From fa33a56d056f79f34c18bac722529c4c7bd9063f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Roger Wolf <roger.wolf@kit.edu>
Date: Mon, 1 Apr 2024 12:15:51 +0200
Subject: [PATCH] splitting files
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@@ -6,7 +6,7 @@ Es gibt drei Arten, auf die ein Photon $\gamma$ mit der Energie $E_{\gamma}$ mit
- [**Photoeffekt**](https://de.wikipedia.org/wiki/Photoelektrischer_Effekt): Das Photon trifft auf ein Elektron aus der Atomhülle des Materials, überträgt dabei seine gesamte Energie und wird voll absorbiert. Der Energieübertrag erfolgt zunächst virtuell. Die erneute Reaktion des Elektrons mit dem elektromagnetischen Feld, z.B. eines Atomkerns stellt Energie- und Impulserhaltung im Endzustand der Reaktion sicher. Das Elektron wird aus der Atomhülle ausgeschlagen und bewegt sich zunächst als freie Ladung durch das Material.
- [**Compton-Effekt**](https://de.wikipedia.org/wiki/Compton-Effekt): Auch in diesem Fall erfolgt der Impulsübertrag zwischen $\gamma$ und Elektron zunächst virtuell, das ausgeschlagene Elektron emittiert unmittelbar ein neues Photon $\gamma'$ mit der Energie $E_{\gamma}'\lt E_{\gamma}$. Dieser Prozess kann als elastischer Stoßprozess zwischen Elektron und Photon angesehen werden. Es handelt sich jedoch nicht um einen elastischen Stoßprozess im klassischen Sinne, sondern um einen Prozess der [Quantenelektrodynamik](https://de.wikipedia.org/wiki/Quantenelektrodynamik) (QED), bei dem $\gamma$ zerstört und $\gamma^{\prime}$ erzeugt wird.
-- [**Paarbildung**](https://de.wikipedia.org/wiki/Paarbildung_(Physik)): In diesem Fall zerfällt $\gamma$ in ein Elektron-Positron-Paar. Aus Gründen der Energie- und Impulserhaltung ist dieser Prozess nur oberhalb der kinematischen Schwelle von $E_{\gamma}\gtrsim 2\,m_{\mathrm{e}}c^{2}$ und ebenfalls nur im elektromagnetischen Feld, z.B. eines Atomkerns möglich.
+- [**Paarbildung**](https://de.wikipedia.org/wiki/Paarbildung_(Physik)): In diesem Fall zerfällt $\gamma$ in ein Elektron-Positron-Paar. Aus Gründen der Energie- und Impulserhaltung ist dieser Prozess nur oberhalb der kinematischen Schwelle von $E_{\gamma}\gtrsim 2\,m_{\mathrm{e}}c^{2}$ und ebenfalls nur im elektromagnetischen Feld, z.B. eines Atomkerns möglich. Dabei entspricht $m_{\mathrm{e}}$ der Masse des Elektrons.
Die Häufigkeit, mit der jeweils einer der oben genannten Prozesse stattfindet wird durch die Wirkungsquerschnitte $\sigma_{\mathrm{P.E.}}$ (für Photoeffekt), $\sigma_{\mathrm{C.E.}}$ (für Compton-Effekt) und $\sigma_{\mathrm{pair}}$ (für Paarbildung) quantifiziert. In **Abbildung 2** sind die drei Reaktionen schematisch dargestellt:
@@ -28,76 +28,17 @@ Im Folgenden gehen wir auf die einzelnen Prozesse etwas näher ein.
### Photoeffekt
-Beim Photoeffekt geht $E_{\gamma}$ vollständig auf das gestreute Elektron über. Dieser Effekt ist nur im elektromagnetischen Feld, z.B. eines Atomkerns, möglich. Der Atomkern nimmt dabei als Rückstoßpartner zusätzlichen Impuls aus der Reaktion auf, so dass im Endzustand der Reaktion Energie- und Impulserhaltung gewährleistet sind. Dies ist umso leichter möglich, je stärker das Elektron an den Atomkern gebunden ist, weshalb der Photoeffekt hauptsächlich mit Elektronen aus den K- und L-Schalen von Atomen mit großem $Z$ auftritt. Die vollständige theoretische Beschreibung dieses Prozesses über den gesamten Bereich von $E_{\gamma}$ ist schwierig und auf Näherungen angewiesen. Die Abhängigkeit von $\sigma_{\mathrm{P.E.}}$ von $Z$ und $E_{\gamma}$ beträgt
+Beim Photoeffekt geht $E_{\gamma}$ vollständig auf das gestreute Elektron über. Dieser Effekt ist nur im elektromagnetischen Feld, z.B. eines Atomkerns, möglich. Der Atomkern nimmt dabei als Rückstoßpartner zusätzlichen Impuls aus der Reaktion auf, so dass im Endzustand der Reaktion Energie- und Impulserhaltung gewährleistet sind. Dies ist umso leichter möglich, je stärker das Elektron an den Atomkern gebunden ist, weshalb der Photoeffekt hauptsächlich mit Elektronen aus den K- und L-Schalen von Atomen mit großer Kernladungszahl $Z$ auftritt. Die vollständige theoretische Beschreibung dieses Prozesses über den gesamten Bereich von $E_{\gamma}$ ist schwierig und auf Näherungen angewiesen. Die Abhängigkeit von $\sigma_{\mathrm{P.E.}}$ von $Z$ und $E_{\gamma}$ beträgt
$$
\begin{equation*}
\sigma_{\mathrm{P.E.}}(E_{\gamma}, Z)\propto\frac{Z^{n}}{E_{\gamma}^{m}}; \qquad \text{mit: } n=4\ldots5; \, m\leq 3.5,
\end{equation*}
$$
-weshalb der Photoeffekt gerade bei kleinen Werten von $E_{\gamma}$ und großen Werten von $Z$ dominiert. Für $E_{\gamma}\gg m_{\mathrm{e}}c^{2}$ gilt $m\to 1$, $\sigma_{\mathrm{P.E.}}$ fällt also mit zunehmendem $E_{\gamma}$ weniger stark ab.
+weshalb der Photoeffekt gerade bei kleinen Werten von $E_{\gamma}$ und großen Werten von $Z$ die anderen beiden Effekte dominiert. Für $E_{\gamma}\gg m_{\mathrm{e}}c^{2}$ gilt $m\to 1$, $\sigma_{\mathrm{P.E.}}$ fällt also mit zunehmender Energie $E_{\gamma}$ weniger stark ab.
Im Material erfolgt die Absorption durch Photoeffekt nicht durch eine einzige Reaktion sondern in mehreren, schnell aufeinander folgenden Schritten: Das Photon $\gamma$ schlägt ein Elektron, z.B. aus der K-Schale eines Atoms aus; dieses verliert Energie durch [Ionisation](https://de.wikipedia.org/wiki/Bethe-Formel) oder [Bremsstrahlung](https://de.wikipedia.org/wiki/Bremsstrahlung), d.h. Emission eines weiteren Photons $\gamma'$ niedrigerer Energie $E_{\gamma}'\lt E_{\gamma}$. Die Lücke in der K-Schale des Atoms wird, z.B. durch ein Elektron aus einer höheren Schale aufgefüllt, wobei wiederum ein Photon $\gamma^{\prime\prime}$ mit $E_{\gamma}^{\prime\prime}\ll E_{\gamma}$ emittiert wird. Aufgrund der niedrigeren Energien $E_{\gamma}^{\prime}$ und $E_{\gamma}^{\prime\prime}$ steigt die Wahrscheinlichkeit für den Photoeffekt für $\gamma'$ und $\gamma^{\prime\prime}$, wodurch eine Absorptionskaskade in Gang gesetzt wird, bis $E_{\gamma}$ vollständig auf Elektronen übertragen wurde.
-### Compton-Effekt
-
-Compton-Effekt ist der dominierende Wechselwirkungsprozess von $\gamma$ im Energiebereich von $E_{\gamma}=100\,\mathrm{keV}$ bis $10\,\mathrm{MeV}$ mit Materie. Er wurde 1922 erstmals von [Arthur Compton](https://de.wikipedia.org/wiki/Arthur_Holly_Compton) nachgewiesen, erklärt und untersucht. Compton stellte fest, dass bei der Streuung von Röntgenstrahlung an Graphit, die Wellenlänge $\lambda'$ des gestreuten Lichts größer als die Wellenlänge $\lambda$ des eingestrahlten Lichts ist. Für die Änderung der Wellenlänge gilt der einfache Zusammenhang:
-$$
-\begin{equation*}
-\begin{split}
-&\Delta\lambda=\lambda'-\lambda = \frac{h}{m_{\mathrm{e}}\,c}\left(1-\cos\theta\right);\\
-&\\
-&\text{with:} \\
-&\\
-&\lambda_{\mathrm{C}} = \frac{h}{m_{\mathrm{e}}\,c}.
-\end{split}
-\end{equation*}
-$$
-Dabei bezeichnet $\lambda_{\mathrm{C}}$ die sogenannte Compton-Wellenlänge und $\theta$ den Streuwinkel (im Laborsystem). Es ist bemerkenswert, dass der Energieübertrag von $\gamma$, der zu $\Delta\lambda$ korrespondiert, nur von $\theta$ und nicht von $E_{\gamma}$ abhängt. Er wird bei der Rückstreuung von $\gamma$ (d.h. für $\theta=180^{\circ}$) maximal. Die Energie $E_{\mathrm{e}}'$ des gestreuten Elektrons und die Energie $E_{\gamma}'$ des gestreuten Photons lassen sich unter der Annahme, dass es sich um eine elastische Zwei-Körper-Streuung von $\gamma$ (mit $E_{\gamma}=h\,\nu$ und $p_{\gamma}=h/\lambda$) an einem ruhenden, freien Elektron (mit $E_{\mathrm{e}}=m_{\mathrm{e}}c^{2}$ und $p_{\mathrm{e}}=0$) handelt, quasi-klassisch berechnen:
-$$
-\begin{equation}
-\begin{split}
-&E'_{\gamma}(\theta) = \frac{E_{\gamma}}{1+\frac{E_{\gamma}}{E_{\mathrm{e}}}\left(1-\cos\theta\right)};
-\qquad
-E'_{\mathrm{e}}(\theta) = E_{\gamma}-E'_{\gamma}(\theta).\\
-&\\
-&E^{\prime\,\mathrm{max}}_{\mathrm{e}} = E^{\prime}_{\mathrm{e}}(\theta=180^{\circ}) = \frac{E_{\gamma}}{1+\frac{E_{\mathrm{e}}}{2\,E_{\gamma}}},\\
-\end{split}
-\end{equation}
-$$
-wobei $E^{\prime\,\mathrm{max}}_{\mathrm{e}}$ die Energie des Elektrons nach maximalem Energieübertrag ist. Diesen Punkt im Spektrum der gestreuten Elektronen bezeichnet man als Compton-Kante. Zu niedrigen Energien hin schließt sich das sog. Compton-Kontinuum, an die Compton-Kante an.
-
-Zwar stimmen die auf quasi-klassischem Wege bestimmten Beziehungen für $E_{\mathrm{e}}'(\theta)$ und $E_{\gamma}'(\theta)$ "zufällig" mit den im Rahmen der QED gewonnenen Ergebnissen überein, der exakte Verlauf des Spektrums lässt sich jedoch erst mit Hilfe des [Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitts](https://de.wikipedia.org/wiki/Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt) vollständig verstehen. Eine schematische Darstellung des erwarteten Energiespektrums für die Compton-Streuung eines Photons mit $E_{\gamma}$ ist in **Abbildung 4** gezeigt:
-
-<img src="../figures/ComptonSpektrum.png" width="900" style="zoom:100%;" />
-
-**Abbildung 4** (Schematische Darstellung des erwarteten Energiespektrums für die Compton-Streuung eines Photons mit $E_{\gamma}$. Die vertikale Linie rechts im Bild markiert die vollständige Absorption des Photons im Detektor, z.B. durch den Photoeffekt. Für das Compton-Kontinuum sind die verläufe für zwei unterschiedliche Energien $E_{\gamma}$ skizziert)
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-
-Auf der $x$-Achse ist die Energie $E_{\mathrm{e}}'$, auf der $y$-Achse der Wirkungsquerschnitt $\mathrm{d}\sigma_{\mathrm{C.E.}}/\mathrm{d}E_{\mathrm{e}}'$ aufgetragen. Die vertikale Linie rechts im Bild markiert die vollständige Absorption von $\gamma$ im Detektor, z.B. durch den Photoeffekt.
-
-Die Abhängigkeit von $\sigma_{\mathrm{C.E.}}$ von $Z$ und $E_{\gamma}$ beträgt
-$$
-\begin{equation*}
-\sigma_{\mathrm{C.E.}}(E_{\gamma}, Z)\propto\frac{Z}{E_{\gamma}}; \qquad \text{f\"ur: } E_{\gamma}\gg m_{\mathrm{e}}c^{2}.
-\end{equation*}
-$$
-
-### Paarbildung
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-Aus Gründen der Energie- und Impulserhaltung ist dieser Prozess nur oberhalb der kinematischen Schwelle von $E_{\gamma}\gtrsim 2\,m_{\mathrm{e}}c^{2}$ und auch nur im elektrischen Feld, z.B. eines Atomkerns möglich. Erstmals wurde dieser Prozess 1934 von [Hans Bethe](https://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Bethe) und [Walter Heitler](https://de.wikipedia.org/wiki/Walter_Heitler) gemeinsam mit dem zur Paarbildung sehr ähnlichen Prozess der Bremsstrahlung beschrieben und erklärt, weshalb beide Prozesse auch als Bethe-Heitler-Prozesse bezeichnet werden.
-
-Für $E_{\gamma}\gg m_{\mathrm{e}}c^{2}$ ist $\sigma_{\mathrm{pair}}$ unabhängig von $E_{\gamma}$, die Abhängigkeit von $\sigma_{\mathrm{pair}}$ von $Z$ beträgt
-$$
-\begin{equation*}
-\sigma_{\mathrm{pair}}(E_{\gamma}, Z)\propto Z^{2}.
-\end{equation*}
-$$
-insbesondere für schwere Kerne erfolgt Paarbildung vor allem im hohen elektromagnetischen Feld des Atomkerns; das elektromagnetische Feld der Elektronen in der Atomhülle spielt nur bei sehr leichten Elementen eine Rolle.
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-Im Material wird das Positron abgebremst, bis es mit einem Elektron aus dem Material rekombiniert und über den Prozess der [Elektron-Positron-Annihiliation](https://de.wikipedia.org/wiki/Annihilation) zerstrahlt. Aus dieser Reaktion gehen zwei, zueinander anti-parallel auslaufende Photonen mit der charakteristischen Energie $E_{\gamma}=m_{\mathrm{e}}c^{2}$ hervor, die selbst wieder mit dem Material in Wechselwirkung treten können.
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