heutzutage werden solche (und weitaus kompliziertere) Parameterschätzungen algorithmisch von Computern durchgeführt. Mit den Programmpakten *kafe2* und *PhyPraKit* stehen Ihnen geeignete Werkzeuge hierzu zur Verfügung. 
 
-### $\chi^{2}$-Test
-
-Ungeachtet des Umstandes, dass i.a. ein Satz von Parametern $\{\theta_{j}\}$ existiert, für den $z$ minimal wird, kann die Beschreibung der Daten durch $\Omega(\{\theta_{j}\})$ immer noch unzureichend sein. 
-
-Ein Maß dafür, wie gut $\Omega$ die $\{r_{i}\}$, bei optimaler Wahl der $\{\theta_{j}\}$, beschreibt ist der Wert von $z$ im Minimum
-$$
-\begin{equation*}
-\hat{z}=\min_{\{\theta_{j}\}}\left(z(\{r_{i}\}, \{\theta_{j}\})\right).
-\end{equation*}
-$$
-Dabei gilt: 
-$$
-\begin{equation*}
-\begin{array}{ll}
-\hat{z}/n_{\mathrm{dof}}\lesssim 1 & \text{das Modell ist mit den Daten verträglich;} \\
-\hat{z}/n_{\mathrm{dof}}\gg 1 & \text{das Modell ist mit den Daten nicht verträglich,} \\
-\end{array}
-\end{equation*}
-$$
-Den Wert $\hat{z}$ bezeichnet man als **$\boldsymbol{\chi^{2}}$-Wert**. Die Aussagen zu $\hat{z}/n_{\mathrm{dof}}$ gelten mit mathematischer Strenge, d.h., führt eine (statistisch korrekt implementierte) Anpassung auf einen Wert von $\hat{z}/n_{\mathrm{dof}}\gg 1$, dann ist das zugrundeliegende Modell im Rahmen der angegebenen Unsicherheiten $\{\Delta r_{i}\}$ mit den Datenpunkten $\{r_{i}\}$ **nicht kompatibel**. 
-
-Das lässt sich wie folgt verstehen: Der $\chi^{2}$-Wert ist ein Maß für die mittlere Entfernung zwischen $\Omega$ und den $\{r_{i}\}$. Große $\chi^{2}$-Werte weisen auf eine schlechte und kleine $\chi^{2}$-Werte auf eine gute Übereinstimmung zwischen $\Omega$ und den $\{r_{i}\}$, innerhalb der Streuung ([Varianz](https://de.wikipedia.org/wiki/Varianz_(Stochastik))) der $\{r_{i}\}$, hin. 
-
-Gehen wir davon aus, dass die $\{r_{i}\}$ im Fall wiederholter Messungen *normalverteilt* sind und ihre [Erwartungswerte](https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert) wirklich durch $\Omega$ beschrieben werden können, dann folgt $\hat{z}$ der $\chi^{2}(z, n_{\mathrm{dof}})$-Verteilung, deren Erwartungswert $E[\hspace{0.05cm}z\hspace{0.05cm}]=n_{\mathrm{dof}}$ ist. Ein Wert von $\hat{z}^{2}/n_{\mathrm{ndof}}\lesssim1$ deutet darauf hin, dass der Verlauf der Modellvorhersage im Mittel innerhalb der Varianz der $\{r_{i}\}$ liegt. Um diesen Umstand anschaulicher zu machen und weil die Grenzen noch akzeptabler $\chi^{2}$-Werte von $n_{\mathrm{dof}}$ abhängt, wird der $\chi^{2}$-Wert oft zusätzlich in einen ***p*-Wert** übersetzt. 
-
-Der *p*-Wert ist das Integral 
-$$
-\begin{equation*}
-p = \int\limits_{\hat{z}}^{\infty}\chi^{2}(z, n_{\mathrm{ndof}})\,\mathrm{dz}.
-\end{equation*}
-$$
-Er entspricht damit, unter der Annahme, dass die Erwartungswerte der $\{r_{i}\}$ tatsächlich $\Omega$ folgen, der Wahrscheinlichkeit einen Wert von $z\geq\hat{z}$ und damit eine schlechtere Übereinstimmung des Modells mit den $\{r_{i}\}$ zu erhalten, als durch $\hat{z}$ beobachteten. Der *p*-Wert ist selbst wieder eine Zufallsvariable, die, wenn die zu seiner Berechnung gemachten Annahmen erfüllt sind, in ihrem Wertebereich zwischen 0 und 1 gleichverteilt ist. 
-
-**Wir geben ein Beispiel:** Sie nehmen die Anpassung eines Modells $\Omega$ mit $k=5$ Parametern an $n=15$ Messpunkte $\{r_{i}\}$ vor, d.h. $n_{\mathrm{dof}}=10$. Nach Anpassung erhalten Sie einen $\chi^{2}$-Wert von 20, d.h. $\hat{z}^{2}/n_{\mathrm{dof}}=2$. Unter der Annahme, das die $\{r_{i}\}$ normalverteilt sind und ihre Erwartungswerte wirklich $\Omega$ folgen ist ein Ausgang des Experiments mit einem $\chi^{2}$-Wert $\geq20$ mit einer Wahrscheinlichkeit von 3% zu erwarten. Es bleibt Ihnen überlassen, basierend auf dieser Abschätzung die Aussage, dass die Erwartungswerte der $\{r_{i}\}$ tatsächlich $\Omega$ folgen zu verwerfen oder nicht. 
-
-Um für die Beziehung zwischen $\chi^{2}$-Wert und *p*-Wert ein etwas besseres Gefühl zu bekommen können Sie ein paar weitere Beispiele mit dieser [Web-Anwendung der University of Illinois](http://courses.atlas.illinois.edu/spring2016/STAT/STAT200/pchisq.html) durchspielen. 
-
-Falls ein Modell wirklich Probleme bei der Beschreibung von Messpunkten hat kann der *p*-Wert rasch Werte $\mathcal{O}(10^{-3}-10^{-10})$ annehmen. Obwohl man sich manchmal aus pragmatischen Gründen dazu entscheidet, ist es grundsätzlich zweifelhaft die Ergebnisse der Anpassung mit sehr niedrigen *p*-Werten (unkommentiert) anzugeben oder weiter zu verarbeiten. 
-
-### Die Programmpakete kafe2 und PhyPraKit
-
-Bei der Verwendung der Programmpakte *kafe2* und *PhyPraKit* wird zu jeder Parameteranpassung der $\chi^{2}$-Wert mit ausgegeben, was Ihnen eine Aussage über die Güte der Anpassung ([*goodness-of-fit*](https://en.wikipedia.org/wiki/Goodness_of_fit)) erlaubt. Sie sollten diesen Wert bei jeder Parameteranpassung mit beachten und diskutieren. 
-
 # Navigation
 
 [Zurück](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2.md) | [Main](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/tree/main/Vorversuch) | [Weiter](https://gitlab.kit.edu/kit/etp-lehre/p1-praktikum/students/-/blob/main/Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md)
diff --git a/Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md b/Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md
index b2e1c1d..20df43a 100644
--- a/Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md
+++ b/Vorversuch/doc/Hinweise-Aufgabe-2-b.md
@@ -2,6 +2,49 @@
 
 ## Aufgabe 2: Mathematisches Pendel
 
+### $\chi^{2}$-Test
+
+Ungeachtet des Umstandes, dass i.a. ein Satz von Parametern $\{\theta_{j}\}$ existiert, für den $z$ minimal wird, kann die Beschreibung der Daten durch $\Omega(\{\theta_{j}\})$ immer noch unzureichend sein. 
+
+Ein Maß dafür, wie gut $\Omega$ die $\{r_{i}\}$, bei optimaler Wahl der $\{\theta_{j}\}$, beschreibt ist der Wert von $z$ im Minimum
+$$
+\begin{equation*}
+\hat{z}=\min_{\{\theta_{j}\}}\left(z(\{r_{i}\}, \{\theta_{j}\})\right).
+\end{equation*}
+$$
+Dabei gilt: 
+$$
+\begin{equation*}
+\begin{array}{ll}
+\hat{z}/n_{\mathrm{dof}}\lesssim 1 & \text{das Modell ist mit den Daten verträglich;} \\
+\hat{z}/n_{\mathrm{dof}}\gg 1 & \text{das Modell ist mit den Daten nicht verträglich,} \\
+\end{array}
+\end{equation*}
+$$
+Den Wert $\hat{z}$ bezeichnet man als **$\boldsymbol{\chi^{2}}$-Wert**. Die Aussagen zu $\hat{z}/n_{\mathrm{dof}}$ gelten mit mathematischer Strenge, d.h., führt eine (statistisch korrekt implementierte) Anpassung auf einen Wert von $\hat{z}/n_{\mathrm{dof}}\gg 1$, dann ist das zugrundeliegende Modell im Rahmen der angegebenen Unsicherheiten $\{\Delta r_{i}\}$ mit den Datenpunkten $\{r_{i}\}$ **nicht kompatibel**. 
+
+Das lässt sich wie folgt verstehen: Der $\chi^{2}$-Wert ist ein Maß für die mittlere Entfernung zwischen $\Omega$ und den $\{r_{i}\}$. Große $\chi^{2}$-Werte weisen auf eine schlechte und kleine $\chi^{2}$-Werte auf eine gute Übereinstimmung zwischen $\Omega$ und den $\{r_{i}\}$, innerhalb der Streuung ([Varianz](https://de.wikipedia.org/wiki/Varianz_(Stochastik))) der $\{r_{i}\}$, hin. 
+
+Gehen wir davon aus, dass die $\{r_{i}\}$ im Fall wiederholter Messungen *normalverteilt* sind und ihre [Erwartungswerte](https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert) wirklich durch $\Omega$ beschrieben werden können, dann folgt $\hat{z}$ der $\chi^{2}(z, n_{\mathrm{dof}})$-Verteilung, deren Erwartungswert $E[\hspace{0.05cm}z\hspace{0.05cm}]=n_{\mathrm{dof}}$ ist. Ein Wert von $\hat{z}^{2}/n_{\mathrm{ndof}}\lesssim1$ deutet darauf hin, dass der Verlauf der Modellvorhersage im Mittel innerhalb der Varianz der $\{r_{i}\}$ liegt. Um diesen Umstand anschaulicher zu machen und weil die Grenzen noch akzeptabler $\chi^{2}$-Werte von $n_{\mathrm{dof}}$ abhängt, wird der $\chi^{2}$-Wert oft zusätzlich in einen ***p*-Wert** übersetzt. 
+
+Der *p*-Wert ist das Integral 
+$$
+\begin{equation*}
+p = \int\limits_{\hat{z}}^{\infty}\chi^{2}(z, n_{\mathrm{ndof}})\,\mathrm{dz}.
+\end{equation*}
+$$
+Er entspricht damit, unter der Annahme, dass die Erwartungswerte der $\{r_{i}\}$ tatsächlich $\Omega$ folgen, der Wahrscheinlichkeit einen Wert von $z\geq\hat{z}$ und damit eine schlechtere Übereinstimmung des Modells mit den $\{r_{i}\}$ zu erhalten, als durch $\hat{z}$ beobachteten. Der *p*-Wert ist selbst wieder eine Zufallsvariable, die, wenn die zu seiner Berechnung gemachten Annahmen erfüllt sind, in ihrem Wertebereich zwischen 0 und 1 gleichverteilt ist. 
+
+**Wir geben ein Beispiel:** Sie nehmen die Anpassung eines Modells $\Omega$ mit $k=5$ Parametern an $n=15$ Messpunkte $\{r_{i}\}$ vor, d.h. $n_{\mathrm{dof}}=10$. Nach Anpassung erhalten Sie einen $\chi^{2}$-Wert von 20, d.h. $\hat{z}^{2}/n_{\mathrm{dof}}=2$. Unter der Annahme, das die $\{r_{i}\}$ normalverteilt sind und ihre Erwartungswerte wirklich $\Omega$ folgen ist ein Ausgang des Experiments mit einem $\chi^{2}$-Wert $\geq20$ mit einer Wahrscheinlichkeit von 3% zu erwarten. Es bleibt Ihnen überlassen, basierend auf dieser Abschätzung die Aussage, dass die Erwartungswerte der $\{r_{i}\}$ tatsächlich $\Omega$ folgen zu verwerfen oder nicht. 
+
+Um für die Beziehung zwischen $\chi^{2}$-Wert und *p*-Wert ein etwas besseres Gefühl zu bekommen können Sie ein paar weitere Beispiele mit dieser [Web-Anwendung der University of Illinois](http://courses.atlas.illinois.edu/spring2016/STAT/STAT200/pchisq.html) durchspielen. 
+
+Falls ein Modell wirklich Probleme bei der Beschreibung von Messpunkten hat kann der *p*-Wert rasch Werte $\mathcal{O}(10^{-3}-10^{-10})$ annehmen. Obwohl man sich manchmal aus pragmatischen Gründen dazu entscheidet, ist es grundsätzlich zweifelhaft die Ergebnisse der Anpassung mit sehr niedrigen *p*-Werten (unkommentiert) anzugeben oder weiter zu verarbeiten. 
+
+### Die Programmpakete kafe2 und PhyPraKit
+
+Bei der Verwendung der Programmpakte *kafe2* und *PhyPraKit* wird zu jeder Parameteranpassung der $\chi^{2}$-Wert mit ausgegeben, was Ihnen eine Aussage über die Güte der Anpassung ([*goodness-of-fit*](https://en.wikipedia.org/wiki/Goodness_of_fit)) erlaubt. Sie sollten diesen Wert bei jeder Parameteranpassung mit beachten und diskutieren. 
+
 ### Lineare Fehlerfortpflanzung nach Gauß
 
 Als lineare [Fehlerfortpflanzung](https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfortpflanzung) bezeichnet man den Vorgang, bei dem die Unsicherheit $\Delta\hat{\theta}$ auf einen bestimmten Wert $\hat{\theta}$ eines Parameters $\theta$, z.B. im Rahmen einer Abbildung
-- 
GitLab